圆全章教案

九年级数学圆教案

第三章 圆

§3.1 车轮为什么做成圆形

学习目标:

经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程；理解圆的概念，理解点与圆的位置关系．

学习重点:

圆及其有关概念，点与圆的位置关系． 学习难点:

用集合的观念描述圆． 学习方法: 指导探索法. 学习过程: 一、例题讲解：

【例1】如图，Rt△ABC的两条直角边BC=3，AC=4，斜边AB上的高为CD，若以C为圆心，分别以r1=2cm，r2=2．4cm，r3=3cm为半径作圆，试判断D点与这三个圆的位置关系．

【例2】如何在操场上画出一个很大的圆？说一说你的方法．

【例3】 已知：如图，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，∠AOC=∠BOC，M、N分别为OA、OB的中点．求证：MC=NC．

2

【例4】 设⊙O的半径为2，点P到圆心的距离OP=m，且m使关于x的方程2x－22x

＋m－1=0有实数根，试确定点P的位置．

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【例5】 城市规划建设中，某超市需要拆迁．爆破时，导火索的燃烧速度与每秒0．9厘米，点导火索的人需要跑到离爆破点120米以外的安全区域，这个导火索的长度为18厘米，那么点导火索的人每秒跑6．5米是否安全？

【例6】 由于过渡采伐森林和破坏植被，使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正在向西北方向移动（如图3-1-5），距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响，问A市是否会受到这次沙尘暴的影响？

二、随堂练习

1．已知圆的半径等于5cm，根据下列点P到圆心的距离：（1）4cm；（2）5cm；（3）6cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由．

2．点A在以O为圆心，3cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是

．

三、课后练习

1．P为⊙O内与O不重合的一点，则下列说法正确的是（ ） A．点P到⊙O上任一点的距离都小于⊙O的半径 B．⊙O上有两点到点P的距离等于⊙O的半径 C．⊙O上有两点到点P的距离最小 D．⊙O上有两点到点P的距离最大

2．若⊙A的半径为5，点A的坐标为（3，4），点P的坐标为（5，8），则点P的位置为（ ）

A．在⊙A内

B．在⊙A上

C．在⊙A外

D．不确定

3．两个圆心为O的甲、乙两圆，半径分别为r1和r2，且r1＜OA＜r2，那么点A在（ ） A．甲圆内

B．乙圆外

C．甲圆外，乙圆内

D．甲圆内，乙圆外

4．以已知点O为圆心作圆，可以作（ ） A．1个

B．2个

C．3个

D．无数个

5．以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（ ） A．1个

B．2个

C．3个 D．无数个

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25

6．已知⊙O的半径为3．6cm，线段OA=7cm，则点A与⊙O的位置关系是（ ） A．A点在圆外

B．A点在⊙O上

C．A点在⊙O内

D． 不能确定

7．⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（ ）

A．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外

B．点P在⊙O上 D．点P在⊙O上或⊙O外

8．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，D是AB边的中点，以C为圆心，4cm长为半径作圆，则A、B、C、D四点中在圆内的有（ ）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，BC=4cm，CM为中线，以C为圆心，5cm为半径作圆，则A、B、C、M四点在圆外的有 ，在圆上的有 ，在圆内的有 ．

10．一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这圆的半径是 cm． 11．圆上各点到圆心的距离都等于 ，到圆心的距离等于半径的点都在 ．

12．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15cm，BC=10cm，以A为圆心，12cm为半径作圆，则点C与⊙A的位置关系是 ．

13．⊙O的半径是3cm，P是⊙O内一点，PO=1cm，则点P到⊙O上各点的最小距离是 ．

14．作图说明：到已知点A的距离大于或等于1cm，且小于或等于2cm的所有点组成的图形．

15．菱形的四边中点是否在同一个圆上？如果在同一圆上，请找出它的圆心和半径． 16．在Rt△ABC中，BC=3cm，AC=4cm，AB=5cm，D、E分别是AB和AC的中点．以B为圆心，以BC为半径作⊙B，点A、C、D、E分别与⊙B有怎样的位置关系？

17．已知：如图，矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm．若以A为圆心作圆，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．

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18．如图，公路MN和公路PQ在P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/时，那么学样受影响的时间为多少秒？

19．在等腰三角形ABC中，B、C为定点，且AC=AB，D为BC的中点，以BC为直径作⊙D，问：（1）顶角A等于多少度时，点A在⊙D上？（2）顶角A等于多少度时，点A在⊙D内部？（3）顶角A等于多少度时，点A在⊙D外部？

20．如图，点C在以AB为直径的半圆上，∠BAC=20°，∠BOC等于（ ） A．20°

B．30°

C．40° D．50°

21．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=4，BC=9，AB=12，M为AB的中点，以CD为直径画圆P，判断点M与⊙P的位置关系．

