排列 组合 二项式定理专项训练

第四章 排列 组合 二项式定理专项训练

排列

【例题精选】：

例1 一道习题有两种解法，有3人会用第一种方法解，7人会用第二种方法解，教师从中选一个人板演该题，共有多少种选法？ 解：根据加法原理， 共有3+7=10（种）

答：共有10种选法。

例2 若在第一象限的个数是 。

分析：点在第一象限应满足所以，从1，2，?，

10任选一个作为横坐标x，再从1，2，?10中任选一个作为纵坐标y。根据乘法原理，这样的点P(x,y)共有10×10=100个。

答案：100（个）

例3 某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血有28人，A型血有7人，B型血有9人，AB型血有3人。 （1）从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？ （2）从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？ 解：从O型血中的人选1人有28种不同的选法，从A型血中的人选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法。 （1）任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，这件“任送1人去献血”的事情就已完成，所以用加法原理，共有 28+7+9+3=47（种）不同的选法。 （2）要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情（或称事件）才完成。所以是分步完成，用乘法原理，共有 28×7×9×3=5292（种）不同的选法。

小结：此类应用题同学们要明确?分清“事件”怎么叫这件事是完成了。?

这件事是分“类”完成的还是分“步”完成的。分“类”完成用加法原理，分“步”完成用乘法原理，即分清“类”、“步”。

例4 3名教师去某年级的六个班听课，有多少种不同的分法？ 解：3名教师分到六个班听课，由于未限定每个班去几名教师，所以3名教师谁听哪个班课都行，每名教师都可以去六个班中的任意一个，即每名教师各有6种不同的入班方法，3名教师都去班上听课后，这件事就是完成了，根据乘法原理，共有 6×6×6=216（种）不同的分法。

例5 六个同学站成一排练队，其中有个新同学，不站排头，也不站排尾，问有多少种排法？ 解法一：既然这新同学不站排头也不站排尾，他可站在第二个位置上共有P55种，也可站在第三个位置也有P55，站在第四个位置也有P55，站在第五个位置也有P55，根据加法原理，共有P55+ P55+ P55+ P55=480（种）不同的排法。 解法二：第一步排新同学，新同学可以在二、三、四、五这四个位置上任选一种站在一个位置上有P41种，第二步新同学站好后，其余5个同学的站法有P55种，根据乘法原理，共有 P41·P55=480（种） 解法三：六个同学全排列的种类P66减去不合理的条件种类2 P55，即 P66－2 P55=480（种） 解法四：既然这新同学不站排头也不站排尾，可以让其他5名同学中任选2人去站排头和排尾，第二步再去排其余4名同学（含新同学）根据乘法原理，共有P52·P44=480（种）不同的排法。

例6 五个不同的元素a、b、c、d、e每次全取作排列。 （1）a、e必须排列在首位或末位，有多少种排法？ （2）a不在首位，e不在末位，有多少种排法？ （3）a、e排在一起，有多少种排法？

（4）a、e不相邻有多少种排法？ （5）a在e的左边（可不相邻）有多少种排法。 解：（1）分两步完成，把a、e排在首末两端有P22种，再把其余3个元素排在中间3个位置上有P33种，根据乘法原理共有P22·P33=12（种） （2）直接法：以a为标准把符合条件的排列分作两类：?a排在末位的有P44种；?a不排在首末两位，且e不排在末位有P31 P31 P33种。符合条件的排列有： P44+ P31 P31 P33=78（种）

间接法：

无限制条件的全排列数为P55种减去a××××的P44种，减去××××e的P44种，加上a×××e的P33种，则： P55－2 P44+ P33=78（种） 注意：不加P33是典型错误，请注意避免。 （3）a、e排在一起，可将a、e作为一个元素与其它三个元素全排列有P44种，a、e两个元素的排列有P22种，由乘法原理得： P44·P22=48（种） （4）a、e以外的三个元素的排列有P33种，要满足a、e不相邻，只能将a、e排在上述三个元素排定后形成的四个空档中，排法有P42种。根据乘法原理有：P33·P42=72（种）由于是两个元素不相邻问题，可用间接法得：

P55－P44 P22=72（种） （5）五个元素的全排列总数有P55种，要求a在e的左边（可不相邻）即a，e有序，而a、e间的排列数是P22，所满足条件的排列数为： P55÷P22=60（种）

