南通市2012届二模数学（含附加）

南通市2012届高三第一次调研测试

数学Ⅰ

参考公式：

（1）样本数据x1，x2，?，xn的方差s?1?(xi?x)2，其中x?1?xi. ni?1ni?12nn（2）函数f(x)?sin??x???的导函数f?(x)???cos??x???，其中?，?都是常数.

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．1． 在平面直角坐标系xOy中，双曲线y2?x2?1的离心率为 ▲ . 2． 若复数z满足?1?2i?z??3?4i（i是虚数单位），则z = ▲ . 3． 在右图的算法中，最后输出的a，b的值依次是 ▲ .

4． 一组数据9.8， 9.9， 10，a， 10.2的平均数为10，则该组数据的方差

为 ▲ .

a?1 b?2 c?3 c?a a?b b?c Print a，b （第3题）

5． 设全集U?Z，集合A?xx2?x?2≥0，x?Z，则eUA? ▲ .（用列举法表示） 6． 在平面直角坐标系xOy中，已知向量a = (1，2)，a?1b?(3，1)，则a?b? ▲ .

27． 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2

号盒子中各有1个球的概率为 ▲ .

8. 设P是函数y?x?x?1?图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为?，则?

的取值范围是 ▲ .

9． 如图，矩形ABCD的三个顶点A、B、C分别在函数y?logx，y?x，y?12??22??的图象上，

22x且矩形的边分别平行于两坐标轴. 若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为 ▲ . 10．观察下列等式： 1?1， 13?23?9， 6 13?23?33?3，00 13?23?33?43?1，

3y 2A 1 O D 1 （第9题）

B C x ??

猜想：13?23?33?????n3? ▲ （n?N*）.

1 数学Ⅰ试卷 第 页（共4页）

11．在棱长为4的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、D1C1上的动点，点G为正方形

B1BCC1的中心. 则空间四边形AEFG在该正方体各个面上的正投影构成的图形中，面积的最大

值为 ▲ .

12．若a1x≤sinx≤a2x对任意的x??0，π?都成立，则a2?a1的最小值为 ▲ .

??2??13．如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆

2x2?y?1(a?b?0)的左、右焦点，B，C分别为椭 a2b2y B 圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一交点为D. 若cos?F1BF2?7，则直线CD的斜率为 ▲ . 2514．各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中，前三项依次成

公差为d（d > 0）的等差数列，后三项依次成公比为q的

F1 O F2 D C (第13题)

x 等比数列. 若a4?a1?88，则q的所有可能的值构成的集合为 ▲ .

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证 ．．．．．．． 明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)

在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为 a，b，c.

（1）若2sinAcosC?sinB，求a的值；

c（2）若sin(2A?B)?3sinB，求tanA的值.

tanC

2 数学Ⅰ试卷 第 页（共4页）

16．(本小题满分14分)

如图，在六面体ABCD?A1B1C1D1中，AA1//CC1，A1B?A1D，AB?AD.求证： （1）AA1?BD；

A1 （2）BB1//DD1.

17．(本小题满分14分)

将52名志愿者分成A，B两组参加义务植树活动，A组种植150捆白杨树苗，B组种植200捆 沙棘树苗．假定A，B两组同时开始种植.

（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时2小时，种植一捆沙棘树苗用时1小时.应

25如何分配A，B两组的人数，使植树活动持续时间最短？

（2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为2小时， 5而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时2小时，于是从A组抽调6名志愿者加入B组继

3续种植，求植树活动所持续的时间.

3 数学Ⅰ试卷 第 页（共4页）

D1

C1 B1 D A B （第16题）

C

18．(本小题满分16分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x?1)2?y2?1，圆C2：(x?3)2?(y?4)2?1． （1）若过点C1(?1， 0)的直线l被圆C2截得的弦长为

6，求直线l的方程；

5y . C2 （2）设动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长． ①证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；

②动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的 坐标；若不经过，请说明理由．

19．(本小题满分16分)

已知函数f(x)?x?sinx．

（1）设P，Q是函数f(x)图象上相异的两点，证明：直线PQ的斜率大于0； （2）求实数a的取值范围，使不等式f(x)≥axcosx在?0，π?上恒成立．

?2?

