黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（四）数学（理科）试卷Word版含答案

普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟（四）

理科数学

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.设集合A?{x|x2?3x?0}，B?{x|x?2}，则AB?（ ）

A．(?2,0) B．(?2,3) C．(0,2) D．(2,3)

2.（2017·海口市调研）已知复数z1?2?i，z2?a?2i（i为虚数单位，a?R），若z1z2?R，则a?（ ）

A．1 B．?1 C．4 D．?4

3.（2017·桂林市模拟）若向量a，b满足：a?1，(a?b)?a，(3a?b)?b，则b?（ ）

A．3 B．3 C．1 D．4.（2017·福建省质检）在?ABC中，B?3 3?3，AB?2，D为AB的中点，?BCD的面积

为

33，则AC等于（ ） 4A．2 B．7 C．10 D．19 x的概率为（ ） 21215A． B． C． D．

33265.已知x,y?{1,2,3,4,5,6}，且x?y?7，则y?6.（2017·昆明市统考）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（单位：cm），图中粗线画出的是某种零件的三视图，则该零件的体积（单位：cm）为（ ）

3

A．240?24? B．240?12? C．240?8? D．240?4? 7.（2017·长春市三模）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为判断框中填写的内容可以是（ ）

11，则12

A．n?6 B．n?6 C．n?6 D．n?8 8.（2017·郑州一预）函数f(x)?excosx在点(0,f(0))处的切线斜率为（ ）

A．0 B．?1 C．1 D．2 2?x?y?3?0?9.（2017·海口市调研）若x，y满足?kx?y?3?0，且z?y?x的最小值为?12，则k的

?y?0?值为（ ） A．

1111 B．? C． D．? 224410.（2017·桂林市模拟）设抛物线y2?2px(p?0)的焦点为F，过F且斜率为3的直线交抛物线于A，B两点.若线段AB的垂直平分线与x轴交于点M(11,0)，则p?（ ） A．2 B．3 C．6 D．12

11.（2017·河南九校联考）四面体的一条棱长为c，其余棱长为3，当该四面体体积最大时，经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（ ） A．

27?9?15? B． C． D．15? 22212.设f'(x)是函数f(x)的导函数，且f'(x)?2f(x)(x?R)，f?底数），则不等式f(lnx)?x的解集为（ ）

2?1???e（e为自然对数的2??A．?0,? B．(0,e) C．?,??e?2??1e??e? D．,e???

?e2??2?第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上） 13.（2017·长春三模）函数y?13????? sinx?cosx?x??0,??的单调递增区间是 ．

222????n1??14.（2017·海南六市联考）?x2?2?2?展开式中的常数项是70，则n? ．

x??15.在一幢10m高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为60，塔基的俯角为30，假定房屋与塔建在同一水平地面上，则塔的高度为 m．

16.设函数f(x)在[1,??)上为增函数，f(3)?0，且g(x)?f(x?1)为偶函数，则不等式

g(2?2x)?0的解集为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列{an}满足a1?511，4an?an?1?3(n?2).

（1）求证：数列{an?1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式； （2） 令bn?log2(an?1)，求数列{bn}的前n项和Sn.

AB?AD，AB?4，AD?22，18.如图，在四棱柱ABCD?A1BC11D1中，AB//CD，

CD?2，AA1?2，侧棱AA1?底面ABCD，E是A1B1的中点.

（1）求证：BD?平面A1ACC1；

（2）设点Q在线段EB上，且EQ:EB?3:4，求直线CQ与平面A1ACC1所成角的正弦值. 19.为普及学生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了安全知识与安全逃生能

力竞赛，该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛，现将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表.

分数（分数段） 频数（人数） 频率 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 合计 （1）求表中x，y，z，s，p的值；

9 y x 0.38 16 0.32 z p s 1 （2）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛.已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格，记高一（2）班在决赛中进入前三名的人数为X，求X的分布列和数学期望. 20.（2017·昆明市统考）已知动圆E经过定点D(1,0)，且与直线x??1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程；

（2）设过点P(1,2)的直线l1，l2分别与曲线C交于A，B两点，直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB的斜率为定值.

lnxex21.（2017·贵州省适应性考试）设n?N，函数f(x)?n，函数g(x)?n(x?0).

xx*（1）当n?1时，求函数y?f(x)的零点个数；

（2）若函数y?f(x)与函数y?g(x)的图象分别位于直线y?1的两侧，求n的取值集合A； （3）对于?n?A，?x1,x2?(0,??)，求f(x1)?g(x2)的最小值.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

?x??1?tcos??x?2?2cost已知直线l的参数方程为?（t为参数），曲线C1的参数方程为?y?1?tsin???y?4?2sint（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C2的极坐标方程为??4cos?.

（1）若直线l的斜率为2，判断直线l与曲线C1的位置关系； （2）求C1与C2交点的极坐标（??0，0???2?）. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)?a?ax(a?0)在(1,??)上的最小值为15，函数g(x)?x?a?x?1. x?1（1）求实数a的值； （2）求函数g(x)的最小值.

普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟（四）理科数学

一、选择题

1-5: ACBBB 6-10: BCCDC 11、12：DB 二、填空题 13. ?0,

???

14. 4 15. 40 16. (0,2) ??6?

三、解答题

131an?1?知an?1?(an?1?1)， 4441所以数列{an?1}是以512为首项，为公比的等比数列.

417.解析：（1）证明：由an?则an?1?211?2n，an?211?2n?1. （2）bn?11?2n，

设数列{11?2n}前n项和为Tn，则Tn?10n?n2， 当n?5时，Sn?Tn?10n?n2；

当n?6时，Sn?2S5?Tn?n2?10n?50；

2??10n?n,n?5所以Sn??2.

