二阶行列式教案

9.3 二阶行列式

一、新课引入：

问题1：解二元一次方程组：（*）??a1x?b1y?c1

?a2x?b2y?c2同加减消元法：①×b2-②×b1得?a1b2?a2b1?x?c1b2?c2b1 ②×a1-①×a2得?a1b2?a2b1?y?a1c2?a2c1 当?a1b2?a2b1??0，方程组有唯一解

c1b2?c2b1?x??a1b2?a2b1? ??y?a1c2?a2c1?a1b2?a2b1?

二、新课讲授 1、二阶行列式 （1）定义：我们用记号

a1b1a2b2表示算式a1b2?a2b1,即

a1b1a2b2 = a1b2?a2b1,

其中记号教育网

a1b1a2b2叫做行列式，因为它只有两行、两列，所以把它叫做二阶行列式。21世纪（2）展开式：a1b2?a2b1,叫做行列式

a1b1a2b2b1的展开式，其计算结果叫做行列式的值。

（3）元素：a1,b2,a2,b1,叫做行列式

2、二阶行列式的计算

a1a2b2的元素。

a1三角形法则：

b1实线表示的对角线叫主对角线，虚线表示的对角线叫副对角线。二

a2b2阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)

上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号．[来源:21世纪教育网]

3、二元一次方程组方程组的解与行列式 定义D?a1a2b1b2，Dx?c1b1c2b2，Dy?a1a2c1c2，那么当D?0时，二元一次方程

组（*）的解可以用二阶行列式表示为

?x?????y???DxD DyD系数行列式：行列式D是由方程组（*）的未知数x,y的系数组成，通常被叫做方程组（*）的系数行列式

注意：行列式Dx和Dy分别是用方程组（*）的常数项替换行列式中x的系数或y的系数后得到的

4、例题举隅

例1、展开并化简下列行列式：

5115cos?（1）（2）（3）

8282sin?sin?a?1?1（4）

?cos?1a2?a?1例2、用行列式解下列二元一次方程组： （1）?

5、方程组的判别式

问题2：对于二元一次方程组（*），当D?0时，方程组有唯一解，那么当D=0时，方程组解的情况又是怎样的？ 例如：方程组 （1）??5x?11y?8?3x?y?5?0（2）?

?4x?15y??6?x?2y?1?0?2x?3y?1?2x?3y?1（2）?

?2x?3y?2?4x?4y?2显然，方程组（1）无解，方程组（2）有无穷多解 （1）方程组与行列式的关系：

方程组（*）可转化为

??D?x?Dx??a1b2?a2b1?x?c1b2?c2b1? ??D?y?D?y??a1b2?a2b1?y?a1c2?a2c1?其中D?a1a2b1b2，Dx?c1b1c2b2，Dy?a1a2c1c2

（2）方程组（*）解的情况：

??x?（i）当D?0时，方程组（*）有唯一解???y???DxD DyD（ii）当D?0时，方程组（*）有两种情况：

①如果Dx和Dy中至少有一个为0，那么方程组（*）无解 ②如果Dx?Dy?0，方程组（*）有无穷多组解 注意：D?0是方程组（*）有唯一组解得充要条件 （3）方程组解得判别式：D?

6、例题举隅

例3、判别下列二元一次方程组解得情况：

a1a2b1b2

?3x?2y?64x?3y?54x?6y?3???（1）?（2）?（2）? 2x?y?2?8x?6y?22?6x?9y?5?3?

例4、解关于x,y的二元一次方程组，并对解得情况进行讨论：

?mx?4y?m?2 ?x?my?m?

6、巩固练习

课后练习9.3（1）（2）（3）

三、课堂小结 1、二阶行列式

2、二元一次方程组解得情况与二阶行列式的关系

3、二元一次方程组解的判别式

四、作业布置 同步练习9.3A B

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