山东省潍坊市2014届高三上学期期中考试 理科数学 Word版含答案

高三数学试题（理科）

注意事项： 1．本试卷分4页，本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150

分，考试用时120分钟． 2．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡及答题纸上． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．

4．第Ⅱ卷写在答题纸对应区域内，严禁在试题卷或草纸上答题． 5．考试结束后，将答题卡和答题纸一并交回．

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题共12小题。每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。只有

一个符合题目要求的选项．） 1．设x∈Z，集合A为偶数集，若命题p： x∈Z ，2x∈A,则 p

A． x∈Z ，2x A C． x∈Z ，2x∈A

B． x Z ，2x∈A D． x∈Z ，2x A

2． 设集合A={1,2,3}，B={4,5}，C={x|x=b a,a A,b B}，则C中元素的个数是

A．3

B．4

C．5

D． 6

3．已知幂函数y f(x)的图像过点（

A．

21，），则log2f(2)的值为

22

D．1

1

2

B．－

1

C．－1 2

4．在△ABC中，内角A、B的对边分别是a、b，若

A．等腰三角形

C．等腰三角形或直角三角形

|x|

cosAb

，则△ABC为 cosBa

B．直角三角形 D．等腰直角三角形

5．若当x∈R时，函数f(x) a(a 0且a 1）满足f(x)≤1，则函数y loga(x 1)的

图像大致为

6．已知

11

0，给出下列四个结论：①a b ②a b ab ③|a| |b| ab

④ab b2 其中正确结论的序号是

A．①②

B．②④

C．②③

D．③④

7．等差数列{an}的前20项和为300，则a4+a6+a8+a13+a15+a17等于

A．60

B．80 C．90 D．120

2x a,x 0

8．已知函数f(x) （a R），若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值

2x 1,x 0

范围是

A．( , 1)

B． ( ,1]

C．[ 1,0)

*

D． (0,1]

9．已知数列{an}的前n项和为sn，且sn+an=2n（n∈N），则下列数列中一定是等比数列的

是

A．{an}

B．{an－1}

C．{an－2}

D．{an+2}

10．已知函数f(x) sin( x

3

)（ 0）的最小正周期为 ，将函数y f(x)的图像向

5 5

D． 126

右平移m（m>0）个单位长度后，所得到的图像关于原点对称，则m的最小值为

A．

6

2

B．

3

C．

11．设函数f(x) x xsinx，对任意x1,x2 ( , )，若f(x1) f(x2)，则下列式子成立的是

A．x1 x2

2

2

B．x1 x2 C．x1 |x2|

22

D．|x1| |x2|

12．不等式2x axy y≤0对于任意x [1,2]及y [1,3]恒成立，则实数a的取值范围是

A．a≤22

B．a≥22

C．a≥

11

3

D．a≥

9 2

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．

2

1

3t2dt 1

，则sin cos .

42

1x

15．已知一元二次不等式f(x) 0的解集为{x| x 2}，则f(2) 0的解集为。

2

14．若tan(

)

16．给出下列命题：

①若y f(x)是奇函数，则y |f(x)|的图像关于y轴对称；②若函数f(x)对任意x∈R满足f(x) f(x 4) 1，则8是函数f(x)的一个周期；③若logm3 logn3 0，则

0 m n 1；④若f(x) e|x a|在[1, )上是增函数，则a≤1。其中正确命题的序号

是 。

三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明

过程或演算步骤。） 17．（本小题满分12分）

已知全集U=R，集合A={y|y x2 （Ⅰ）求（

UA）∪B；

3

x 1,x [0,2]}，B={x|y |x|}。 2

（Ⅱ）若集合C={x|x m2≥

1

}，命题p：x∈A，命题q：x∈C，且p命题是命题q2

的充分条件，求实数m的取值范围。

18．（本小题满分12分）

已知函数f(x) (23cosx sinx)sinx sin2(（I）求函数f(x)的最大值和单调区间；

2

x)

