选修1-1精讲精练内页(第3版)

精讲精练

《新课标高中数学精讲精练》

丛书主编 徐山洪

编 委 谢柏芳 刘玉泉 谭玉石

王庚儿 李剑夫 张志略

马荣林 邓世疆 赵朝贤

陈新权 刘会金 陈远刚

李德明 王振芳 黄全顺

王福山 饶乘凤 关丽琼

潘泽学 匡唐松 宾业河

谢凤仙 余扩益 高建彪

张天良 谢小毛 谢吉权

张梅玲 程松 欧阳文君

饶胜文 周志明 李志敏

本册主编 赵朝贤

主要编者 肖东文（第一章）

余扩益（第二章）

赵素辉（第三章）

校 审 蔡建信（第一章）

廖 惠（第二章）

付增徳（第三章）

质量监督 0760-6853660

意见信箱 zssxzb@30474dc69ec3d5bbfd0a7446

信息反馈 30474dc69ec3d5bbfd0a7446/nh 美术编辑 陆镜平

开 本 890mm×1 240mm 16 开 印 张 4.5

字 数 60 000

印 数 3 361~4 760 册

版 次 2008 年 10 月第 3版

印 次 2008 年 10 月第 3次印刷 本册成本 6.5 元

新课标高中数学精讲精练

人教A 版选修1－1 & 2－1

目 录

1 §1.1.1 命题及四种命题 (01)

2 §1.1.2 四种命题的关系及反证法 (03)

3 §1.2.1 充分条件与必要条件 (05)

4 §1.2.2 充要条件 (07)

5 §1.3.1 简单的逻辑联结词 “或” 、

“且” 、

“非” (09)

6 §1.4.1 全称量词与存在量词及其否定 (11)

7 第一章 常用逻辑用语 复习 (13)

8 §2.1.1 椭圆及其标准方程 (15)

9 §2.1.2 椭圆的简单几何性质（一） (17)

10 §2.1.2 椭圆的简单几何性质（二） (19)

11 §2.2.1 双曲线及其标准方程 (21)

12 §2.2.2 双曲线的简单几何性质（一） (23)

13 §2.2.2 双曲线的简单几何性质（二） (25)

14 §2.3.1 抛物线及其标准方程 (27)

15 §2.3.2 抛物线的简单几何性质（一） (29)

16 §2.3.2 抛物线的简单几何性质（二） (31)

17 第二章 圆锥曲线与方程 复习（一） (33)

18 第二章 圆锥曲线与方程 复习（二） (35)

19 §3.1 变化率与导数 (37)

20 §3.2 导数的计算 (39)

21 §3.3.1 函数的单调性与导数 (41)

22 §3.3.2 函数的极值与导数 (43)

23 §3.3.3 函数的最大 （小） 值与导数 (45)

24 §3.4 生活中的优化问题 (47)

25 第三章 导数及其应用 复习 (49)

第 1～25 练参考答案……………………………（ 51～61） 注：选修2-1的部分内容，因印刷数量有限，只能由学校油印.

《新课标高中数学选修1-1&2-1精讲精练》——精讲 第一章 常用逻辑用语 1 第 1 讲 §1.1.1 命题及四种命题

¤学习目标：了解命题的定义及命题的逆命题、否命题与逆否命题；

会判断四种命题的真假.

¤知识要点：

1.用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题.

2.掌握大多命题的表示形式“若 p 则 q ” ，学会将常见的命题改写成这种形式，并写出其它三个命题， 会判断真假.

¤例题精讲

【例 1】对于命题“正方形的四个内角相等” ，下面判断正确的是 （ ）.

A.所给命题为假

B.它的逆否命题为真

C.它的逆命题为真

D.它的否命题为真

解：改写成“若 p 则q ”的形式：若一个四边形是正方形则其四个内角相等.

则有原命题为真；逆否命题为真.

逆命题：四个内角相等的四边形为正方形，为假命题.

否命题：一个四边形不是正方形则四个内角不相等，为假命题. 解答：选 B

【例 2】命题“若y = x k ,则 x 与y 成反比例关系”的否命题是（

）. A ．若y ≠ x k ，则 x 与y 成正比例关系

B.若 y ≠ x k ，则 x 与y 成反比例关系

C.若x 与y 不成反比例关系，则y ≠ x

k

D.若y ≠ x k ，则 x 与y 不成反比例关系 解答 选D ． 点评：条件及结论同时否定，位置不变． 【例 3】下列命题中,否命题为假命题的是（

）. A.若同位角相等,则两直线平行

B.若 y x , 全为 0,则x =0 且 y =0

C.若方程 0 2 2 = - + m x x 有实根,则 0 3 m

D.若 0

3 , 0 2 3 2 2 > - > + - x x x x 则 解答 选 C

【例 4】已知原命题“若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等”，那么它的逆命题、否命题、逆 否命题中，真命题的个数是（ ）.

A.0 个

B.1 个

C.2个

D.3 个

解答：B

【例 5】 设原命题为： “对顶角相等” ， 把它写成 “若 p 则 q ” 形式为________． 它的逆命题为________， 否命题为________，逆否命题为________．

解：若两个角是对顶角，则两个角相等；

若两个角相等，则这两个角是对顶角；

若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；

若两个角不相等，则这两个角不是对顶角．

点评： 只要确定了“p”和“q ”，则四种命题形式都好写了．

【例 6】写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．

(1)两条平行线不相交； (2)两条对角线不相等的平行四边形不是矩形；(3)若 x ≥10，则 2x ＋1＞20. 解：(1)逆命题：若两条直线不相交，则它们平行，为假命题．

否命题：若两条直线不平行，则它们相交, 为假命题．

逆否命题：若两条直线相交，则它们不平行, 为真命题．

(2)逆命题：若平行四边形不是矩形，则它的两条对角线不相等，为真命题．

否命题：若平行四边形两条对角线相等，则它是矩形，为真命题．

逆否命题：若平行四边形为矩形，则它的两条对角线相等，为真命题．

(3)逆命题：若 2x ＋1＞20，则 x ≥10，为假命题．

否命题：若x ＜10，则 2x ＋1≤20，为假命题．

逆否命题：若 2x ＋1≤20，则 x ＜10，为真命题．

《新课标高中数学选修1-1&2-1精讲精练》 ——精练 月 日 : ~ : 自评 分

2 第 1 练 §1.1.1 命题及四种命题

※基础达标

1. 命题“若ab =0，则 a 、b 中至少有一个为零”的逆否命题为（ ）.

A. a,b 都不为零，则 ab 1 0

B. a,b 至少有一个不为零，则 ab 1 0

C. a,b 至少一个为零，则ab 1 0

D. a,b 不都为零，则 ab 1 0

2．对以下四个命题判断正确的是（ ）.

