金融数学第一章练习试题详解

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金融数学第一章练习题详解 第 1 章 利息度量

1.1 现在投资$600，以单利计息，2 年后可以获得$150 的利息。如果以相同的复利利率投资$2000，试确定在 3 年后的累积值。

600i?2?150?i?12.5 00(1?12.5%)3?2847.65

1.2 在第 1 月末支付 314 元的现值与第 18 月末支付 271 元的现值之和，等于在第 T 月末支付 1004 元的现值。年实际利率为 5% 。求 T。

1004vT/12?314v1/12?271v18/12其中vt?(1?i)?t?(1?5%)?t?1.05?t1.05?T/12?(314?1.05?1/12?271?1.05?18/12)/1004?0.562352

T两边取对数，?ln1.05?ln0.56235212T??ln0.562352/ln1.05?12?141.58

1.3 在零时刻，投资者 A 在其账户存入 X，按每半年复利一次的年名义利率 i 计息。同时，投资者Ｂ在另一个账户存入 2X，按利率 i（单利）来计息。 假设两人在第八年的后六个月中将得到相等的利息，求 i。

iii1A的半年实际利率为，A:X((1?)16?(1?)15)B:2X?i??Xi2222iiX((1?)16?(1?)15)?Xi22iiiii?(1?)16?(1?)15?(1?)15?

2222i(1?)15?22两边取对数i?(21/15?1)?2?0.094588

1.4 一项投资以 δ 的利息力累积，27.72 年后将翻番。金额为 1 的投资以每两年复利一次的名义利率 δ 累积 n 年，累积值将成为 7.04。求 n。

??ln?1?i?a(t)?(1?i)t?e?te27.72??2??ln2/27.72?0.025i0.5??（1?2?)n/2?7.04n?(ln7.04/ln1.05)?2?80 .专业资料.整理分享.

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1.5 如果年名义贴现率为 6%，每四年贴现一次，试确定$100 在两年末的累积值。

100(1?4?6%)?1/4?2?114.71

1.6 如果 i(m)= 0.1844144 ， dm?m(m)= 0.1802608 ，试确定 m。

?im??dm?1?i??1????1??mm?????im??dm??1????1???1m??m???im??dm??1????1???1mm????mm?1?d

im?dmim?dm1???1mm2im?dmmmi?d?mim?dm0.1844144?0.1802608m?m??8mi?d0.1844144?0.1802608

1.7 基金 A 以每月复利一次的名义利率 12 %累积。基金 B 以?t= t / 6 的利息力累积。在零时刻，分别存入 1 到两个基金中。请问何时两个基金的金额将相等。

t?1?12%/12?12tt/6dt2?0?e?et/12两边取对数，12tln1.01?t2/12

t?144?ln1.01?1.43

1.8 基金 A 以 ?t= a+bt 的利息力累积。基金 B 以?t= g+ht 的利息力累积。基金 A 与基金 B 在零时刻和 n 时刻相等。已知 a > g > 0 ， h > b > 0 。求n。

(at?bt(a?bt)dta(t)?e?0?e2(gt?ht(g?ht)dt?0b(t)?e?e2tt12)12)a(0)?b(0),a(n)?b(n)11?an?bn2?gn?hn2222(g?a)?n?b?h

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1.9 在零时刻将 100

支付利息。从 t = 2 开始，利息按照 ?t?为 260。求δ。

1的利息力支付。在 t = 5 时，存款的累积值1?t?指前两年内的年名义贴现率100(1??/4)-4?2?e100(1??/4)-4?2?21?tdt51?260?260

??4?1??260/(100?2)?-1/8?0.1290

1.10 在基金 A 中，资金 1 的累积函数为 t+1，t>0；在基金 B 中，资金 1 的累积函数为1+t2 。请问在何时，两笔资金的利息力相等。

??e(ln6?ln3)??A?12t,?B?t?11?t2

12t2令?A??B???t?2t?1?0?t?2?1?0.412t?11?t2。第三年末支付 300 元的现值与在第六年末支付 600 元的1?t

1.11 已知利息力为?t?现值之和，等于第二年末支付 200 元的现值与在第五年末支付 X元的现值。求 X。

a(t)?e?01?tdtt2?e2ln(1?t)?(1?t)2?a?1(t)?(1?t)?2

300?a?1(3)?600?a?1(6)?200?a?1(2)?X?a?1(5)?X?(300?(1?3)?2?600?(1?6)?2-200?(1?2)-2)/((1?5)?2)?315.82

t3?11.12 已知利息力为?t?。请求a(3)。

100a?1(3)?e??0100dt3t3?e?1/400?(3?0)?e?81/400?e?0.2025?0.8167

4

1.13 资金 A 以 10%的单利累积，资金 B 以 5%的单贴现率累积。请问在何时，两笔资金的利息力相等。

A:a(t)?(1?10%t)?1?0.1t??A?0.11?0.1t0.05

1?0.05tB:a?1(t)?(1?5%t)?1?0.05t?a(t)?(1?0.05t)?1??B?令?A??B?0.10.05??2-0.1t?1?0.1t?t?51?0.1t1?0.05t .专业资料.整理分享.