例7 要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法？ 解：6个歌唱节目的全排列是P66种，把舞蹈节目排在6个歌唱节目排列后形成的7个空档的4个上有P74种，根据乘法原理有：

P66·P74=604800（种）不同的排法。

例8 用1，2，3，4，5这5个数字可以组成比20000大，并且百位不是3的没有重复数字的5位数，共有 A．96个 B．78个 C．72个 D．64个 解：这件事可分两类完成，第一类：3排在万位有P44种；第二类：2、4、5排在万位且3不排在百位，有3(P44－P33)（或3 P31 P33）种，根据加法原理，共有P44+3(P44－P33)=78（个） 或P44+3 P31 P33=78（个） 答案：选B。

例9 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有 A．6种 B．9种 C．11种 D．23种 解：可分三类完成这件事，第一类将1填在第2个方格里，有2，1，4，3；3，1，4，2；4，1，2，3共3种填法。第二类将1填在第3个方格里，有2，4，1，3；3，4，1，2；4，3，1，2共3种填法。第三类将1填在第4个方格里，有2，3，4，1；3，4，2，1；4，3，2，1共3种填法。根据加法原理共有9种

填法。

答案：选B。

例10 计算：

2P7?P6（1）P （2） ?9P?8P10986!?5!1098解： （1）P?9P?8P1098

109856?10P9?9P9?8P8?P9?8P8

8988998?9P8?8P8?P88

?8!?40320562P7?P67!?6!(7?6?6)?5!36 （2）???6!?5!6!?5!(6?1)?5!7小结：较大的阶乘数是较小阶乘数的倍数，如n!?n(n?1)(n?2)!等，解题时

常用到这一性质。

【专项训练】：（45分钟）

一、选择题：

1、A、B、C、D、E五个人站成一排，如果B必须站在A的右边（A、B可以不相邻），那么不同的排法共有 A．24种 B．60种 C．90种 D．120种

2、用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 A．24个 B．30个 C．40个 D．60个

3、6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有 A．720种 B．360种 C．240种 D．120种

4、计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么陈列方式有 A．P54 P55种 B．P33 P44 P55种 C．C31 P44 P55种 D．P22 P44 P55种

5、由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的5位数，其小于50000的偶数共

有

A．60个

B．48个

C．36个

D．24个

6、要排一张5个独唱节目和3个合唱节目的演出节目表，如果合唱节目不排头，并且任何两个合唱节目不相邻，则不同的排法的种数是 A．P55 B．P55 P33 C．P55 P83 D．P55 P53

7、用0，1，2，3，4排成无重复数字的五位数，要求奇数字相邻，偶数字也相邻，这样五位数的个数是 A．20 B．24 C．32 D．36

8、5位高中毕业生，准备报考三所高校，每人报且仅报一所，不同的报名方法共有 A．35种 B．53种 C．P53种 D．C53种

二、填空题：

9、10个座位，5个人去坐，每人坐一个座位的不同坐法是 10、由1，2，3，4，5能组成 11、由1，2，3，4，5能组成 个没有重复数字的自然数。 个没有重复数字的三位偶数。

。

12、3个人坐在一排9个座位上，每人左、右两边都有空位子，这样的排法 种。

13、将5名学生分配到4个不同的科技小组，每组至少1人的分配方案有 种。

14、从1，2，5，7，8，9中取出四个不同的数，排成四位数，在这些四位

个。

数中从小到大排列，则1987是第

15、有8本互不相同的书，其中数学书3本，外文书2本，其它书3本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有 种。

【答 案】：

1、由于A在B的左边与A在B的右边的排法数相同，所以满足条件的排法

1有 P55=60（种）。故选B。又解：由于限制“B必须在A的右边（A、B可以2不相邻）”，先让A站好，再排B与其它人，设从左往右共有1，2，3，4，5五个位置，A依次站1，2，3，4号位时，符合题意的排法分别有P44，P31 P33、P21 P33、P33种，根据加法原理，不同的排法共有 P44+ P31 P33+ P21 P33+P33=60（种） 2、先排个位数字，有P21种排法，再排十位和百位数字，有P42种排法，所

