运筹学习题集

《运筹学》精品课程

习 题 集

二○○六年六月三十日

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目 录

第一章 线性规划 ................................................................................ 1 第二章 运输问题 ................................................................................ 9 第三章 整数规划 .............................................................................. 14 第四章 目标规划 .............................................................................. 20 第五章 动态规划 .............................................................................. 21 第六章 图与网络分析 ...................................................................... 24 第七章 存储论................................................................................... 27 第八章 对策论................................................................................... 28

1

第一章 线性规划

1、将下列线性规划问题化为标准型

(1) max Z = 3x1+ 5x2- 4x3+ 2x4

?2x1? 6x2- x3? 3x4 ? 18??x1- 3x2? 2x3- 2x4 ? 13 s.t.??-x1? 4x2- 3x3- 5x4 ? 9? x1, x2, x4 ? 0? (2) min f = 3x1+ x2+ 4x3+ 2x4 ≤ 1

? 2x1? 3x2- x3- 2x4 ? -51?? 3x1- 2x2? 2x3- x4 ? -7 s.t.?? 2x1? 4x2- 3x3? 2x4 ? 15? x1 , x2? 0, x4 ? 0?(3) min F=x1+x2+x3+x4

?x1?x4??x1?x2???s.t.?x2?x2??x3?x4????x1,x2,x3,5687x4?0

(4) minF?x1?3x2?x3

?x1+x2+x3?3??-x1+2x2?2 s.t.??-x1+5x2+x3?4?x1,x2,x3?0?2、求出下列不等式组所定义的多面体的所有基本解和基本可行解（极点）：

?2x1? 3x2? 3x3? 6??-2x1? 3x2? 4x3? 12?x1,x2,x3? 0?

３、用图解法求解下列线性规划问题

(1)maxZ?X1?X2?2x1- x2? 6??3x1+ 2x2?12s.t.??x1? 3?x1,x2?0?

1

(2)minZ??x1?3x2?4x1? 7x2? 56?s.t.?3x1- 5x2? 15?x1,x2? 0?

４、在以下问题中，列出所有的基，指出其中的可行基，基础可行解以及最优解。

maxZ?2x1?x2?x3?x1? x2?2x3?6 s.t.??x1?4x2-x3?4??x1,x2,x3?0maxZ?X1?X2?3x1+2x2?13?s.t.?x2+3x3?17 ??2x1+x2+x3=13??x1,x2,x3?05、用单纯形法求解以下线性规划问题

(1)maxZ?3x1?2x2?2x1- 3x2? 3s.t.?

?-x1? x2? 5??x1,x2?0(2)maxZ?x2?2x3?x1? 3x2? 4x3? 12s.t.? ?2x2- x3? 12??x1,x2,x3? 0 （３） max z = x1 +2 x2 +3 x3

x1 + 2x2 + 3x3≤8

s.t. 4x1 + 5x3≤12 x1，x2 ，x3 ≥0

（４） max z = 3x1 + x2

x1 + x2 ≤4

s.t.

－x1 + x2 ≤2 6x1 + 2x2≤18

x１ ，x2 ≥0

（５） max z = 5x1 + 2 x2 + 4 x3

2

s.t.

3 x1 + x2 + 2 x3 ≤ 4 6 x1 + 3 x2 + 5 x3 ≤ 10 x1，x2，x3 ≥ 0

６、试用大M法或两阶段求下述线性规划问题的最优解和最优值

（３） max z = 3x1 – 3 x2 x1 + x2 ≥1

2x1 + 3x2 ≤6

x1，x2 ≥0

（4）maxz?2x1?x2?2x3

?x1?x2?x3?6???2x1?x3?2s.t.??2x2?x3?0?x,x,x?023?1

7、写出下列问题的对偶规划

maxZ?2x1?2x2minf??x1?2x2?x3??x1?x2?x3?2?2x1?x2?x3??4（3）s.t.? （4）??2x?x?x?1s.t.?x1?2x2?6?123?x,x,x?0?x,x,x?0?123?123