22．生活中许多物品的形状都是圆柱形的．如水桶、热水瓶、罐头、茶杯、工厂里用的油桶、贮气罐以及地下各种管道等等．你知道这是为什么吗？尽你所知，请说出一些道理．

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§3.2 圆的对称性（第一课时）

学习目标:

经历探索圆的对称性及相关性质的过程．理解圆的对称性及相关知识．理解并掌握垂径定理．

学习重点:

垂径定理及其应用． 学习难点:

垂径定理及其应用． 学习方法:

指导探索与自主探索相结合。 学习过程: 一、举例： 【例1】判断正误： （1）直径是圆的对称轴．

（2）平分弦的直径垂直于弦．

【例2】若⊙O的半径为5，弦AB长为8，求拱高．

【例3】如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的长．

【例4】如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求⊙O的半径长．

【例5】如图1，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，EC和DF相等吗？说明理由．

如图2，若直线EF平移到与直径AB相交于点P（P不与A、B重合），在其他条件不变的情况下，原结论是否改变？为什么？ 如图3，当EF∥AB时，情况又怎样？

如图4，CD为弦，EC⊥CD，FD⊥CD，EC、FD分别交直径AB于E、F两点，你能说明AE和BF为什么相等吗？

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二、课内练习：

1、判断：

⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（ ）

⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（ ） ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）

⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ） ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ） 2、已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD, 直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.

图中相等的线段有 . 图中相等的劣弧有 .

3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为 AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径

OA.

4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长

.

5．储油罐的截面如图3-2-12所示，装入一些油后，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．

6． “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥（如图3-2-16）已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图（1）．最高的圆拱的

跨度为110米，拱高为22米，如图（2）那么这个圆拱所在圆的直径为 米．

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三、课后练习：

1、已知，如图在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，求证：AC＝BD

2、已知AB、CD为⊙O的弦,且AB⊥CD，AB将CD分成3cm和7cm两部分，求：圆心O到弦AB的距离

AC BD3、已知：⊙O弦AB∥CD 求证：

4、已知：⊙O半径为6cm，弦AB与直径CD垂直，且将CD分成1∶3两部分,求：弦AB的长．

5、已知：AB为⊙O的直径，CD为弦，CE⊥CD交AB于E DF⊥CD交AB于F求证：AE＝BF

6、已知：△ABC内接于⊙O，边AB过圆心O，OE是BC的

1

AE BC

2垂直平分线，交⊙O于E、D两点，求证，

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7、已知：AB为⊙O的直径，CD是弦，BE⊥CD于E，AF⊥CD于F，连结OE，OF求证：⑴OE＝OF ⑵ CE＝DF

8、在⊙O中，弦AB∥EF，连结OE、OF交AB于C、D求证：AC＝DB

9、已知如图等腰三角形ABC中，AB＝AC，半径OB＝5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求ABC的长

10、已知：⊙O与⊙O＇相交于P、Q，过P点作直线交⊙O于A，交⊙O＇于B使OO＇与AB平行求证：AB＝2OO＇

11、已知：AB为⊙O的直径，CD为弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F求证：EC＝DF

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§3.2 圆的对称性（第二课时）

学习目标:

圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间相等关系定理． 学习重点:

圆心角、弧、弦之间关系定理． 学习难点:

“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明． 学习方法:

指导探索法. 学习过程: 一、例题讲解：

【例1】已知A,B是⊙O上的两点,∠AOB=1200,C是 的中点,试确定四边形OACB的形状,并说明理由.

【例2】如图，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？

【例3】如图，弦DC、FE的延长线交于⊙O外一点P，直线PAB经过圆心O，请你根据现有圆形，添加一个适当的条件： ，使∠1=∠2．

二、课内练习： 1、判断题

（1）相等的圆心角所对弦相等 （ ） （2）相等的弦所对的弧相等 （ ） 2、填空题

⊙O中，弦AB的长恰等于半径，则弦AB所对圆心角是________度．

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3、选择题

如图，O为两个同圆的圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，

OE⊥AB，垂足为E，若AC＝2.5 cm，ED＝1.5 cm，OA＝5 cm，则AB

长度是___________．

A、6 cm B、8 cm C、7 cm D、7.5 cm 4、选择填空题

如图2，过⊙O内一点P引两条弦AB、CD，使AB＝CD， 求证：OP平分∠BPD．

证明：过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N．

A OM⊥PB B OM⊥AB C ON⊥CD D ON⊥PD 三、课后练习：

1．下列命题中，正确的有（ ） A．圆只有一条对称轴

B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条

C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴

D．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴 2．下列说法中，正确的是（ ） A．等弦所对的弧相等