(1)原命题：若一个自然数的末位数字为零，则这个自然数能被 5整除．

(2)逆命题：若一个自然数能被 5整除，则这自然数末位数字为零．

(3)否命题：若一个自然数的末位数字不为零，则这个自然数不能被 5 整除．

(4)逆否命题：若一个自然数不能被 5 整除，则这个自然数末位数字不为零．

A ．(1)与(3)为真，(2)与(4)为假

B ．(1)与(2)为真，(3)与(4)为假

C ．(1)与(4)为真，(2)与(3)为假

D ．(1)与(4)为假，(2)与(3)为真.

3. 有下列四个命题：

①命题“若 1 = xy ，则x ， y 互为倒数”的逆命题；

②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；

③命题“若m ≤1，则 0 2 2 = + - m x x 有实根”的逆否命题；

④命题“若A ∩B =B ，则 A í B ”的逆否命题。

其中是真命题的是（ ）.

A. ①②④

B. ①②③

C. ②③④

D. ①②③④

4.下列语句中是命题的有 ，其中真命题的有

.

① 等边三角形是等腰三角形；

② x <3；

③ 2 (3)0( a a -

④ 一个数不是正数就是负数；

⑤ 三角形中大角所对的边大于小角所对的边；

⑥ x +y 为有理数，则 xy 也是有理数.

5. 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．

（1）两条对角线不相等的平行四边形不是矩形；

（2）若x ≥10，则2x ＋1＞20 ※能力提高

6. 按要求写出下列命题并判断真假.

（1） “若 ab ＝0，则 a 、b 中至少有一个为零”的否命题．

（2） “若 ac ＝bc ，则 a ＝b ”的逆命题．

7. 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：

（1）若x >0，则 x 2 >0； （2）若两个三角形全等，则两个三角形的面积相等；

（3）等腰三角形两底角相等； （4）若 x 2 =y 2 ，则 x=y .

※探究创新

8. 已知函数 f(x)在 R 上为增函数，a,b ?R ，对于命题“若 a+b 30，则 ()()()() f a f b f a f b +3-+- ”.

（1）写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；（2）写出逆否命题，判断其真假，并证明结论.

《新课标高中数学选修1-1&2-1精讲精练》——精讲 第一章 常用逻辑用语

3 原命题 若p 则q

否命题

若┐p 则┐q 逆命题 若q 则p 逆否命题 若┐q 则┐p

互为 逆 否

互

逆 否 互 为 逆 否 互 互 逆 否 互 第 2 讲 §1.1.2 四种命题的关系

¤学习目标：掌握命题与其逆否命题等价. 学会用逆否命题来判断命题真假；

初步学会反证法的步骤，并能用以证明一些命题.

¤知识要点： （1）四种命题的相互关系： （2）反证法：从命题结论的 反面出发（假设），引出(与 已知、公理、定理…)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.

（3）常见的反设： ¤例题精讲

【例 1】命题“若 x =y ，则 x 2 =y 2 ”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它的真假.

解：逆命题：若 x 2 =y 2 ，则 x = y . （假，如 x = 1,y = -1）

否命题：若 x 1 y ，则 x 2 1 y 2 . （假，如 x = 1,y =-1）

逆否命题：若 x 2 1 y 2 ，则 x 1 y . （真）

【例 2】写出命题：“若 x +y = 5，则 x = 3且 y = 2”的逆、否、逆否命题，并判断它们的真假. 解：逆命题：若 x = 3 且 y = 2 ，则 x +y = 5 （真）

否命题：若 x +y 1 5 ，则 x 1 3 或y 12 （真）

逆否命题：若 x 1 3 或y 12 ，则 x +y 15 （假）

【例 3】写出下列命题的逆否命题，并判断真假：

（1）若 ab =0,则 a =0 或 b =0；

（2）若（x -1） 2 +(y -2) 2 =0,则 x =1 且y =2.

解：（1）若 a ≠0 且 b ≠0,则 ab ≠0；真命题

（2）若x ≠1 或 y ≠2,则（x -1） 2 +(y -2) 2 ≠0. 真命题

点评：注意对于或、且的否定方式.

【例 4】用反证法证明：如果 a >b >0，那么 b a > .

证明：（反证法）假设 a 不大于 b ，则 b a b a = < 或 ∵a >0,b >0,∴ b a a a b a × < × T < ① 或

b b b a × < × ② 由①、②（传递性）知： b b a a × < × 即 a < b （与题设矛盾）

同样，若 b a b a = T = （与题设矛盾） ∴ b a > ．

【例 5】已知下列三个方程：x 2 ＋4ax －4a ＋3=0，x 2 ＋(a －1)x ＋a 2 =0，x 2 ＋2ax －2a =0 至少有一个方

程有实根，求实数 a 的取值范围.

解：先求使三个方程都没有实根的实数 a 的取值范围：

2 1 22 2 2

3 (4)4(43)0 (1)40 (2)41(2)0 a a a a a a ìD =--+< ? D =--< í ? D =-′′-< ?

由 2 2 2 4430 3210 20 a a a a a a ì +-< ? +-> í ? +< ? 得 解得： 3 2

- ＜a ＜－1， ∴ 所求实数a 的取值范围是：a ≤ 3 2

- 或 a ≥－1. 点评：正确使用原命题与逆否命题等价，即反证法的思想求解. 词语 大于(＞) 是 都是 所有的… 任意一个… 至少一个 …

否定 不大于(≤) 不是 不都是 至少一个不… 某个不… 一个也没有 …

《新课标高中数学选修1-1&2-1精讲精练》 ——精练 月 日 : ~ : 自评 分

第 2 练 §1.1.2 四种命题的关系

※基础达标

1．命题“a、b 都是奇数，则 a＋b是偶数”的逆否命题是（ ）.

A．a、b 都不是奇数，则 a＋b 是偶数

B．a＋b 是偶数，则 a、b都是奇数

C．a＋b 不是偶数，则 a、b 都不是奇数

D．a＋b 不是偶数，则 a、b不都是奇数．

2．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab 能被 5 整除，那么 a，b 中至少有一个能被 5整除”时，假设 的内容是（ ）.

A．a、b 都能被 5 整除

B．a、b 都不能被 5 整除

C．a、b 不都能被 5 整除

D．a 不能被 5 整除，或 b 不能被 5 整除

3．反证法的证明过程中，假设的内容是（ ）.

A．原命题的否命题

B．原命题的逆命题

C．原命题的逆否命题

D．原命题结论的否定

4．若命题 p的逆命题是 q，命题 r 是命题 q 的否命题，则 p 是 r 的（ ）.

A. 逆命题

B. 否命题

C. 逆否命题

D. 以上都不正确

5．若一个命题的逆命题为真，则（ ）.

A.它的逆命题一定为真

B.它的原命题一定为真

C.它的否命题一定为真

D.以上三个答案都不正确

6．(x－1)(x＋2)=0 的否定形式是 ．

7．命题“若ab=0，则 a、b中至少有一个为零”的逆否命题为 .

※能力提高

8．写出命题“若x，y是奇数，则 x＋y是偶数(x∈Z，y∈Z)”的逆否命题，并判断其真假.

9．已知锐角三角形ABC 中，∠B=2∠C，试用反证法证明：∠A＞45°.