8、试用对偶理论讨论下列原问题与它们的对偶问题是否有最优解

3

9、考虑如下线性规划

（1）写出对偶规划。

（2）用单纯形法解对偶规划，并在最优表中给出原规划的最优解。 （3）说明这样做比直接求解原规划的好处。 10、用对偶单纯形方法，求解下面问题

minf?5x1?2x2?4x3maxZ??x1?2x2?3x3?2x1?x2?x3?43x?x?2x?4?123?（1）? （2）?x1?x2?2x3?8s.t.?s.t.?6x1?3x2?5x3?10?x2?x3?2?x,x,x?0?123?x,x,x?0?123

maxZ?2x1?2x2minf??x1?2x2?x3??x1?x2?x3?2?2x1?x2?x3??4.（3）s。t? （4）?

?2x?x?x?1s.t.x?2x?6??11232?x,x,x?0?x,x,x?0?123?12311、某工厂生产过程中需要长度为 3.1 米、2.5 米和 1.7 米的同种棒料毛坯分别为 200 根、100 根和 300 根。现有的原料为 9 米长棒材，问如何下料可使废料最少？

12、某企业生产3种产品甲、乙、丙，产品所需的主要原料有A、B两种，原料A每单位分别可生产产品甲、乙、丙底座12、18、16个；产品甲、乙、丙每个需要原料B分别为13kg、8kg、10kg，设备生产用时分别为10.5、12.5、8台时，每个产品的利润分别为1450元、1650元、1300元。按月计划，可提供的原料A为20单位，原料B350kg，设备月正常的工作时间为3000台时。建立实现总利润最高的数学模型(不需要计算结果)。

13、一动物园为动物调配食谱，设每只动物平均每天至少需700克蛋白质、30克矿物质、100毫克维生素，现有五种食物可供选用，各种食物每千克营养成分含量及单价如下表所示：

4

食 物 1 2 3 4 5 蛋白质（克） 3 2 1 6 18 矿物质（克） 1 0.5 0.2 2 0.5 维生素（毫克） 单价（元/千克） 0.5 1 0.2 2 0.8 0.2 0.7 0.4 0.3 0.8

要求确定既满足动物的营养需求，又使费用最省的食谱方案。

14、某工厂生产甲、乙、丙三种产品，单位产品所需工时分别为2、3、1个工时；单位产品所需原材料分别为3、1、5公斤；单位产品利润分别为2元、3元、5元。工厂每天可利用的工时为12个，可供应的原材料为15公斤。

试确定使总利润为最大的日生产计划和最大利润。

若由于原材料涨价，使得产品丙的单位利润比原来减少了2元，问原来的最优生产计划变否？若不变，说明为什么；若变，请求出新的最优生产计划和最优利润。

在保持现行最优基不变的情况下，若要增加一种资源量，应首先考虑增加哪种资源？为什么？单位资源增量所支付的费用是多少才合算？为什么？ 15、考虑下面线性规划

maxZ?2x1?3x2?2x1?2x2?x3?12??x1?2x2?x4?8 ?s.t.?4x1?x5?16?4x?x?126?2??xj?0,j?1,2,?,6

其最优单纯形表为：

基变量 x3 0 4 4 2 -14 x1 x2 x3 x4 x5 x6 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 -1 0 -2 1/2 -3/2 -1/4 1/4 1/2 -1/8 -1/8 0 0 1 0 0 x1 x6 x2 ?j 试分析如下问题