B．等弧所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等

C．圆心角相等，所对的弦相等

3．下列命题中，不正确的是（ ） A．圆是轴对称图形

B．圆是中心对称图形

C．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．以上都不对 4．半径为R的圆中，垂直平分半径的弦长等于（ ） A．

34

R B．

32

R C．3R D．23R

5．如图1，半圆的直径AB=4，O为圆心，半径OE⊥AB，F为OE的中点，CD∥AB，则弦CD的长为（ ）

A．23

B．3

C．5

D．25

6．已知：如图2，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，且AP=4cm，PD=2cm，则⊙

O

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的半径为（ ）

A．4cm

B．5cm

C．42cm

D．23

cm

7．如图3，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（ ）

A．3：2 （ ）

A．2：1

B．3：2

C．2：3

D．0

B．5：2

C．5：2

D．5：4

8．半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE：OF=

9．在⊙O中，圆心角∠AOB=90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径的长为（ ） A．42

B．82

C．24

D．16

10．如果两条弦相等，那么（ ） A．这两条弦所对的弧相等 C．这两条弦的弦心距相等

B．这两条弦所对的圆心角相等 D．以上答案都不对

11．⊙O中若直径为25cm，弦AB的弦心距为10cm，则弦AB的长为 ． 12．若圆的半径为2cm，圆中的一条弦长23cm，则此弦中点到此弦所对劣弧的中点的距离为 ．

13．AB为圆O的直径，弦CD⊥AB于E，且CD=6cm，OE=4cm，则AB= ． 14．半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最短的弦长是 ，最长的弦长是 ．

15．弓形的弦长6cm，高为1cm，则弓形所在圆的半径为 cm． 16．在半径为6cm的圆中，垂直平分半径的弦长为 cm． 17．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为 ．

18．弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是 ，弦所对的圆心角是 ．

⌒

19．如图4，AB、CD是⊙O的直径OE⊥AB，OF⊥CD，则∠EOD ∠BOF，ACAE，AC AE．

20．如图5，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，OP=5cm，PA=4cm，求⊙O的半径．

⌒

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21．如图6，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于C、D． （1）求证：AC=DB；

（2）如果AB=6cm，CD=4cm，求圆环的面积．

22．⊙O的直径为50cm，弦AB∥CD，且AB=40cm，CD=48cm，求弦AB和CD之间的距离．

23．如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？

24．已知一弓形的弦长为46，弓形所在的圆的半径为7，求弓形的高．

25．如图，已知⊙O1和⊙O2是等圆，直线CF顺次交这两个圆于C、D、E、F，且CF交

⌒

⌒

O1O2于点M，CD EF，O1M和O2M相等吗？为什么？

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§3.3 圆周角和圆心角的关系（第一课时）

学习目标:

（1）理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用； （2）继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力； （3）渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法． 学习重点:

圆周角的概念和圆周角定理 学习难点:

圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想． 学习方法: 指导探索法. 学习过程: 一、举例：

1、已知⊙O中的弦AB长等于半径，求弦AB所对的圆周角和圆心角的度数．

2、如图，OA、OB、OC都是圆O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：∠ACB=2∠BAC

3、如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB、∠ADB的度数？

4、一条弦分圆为1：4两部分，求这弦所对的圆周角的度数？

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5、已知AB为⊙O的直径，AC和AD为弦，AB=2，AC=2，AD=1，求∠CAD的度数．

6、如图，A、B、C、D、E是⊙O上的五个点，则图中共有

．

个圆周角，分别是

7、如图，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E．（1）求证：△DOE是等边三角形；（2）如图3-3-14，若∠A=60°，AB≠AC，则①中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由？

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⌒

8、已知等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过O2，点C是AO2B上任一点（不与A、O2、B重合），连接BC并延长交⊙O2于D，连接AC、AD．求证：

．

（1）操作测量：图a）供操作测量用，测量时可使用刻度尺或圆规将图（a）补充完整，并观察和度量AC、CD、AD三条线段的长短，通过观察或度量说出三条线段之间存在怎样的关系？

（2）猜想结论（求证部分），并证明你的猜想；（在补充完整的图（a）中进行证明）

⌒

（3）如图b），若C点是BO2的中点，AC与O1O2相交于E点，连接O1C，O2C．求证：CE2=O1O2·EO2．

二、课外练习：

1、⊙O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是（ ）． （A）30° （B）150° （C）30°或150° （D）)60° 2、△ABC中，∠B＝90°，以BC为直径作圆交AC于E，若BC=12，AB=12

，则

的度数为（ ）．

（A）60° （B）80° （C）100° （D）)120°

3、如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，D是AB上一点，AB与CD交于E点，则图中60°的角共有( )个． （A）3 （B）4 （C）5 （D）6

4、如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=25°，则∠A的度数为（ ） （A）70° （B）65° （C）60° （D）)50°