※探究创新

10．已知 a与 b 均为有理数，且 a 和 b 都是无理数，证明 a + b 也是无理数.

4

《新课标高中数学选修1-1&2-1精讲精练》——精讲 第一章 常用逻辑用语 5 第 3 讲§1.2.1 充分条件与必要条件

¤学习目标 掌握充分条件与必要条件的定义；

会单独进行充分性及必要性的证明. ¤知识要点 (1)“p Tq ”则称 p 是 q 的充分条件同时 q 是 p 的必要条件

(2)学会用“T”理清各命题之间的关系

¤例题精讲

【例 1】已知 p ：x 1，x 2 是方程 x 2 ＋5x －6＝0 的两根，q ：x 1＋x 2＝－5，则 p 是 q 的（ ）.

A ．充分但不必要条件

B ．必要但不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 分析：利用韦达定理转换．

解：∵ x 1，x 2 是方程 x 2 ＋5x －6＝0的两根，

∴x 1，x 2 的值分别为 1，－6， ∴ x 1＋x 2＝1－6＝－5．

说明 .

p q T 但 q p,事实上只要取 12 2,3 x x =-=- 作为反例即可说明这一点.因此选 A ． 点评：判断命题为假命题可以通过举反例．

【例 2】若 A 是B 成立的充分条件，D 是 C 成立的必要条件，C 是 B 成立的充要条件，则 D 是A 成 立的（ ）.

A ．充分条件

B ．必要条件

C ．充要条件

D ． 既不充分也不必要条件 分析：通过B 、C 作为桥梁联系A 、D ．

解： ∵A 是B 的充分条件，∴A B ① ∵D 是C 成立的必要条件，∴C D ②

∵C 是 B 成立的充要条件，∴C ? B ③

由①③得 A C ④ 由②④得 A D ．

∴D 是 A 成立的必要条件．选 B ．

点评：要注意利用推出符号的传递性．

【例 3】 设命题甲为：0＜x ＜5，命题乙为|x －2|＜3，那么甲是乙的（ ）.

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 分析：先解不等式再判定．

解：解不等式|x －2|＜3 得－1＜x ＜5．

∵0＜x ＜5 －1＜x ＜5，但－1＜x ＜5 0＜x ＜5

∴甲是乙的充分不必要条件，选 A ．

点评：一般情况下，如果条件甲为 x ∈A ，条件乙为x ∈B ．

当且仅当 A B í 时，甲为乙的充分条件； 当且仅当 A B ê 时，甲为乙的必要条件

当且仅当 A ＝B 时，甲为乙的充要条件．

【例 4】x >y ,xy >0 是 11 x y

< 的必要条件还是充分条件？试说明理由. 解：（1）当 11 x y < 时，可得 11 x y - <0，即 0 y x xy

- < . 则 0 0 y x xy -> ì í < ? 或 0 0 y x xy -< ì í > ? ， 即 0 x y xy < ì í < ? 或 0 x y xy > ì í > ?

. 故 11 x y < 不能推得x >y 且xy >0(有可能得到 0

x y xy < ì í < ? )，即 x >y 且xy >0并非 11 x y < 的必要条件. （2）当x >y 且 xy >0 则分成两种情况讨论： 00 00 x y x y x x y y >> ìì ?? >< íí ?? >< ??

或 ，不论哪一种情况均可化为 11 x y < . ∴x >y 且xy >0 是 11 x y

< 的充分条件. 点评：分类讨论做到不重不漏.

《新课标高中数学选修1-1&2-1精讲精练》 ——精练 月 日 : ~ : 自评 分

6 第 3 练§1.2.1 充分条件与必要条件

※基础达标

1． 设甲是乙的充分而不必要条件， 丙是乙的充要条件， 丁是丙的必要而不充分条件， 则丁是甲的 （ ）

. A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

2． “b ＝c ＝0”是“抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 经过原点”的（ ）.

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

3. p ：m 为有理数，q ：m 为实数，则 p 是q 的（ ）.

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

4. p ：x 2 －1＝0，q ：x －1＝0 ，则p 是 q 的（ ）.

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

5. 集合 A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x ＜2}，则“x ∈A 或x ∈B ”是“x ∈A ∩B ”的（ ）.

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

6. 用符号“ ”与“ ”填空．

（1）x ＋y ＝7________x 2 －y 2 －6x ＋8y ＝7； （2）ab ＝0________a ＝0.

7. p ：内错角相等，q ：两直线平行，则 p 是 q 的

※能力提高

8. 已知 p 、q 都是 r 的必要条件，s 是 r 的充分条件，q 是 s 的充分条件，那么 s ，r ，p 分别是 q 的什 么条件？

9． 已知 4 :22 3

x p - -￡￡ , 22 :210(0) q x x m m -+-￡> , 若 q p ? ? 是 的必要不充分条件， 求实数m 的取值范围.

※探究创新

10． 22 (1)(1) 22

a a x -+ -￡ 与 2 3(1)2(31)0 x a x a -+++￡ 的解集依次为A 与 B ，问“A íB ”是 “131 a a ￡￡=- 或 的充分条件吗？

《新课标高中数学选修1-1&2-1精讲精练》——精讲 第一章 常用逻辑用语 7 第 4 讲§1.2.2 充要条件

¤学习目标 掌握充要条件的定义；

学会充要条件的证明.

¤知识要点 （1） p 是 q 的充分条件同时 p 又是q 的必要条件则称 p 是 q 的充要条件?

（2）充要性的证明注意分清充分性及必要性进行证明.

¤例题精讲

【例 1】设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条 件，那么

A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件

B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件

C ．丙是甲的充要条件

D ．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

分析 1：由丙 乙 甲且乙 丙，即丙是甲的充分不必要条件．

分析 2：画图观察之．

答：选 A ．

点评：抽象命题之间的逻辑关系通常靠画图观察比较方便

【例 2】 设有非空集合 A 、 B 、 C ， 若“a ∈A ”的充要条件是“a ∈B 且 a ∈C ”， 则“a ∈B ”是“a ∈A ”的 （ ）

. A ．充分而不必要条件 B ．必要条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

答案： 选 B

【例 3】ax 2 ＋2x ＋1＝0 至少有一个负实根的充要条件是（ ）.

A ．0＜a ≤1

B ．a ＜1

C ．a ≤1

D ．0＜a ≤1或 a ＜0

分析 此题若采用普通方法推导较为复杂，可通过选项提供的信息，用排除法解之．当 a ＝1 时，方

程有负根x ＝－1，当 a ＝0时，x ＝ 1 2

- 故排除 A 、B 、D. 选 C.

【例 4】设 α，β 是方程x 2 －ax ＋b ＝0 的两个实根，试分析 a ＞2且 b ＞1是两根 α，β均大于 1的什 么条件？

分析 把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系；解题时需要搞清楚条件 p 与 q 分别指什么. 然后再验证是 p Tq 还是 q Tp 还是 q ? p

解：根据韦达定理得： , a b a b ab

=+= 判定条件是 2 : 1 a p b > ì í > ?

. 结论是 1 : 1 q a b > ì í > ?

