高一数学知识点汇总讲解大全

高中数学知识点汇总（高一）

高中数学知识点汇总（高一） .................................................................................................................... 1

一、集合和命题 ............................................................................................................................................ 2

二、不等式 .................................................................................................................................................... 4

三、函数的基本性质 .................................................................................................................................... 6

四、幂函数、指数函数和对数函数 .......................................................................................................... 12

（一）幂函数 .............................................................................................................................................. 12

（二）指数&指数函数 ............................................................................................................................... 13

（三）反函数的概念及其性质 .................................................................................................................. 14

（四）对数&对数函数 ............................................................................................................................... 15

五、三角比 .................................................................................................................................................. 17

六、三角函数 .............................................................................................................................................. 24

一、集合和命题

一、集合：

（1）集合的元素的性质：

确定性、互异性和无序性； （2）元素与集合的关系：

①a?A?a属于集合A； ②a?A?a不属于集合A． （3）常用的数集：

N?自然数集；N*?正整数集；Z?整数集； Q?有理数集；R?实数集；??空集；C?复数集；

???Z??正整数集??Q??正有理数集??R??正实数集??Z??负整数集；???Q??负有理数集；???R??负实数集．

（4）集合的表示方法：

集合??有限集?列举法?无限集?描述法；

例如：①列举法：{z,h,a,n,g}；②描述法：{xx?1}． （5）集合之间的关系：

①A?B?集合A是集合B的子集；特别地，A?A；??A?B?B?C?A?C．

②A?B或??A?B??A?B集合A与集合B相等； ③A??B?集合A是集合B的真子集．

例：N?Z?Q?R?C；N??Z??Q??R??C． ④空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （6）集合的运算：

①交集：A?B?{xx?A且x?B}?集合A与集合B的交集； ②并集：A?B?{xx?A或x?B}?集合A与集合B的并集；

③补集：设U为全集，集合A是U的子集，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合A在全集U中的补集，记作CUA．

④得摩根定律：CU(AB)?CUACUB；CU(AB)?CUACUB

（7）集合的子集个数：

若集合A有n(n?N*)个元素，那么该集合有2n个子集；2n?1个真子集；2n?1个非空子集；

2n?2个非空真子集．

二、四种命题的形式：

（1）命题：能判断真假的语句．

（2）四种命题：如果用?和?分别表示原命题的条件和结论，用?和?分别表示?和?的否定，那么四种命题形式就是： 命题 原命题 表示形式 若?，则? 逆命题 否命题 逆否命题 若?，则?； 若?，则?； 若?，则?． 逆否命题?否命题 逆否命题?逆命题 逆命题?否命题 逆命题关系 原命题?逆命题 否命题关系 原命题?否命题 逆否命题关系 原命题?逆否命题 同真同假关系 （3）充分条件，必要条件，充要条件： ①若???，那么?叫做?的充分条件，?叫做?的必要条件；

②若???且???，即???，那么?既是?的充分条件，又是?的必要条件，也就是说，?是?的充分必要条件，简称充要条件．

③欲证明条件?是结论?的充分必要条件，可分两步来证： 第一步：证明充分性：条件??结论?； 第二步：证明必要性：结论??条件?． （4）子集与推出关系：

设A、B是非空集合，A?{xx具有性质?}，B?{yy具有性质?}， 则A?B与???等价．

结论：小范围?大范围；例如：小明是上海人?小明是中国人． 小范围是大范围的充分非必要条件； 大范围是小范围的必要非充分条件．

二、不等式

一、不等式的性质： 1、a?b,b?c?a?c； 2、a?b?a?c?b?c； 3、a?b,c?0?ac?bc； 4、a?b,c?d?a?c?b?d； 不等式的性质 5、a?b?0,c?d?0?ac?bd； 6、a?b?0?0?11?； ab 7、a?b?0?an?bn(n?N*)； 8、a?b?0?na?nb(n?N*,n?1)． 二、一元一次不等式： 一元一次不等式ax?b 解集 三、一元二次不等式： ax2?bx?c?0(a?0) a?0 x?b aa?0 x?b aa?0 b?0 b?0 ? R △?b2?4ac?0 △?b2?4ac?0 △?b2?4ac?0 的根的判别式 y?ax2?bx?c(a?0) ax2?bx?c?0(a?0) ax2?bx?c?0(a?0) ax2?bx?c?0(a?0) ax2?bx?c?0(a?0) ax2?bx?c?0(a?0) {x0} (??,x0)?(x0,??) {x1,x2}，x1?x2 (??,x1)(x2,??) ? R (x1,x2) (??,x1][x2,??) ? R {x0} ? R [x1,x2] ?