（1）分别对c1,c2进行灵敏度分析，并求最优解、求最优值、最优基B及逆阵 （2）对b3进行灵敏度分析。 （3）当c2?5时，求新最优解。

5

（4）当b3?4时，求新最优解。

（5）增加一个约束2x1?2.4x2?12，问对最优解有何影响？ （6）确定保持当前最优解不变的P1的范围。

16、考虑下列线性规划：

Max Z(x) = 3x1 + 5x2 + x3

4x1 + 2x2 + x3 ≤ 14 S.t. x + x+ x ≤ 4

1

2

3

x1 , x2 , x3 ≥ 0

其最优单纯形表为：

CB 0 5 -Z

XB X4 X2 b' 6 4 3 X1 2 1 5 X2 1 X3 0 X4 0 X5 -2 1 填写出此线性规划最优单纯形表中空格处的数值，并求：

1)、写出此线性规划的最优解、最优值、最优基 B 和它的逆 B-1 ； 2)、求此线性规划的影子价格？

3)、试求 c2 在什么范围内，此线性规划的最优解不变；

17、已知某工厂计划生产 三种产品，各产品需要在甲、乙、丙设备上加工。有关数据如下

试问：

（1）如何充分发挥设备能力，使工厂获利最大； （2）若为了增加产量，可借用别的工厂的设备甲，每月可借用60台时，租金1.8万元，问是否合算？

（3）若另有两种新产品 ，其中每件 需用设备甲12台时、乙5台时、丙10台时，每件获利2.1千元；每件 需用设备甲4台时、乙4台时、丙12台时，每件获利1.87千元。如 设备甲 的设备台时不增加，分别回答这两种新产品投产是否合算？

（4）增加设备乙的台时是否可使企业总利润进一步增加？ 18、考虑下列线性规划：

Max Z(x) = -5x1 + 5x2 + 13x3

- x1 + x2 + 3x3 ≤ 20 S.t. 12x1 + 4x2 + 10x3 ≤ 90 x1 , x2 , x3 ≥ 0 最优单纯形表为：

6

XB X2 X5 -Z

（1）写出此线性规划的最优解、最优基 B 和它的逆 B-1 ； （2）求此线性规划的对偶问题的最优解；

（3）试求 c2 在什么范围内，此线性规划的最优解不变； （4）若 b1 = 20 变为 45，最优解及最优值是什么？

19、某工厂生产Ａ、Ｂ两种产品，其所消耗工时、所需某种原料及利润如下表：

b' 20 10 -100 X1 -1 16 0 X2 1 0 0 X3 3 -2 2 X4 1 -4 5 X5 0 1 0 A B 消耗工时 (小时/单位) 6 10 所需原料(kg/单位) 12 5 利润 (元/单位) 500 800

生产线每月正常工作时间为 180 小时，原料的总供应量限制为 240kg。应如何确定生产计划，可使总利润最大？当每月正常工作时间为 230 小时，原料的总供应量限制为 270kg，总利润最大值为多少？并求此时两种资源的影子价格。

20、城市规划部门对扩建城区的工业区和生活区的比例进行规划，每公顷工业区和生活区所耗费的资源及其对本市的贡献如下表所示：

资 源 水 电 煤气 对本市 的贡献

试确定对本市贡献最大的规划方案。

若将电力约束改为工业区50，生活区40，在课件上验证规划方案如何变化。 若将电力约束改为工业区65，生活区45，在课件上验证规划方案如何变化。

若为配合电网负载分布，扩建城区电力消耗必须不低于8000千度，在课件上验证规划方案如何变化。

若去掉水电约束，在课件上验证规划方案如何变化。 21、 对某厂I、II、III三种产品下一年各季度的合同预订数如表—3所示。

表—3 产 品 I II III 季 度 1 1500 1500 1000 2 1000 1500 2000 7

工业区（公顷） 生活区（公顷） 5 55 ── 100 3 45 5 80 现有资源 450（千吨） 5000（千度） 600（千立方） 3 2000 1200 1500 4 1200 1500 2500

该三种产品1季度初无库存，要求在4季度末各库存150件。已知该厂每季度生产工时为15000小时，生产I、II、III产品每件分别需要2、4、3小时。因更换工艺装备，产品I在2季度无法生产。规定当产品不能按期交货时，产品I、II每件每迟交一个季度赔偿20元，产品III赔10元；又生产出来产品不在本季度交货的，每件每季度的库存费用为5元。问该厂应如何安排生产，使总的赔偿加库存的费用为最小。（要求建立模型，不需要求解）