4 数学Ⅰ试卷 第 页（共4页）

C1 . O x （第18题）

20. (本小题满分16分)

设数列{an}的各项均为正数.若对任意的n?N*，存在k?N*，使得an?k2?an?an?2k成立，则称 数列{an}为“Jk型”数列.

（1）若数列{an}是“J2型”数列，且a2?8，a8?1，求a2n；

（2）若数列{an}既是“J3型”数列，又是“J4型”数列，证明：数列{an}是等比数列.

南通市2012

5 数学Ⅰ试卷 第 页（共4页）

届高三第一次调研测试 数学Ⅱ（附加题）

B．选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）

?01?

1)， 在平面直角坐标系xOy中，直线y?kx在矩阵??对应的变换下得到的直线过点P(4,10??

求实数k的值．

C．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）

在极坐标系中，已知圆??asin?（a?0）与直线?cos????1相切，求实数a的值．

?

6 数学Ⅰ试卷 第 页（共4页）

??

22．（本小题满分10分）

2an已知数列{an}满足：a1?1，an?1? (n?N*)．

2an?1（1）求a2，a3的值；

（2）证明：不等式0?an?an?1对于任意n?N*都成立．

23．（本小题满分10分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点在原点，焦点为F（1，0）．过抛物线在x轴上 方的不同两点A、B作抛物线的切线AC、BD，与x轴分别交于C、D两点，且AC与BD交于 点M，直线AD与直线BC交于点N． （1）求抛物线的标准方程； （2）求证：MN?x轴；

（3）若直线MN与x轴的交点恰为F（1，0）， 求证：直线AB过定点．

7 数学Ⅰ试卷 第 页（共4页）

（第23题）

y A M N D O F B C x

15解：（1）由正弦定理，得sinA?a．

sinBb 从而2sinAcosC?sinB可化为2acosC?b． ????????????????3分

222 由余弦定理，得2a?a?b?c?b．

2ab 整理得a?c，即a?1. ?????????????????????????7分

c （2）在斜三角形ABC中，A?B?C??，

所以sin(2A?B)?3sinB可化为sin?????A?C????3sin?????A?C???，

即?sin?A?C??3sin?A?C?．??????????????????????10分 故?sinAcosC?cosAsinC?3(sinAcosC?cosAsinC)．

整理，得4sinAcosC??2cosAsinC， ??????????????????12分 因为△ABC是斜三角形，所以sinAcosAcosC?0，

所以tanA??1．???????????????????????????14分

tanC216（1）取线段BD的中点M，连结AM、A1M， 因为A1D?A1B，AD?AB，

所以BD?AM，BD?A1M．?????????????????????3分

又AM?A1M?M，AM、A1M?平面A1AM，所以BD?平面A1AM． 而AA1?平面A1AM，

所以AA1?BD.????????????????????????????7分 （2）因为AA1//CC1，

AA1?平面D1DCC1，CC1?平面D1DCC1，

所以AA1//平面D1DCC1．???????????????????????9分 又AA1?平面A1ADD1，平面A1ADD1?平面D1DCC1?DD1，????????11分 所以AA1//DD1．同理得AA1//BB1，

所以BB1//DD1．???????????????????????????14分 17（1）设A组人数为x，且0?x?52，x?N*，

150?25?60；?????????????????2分 则A组活动所需时间f(x)?xx8 数学Ⅰ试卷 第 页（共4页）

200?12?100．?????????????????4分 B组活动所需时间g(x)?52?x52?x 令f(x)?g(x)，即60?100，解得x?39．

2x52?x所以两组同时开始的植树活动所需时间

?60， x≤19，x?N*，?x ?????????????????????6分 F(x)??*100?，x≥20，x?N.?52?xF(20)?25，故F(19)?F(20)． 而F(19)?60，198 32时，使植树活动持续时间最短．??????8分 所以当A、B两组人数分别为20，150?2?20?15 （2）A组所需时间为1+，??????????????10分 ?36（小时）20?67200?2?32?13 B组所需时间为1?， ?????????????12分 ?32（小时）32?63 所以植树活动所持续的时间为36小时． ?????????????????14分