（还要注意条件 p 中，a ,b 需满足的大前提 2 40 a b D =-3 ）

(1)由 1 1 a b > ì í > ?

，得 2,1 a b a b ab =+>=> . ∴ q Tp .

(2)为了证明 p q ,

可以举出反例：取 1 4, 2

a b == . 它满足 1 42 2 a a b =+=+> ， 1 421 2

b ab ==′=> ，但 q 不成立 上述讨论可知：

a ＞2，

b ＞1是 α＞1，β＞1 的必要但不充分条件．

点评：本题中的讨论内容在二次方程的根的分布理论中常被使用.

《新课标高中数学选修1-1&2-1精讲精练》 ——精练 月 日 : ~ : 自评 分

8 第 4 练 §1.2.2 充要条件

※基础达标

1．不等式 2 0(0) ax bx c a ++>1 的解集为R 的充要条件是（

）.

A. 2 0,40 a b ac >->

B. 2 0,40 a b ac >-<

C. 2 0,40 a b ac <->

D. 2 0,40

a b ac <-< 2． p 是 q 的充要条件的是（ ）.

A ．p ：3x ＋2＞5，q ：－2x －3＞－5

B ．p ：a ＞2，b ＜2，q ：a ＞b

C ．p ：四边形的两条对角线互相垂直平分，q ：四边形是正方形

D ．p ：a ≠0，q ：关于 x 的方程 ax ＝1 有惟一解

3． （08 年安徽.文 4） 0 a < 是方程 2 210 ax x ++= 至少有一个负数根的（ ）.

A ．必要不充分条件

B ．充分不必要条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

4．x ∈R ，|x |(1＋x )是正数的充分必要条件是（ ）.

A ．|x |＜1

B ．x ＜1

C ．x ＜－1

D ．x >－1 且 x ≠0

5．三个实数a 、b 、c 不全为零的充要条件是（ ）.

A ．a 、b 、c 都不是零

B ．a 、b 、c 中至多有一个是零

C ．a 、b 、c 中只有一个是零

D ．a 、b 、c 中至少有一个不是零

6．p ：x －4＝0，q ： 2 540 x x -+= ，则 p 是 q 的 .

7．在平面直角坐标系中，点(x 2 ＋5x ，1－x 2 )在第一象限的充要条件是________． ※能力提高

8．求证：关于x 的方程 0 2 = + + c bx ax 有一个根为 1 的充要条件是 0 = + + c b a .

9．已知 0 a > ，求证 2 x a > 的充要条件是 x a > .

※探究创新

10. 集合 A = 1 0 1 x x x ì-ü < íy + ?t ，B ={ }

x x b a -< ，若“a =1”是“A B 1? I ”的充分条件，求 b 的取值范围.

《新课标高中数学选修1-1&2-1精讲精练》——精讲 第一章 常用逻辑用语 9 第 5 讲 §1.3.1 简单的逻辑联结词“或”、“且”、“非”

¤学习目标 通过实例，了解逻辑联结词“或” 、 “且” 、 “非”的含义.

掌握非命题的写法.

¤知识要点 （1）如果用 p, q, r, s……表示命题，则复合命题的形式接触过的有以下三种：

即： p 或 q 记作 p úq 当且仅当 p 、q 同为假时为假

p 且 q 记作 p ùq 当且仅当 p 、q 同为真时为真 非 p 记作 ?p 与 p 的真假性相反

（2）常见词语的否定

¤例题精讲

【例 1】命题“方程 1 x = 的解为 1 x =± ”，使用逻辑联结词的情况是（ ）.

A.没有使用联结词

B.使用了联结词“或”

C.使用了联结词“非”

D.使用了联结词“且”

答案：B

说明：常见的表示是用“或”还是“非”，要根据实际情况定，比如“x=1,y=2.则 x+y=3 成立中的 x=1,y=2 所用的联结词为且.

【例 2】分别写出由下列各种命题构成的“p 或 q ”“p 且 q ”“非 p ”形式的复合命题：

1．p ：李明是高中一年级学生 q ：李明是共青团员

2．p ： 2 5 > q ： 5 是无理数 解：1.p 或 q ：李明是高中一年级学生或是共青团员

p 且 q ：李明是高中一年级学生且是共青团员

非 p ：李明不是高中一年级学生

2.p 或 q ： 5 是大于 2 或是无理数. p 且 q ： 5 是大于 2且是无理数

非 p ： 5 不大于 2

【例 3】命题“非空集合 A ∩B 中的元素既是 A 中的元素也是 B 中元素”是________形式?

命题“非空集合 A ∪B 中的元素是A 的元素或是 B 的元素”是________形式．

分析 x ∈A ∩B 则x ∈A 且x ∈B ，填 p 且 q ．

x ∈A ∪B 则x ∈A 或 x ∈B ．填 p 或 q ．

答 填 p 且 q ；p 或 q ．

点评：本题是集合问题与命题概念的结合．

【例 4】命题 ①梯形不是平行四边形；

②等腰三角形的底角相等；

③有两个内角互补的四边形是梯形或圆内接四边形或是平行四边形；

④60 是 5 或2 的公倍数，

其中复合命题有

A ．①③④

B ．③④

C ．③

D ．①③

分析 ②是简单命题，其余的均为复合命题．

解 选 A ．

【例 5】分别指出下列各命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假．

(1)8或 6 是 30的约数；

(2)矩形的对角线垂直平分；

(3)方程 x 2 －2x ＋3＝0 没有实数根．

分析 分清形式结构，判断简单命题真假，利用真值表再判断原复合命题真假．

解 (1)p 或 q ? p ：8 是30 的约数(假)，q ：6是 30的约数(真)．“p 或 q ”为真．

(2)p 且 q ? p ：矩形的对角线互相垂直(假)，q ：矩形的对角线互相平分(真)．“p 且 q ”为假．

(3)非 p 、p ：x 2 －2x ＋3＝0 有实根(假)．

非 p 为真．

点评：将简易逻辑知识负载在其它知识之上. 词语 大于(＞) 是 都是 所有的… 任意一个… 至少一个 …

否定 不大于(≤) 不是 不都是 至少一个不… 某个不… 一个也没有 …

《新课标高中数学选修1-1&2-1精讲精练》 ——精练 月 日 : ~ : 自评 分

10 第 5 练 §1.3.1 简单的逻辑联结词“或”、“且”、“非”

※基础达标

1. 命题“方程 x 2 －4＝0 的解是x ＝±2”中，使用的逻辑联结词的情况是（ ）.

A ．没有使用联结词

B ．使用了逻辑联结词“或”

C ．使用了逻辑联结词“且”

D ．使用了逻辑联结词“非”

2. 以下判断正确的是（ ）.

A ．若 p 是真命题，则“p 且q ”一定是真命题

B ．命题“p 且 q ”是真命题，则命题 p 一定是真命题

C ．命题“p 且 q ”是假命题时，则命题 p 一定是假命题

D ．命题 p 是假命题时，则命题“p 且 q ”不一定是假命题

3. 如果命题“p 或 q ”与命题“非 p ”都是真命题，那么（ ）.