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1.14 某基金的累积函数为二次多项式，如果向该基金投资 1 年，在上半年的名义利率为 5%（每半年复利一次），全年的实际利率为 7%，试确定?0.5。

设累积函数为a(t)?at2?bt?ca(0)?c?1a(0.5)?0.25a?0.5b?c?1?5%/2a(1)?a?b?c?1?7%?a?0.04,b?0.03,c?1,a(t)?0.04t2?0.03t?10.08t?0.03?0.068290.04t2?0.03t?1t?0.5

?0.5?

1.15 某投资者在时刻零向某基金存入 100，在时刻 3 又存入 X。此基金按利息力

t2?t?累积利息，其中 t > 0。从时刻 3 到时刻 6 得到的全部利息为 X，求 X。

100A(3)?100e?0100dt3t2?X?109.42?X?t2dt31006A(6)?(109.42?X)e?1.8776(109.42?X)

A(6)?A(3)?0.8776(109.42?X)?X?X?784.61

1.16 一位投资者在时刻零投资 1000，按照以下利息力计息：

?0.02t,0?t?3 ?t??0.045,t?3?求前 4 年每季度复利一次的年名义利率。

0.02tdt??0.045dt3a(4)?e?0?e0.09?0.045?1.144534设年名义利率为x,1000(1?x/4)4?4?1000?1.1445

1/16?x?4?(1.1445?1)?0.0339?3.39%

1.17 已知每半年复利一次的年名义利率为 7.5%，求下列两项的和：(1)利息力；(2)每季度贴现一次的年名义贴现率。

a(t)?(1?7.5%/2)2t?t?ln(1?7.5%/2)2?0.07363设名义贴现率为x,(1?x/4)?4t?(1?7.5%/2)2t ?x?4?(1-(1?7.5%/2)2?(?1/4))?0.07295?t?x?0.14658 .专业资料.整理分享.

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注：个人认为，求这两个数的和并没有实际意义

?kt,0?t?5?1.18 假设利息力为?t??12，期初存入单位 1 在第 10 年末将会累积到

kt,5?t?10??252.7183。试求 k。

a(t)?e

?0ktdt??551012ktdt25?e251k?k(1000?125)275?e24.1667k?2.7183

?k?0.04141.19 已知利息力为?t?息是 8。试求 n。

1，一笔金额为 1 的投资从 t=0 开始的前 n 年赚取的总利2?ta(t)?e?02?tdtt1?eln(2?t)?ln2?1?a(n)?1?1?n?1?8?n?162t2

1.20 1996 年 1 月 1 日，某投资者向一个基金存入 1000，该基金在 t 时刻的利息力为 0.1(t-1)2 ，求 1998 年 1 月 1 日的累积值。

0.1(t?1)A?1000e?022dt?1000e0.06667?1068.94

1.21 投资者 A 今天在一项基金中存入 10，5 年后存入 30，已知此项基金按单利 11%计息；投资者 B 将进行同样数额的两笔存款，但是在 n 年后存入 10， 在 2n 年后存入 30，已知此项基金按复利 9.15%计息。在第 10 年末，两基金的累积值相等。求 n。

A:10(1?11%?10)?30(1?11%?5)?67.5B:10(1?9.15%)10?n?30(1?9.15%)10?2n?10(1?9.15%)10?n?30(1?9.15%)10?2n?67.5令t?1.0915?n,即n??lnt/ln1.0915101010?1.0915?t?30?1.0915?t2?67.5

1010210?10?1.0915?(10?1.0915)?4?30?1.0915?(?67.5)t??0.8017102?30?1.0915101.0915?2.40014n??ln0.8017/ln1.0915?2.5244注：不知道为什么，笔者算出来的答案恰好是参考答案的两倍，将2.5244带进去右边=66,将1.262代进去，右边=80,由此可得2.5244接近真实结果

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1.22 已知利息力为?t?2，2 ≤ t ≤10 。请计算在此时间区间的任意一年内，与相t?1应利息力等价的每半年贴现一次的年名义贴现率。

a(n)?a(2)?e?2t?1dtn2?a(2)?(n?1)2

a(n)?a(n?1)(n?1)2?(n?2)2dn??a(n)(n?1)2(1?d(2)/2)?1?dn(n?2)2)?(n?1)(n?1)2d(2)?2?(1?(1?dn)1/2)?2?(1?很明显，按照作业成本法下模型所核算出的菜品成本与传统成本法核算出的菜品成本不同。根据模型所核算出的菜品成本包括了根据资源动因、作业动因分配而来的职工薪酬、广告宣传费、维护折旧费、能源通讯费、清洁保管费等间接费用，而传统成本法核算出的菜品成本仅包括了模型中所提到的直接成本费用。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/rszv.html