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第二章 运输问题

1、有甲、乙、丙三个城市，每年分别需要煤炭320、250、350万吨，由A、B两个煤矿负责供应。已知煤矿年产量A为400万吨，B为450万吨，从两煤矿至各城市煤炭运价如下表所示（万元/万吨）。由于需求大于产量，经协商平衡，甲城市必要时可少供0-30万吨，乙城市需求量须全部满足，丙城市需求量不少于270万吨。试求将A、B两矿煤炭全部分配出去，满足上述条件又使总运费为最低的调运方案。（建立线性规划模型）

A B 甲 15 21 乙 18 25 丙 22 16 2、某厂考虑安排某件产品在今后 4 个月的生产计划，已知各月工厂的情况如下表所示

计划月 项目 单件生产成本 每月需求量 正常生产能力 加班能力 加班单件成本 库存费用 第一月 第二月 10 400 700 0 15 3 12 800 700 200 17 3 第三月 14 900 700 200 19 3 第四月 16 600 700 0 21 3

试建立运输问题模型，求使总成本最少。

3、某公司生产某种产品有三个产地A1、A2、A3 ，要把产品运送到四个销售点B1、B2、B3、B4 去销售。各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每吨产品的运费（百元）如下表所示。

问应如何调运，可使得总运输费最小?

（1）分别用西北角法和最小元素法求初始基本可行解；

（2）在上面最小元素法求得的初始基本可行解基础上，用两种方法求出个非基变量的检验数；

（3）进一步求解这个问题。

4、用表上作业法求解下列运输问题:

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5、光明仪器厂生产电脑绣花机是以产定销的。已知1至6月份各月的生产能力、合同销量和单台电脑绣花机平均生产费用如下表所示。

已知上年末库存103台绣花机，如果当月生产出来的机器当月不交货，则需要运到分厂库房，每台增加运输成本 0.1 万元,每台机器每月的平均仓储费、维护费为 0.2 万元。在7--8月份销售淡季，全厂停产 1 个月，因此在6月份完成销售合同后还要留出库存80台。加班生产机器每台增加成本1万元。问应如何安排1--6月份的生产，可使总的生产费用（包括运输、仓储、维护）最少？

6、已知某运输问题如下（单位：百元/吨）：

单位运价 销地 产地 B1 3 5 9 16 B2 7 8 4 12 B3 2 10 5 17 供应量（吨） 18 12 15 A1 A2 A3 需求量（吨）

求：（1）使总运费最小的调运方案和最小运费。

（2）该问题是否有多个最优调运方案？若没有，说明为什么；

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若有，请再求出一个最优调运方案来。

7、已知某运输问题如下（单位：百元/吨）：

单位运价 销地 产地 B1 2 10 7 4 B2 2 8 6 3 B3 2 5 6 4 B4 1 4 8 4 供应量（吨） 3 6 6 A1 A2 A3 需求量（吨）

求：（1）使总运费最小的调运方案和最小运费。

（2）请以该问题的初始调运方案为例，说明非基变量检验数的经济含义。

8、表—5所示的运输问题中，若产地i有一个单位物资未运出，则将发生存储费用。假定1、2、3产地单位物资的存储费用分别为5、4和3。又假定产地2的物资至少运出38个单位，产地3的物资至少运出27个单位，试求解此运输问题的最优解。

表—5 销 地 产 地 1 2 3 销 量

9、某高校拟开设文学、艺术、音乐、美术四个学术讲座。每个讲座每周下午举行一次。经调查知，每周星期一至星期五不能出席某一讲座的学生数如下表：

文学 艺术 音乐 美术 一 50 40 40 20 二 40 30 30 30 三 60 20 30 20 四 30 30 20 30 五 10 20 10 30 A 1 1 2 30 B 2 4 3 20 C 2 5 3 20 产 量 20 40 30