c，b、（II）△ABC的内角A、B\、C的对边分别为a、已知f(

求△ABC的面积。

C

c 2且sinB 3sinA，) 2，

2

19．（本小题满分12分）

如图，某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开辟出三块形状大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道。已知三块绿化区的总面积为800平方米，求该矩形区域ABCD占地面积的最小值。 20．（本小题满分12分）

a∈R,解关于x的不等式x

21．（本小题满分12分）

1

≥a（x 1）。 x

已知公比为q的等比数列{an}是递减数列，且满足a1+a2+a3= （I）求数列{an}的通项公式；

（II）求数列{(2n 1) an}的前n项和为Tn； （Ⅲ）若bn

131，a1a2a3= 927

4n3111

，证明：≥. (n N*) n 1

b1b2b2b3bnbn 1353 an2

22．（本小题满分14分）

已知f(x) aln(x 1)，g(x) x bx，F(x) f(x 1) g(x)，其中a,b R。 （I）若y f(x)与y g(x)的图像在交点（2，k）处的切线互相垂直，求a,b的值； （II）若x 2是函数F(x)的一个极值点，x0和1是F(x)的两个零点，且x0∈（n,n 1)n N，求n；

（III）当b a 2时，若x1，x2是F(x)的两个极值点，当|x1－x2|>1时，求证：|F(x1)－F(x)|>3－4ln2。

高三数学试题（理科）参考答案及评分标准 一选择题：DBACC BCDCA BD 二、填空题： 13.7 14.

2

3

15.{x| x<－1，或x>1} 16.①②④ 10

3

三、解答题：17解：A={y|y x2 x 1,x [0,2]}

2377

={y|y (x )2 ,x [0,2]}={y|≤y≤2}， 2分

41616

B={x|y |x|}={x|1－|x|≥0}={x|－1≤x≤1} 3分

7

}, 4分 16

（UA）∪B={x|x≤1或x>2} 6分

（Ⅱ）∵命题p是命题q的充分条件，∴A C， 7分

1

∵C={x|x≥－m2} 8分

2

∴

UA={y|y>2或y<

17

－m2≤， 10分 216

111

∴m2≥，∴m≥或m≤－

1644

11

∴实数m的取值范围是（－∞，－]∪[，+∞） 12分

44

∴

18解：（I）f(x) (23cosx sinx)sinx sin2(

2

x)

(23sinxcosx sin2x cos2x 3sin2x cos2x 2sin(2x

∴函数f(x)的最大值为2。 4分 由－

6

) 3分

2

+2k ≤2x

6

≤

2

+2k 得－

63

+k ≤x≤

3

+k ，

∴函数f(x)的单调区间为[－（II）∵f(

6

+k ，

+k ]，（k∈Z） 6分

C 5

， ) 2，∴2sin(C ) 2,又－<C <

26666 2 ∴C =，C 8分

623

∵sinB 3sinA，∴b=3a， 9分

2 4

∵c=2，,4=a2+9a2－2×a×3acos，∴a2=， 10分

313

∴S△ABC=

3311

absinC=×3a2sinC= 12分

1322

19.解：设绿化区域小矩形的一边长为x，另一边长为y，则3xy=800， 2分

800

3分 3x

所以矩形区域ABCD的面积S=（3x+4）（y+2） 5分

8003200

=（3x+4）（+2）=800+6x++8 7分

3x3x

所以y=

≥808+26400=968 10分 当且仅当6x=

320040

，即x=时取“=”，∴矩形区域ABCD的面积的最小值为968平方3x3

米。 12分 20.解：原不等式可转化为

(x 1)[(1 a)x 1]