??n?10n?50,n?618.解析：（1）证明：∵AA1?平面ABCD，AB?AD，

∴以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则B(4,0,0)，A1(0,0,2)，D(0,22,0)，C(2,22,0)， 所以BD?(?4,22,0)，AC?(2,22,0)，AA1?(0,0,2)， 所以BD?AC?(?4)?2?22?22?0?0?0，

BD?AA1?(?4)?0?22?0?0?2?0.

所以BD?AC，BD?AA1， 因为AA1AC?A，AC?平面A1ACC1，

A1A?平面A1ACC1，

所以BD?平面A1ACC1.

（2）设Q(x,y,z)，直线QC与平面A1ACC1所成角为?，由（1）知平面A1ACC1的一个法向量为BD?(?4,22,0). ∵EQ?3EB， 4∴Q?,0,?，CQ??,?22,?， 平面A,0)， 1ACC1法向量n?(?2,1?7?21?2??3?21?2?sin??cos?CQ,n??CQ?nCQ?n?7. 3

19.解析：（1）由题意知，参赛选手共有p?所以x?16?50（人）， 0.329?0.18，y?50?0.38?19，z?50?9?19?16?6，50s?1?0.18?0.38?0.32?0.12.

（2）由（1）知，参加决赛的选手共6人，随机变量X的可能取值为0，1，2，

3C41P(X?0)?3?，

C6521C4C23P(X?1)??， 3C6512C4C1P(X?2)?32?，

C65随机变量X的分布列为：

X P 因为E(X)?0?0 1 2 1 5131?1??2??1， 5553 51 5所以随机变量X的数学期望为1.

20.解析：（1）由已知，动点E到定点D(1,0)的距离等于E到直线x??1的距离，由抛物线的定义知E点的轨迹是以D(1,0)为焦点，以x??1为准线的抛物线，故曲线C的方程为

y2?4x.

（2）由题意可知直线l1，l2的斜率存在，倾斜角互补，则斜率互为相反数，且不等于零. 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线l1的方程为y?k(x?1)?2，k?0. 直线l2的方程为y??k(x?1)?2， 由??y?k(x?1)?22?y?4x得k2x2?(2k2?4k?4)x?(k?2)2?0，

(k?2)2k2?4k?4?已知此方程一个根为1，∴x1?1?， 22kkk2?4k?4(?k)2?4(?k)?4k2?4k?4即x1?，同理x2?， ?222k(?k)k?8k?82k2?8x?x??∴x1?x2?，， 1222kkk∴y1?y2?[k(x1?1)?2]?[?k(x2?1)?2]

2k2?88?k(x1?x2)?2k?k??2k?，

k2k∴kAB8y?y?12?k??1， x1?x2?8klnx1?lnx(x?0). ，f'(x)?xx2所以，直线AB的斜率为定值?1. 21.解析：（1）当n?1时，f(x)?由f'(x)?0得0?x?e；由f'(x)?0得x?e.

所以函数f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,??)上单调递减，

因为f(e)?1?0，e?1?f????e?0， ?e?所以函数f(x)在(0,e)上存在一个零点； 当x?(e,??)时，f(x)?lnx?0恒成立， x所以函数f(x)在(e,??)上不存在零点. 综上得函数f(x)在(0,??)上存在唯一一个零点. （2）由函数f(x)?lnx1?nlnxf'(x)?(x?0)， 求导，得nn?1xx1n1n由f'(x)?0，得0?x?e；由f'(x)?0，得x?e， 所以函数f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,??)上单调递减， 则当x?e时，函数f(x)有最大值f(x)max?f(e)?1n1n1n1n1； neex(x?n)ex(x?0)， 由函数g(x)?n(x?0)求导，得g'(x)?n?1xx由g'(x)?0得x?n；由f'(x)?0得0?x?n.

所以函数g(x)在(0,n)上单调递减，在(n,??)上单调递增，

则当x?n时，函数g(x)有最小值g(x)min1n?e??g(n)???；

?n?1?1， nen因为?n?N，函数f(x)的最大值f(e)?即函数f(x)?*lnx在直线y?1的下方， nxex故函数g(x)?n(x?0)在直线l：y?1的上方，

x所以g(x)min?e??g(n)????1，解得n?e.

?n?n所以n的取值集合为A?{1,2}.

（3）对?x1,x2?(0,??)，f(x1)?g(x2)的最小值等价于g(x)min?f(x)max当n?1时，g(x)min?f(x)max?e?当n?2时，g(x)min?f(x)max1?e? ????，

nne??n1； ee21??； 42e21?e2(4?e)?2?1??e因为?e??????0， ??4e?e??42e?e21e3?2??所以f(x1)?g(x2)的最小值为. 42e4e22.解析：（1）斜率为2时，直线l的普通方程为y?1?2(x?1)， 即y?2x?3. ①

将??x?2?2cost消去参数t，化为普通方程得(x?2)2?(y?4)2?4，②

?y?4?2sint则曲线C1是以C1(2,4)为圆心，2为半径的圆， 圆心C1(2,4)到直线l的距离d?故直线l与曲线（圆）C1相交.

（2）C2的直角坐标方程为x?y?4x?0，

22??x?2?x?y?4x?8y?16?0由?2，解得?， 2y?2x?y?4x?0???4?4?35?35?2， 522所以C1与C2的交点的极坐标为?22,23.解析：（1）∵f(x)??????. 4?aa?ax??a(x?1)?a，x?1，a?0， x?1x?1∴f(x)?3a，即有3a?15，解得a?5.

（2）由于x?5?x?1?(x?5)?(x?1)?4，当且仅当?5?x??1时等号成立，

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