以共有三位偶数，依乘法原理，P42 P21=24（个），故选A。 3、把甲、乙看作一个整体与其余4人共5个元素全排列P55=120（种），然后第2步在甲、乙之间再排列有P22=2（种），根据乘法原理，共有 P55·P22=120×2=240（种），故选C。 4、依题意水彩画只能放在中间，因此陈列方式有P44 P55 P22种，故选D。 5、分三步完成，第一步将2、4选其一排在个位，第二步将2、4选剩下的一个与1，3选一个排在万位，第三步剩下的3个数字排中间，共有P21 P31 P33=36（个），故选C。 6、先排独唱节目，再让合唱节目不在排头插5个空档，有P55·P53（种）故选D。

7、奇数排前面有P22 P33种，偶数排前面，注意0不在排头有P21 P22 P22种，共有 P22 P33+ P21 P22 P22=12+8=20（种），故选A。 8、每位高中毕业生都有3种报名方法，故有35，应选A。

二、 9、以人当“位子”，座位当“元素”，从10个元素中，每次取5个元素的一种排列对应了一种坐法，因此有P105=30240（种），也可用乘法原理，5个人依次坐这10个位子有：10×9×8×7×6=30240（种） 10、P51+ P52+ P53+ P54+ P55=325 11、P21·P42=24 12、先去掉3个座位。让3个人插剩下6个座位形成的除左、右两端以外的5个空档中，有P53=60种。再让3人搬来座位。 13、先把5名中的2名捆为一体，再与四小组一一对应，共C52 P44=240（种） 14、12××，15××，17××，18××的数有P41 P42=48个，192×，195×，197×的数有P31 P31=9个，依次排1982，1985，1987，故1987是第60个。 15、把3本数学书捆起，把两本外文书捆起，连同其它三本书共5个元素任意排布，共P33·P22·P55=1440（种）

【答 案】：

1、由于A在B的左边与A在B的右边的排法数相同，所以满足条件的排法

1有 P55=60（种）。故选B。又解：由于限制“B必须在A的右边（A、B可以2不相邻）”，先让A站好，再排B与其它人，设从左往右共有1，2，3，4，5五个位置，A依次站1，2，3，4号位时，符合题意的排法分别有P44，P31 P33、P21 P33、P33种，根据加法原理，不同的排法共有 P44+ P31 P33+ P21 P33+P33=60（种） 2、先排个位数字，有P21种排法，再排十位和百位数字，有P42种排法，所

以共有三位偶数，依乘法原理，P42 P21=24（个），故选A。 3、把甲、乙看作一个整体与其余4人共5个元素全排列P55=120（种），然后第2步在甲、乙之间再排列有P22=2（种），根据乘法原理，共有 P55·P22=120×2=240（种），故选C。 4、依题意水彩画只能放在中间，因此陈列方式有P44 P55 P22种，故选D。 5、分三步完成，第一步将2、4选其一排在个位，第二步将2、4选剩下的一个与1，3选一个排在万位，第三步剩下的3个数字排中间，共有P21 P31 P33=36（个），故选C。 6、先排独唱节目，再让合唱节目不在排头插5个空档，有P55·P53（种）故选D。

7、奇数排前面有P22 P33种，偶数排前面，注意0不在排头有P21 P22 P22种，共有 P22 P33+ P21 P22 P22=12+8=20（种），故选A。 8、每位高中毕业生都有3种报名方法，故有35，应选A。

二、 9、以人当“位子”，座位当“元素”，从10个元素中，每次取5个元素的一种排列对应了一种坐法，因此有P105=30240（种），也可用乘法原理，5个人依次坐这10个位子有：10×9×8×7×6=30240（种） 10、P51+ P52+ P53+ P54+ P55=325 11、P21·P42=24 12、先去掉3个座位。让3个人插剩下6个座位形成的除左、右两端以外的5个空档中，有P53=60种。再让3人搬来座位。 13、先把5名中的2名捆为一体，再与四小组一一对应，共C52 P44=240（种） 14、12××，15××，17××，18××的数有P41 P42=48个，192×，195×，197×的数有P31 P31=9个，依次排1982，1985，1987，故1987是第60个。 15、把3本数学书捆起，把两本外文书捆起，连同其它三本书共5个元素任意排布，共P33·P22·P55=1440（种）

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