A ．命题 p 不一定是假命题

B ．命题 q 一定是真命题

C ．命题 q 不一定是真命题

D ．命题 p 与命题q 的真值相同

4. 若 p 、q 是两个简单命题，且“p 或 q ”的否定是真命题，则必有（ ）.

A ．p 真 q 真

B ．p 假 q 假

C ．p 真 q 假

D ．p 假 q 真

5．如果命题“p 或 q ”是真命题，那么（ ）.

A ．命题 p 与命题 q 都是真命题

B ．命题 p 与命题 q 的真值是相同的，即同真同假

C ．命题 p 与命题 q 中只有一个是真命题

D ．命题 p 与命题 q 中至少有一个是真命题

6．下列命题中：

（1） 1 1￡ ；

（2） A B A B I U 集合 是 的子集

； （3）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.

其中为真命题的序号依次为 .

7. 有下列四个命题： （1）40 能被 3 或 5整除； （2）不存在实数 x ，使 x 2 ＋x ＋1＜0；

（3）对任意实数x ，均有x ＋1＞x ； （4）方程x 2 －2x ＋3＝0 有两个不等的实根；

其中假命题为____ _ __．(只填序号)

※能力提高

8. 分别指出下列各组命题构成的“p 或q ” 、 “p 且 q ” 、 “非 p ”形式的复合命题的真假．

（1）p : 3是无理数， q : 3是实数；

（2） p ：4＞6， q ：4＋6≠10．

9．已知命题p 、q ，写出“p 或 q ”、“p 且 q ”、“非 p ”并判断真假．

（1）p ：2 是偶数， q ：2 是质数；

（2）p ：0 的倒数还是 0， q ：0 的相反数还是 0.

※探究创新

10．写出命题“5>2且 4>6”的否定，并判断其真假，由此分别讨论“p 或 q ”、“p 且 q ”的否定形式.

《新课标高中数学选修1-1&2-1精讲精练》——精讲 第一章 常用逻辑用语 11 第 6 讲 §1.4.1 全称量词与存在量词及其否定

¤学习目标 通过数学实例，理解全称量词的意义；

掌握全称命题及特称命题的否定.

¤知识要点 （1）短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“"”表示.

含有全称量词的命题叫全称命题.

（2）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“$”表示.

含有存在量词的命题叫特称命题.

（3） ) ( , x p M x ? " 的否定为 )

( , x p M x ? ? $ ) ( , x p M x ? $ 的否定为

)

( , x p M x ? ? " ¤例题精讲

【例 1】下列真命题的个数（ ）. （1） { } 2 00 | x x x x $? 是无理数 ， 是有理数 （2） 2

3 , x x R x > ? " （3） 2 000 ,210 x R x x $?-+￡ （4） 0

1 ,

2 3 + ? " x R x A.0 B.1 C.2 D. 3

答案 D

【例 2】下列命题中真命题的个数是（ ）.

(1)所有的素数是奇数

(2) 1

1 ) 1 ( , 2

3 + - ? " x R x (3)有的无理数的平方是无理数

A.0

B.1

C.2

D.3

答案 C

【例 3】下列特称命题中假命题的个数是（ ）.

(1) 2 000 ,210

x R x x $?++= 使 (2)存在两条相交直线垂直于同一个平面

(3) 0

, 2 ￡ ? $ x R x A.0 B.1 C.2 D.3

答案 C

【例 4】下列全称命题的否命题中，假命题的个数是（ ）.

(1)所有能被 3整除的数能被 6 整除 (2)所有实数的绝对值是正数

(3) 2

, 2 的个位数不是 x Z x ? " A.0 B.1 C.2 D.3

答案 B

【例 5】命题： 32 000 , x N x x $?￡ 的否定是_______________________________.

答案 .

, 2 3 x x N x > ? " 命题： 0 1 , 2 > + - ? " x x R x 的否定是_________________________________.

答案 2 000 ,10

x R x x $?-+￡ 【例 6】命题：“存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分”的否定是

答案 所有四边形的对角线互相垂直或平分.

【例 7】写出下列命题的否定.

（1）所有自然数的平方是正数；

（2）任何实数 x 都是 5x -12=0 的根；

(3）对任意实数x ，存在实数y ,使x +y >0?

(4)有些质数是奇数.

解： （1）存在自然数的平方是负数或 0；

（2）存在实数 x ,它不是 5x -12=0 的根；

（3）存在实数 x ，同时存在实数y ,使x +y ￡0

（4）任何质数都不是奇数.

点评：简单全称命题及特称命题的否定，对于条件的否定仅否定全称量词及存在量词.

《新课标高中数学选修1-1&2-1精讲精练》 ——精练 月 日 : ~ : 自评 分

12 第 6 练§1.4.1 全称量词与存在量词及其否定

※基础达标

1．下列命题为真命题的是（ ）.

A.所有的质数都是奇数

B.有些三角形不是锐角三角形

C.实数的平方都是正数

D.存在一个三角形，它的内角和小于 180°

2．下列命题中假命题的个数是（ ）.

（1）有的梯形是等腰梯形； （2）有的菱形是正方形；

（3）每个正方形都是平行四边形 （4）每个矩形都是正方形.

A.0

B.1

C.3

D.4

3. 命题“原函数与反函数的图象关于直线 y =x 对称”的否定是（ ）.

A. 原函数与反函数的图象关于直线y =－x 对称

B. 原函数不与反函数的图象关于直线y =x 对称

C. 存在一个原函数与反函数的图象不关于直线y =x 对称

D. 存在原函数与反函数的图象关于直线y =x 对称

4．（07 年山东卷）命题“对任意的 32 10 x x x ?-+ R ， ≤ ”的否定是（ ）.

A ．不存在 32 10 x R x x ?-+ ， ≤

B ．存在 32 10

x R x x ?-+ ， ≤ C ．存在 32 10 x R x x ?-+> ， D ．对任意的 32 10

x R x x ?-+> ， 5．（07 年宁夏、海南卷）已知命题 : p x "?R ，sin 1 x ≤ ，则（ ）.

A ． : p x ?$?R ，sin 1 x ≥

B ． : p x ?"?R ，sin 1

x ≥ C ． : p x ?$?R ，sin 1 x > D ． : p x ?"?R ，sin 1

x > 6．命题“ 32

000 , x N x x $?￡ ”的否定为 .

7．命题“ 0 1 , 2 > + - ? " x x R x ”的否定为 .

※能力提高

8．用符号“"”与“$”表示下列含有量词的命题：

（1）能被 4整除的整数能被 2整除；

（2）任何大于 2 的偶数可表示为两个素数之和；

（3）有些数的平方小于 0.

9. 判断以下命题的真假：

（1） 2 ,10 x R x x "?-+-< ；

(2) ,,sin()sin sin R a b a b a b $?+=+ 使 ；

(3) ,,3420 x y Z x y $?-= 使 ；

(4) , x R x x "?> .

※探究创新

10. 指出下列命题是特称命题还是全称命题，并写出其否定，并判断否定后的真假.