问：应如何安排一周的讲座日程，使不能出席讲座的学生总数最少，并计算不能出席讲座的学生总数。

10、某拖拉机厂与农机供销站签订了一项生产100台某型小型拖拉机的合同。按合同规定，该厂要在今后4个月内的每月内各交付一定台数的拖拉机。为此，该厂生产计划科根据本厂实际情况列出了一个生产高度数据表（见下表）。若生产出来的拖拉机每存储一月需费用100元/台，则该厂应如何制定最经济的生产进度？

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月 份 1 2 3 4 合 计

11、某公司下属的3个分厂A1、A2、A3生产质量相同的工艺品，要运输到B1、B2、B3、B4 ，4个销售点，分厂产量、销售点销量、单位物品的运费数据如下：

合同规定交付台数 15 25 35 25 100 生产能力（台） 30 35 45 20 130 生产能力（台） 50 52 51 53 A1 A2 A3 销量bj

B1 23 18 22 23 B2 11 16 15 16 B3 20 17 12 25 B4 15 14 13 19 产量ai 37 34 29 求最优运输方案。

12、.某软件公司一部门下属八个项目组，涉及机械CAD、金融、保险、电信等多个领域，在2001年下半年，根据客户与公司签订的合同，客户对此部门的需求如（表1）所列： 表1 项目名称 客户需求（人月） 三维CAD 二维CAD CAM 财务会保险 病名检 电子 电子 计系统 系统 索系统 商务 报税 180 180 160 200 180 140 160 100 而各项目组现有人员及折合人月数如（表2）所列： 表2 项目组名称 项目组人数 折合人月数(半年) 三维CAD 18 108 二维CAD 24 144 CAM 12 72 财务会保险系计系统 统 37 222 28 168 病名检电子商索系统 务 21 126 42 252 电子报税 32 192

很明显，现有人力资源配置结构与用户需求并不能很好匹配。如按现有项目组的人员配置，有的项目组即使加班加点也无法满足用户需求，而另一些项目组人员则有很大一部分闲置。因此，必须对各个项目组的人员进行调整。但由于各个项目业务领域间的差异，从一个项目组调到另一个项目组的人员并不能马上投入软件开发，而必须进行一段时间的研修，使其业务水平考核合格，才能得到客户的认可。根据以往的经验和各个项目业务领域间的关联性，可列出程序员从一个项目组到另一个项目组的平均研修时间如（表3）所列：

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表3 调入 调出 三维CAD 二维CAD CAM 财务会计系统 保险系统 病名检索系统 电子商务 电子报税

如何合理配置这些人员，使其需要的研修时间减至最少，从而最大限度地满足客户的需求，产出最大的效益。试用运输模型解此问题。

三维CAD 0 3.5 1.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 二维CAD 1 0 1 2 2 2 2 2 CAM 1.5 3.5 0 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 财务会保险系计系统 统 1.5 1.5 1.5 0 1.5 1.5 1.5 1 1 1 1 1 0 1 1 1 病名检电子商索系统 务 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 0 1.5 1.5 1 1 1 1 1 1 0 1 电子报税 1.5 1.5 1.5 1 1.5 1.5 1.5 0 13

定总花费时间为最少的指派方案。 表—7 任 务 人 甲 乙 丙 丁

A 25 39 34 24 B 29 38 27 42 C 31 26 28 36 D 42 20 40 23 E 37 33 32 45 19

第四章 目标规划

1、某彩色电视机组装工厂，生产A，B，C三种规格电视机。装配工作在同一生产线上完成，三种产品装配时的工时消耗分别为6小时，8小时和10小时。生产线每月正常工作时间为200小时；三种规格电视机销售后，每台可获利分别为500元，650元和800元。每月销量预计为12台、10台、6台。该厂经营目标如下： p1：利润指标定为每月1.6 ? 104元； p2：充分利用生产能力；