四、含有绝对值不等式的性质：

（1）a?b?a?b?a?b； （2）a1?a2???an?a1?a2???an． 五、分式不等式：

ax?bax?b （1）?0?(ax?b)(cx?d)?0； （2）?0?(ax?b)(cx?d)?0．

cx?dcx?d六、含绝对值的不等式： x?a a?0 ?a?x?a x?a a?0 a?0 x?a或x??a x?a a?0 a?0 a?0 x?0 a?0 a?0 x?a a?0 a?0 ? R ?a?x?a ? x?a或x??a R 七、指数不等式： （1）af(x)?a?(x)(a?1)?f(x)??(x)； （2）af(x)?a?(x)(0?a?1)?f(x)??(x)． 八、对数不等式：

??(x)?0 （1）logaf(x)?loga?(x)(a?1)??；

f(x)??(x)??f(x)?0 （2）logaf(x)?loga?(x)(0?a?1)??．

?f(x)??(x)九、不等式的证明：

（1）常用的基本不等式：

①a2?b2?2ab(a、b?R，当且仅当a?b时取“?”号)； ②

a?b?ab(a、b?R?，当且仅当a?b时取“?”号)； 22a2?b2a?b 补充公式：． ?ab??1122?ab ③a3?b3?c3?3abc(a、b、c?R?，当且仅当a?b?c时取“?”号)；

a?b?c3?abc(a、b、c?R?，当且仅当a?b?c时取“?”号)； 3a?a2???ann?a1a2?an(n为大于1的自然数，a1,a2,?,an?R?，当且仅当 ⑤1n ④

a1?a2???an时取“?”号)； （2）证明不等式的常用方法：

①比较法； ②分析法； ③综合法．

四、分式函数： 定义 分类 a形如y?x?(a?0)的函数，称作分式函数． xaay?x?,a?0（耐克函数） y?x?,a?0 xx图像 定义域 值域 渐近线 (??,?2a][2a,??) (??,0)(0,??) R x?0，y?x 在(??,?a]，[a,??)上单调递增； 单调性 在[?a,0)，(0,a]上单调递减． 五、曼哈顿距离： 在平面上，M(x1,y1)，N(x2,y2)，则称d?x1?x2?y1?y2为MN的曼哈顿距离． 六、某类带有绝对值的函数：

1、对于函数y?x?m，在x?m时取最小值；

2、对于函数y?x?m?x?n，m?n，在x?[m,n]时取最小值； 3、对于函数y?x?m?x?n?x?p，m?n?p，在x?n时取最小值；

4、对于函数y?x?m?x?n?x?p?x?q，m?n?p?q，在x?[n,p]时取最小值； 5、推广到y?x?x1?x?x2? y?x?1x?x?2x?在(??,0)，(0,??)上单调递增； ?x?x2n，x1?x2?x1?x2??x?n2?x，1?x2n，在x?[xn,xn?1]时取最小值； ?x2n?1，在x?xn时取最小值．