（1）直线与x 轴都有交点； （2）正方形都是菱形；

（3）梯形的对角线相等； （4）存在一个三角形，它的内角和大于 180 0

《新课标高中数学选修1-1&2-1精讲精练》——精讲 第一章 常用逻辑用语 13 第 7 讲 常用逻辑用语 复习

¤学习目标：掌握四种命题，充要条件逻辑联结词“且”“或”“非”，全称量词与存在量词及其否定.

会判断充要条件，并能证明.

¤例题精讲

【例 1】分别写出命题“若x 2 ＋y 2 ＝0，则 x 、y 全为 0”的逆命题、否命题和逆否命题．

分析 根据命题的四种形式的结构确定．

解 逆命题：若 x 、y 全为 0，则 x 2 ＋y 2 ＝0；

否命题：若x 2 ＋y 2 ≠0，则 x ，y 不全为 0；

逆否命题：若 x 、y 不全为 0，则 x 2 ＋y 2 ≠0．

说明：“x 、y 全为0”的否定不要写成“x 、y 全不为 0?

应当是“x ，y 不全为 0”，这要特别小心

【例 2】“若 P ＝{x |x |＜1}，则 0∈P ”的等价命题是________．

分析 等价命题可以是多个，我们这里是确定命题的逆否命题．

解 原命题的等价命题可以是其逆否命题，所以填“若 { }

0,1 p p x x ?1< 则 ”

【例 3】p 是q 的充要条件的是 （ ）

A ．p ：3x ＋2＞5，q ：－2x －3＞－5

B ．p ：a ＞2，b ＜2，q ：a ＞b

C ．p ：四边形的两条对角线互相垂直平分，q ：四边形是正方形

D ．p ：a≠0，q ：关于 x 的方程 ax ＝1有惟一解

分析 逐个验证命题是否等价．

解：对 A ．p ：x ＞1，q ：x ＜1，所以，p 是 q 的既不充分也不必要条件；

对 B ．p q 但 q p ，p 是 q 的充分非必要条件；

对 C ．p q 且 q p ，p 是 q 的必要非充分条件； 对 ． 且 ，即 ， 是 的充要条件．选 ．

D p q q p p q p q D T T ? 说明：当a ＝0 时，ax ＝0 有无数个解．

【例 4】设命题甲为：0＜x ＜5，命题乙为|x －2|＜3，那么甲是乙的（

）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

分析 先解不等式再判定．

解 解不等式|x －2|＜3 得－1＜x ＜5．

∵0＜x ＜5 －1＜x ＜5，但－1＜x ＜5 0＜x ＜5

∴甲是乙的充分不必要条件，选 A ．

说明：一般情况下，如果条件甲为 x ∈A ，条件乙为 x ∈B ． 当且仅当 时，甲为乙的充分条件；

当且仅当 时，甲为乙的必要条件；

A B A B í ê 当且仅当 A ＝B 时，甲为乙的充要条件．

【例 5】“ 3 cos 2 2 a =- ”是“ 5 , 12

k k Z p a p =+? ”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解：在这里“ 3 cos 2 2 a =- ”是条件， 而 3 cos 2 2 a =- 55 22()(), 612

k k z k k z p p

a p a p ?=±??=±? 所以 5 , 12 k k Z p a p =+? T 3 cos 2 2 a =- ，但 3 cos 2 2 a =- 5 , 12

k k Z p a p =+? 因此“ 3 cos 2 2 a =- ”是“ 5 , 12

k k Z p a p =+? ”充分非必要条件. 故选 A

《新课标高中数学选修1-1&2-1精讲精练》 ——精练 月 日 : ~ : 自评 分

14 第 7 练 常用逻辑用语 复习

※基础达标

1. 命题“若A ∪B ＝A ，则A ∩B =B ”的否命题是（ ）.

A ．若A ∪

B ≠A ，则 A ∩B ≠B

B ．若 A ∩B ＝B ，则 A ∪B =A

C ．若 A ∩B ≠A ，则 A ∪B ≠B

D ．若A ∪B ＝B ，则 A ∩B ＝A

2. 命题“若a ＞b ，则 ac 2 ＞bc 2 ”(这里 a 、b 、c 都是实数)与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真 命题的个数为（ ）.

A ．4 个

B ．3 个

C ．2 个

D ．0 个

3. 下列说法

（1）四种命题中真命题的个数一定是偶数．

（2）若一个命题的逆命题是真命题，则它的否命题一定是真命题．

（3）逆命题与否命题之间是互为逆否的关系．

（4）若一个命题的逆否命题是假命题，则它的逆命题与否命题都是假命题．

其中正确的有（ ）个.

A ．1 个

B ．2 个

C ．3 个

D ．4 个

4. x ∈R ，(1－x )(1＋x )是正数的充分必要条件是（ ）.

A ．－1＜x ＜1

B ． x ＜1 且x ≠－1

C ．x ＜－1

D ．－1＜x ＜0

5. 下列说法正确的是（ ）.

A ．x ≥3 是x ＞5的充分而不必要条件

B ．x ≠±1 是|x|≠1 的充要条件

C ．若 p q ?T? ，则 p 是 q 的充分条件

D ．一个四边形是矩形的充分条件是：它是平行四边形

6. 集合 A ＝{x|x ＞1}，B ＝{x|x ＜2}；则“x ∈A 或 x ∈B ”是“x ∈A ∩B ”的 条件．

7. 命题“非空集 A ∪B 中的元素是 A 中的元素或 B 中的元素”是________的形式．

命题“ I C A 中的元素是I 中的元素但不是A 中的元素”是________的形式．

※能力提高

8. 写出命题“$x ?R ，使得 1 - x <0”的否定.

9. 写出命题“ 0 > "x ，x 2 +x+230”的否定.

※探究创新

10. 用反证法证明：钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半．

《新课标高中数学选修1-1&2-1精讲精练》——精讲 第二章 圆锥曲线与方程 15 第 8 讲 §2.1.1 椭圆及其标准方程

¤学习目标：理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念，掌握椭圆的标准方程，学会分析问题和创 造地解决问题，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力. ¤知识要点：

1．椭圆的定义：到两个定点 F 1、F 2 的距离之和等于定长（＞|F 1F 2|）的点的轨迹．

2．标准方程：（1） 2 2 x a + 2

2 y b

=1（a ＞b ＞0），c = 22 a b - ，焦点是 F 1（－c ，0），F 2（c ，0） （2） 2 2 y a + 2

2 x b

=1（a ＞b ＞0），c = 22 a b - ，焦点是 F 1（0，－c ），F 2（0，c ） ． ¤例题精讲：

【例 1】两个焦点坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和等于 10，写出 椭圆的标准方程．

解：因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为 22

22 1 x y a b

+= (0) a b >> 22222 210,28,5,4,

549.

a c a c

b a

c ==\== \=-=-= Q 所以所求椭圆标准方程为 22

1 259

x y += ． 点评：写椭圆的标准方程的条件是：一是焦点位置，二是 2 a 和 2 b 的值．

【例 2】已知椭圆的两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0，2）且过（ 3 2 - , 5 2 ），求椭圆的标准方程 解：因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为 22 22 1 y x a b

+= (0) a b >> . 由椭圆的定义知， 22 35 2()(2) 22 a =-++ ＋ 22 35 ()(2) 22 -+- 31 1010 22

=+ 210 = ， 10 a \= . 又 2 c = ， 222 1046 b a c \=-=-= ，所以所求标准方程为 22 1 106

y x += 另法：∵ 2222 4 b a c a =-=- ，

∴可设所求方程 22 22 1 4 y x a a += - ，后将点（ 3 2 - ， 5 2

）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程 点评：题（1）根据定义求 若将焦点改为（0，-4）、（0，4）其结果如何；题（2）由学生的思考与 练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出 长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程 ． 【例 3】判断下列方程是否表示椭圆，若是，求出 ,, a b c 的值.