p3：加班时间不超过24小时； p4：产量以预计销量为标准。

为确定生产计划，试建立该问题的目标规划的数学模型。

2、友谊农场有3万亩农田，今欲种植玉米、大豆和小麦等三种农作物。各种农作物每亩需施化肥分别为0.12吨、0.20吨和0.15吨。预计秋后玉米每亩可收获500千克，售价为0.24元/千克，大豆每亩可收获200千克，售价为1.20元/千克，小麦每亩可收获300千克，售价为0.70元/千克 。农场年初规划时依目标重要性顺序考虑如下几个方面： 年终总收益不低于350万元，赋予优先权P1 ； 年总产量不低于1.25万吨，赋予优先权P2 ； 小麦产量以0.5万吨为宜，赋予优先权P3 ； 大豆产量不少于0.2万吨，赋予优先权P4 ； 玉米产量不超过0.6万吨，赋予优先权P5 ；

农场现能提供5000吨化肥，若不够，可在市场上高价购买，但希望高价采购量愈少愈好；赋予优先权P6 。

试就该农场年生产计划建立目标规划的数学模型

3、一个小型无线电广播电台考虑如何最好地来安排音乐、新闻和商业节目时间。依据法律，该台每天允许广播12小时，其中商业节目用以赢利，每分钟可收入250美元，新闻节目每分钟需支出40美元，音乐节目每播一分钟费用为17.50美元。法律规定，正常情况下商业节目只能占广播时间的20%，每小时至少安排5分钟新闻节目。问每天的广播节目该如何安排？优先级如下：

p1:满足法律规定要求； p2:每天的纯收入最大。

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第五章 动态规划

1、设某工厂自国外进口一部精密机床，由制造厂家至出口港有三个港口可供选择，而进口港又有三个可供选择，进口后可以经由两个城市到达目的地，其间的运输成本如下图中各线段旁数字所示，试求运费最低的路线。

2、某厂有100台机床，能够加工两种零件，要安排下面4个月的任务，根据以往经验，知

道这些机床用来加工第一种零件，一个月以后损坏率为1／3。而在加工第二种零件时，一

个月后损坏率为1／10，又知道，机床加工第一种零件时一个月的收益为10万美元，

加工第二种零件时每个月的收益为7万美元。现在要安排四个月的任务，试问，怎样分配机器的任务，能使总收益为最大？

3、某公司有4名营业员要分配到三个销售点去，如果m个营业员分配到第M个销售点时，每月所得利润如下表所示。试问：该公司应该如何分配这4位

利润表 单位：每月千元 0 1 2 3 1 16 12 10 2 25 17 14 3 30 21 16 4 32 22 17 0 0 0

营业员，从而使其所获利润最大？

4、某厂新买了一间25平方米的房屋作生产车间，有四种机床可以放置于此安排生产，各机床占地面积各不相同(见下表)。此外，根据统计经验各种机床各台的收益情况估计如下：为了获得最大收益，各种机床各放置几台为最好？

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各机床占地面积表 机床 每台占地 （米） A B C D ２每台收益（元／天） 第一台 １０ ９ １１ ８ 第二台 ７ ９ １０ ６ 第三台 ４ ８ ９ ４ 第四台 １ ８ ８ ２ ４ ５ ６ ３ 5、某厂根据上级主管部门的指令性计划，要求其下一年度的第一二季六个月交货任务如下表所示：表中数字为月底交货量。

交货任务表 月份 交货量（百件） 1 1 2 2 3 5 4 3 5 2 6 1 该厂的生产能力为每月400件，仓库的存贮能力为每月300件，已知，每百件产品的生产费用为1000元，在进行生产的月份，工厂要支出经常费用4000元，仓库保管费为每百件每月1000元，设年初及6月底交货后无库存，试问，该厂应该如何决策(即每个月各生产多少件产品)，才能既满足交货任务，又使总费用为最?