≥0（*） 2分

xx 1

（1）当a=1时，（*）式为≥0，解得x<0或x≥1. 4分

x

(1 a)(x 1)(x

（2）当a≠1时，（*）可式为

x

11

①若a<1,则a－1<0，＜0，解得≤x＜0，或x≥1； 6分

a 1a 1

11

②若1＜a≤2,则1－a<0，≥1，解得x＜0，或1≤x≤；8分

a 1a 111

③若a＞2,则a－1＞1，0＜＜1，1－a＜0，解得x＜0，或≤x≤1；

a 1a 1

10分

综上，当a=1时，不等式解集为{x|x<0或x≥1} 当a<1时，不等式解集为{x|

1)1 a≥0

1

≤x＜0，或x≥1} a 1

1} a 1

当1＜a≤2时，不等式解集为{x|x＜0，或1≤x≤当a＞2时，不等式解集为{x|x＜0，或

1

≤x≤1} 12分 a 1

1113

21.解：由a1a2a3=，及等比数列性质得a2=，即a2=， 1分

272731310

由a1+a2+a3=得a1+a3=

99

11

a aq 1 q210 23 13

，即3q2－10q+3=0 由 得 所以q3 a a 10 a aq2 10

1311 9 9 1

3分 3

11

因为{an}是递减数列，故q=3舍去，∴q=，由a2=，得a1=1

33

1*

故数列{an}的通项公式为an=n 1（n∈N） 4分

32n 1352n 1

（II）由（I）知(2n 1) an=n 1，所以Tn=1++2+ +n 1 ①

3333

11352n 32n 1 Tn=+2+3+ +n 1+ ② 5分

333333n

222222n 1

①－② 得：Tn=1++2+3+ +n 1－ n

333333

11112n 1=1+2（+2+3+ +n 1）－ n

3333311(1 n 1)

2n 112n 1=1+2 －=2－－ nn 1n

13331 3

解得q=3，或q=

所以Tn=3－

n 1

8分 3n 1

32n 3n3

n=+=， 9分 (n N*)

223n 1 an2

（Ⅲ）因为bn

所以

222222111

= + + +

2n 32n 5b1b2b2b3bnbn 15779

=2[(

111111

）] )+（ ）+ +（

57792n 32n 511=2（－） 11分

52n 5

11112

因为n≥1，－≥ = ，

52n 55735

所以

4111

≥. 12分

b1b2b2b3bnbn 135

a

，g (x) 2x b 1分 x 1

22. （I）f (x)

f(2) g(2) 0 4 2b

由题知 ，即 2分

f(2) g(2) 1a(4 b) 1 1

a

解得 2

b 2

（II）F(x) f(x 1) g(x)=alnx (x bx)，F (x)

2

a

2x b x

a

F (2) 0 4 b 0由题知 ，即 2 解得a=6，b=－1 6分

F(1) 0 1 b 0

∴F(x)=6lnx－（x2－x），F (x)

6 (2x 3)(x 2)

2x 1=

xx

∵x＞0，由F (x)＞0，解得0＜x＜2；由F (x)＜0，解得x＞2 ∴F(x)在（0,2）上单调递增，在（2，+∞）单调递减，

故F(x)至多有两个零点，其中x1∈（0,2），x2∈（2, +∞） 7分 又F(2)＞F(1)=0，F(3)=6（ln3－1）＞0，F(4)=6（ln4－2）＜0 ∴x0∈（3,4），故n=3 9分

（III）当b a 2时，F(x)=alnx [x (a 2)x]，

2

F (x)

a (2x a)(x 1)

， 2x (a 2)=

xx

由题知F (x)=0在（0，+∞）上有两个不同根x1，x2，则a＜0且a≠－2，此时F (x)=0的两根为－

a

，1， 10分 2

a2a

由题知|－－1|＞1，则+a+1＞1，a2+4a＞0

42

又∵a＜0，∴a＜－4,此时－

a

＞1 2

则F(x)与F (x)随x的变化情况如下表:

∴|F(x1)－F(x)|=F(x)极大值－F(x)极小值=F(－

=aln(―

)―F(1) 2

a12

)+a―1, 11分 24

a1a1

设 (a) aln( ) a2 1，则 (a) ln( ) a 1

2422111111

, (a) ，∵a＜－4，∴＞―，∴ (a) ＞0，

a2a4a2

∴ (a)在（―∞，―4）上是增函数， (a)＜ ( 4) ln2 1 0 从而 (a)在（―∞，―4）上是减函数，∴ (a)> ( 4)=3－4ln2 所以|F(x1)－F(x)|>3－4ln2。

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