① 22 1 22 x y += ；② 22 1 42 x y += ；③ 22

1 42

x y -= ；④ 22 4936 y x += ． 解：①表示圆； ②表示椭圆； 2,2,2 a b c === ；

③不是椭圆（是双曲线）；

④ 22 4936 y x += 可以表示为 22

22 1 23

x y += ，是椭圆， 3,2,5 a b c === 【例4】已知三角形ΔABC 的一边BC 的长为6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程

解法一：以 BC 边为x 轴，BC 线段的中垂线为 y 轴建立直角坐标系，则 A 点的轨迹是椭圆，

其方程为： 22

1(0) 2516

x y y +=1 ． 解法二：以 BC 边为y 轴，BC 线段的中垂线为 x 轴建立直角坐标系，则 A 点的轨迹是椭圆，

其方程为： 22

1(0) 1625

x y x +=1 ． 点评：１．要明确建立坐标系，这是解析几何的重要特征，如何建系将关系到结果的繁与简． ２．要熟悉椭圆的定义．

《新课标高中数学选修1-1&2-1精讲精练》 ——精练 月 日 : ~ : 自评 分

16 第 8 练 §2.1.1 椭圆及其标准方程

※基础达标

1．椭圆 22

1 259

x y += 上一点 P 到一个焦点的距离为5，则 P 到另一个焦点的距离为（ ） ． A ． 5 B ． 6 C ． 4 D ． 10 2．椭圆 22

1 1312

x y += 上任一点P 到两个焦点的距离的和为（ ） ． A ． 26 . 24 B . 2

C . 213

D 3．已知 12 , F F 是椭圆 22

1 259

x y += 的两个焦点，过 1 F 的直线交椭圆于 , M N 两点，则 2 M N F D 周长为 （ ） ．

A ． 10

B ． 16

C ． 20 D. 32 4．椭圆的两个焦点分别是 12 (8,0)(8,0) F F - 和 ，且椭圆上一点到两个焦点距离之和为 20，则此椭圆的

标准方程为（ ） ．

A ． 22 1 2012 x y +=

B ． 22 1 40036 x y += C. 22 1 10036 x y += D. 22

1 36100

x y += 5．椭圆 22

1 4

x y m += 的焦距是 2，则m 的值为（ ） ． A ． 5 或 3 B ． 8 Ｃ． 5 Ｄ． 16

6．椭圆 22

1 169

x y += 的焦距是 ，焦点坐标为 ． 7．焦点为（0，4）和（0，-4），且过点(5,33) - 的椭圆方程是 ． ※能力提高

8．如果方程x 2 +ky 2 =2 表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数 k 的取值范围．

9．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

（１）a=4，b =3，焦点在x 轴上； （2）a =5，c =2，焦点在y 轴上．

※探究创新

10．求到定点（2，0）与到定直线x =8 的距离之比为 2 2

的动点的轨迹方程．

《新课标高中数学选修1-1&2-1精讲精练》——精讲 第二章 圆锥曲线与方程 17 第 9 讲 §2.1.2 椭圆的简单几何性质（一）

¤学习目标：掌握标准方程中 ,, a b c 的几何意义，以及 ,,, a b c e 的相互关系?掌握椭圆的简单几何性质 掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法．

¤知识要点：

1．熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点，离心率等简单几何性质

2．掌握标准方程中 ,, a b c 的几何意义，以及 ,,, a b c e 的相互关系

3．理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法

¤例题精讲：

【例 1】已知椭圆的中心在坐标原点 O ，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正 方形，且离心率为 2 2

，求椭圆的方程． 解：设椭圆方程为 22

22 1() x y a b c a b

+=>> . 由已知得 222 2 2 b c c a a b c = ì ? ? =T í ? ? =+ ? 2 2 2 2 1 1 a b c ì = ? = í ? = ? ，

∴所求椭圆方程为 2 2 1 2

x y += ． 【例 2】已知x 轴上的一定点 A （1,0），Q 为椭圆 1 4

2 2 = + y x 上的动点，求 AQ 中点M 的轨迹方程 解：设动点M 的坐标为(,) x y ，则Q 的坐标为(21,2) x y - 因为点Q 为椭圆 2

2 1 4 x y += 上的点， 所以有 2 2 (21) (2)1 4 x y - += ，即 22 1 ()41 2

x y -+= 所以点M 的轨迹方程是 22 1 ()41

2

x y -+= 点评：求点的轨迹方程时，常用坐标转换的方法．

【例 3】椭圆 22

1 10036

x y += 上有一点 P ，它到椭圆的左焦点 1 F 的距离为 8，求 12 PF F D 的面积． 解：由椭圆的定义，得 12 ||||220 PF PF a +== ，所以 2 ||12 PF = . 又 222 222 1212 12 12 |||||| 812161 cos 2||||28124

PF PF F F F PF PF PF +- +- D===- ′′′′ ， ∴ 12 15 sin 4 F PF D=

. 则 12 115 8121215 24

PF F S D =′′′= . 点评：１．善于运用椭圆的定义求解焦半径问题．

２．要善于作图分析，这是解题的关键． 【例 4】设 P 是椭圆 ( ) 2 2 2 11 x y a a

+=> 短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求 PQ 的最大值. 解: 依题意可设 P (0,1),Q (x,y ),则 |PQ |= x 2 +(y －1) 2 ，

又因为 Q 在椭圆上,

所以，x 2 =a 2 (1－y 2 ) ，

|PQ | 2 = a 2 (1－y 2 )+y 2 －2y +1=(1－a 2 )y 2 －2y +1+a 2 =(1－a 2 )(y － 1 1－a 2 ) 2 － 1 1－a

2+1+a 2 因为|y|≤1,a >1, 若 a ≥ 2, 则| 1 1－a 2|≤1, 当 y = 1 1－a 2时, |PQ |取最大值 a 2 a 2 －1 a 2 －1