5、圆内接三角形三个内角所对的弧长为3:4:5，那么这个三角形

内角的度数分别为__________．

6、如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于D，AD=9cm，DB=4cm，求CD和AC的长．

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7、已知：如图，△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的直径BD交AC于E，AF⊥BD于F，延长AF交BC于G．求证：

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§3.3 圆周角和圆心角的关系（第二课时）

学习目标:

掌握圆周角定理几个推论的内容,会熟练运用推论解决问题. 学习重点:

圆周角定理几个推论的应用. 学习难点:

理解几个推论的”题设”和”结论”． 学习方法: 指导探索法. 学习过程: 一、举例：

【例1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形3-3-19所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？

【例2】如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD和BD的长．

【例3】如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm． （1）求证：AC⊥OD； （2）求OD的长；

（3）若2sinA－1=0，求⊙O的直径．

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【例4】四边形ABCD中，AB∥DC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图3-3-15，求BD的长．

【例5】如图1，AB是半⊙O的直径，过A、B两点作半⊙O的弦，当两弦交点恰好落在半⊙O上C点时，则有AC·AC＋BC·BC=AB2．

（1）如图2，若两弦交于点P在半⊙O内，则AP·AC＋BP·BD=AB是否成立？请说明理由．

（2）如图3，若两弦AC、BD的延长线交于P点，则AB= 结论，并证明你填写结论的正确性．

2

2

．参照（1）填写相应

二、练习：

1．在⊙O中，同弦所对的圆周角（ ）

A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．都不对

2．如图，在⊙O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数是（ ） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 3．下列说法正确的是（ ） A．顶点在圆上的角是圆周角 B．两边都和圆相交的角是圆周角 C．圆心角是圆周角的2倍

D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半 4．下列说法错误的是（ ）

A．等弧所对圆周角相等 B．同弧所对圆周角相等

C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等． D．同圆中，等弦所对的圆周角相等 5．如图4，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角．若∠BCD=25°，则∠AOD=

．

．

6．如图5，⊙O直径MN⊥AB于P，∠BMN=30°，则∠AON=

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⌒

⌒

7．如图6，AB是⊙O的直径，BC=BD，∠A=25°，则∠∠BAC=60°，∠ABC=50°，则∠CBM=

，∠AMB=

．

．

8．如图7，A、B、C是⊙O上三点，∠BAC的平分线AM交BC于点D，交⊙O于点M．若

9．⊙O中，若弦AB长22cm，弦心距为2cm，则此弦所对的圆周角等于 ． 10．如图8，⊙O中，两条弦AB⊥BC，AB=6，BC=8，求⊙O的半径．

11．如图9，AB是⊙O的直径，FB交⊙O于点G，FD⊥AB，垂足为D，FD交AG于E．求证：EF·DE=AE·EG．

12．如图，AB是半圆的直径，AC为弦，OD⊥AB，交AC于点D，垂足为O，⊙O的半径为4，OD=3，求CD的长．

3

13．如图，⊙O的弦AD⊥BC，垂足为E，∠BAD=∠α，∠CAD=∠β，且sinα=5，cos

1

β=3，AC=2，求（1）EC的长；（2）AD的长．

14．如图，在圆内接△ABC中，AB=AC，D是BC边上一点．

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（1）求证：AB=AD·AE；

（2）当D为BC延长线上一点时，第（1）小题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

2

⌒

15．如图，已知BC为半圆的直径，O为圆心，D是AC的中点，四边形ABCD对角线AC、BD交于点E．

（1）求证：△ABE∽△DBC；

5

（2）已知BC=

2

，CD=

52

，求sin∠AEB的值；

（3）在（2）的条件下，求弦AB的长．

16．如图，以△ABC的BC边为直径的半圆交AB于D，交AC于E，过E点作EF⊥BC，垂足为F，且BF：FC=5：1，AB=8，AE=2，求EC的长．

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§3.4 确定圆的条件

学习目标:

通过经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索，了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心，圆的内接三角形的概念，进一步体会解决数学问题的策略． 学习重点:

1．定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．定理中“不在同一直线”这个条件不可忽略，“确定”一词应理解为“有且只有” ．

2．通过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心为三角形的外心，这个三角形叫圆的内接三角形．只要三角形确定，那么它的外心和外接圆半径也随之确定了． 学习难点:

分析作圆的方法，实质是设法找圆心．过已知点作圆的问题，就是对圆心和半径的探讨． 学习方法:

教师指导学生自主探索交流法. 学习过程: 一、举例：

【例1】 下面四个命题中真命题的个数是（ ） ①经过三点一定可以做圆；

②任意一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆； ③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形； ④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等． A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

【例2】 在△ABC中，BC=24cm，外心O到BC的距离为6cm，求△ABC的外接圆半径．

【例3】 如图，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由．

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