7：18（1）设直线l的方程为y?k(x?1)，即kx?y?k?0．

因为直线l被圆C2截得的弦长为6，而圆C2的半径为1，

5 4)到l：kx?y?k?0的距离为所以圆心C2(3，4k?4?4．??????????3分

k2?15 化简，得12k2?25k?12?0，解得k?4或k?3．

43 所以直线l的方程为4x?3y?4?0或3x?4y?3?0．?????????????6分 y)，由题意，得CC1?CC2， （2）①证明：设圆心C(x， 即(x?1)2?y2?(x?3)2?(y?4)2． 化简得x?y?3?0，

即动圆圆心C在定直线x?y?3?0上运动．????????????????10分

3?m)， ②圆C过定点，设C(m，则动圆C的半径为1?CC12?1?(m?1)2?(3?m)2．

于是动圆C的方程为(x?m)2?(y?3?m)2?1?(m?1)2?(3?m)2．

9 数学Ⅰ试卷 第 页（共4页）

整理，得x2?y2?6y?2?2m(x?y?1)?0．????????????????14分 ?x?1?32，?x?1?32，x?y?1?0，???22由?2得或 ??233? x?y?6y?2?0，? y?2?2；? y?2?2.?2?2 所以定点的坐标为1?32， 2?32，1?32， 2?32．?????????16分 222219（1）由题意，得f?(x)?1?cosx≥0．

所以函数f(x)?x?sinx在R上单调递增．

设P(x1， y2)，则有 y1)，Q(x2，????y1?y2?0，即kPQ?0． ????????????6分 x1?x2 （2）当a≤0时，f(x)?x?sinx≥0≥axcosx恒成立．???????????????8分 当a?0时，令g(x)?f(x)?axcosx?x?sinx?axcosx， g'(x)?1?cosx?a(cosx?xsinx) ?1?(1?a)cosx?axsinx．

①当1?a≥0，即0?a≤1时，g'(x)?1??1?a?cosx?axsinx?0， 所以g(x)在?0，π?上为单调增函数．

?2? 所以g(x)≥g(0)?0?sin0?a?0?cos0?0，符合题意． ???????????10分 ②当1?a?0，即a?1时，令h(x)?g'(x)?1?(1?a)cosx?axsinx， 于是h'(x)?(2a?1)sinx?axcosx． 因为a?1，所以2a?1?0，从而h'(x)≥0． 所以h(x)在?0，π?上为单调增函数．

?2? 所以h(0)≤h(x)≤hπ，即2?a≤h(x)≤πa?1，

22亦即2?a≤g'(x)≤πa?1．???????????????????????12分

2（i）当2?a≥0，即1?a≤2时，g'(x)≥0，

所以g(x)在?0，π?上为单调增函数．于是g(x)≥g(0)?0，符合题意．????14分

?2?（ii）当2?a?0，即a?2时，存在x0?0，π，使得

2 x0)时，有g'(x)?0，此时g(x)在(0，x0)上为单调减函数， 当x?(0，????从而g(x)?g(0)?0，不能使g(x)?0恒成立．

综上所述，实数a的取值范围为a≤2．????????????????????16分

数学Ⅰ试卷 第 10 页（共4页）

a20（1）由题意，得a2，a4，a6，a8，?成等比数列，且公比q?8a2??13?1， 2 所以a2n?a2qn?1?12??n?4． ????????????????????????4分