? 若 1

M A Q 2 -2 x O y

《新课标高中数学选修1-1&2-1精讲精练》 ——精练 月 日 : ~ : 自评 分 18 第 9 练 §2.1.2 椭圆的简单几何性质（一）

※基础达标

1．已知P 是椭圆 22 1 10036 x y += 上的一点，若P 到椭圆右焦点的距离是 34 5

，则P 点到椭圆左焦点的距 离是（ ） ．

A ． 16 5

B ． 66 5

C ． 75 8

D ． 77 8

2．若焦点在x 轴上的椭圆 22 1 2 x y m += 的离心率为 1 2

，则 m = （ ） ． A ． 3 B ． 3 2 C ． 8 3 D ． 2 3

3．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为 12，离心率为 1 3

，则椭圆的方程是（ ） ． A ． 2 144 x + 2 128 y =1 B ． 2 36 x + 2 20 y =1 C ． 2 32 x + 2 36 y =1 D ． 2 36 x + 2

32

y =1 4．设定点 F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点 P 满足条件 12 9 (0) PF PF a a a

+=+> ，则点 P 的轨迹是 （ ） ． A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．椭圆或线段

5．若椭圆短轴长等于焦距的 3 倍，则这个椭圆的离心率为（ ） ．

A ． 1 4

B ． 2 2

C ． 2 4

D ． 1 2

6．已知椭圆C 的短轴长为6， 焦点F 到长轴的一个端点的距离等于９， 则椭圆C 的离心率等于

．

7．离心率 1 2 e = ，一个焦点是 ( ) 0,3 F - 的椭圆标准方程为 ． ※能力提高 8．求过点 A （-1，-2）且与椭圆 1 9

6 2

2 = + y x 的两个焦点相同的椭圆标准方程． 9．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率 2 3

e = ，短轴长为85，求椭圆的方程． ※探究创新

10．设有一颗卫星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此卫星离地球相

距 m 万千米和 4 3 m 万千米时，经过地球和卫星的直线与椭圆的长轴夹角分别为 π 2 和 π 3

，求该卫星与地球 的最近距离.

《新课标高中数学选修1-1&2-1精讲精练》——精讲 第二章 圆锥曲线与方程

19

第 10 讲 §2.1.2 椭圆的简单几何性质（二）

¤学习目标：掌握椭圆的的范围，对称性，顶点等简单几何性质. 能利用椭圆的有关知识解决实际问 题，及综合问题；体会数学形式的简洁美．

¤知识要点：１．掌握椭圆范围、对称性、顶点、离心率、准线方程等几何性质．２．能利用椭圆 的有关知识解决实际问题，及综合问题．

¤例题精讲： 【例 1】已知椭圆 C 的焦点 F 1（－22，0）和 F 2（22，0），长轴长 6，设直线 2 y x =+ 交椭圆C 于 A 、B 两点，求线段 AB 的中点坐标.

解：由已知条件得椭圆的焦点在x 轴上，其中c =22，a=3，从而 b =1，所以其标准方程是：

2 2

1 9 x y += . 联立方程组

2 2

1 9 2

x y y x ì += ? í ? =+ ? ，消去y 得， 2 1036270 x x ++= . 设 A （ 11 , x y ），B （ 22 , x y ），AB 线段的中点为M （ 00 , x y ）

那么: 12 18 5 x x +=- ， 0 x = 12 9 25 x x + =- ，所以 0 y = 0

x +2= 1

5

. 也就是说线段 AB 中点坐标为（- 9 5 ， 1

5

） ．

【例 2】椭圆的中心为点 (10) E - ， ，它的一个焦点为 (30) F - ， ，且椭圆的离心率 25

5

e = ，求这个椭 圆的方程．

解：椭圆的中心为点 (1,0), E - 它的一个焦点为 (3,0), F - ∴ 半焦距 2 c = ，

又 255 c a = ，∴ 22

5,1 a b == ，则这个椭圆的方程是 2

2 (1) 1 5

x y + += ． 【例 3】已知椭圆 2

2

1 2

x y += 的左焦点为 F ，O 为坐标原点，求过点 O 、F ，并且与直线l ： 2 x =- 相

切的圆的方程；

解： 22 2,1,1,(1,0).

a b c F ==\=- Q Q 圆过点 O 、F ，\圆心 M 在直线 1

2

x =- 上。

设 1 (,), 2 M t - 则圆半径 13

()(2).

22

r =---= 由 , OM r = 得 22 13

(), 22

t -+= 解得 2.

t =± \所求圆的方程为 22 19

()(2).

24 x y ++±= 【例 4】如图，把椭圆 22 1 2516

x y

+= 的长轴 AB 分成8等份，过每个分点

作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 1234567 ,,,,,, P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的

一个焦点，则 1234567 P F P F P F P F P F P F P F ++++++=

.

解：如图，把椭圆 22

1 2516

x y += 的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x

轴的垂线交椭圆的上半部分于 1234567 ,,,,,, P P P P P P P 七个点， 1 F 是椭圆的一个焦点，

则根据椭圆的对称性知， 11711112 ||||||||2 PF P F P F PF a +=+= ， 同理其余两对的和也是2a ， 又 41 || P F a = ，

∴ 1234567 P F P F P F P F P F P F P F ++++++= 7a =35．

x

y

l

A N

B

F

O

《新课标高中数学选修1-1&2-1精讲精练》 ——精练 月 日 : ~ : 自评 分

20 第 10 练 §2.1.2 椭圆的简单几何性质（二）

※基础达标

1．椭圆 22

1 10036

x y += 上的点 P 到它的左焦点的距离是12，那么点P 到它的右焦点的距离是（ ） ． A ．15 B ．12 C ．10 D ． 8

2．已知椭圆 22

2 1 25

x y a += (5) a > 的两个焦点为 1 F 、 2 F ，且 12 ||8 F F = ，弦 AB 过点 1 F ，则△ 2 ABF 的周 长为（ ） ．

A ．10

B ．20

C ．2 41

D ．441

3．椭圆 22 1 259 x y += 的焦点 1 F 、 2 F ，P 为椭圆上的一点，已知 12 PF PF ^ ，则△ 12 F PF 的面积为（ ） ． A ．9 B ．12 C ．10 D ．8

4．椭圆 22

1 164

x y += 上的点到直线 220 x y +-= 的最大距离是（ ） ． A ．3 B ． 11 C ．22 D ． 10

5．如果椭圆 22

1 369

x y += 的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） ． A ． 20 x y -= B ． 240 x y +-= C ．23120 x y +-= D ． 280

x y +-= 6．与椭圆 22 1 43

x y += 具有相同的离心率且过点（2，- 3）的椭圆的标准方程是_________． 7．离心率 5 3 e = ，一个焦点的坐标为 5 (,0) 3

- 的椭圆的标准方程是_________． ※能力提高

8．已知椭圆 2 9 x + 2

4

y =1上的点 P 到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距离的等差中项，求P 点 坐标．

9．过椭圆 22

1 94

x y += 内一点 D （1，0）引动弦AB ，求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程． ※探究创新

10．椭圆 22 1 164 x y += 上有两点 P 、Q ，O 是原点，若OP 、OQ 斜率之积为 1 4

- . 求证 22 |||| OP OQ + 为定值．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/rsal.html