6、某制造厂收到一种装有电子控制部件的机械产品的订货，制定了一个以后5个月的生产计划，除了其中的电子部件需要外购，其他部件均由本厂制造．负责购买电子部的采购人员必须满足生产部门提出的需要量计划．经过与若干电子部件生产厂的谈判，采购人员确定了计划阶段5个月中该电子部件的最理想的可能的价格。下表给出了需要量计划和采购价格的有关资料。

需要量计划和采购价格表 月 1 2 3 4 5 需求量（千个） 5 10 6 9 4 采购价格（元/千个） 10 11 13 10 12 该厂贮备这种电子部件的仓库容量最多是12000个，无初始存货，五个月之后，这种部件也不再需要．假设这种电子部件的订货每月初安排一次，而提供货物所需的时间很短（可

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以认为实际上是即时供货），不允许退回订货．假定每1000个电子部件到月底的库存费用是250元，试问如何安排采购计划，使既满足生产上的需要，又使采购费用和库存费用为最小? 7、某厂有90台同样的机器，三年后将被淘汰。现可将该种机器用于两种不同的作，据以往的经验，用于第一种工作的机器中，每台机器的年收益为8万元，

但机器的报废率高，每年将有2/3的机器报废；用于第二种工作的机器中，每台机器的年收益为5万元，每年的机器报废率为1/3。问应怎样安排生产任务，才能使这些机器在三年中获得最大的收益？试用动态规划方法求解该问题。

8、某工厂与购货单位签订购货合同如下表所示（单位：百件）：

月份 交货量 该厂每月的最大生产能力为4百件，仓库的存货能力为3百件。已知每百件货物的生产费用为一万元，每批产品的生产准备费为4千元，仓库保管费每月每百件货物一千元。假定1月初开始时及6月底交货后仓库中都无存货，问该厂应如何安排每月的生产与库存，才能够既满足交货合同要求，又使总费用最小？试建立用动态规划方法求解的数学模型（不求解）。

9、某厂有90台同样的机器，三年后将被淘汰。现可将该种机器用于两种不同的 工作，据以往的经验，用于第一种工作的机器中，每台机器的年收益为8万元，但机器的报废率高，每年将有2/3的机器报废；用于第二种工作的机器

中，每台机器的年收益为5万元，每年的机器报废率为1/3。问应怎样安排生

任务，才能使这些机器在三年中获得最大的收益？试建立该问题的动态规划模型。

10、求下图中从A到E的最短路线和最短路长（图中每条边上的数字为该条边的长度）。

1 1 2 2 3 5 4 3 5 2 6 1

7 9 B1 C1 10 6 4 3 C2 D1 3 5 A 8 6 9 D2 E 8 5 B2 5 7 C3 11

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?1?2A???3??2350?29724?3?2??5??6? A??75????40??6?4036002988355780??9?9? ?6?3??7、利用图解法求解下列矩阵对策

?2?2A???3???24??3?4? A??2???4?6?102?23??1 A????1??3426?? 5?8、求解下列二人的非零和非合作型对策的纳什均衡

?(3,8)A???(2,0)(4,4)??(2,1)A? ??(0,6)??(5,2)(4,3)?? (3,1)?9、求解下列二人的非零和合作型对策的最大最小谈判解

?(2,1)A???(6,2)(4,3)??(4,?3)A? ??(3,1)??(12,6)(10,6)?? (5,4)?10、用线性规划法求解下面矩阵对策

?7?A?6???6532?33??14?8 A????9?1???357177?2352??4? 7??4?11、已知一个地区选民的观点标准分布于[0，1]上，竞选一个公职的每个候选人同时宣布表示他们的竞选立场，即选择O一1之间的一个点，选民将根据候选人的立场，然后将选票投给立场与自己观点最接近的候选人。假设有两个候选人，宣布的立场分别为x1?0.4和

x2?0.8，那么观点在O．6左边的人都会投候选人一的票，反之就选候选人二的票，候选

人一将以60％的选票获胜。如果候选人立场相同则用抛硬币的方式决定谁当选。我们假设候选人惟一关心的只是能否当选，若有两个候选人竞争，试用对策论相关知识分析其纳什均衡。

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