（2）证明：由{an}是“J4型”数列，得

a1，a5，a9，a13，a17，a21，?成等比数列，设公比为t. ??????????6分

由{an}是“J3型”数列，得

a1，a4，a7，a10，a13，?成等比数列，设公比为?1； a2，a5，a8，a11，a14，?成等比数列，设公比为?2； a3，a6，a9，a12，a15，?成等比数列，设公比为?3； 则

a13aa??14?t3，17??24?t3，21??34?t3． a1a5a94 所以?1??2??3，不妨记???1??2??3，且t??3． ???????????12分 于是a3k?2?a1?k?1?a1 a3k?1?a5? a3k?a9?k?2??3?(3k?2)?1，

?a1t?2k?2?a1??a1?k?23?a1?a1??3?(3k?1)?1，

k?3?a1t?k?3k?13??3?3k?1，

所以an?a1??3?n?1，故{an}为等比数列．?????????????????16分

?x??x???x???01??x??y??x??y，? 解：设变换T：?????，则????，即??????????5分 ???y??x????10yyyy?x. ????????????? 代入直线y?kx，得x??ky?．

1)代入上式，得k?4．???????????????????????10分 将点P(4，解：将圆??asin?化成普通方程为x?y?ay，整理，得x?y?a2222??2?a． 42 将直线?cos????1化成普通方程为x?y?2?0． ??????????????6分

??a?22?a．解得a?4?22．????????????????? 10分 由题意，得22?? a3?4． ???????????????????????2分 （1）解：由题意，得a2?2，35 数学Ⅰ试卷 第 11 页（共4页）

（2）证明：①当n?1时，由（1），知0?a1?a2，不等式成立．???????????4分

②设当n?k(k?N*)时，0?ak?ak?1成立，???????????????6分

则当n?k?1时，由归纳假设，知ak?1?0． 而ak?2?ak?1?2a?a?1??2ak?ak?1?1?2ak?12ak2(ak?1?ak)??k?1k??0，

ak?1?1ak?1(ak?1?1)(ak?1)(ak?1?1)(ak?1)

所以0?ak?1?ak?2，

即当n?k?1时，不等式成立．

由①②，得不等式0?an?an?1对于任意n?N*成立．??????????10分

（1）设抛物线的标准方程为y2?2px(p?0)， 由题意，得

p?1，即p?2． 2 所以抛物线的标准方程为y2?4x．????????????????????3分 y2)，且y1?0，y2?0． （2）设A(x1， y1)，B(x2，

由y2?4x（y?0），得y?2x，所以y??1．

x 所以切线AC的方程为y?y1?1(x?x1)，即y?y1?2(x?x1)．

y1x1整理，得yy1?2(x?x1)， ① 0)． 且C点坐标为(?x1，同理得切线BD的方程为yy2?2(x?x2)，② 0)． 且D点坐标为(?x2， 由①②消去y，得xM? 又直线AD的方程为y? 直线BC的方程为y?x1y2?x2y1．????????????????????5分

y1?y2y1(x?x2)，③ x1?x2y2(x?x1)． ④ x1?x2x1y2?x2y1．

y1?y2 由③④消去y，得xN? 所以xM?xN，即MN?x轴． ??????????????????????7分

数学Ⅰ试卷 第 12 页（共4页）

（3）由题意，设M(1， y0)，代入（1）中的①②，得y0y1?2(1?x1)，y0y2?2(1?x2)．

所以A(x1， y1)， B(x2， y2)都满足方程y0y?2(1?x)．

所以直线AB的方程为y0y?2(1?x)．

0)．????????????????????????10分 故直线AB过定点(?1，

1．答案：2 2． 答案：1 + 2i 3． 答案：2，1 4．答案：0.02 5． 答案：{0，1} 6． 答案：0

7． 答案：29

8. 答案：??π?3，π2?

9．答案：?12，14? 210．答案：?n(n?1)???2??

11.答案：12 12．答案：1?2π 13．答案：1225

14．答案： ?53， 87?

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