思考：对于函数y?x?1?2x?3x?2，在x_________时取最小值．

四、幂函数、指数函数和对数函数

（一）幂函数

（1）幂函数的定义：

形如y?xa(a?R)的函数称作幂函数，定义域因a而异．

（2）当a?0,1时，幂函数y?xa(a?R)在区间[0,??)上的图像分三类，如图所示．

（3）作幂函数y?xa(a?0,1)的草图，可分两步：

①根据a的大小，作出该函数在区间[0,??)上的图像；

②根据该函数的定义域及其奇偶性，补全该函数在(??,0]上的图像． （4）判断幂函数y?xa(a?R)的a的大小比较：

方法一：y?xa(a?R)与直线x?m(m?1)的交点越靠上，a越大； 方法二：y?xa(a?R)与直线x?m(0?m?1)的交点越靠下，a越大

ax?b(c?0)的变形幂函数的作图： cx?dda

①作渐近线（用虚线）：x??、y?；

cc

（5）关于形如y?b

②选取特殊点：任取该函数图像上一点，建议取(0,)；

d

③画出大致图像：结合渐近线和特殊点，判断图像的方位（右上左下、左上右下）．

（二）指数&指数函数

1、指数运算法则： ①a?a?axyx?yaxax；②(a)?a；③(a?b)?a?b；④()?x，其中(a,b?0,x、y?R)．

bbxyxyxxx2、指数函数图像及其性质： / y?ax(a?1) y?ax(0?a?1) 图像 定义域 值域 奇偶性 渐近线 单调性 在(??,??)上单调递增； R (0,??) 非奇非偶函数 x轴 在(??,??)上单调递减； ①指数函数y?ax的函数值恒大于零； ②指数函数y?ax的图像经过点(0,1)； 性质 ③当x?0时，y?1； 当x?0时，0?y?1． 3、判断指数函数y?ax中参数a的大小：

方法一：y?ax与直线x?m(m?0)的交点越靠上，a越大； 方法二：y?ax与直线x?m(m?0)的交点越靠下，a越大．

③当x?0时，0?y?1； 当x?0时，y?1．

（三）反函数的概念及其性质

1、反函数的概念：

对于函数y?f(x)，设它的定义域为D，值域为A，如果对于A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，且满足y?f(x)，这样得到的x关于y的函数叫做y?f(x)的反函数，记作

x?f?1(y)．在习惯上，自变量常用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为y?f?1(x)(x?A)．

2、求反函数的步骤：（“解”?“换”?“求”） ①将y?f(x)看作方程，解出x?f(y)； ②将x、y互换，得到y?f?1(x)； ③标出反函数的定义域（原函数的值域）． 3、反函数的条件：

定义域与值域中的元素一一对应． 4、反函数的性质：

①原函数y?f(x)过点(m,n)，则反函数y?f ②原函数y?f(x)与反函数y?f ③奇函数的反函数必为奇函数． 5、原函数与反函数的关系： / 定义域 值域

?1?1(x)过点(n,m)；

(x)关于y?x对称，且单调性相同；

函数y?f(x) y?f?1(x) D A A D

（四）对数&对数函数

1、指数与对数的关系： ab?N a b 指数 N 幂 真数 底数 logaN?b 对数 2、对数的运算法则： ①loga1?0，logaa?1，alogaN?N；②常用对数lgN?log10N，自然对数lnN?logeN； ③loga(MN)?logaM?logaN，loga ④logbN?M?logaM?logaN，logaMn?nlogaM； NlogaN1m，logab?，loganbm?logab，logacbc?logab，alogNb?blogNa．

logbanlogab3、对数函数图像及其性质： / y?logax(a?1) y?logax(0?a?1) 图像 定义域 值域 奇偶性 渐近线 单调性 在(0,??)上单调递增； (0,??) R 非奇非偶函数 y轴 在(0,??)上单调递减； ①对数函数y?logax的图像在y轴的右方； ②对数函数y?logax的图像经过点(1,0)； 性质 ③当x?1时，y?0； 当0?x?1时，y?0．

③当x?1时，y?0； 当0?x?1时，y?0．

（2）函数y?Asin(?x??)?h与函数y?sinx的图像的关系如下： ①相位变换：

?y?sin(x??)； 当??0时，y?sinx???????y?sin(x??)； 当??0时，y?sinx??????向右平移?个单位向左平移?个单位 ②周期变换：

??y?sin(?x??)； 当??1时，y?sin(x??)????????????????y?sin(?x??)； 当0???1时，y?sin(x??)??????????????1所有各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）1所有各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） ③振幅变换：

所有各点的纵坐标伸长到原来的A倍（横坐标不变）?y?Asin(?x??)； 当A?1时，y?sin(?x??)??????????????所有各点的纵坐标缩短到原来的A倍（横坐标不变）?y?Asin(?x??)； 当0?A?1时，y?sin(?x??)?????????????? ④最值变换：

所有各点向上平行移动h个单位?y?Asin(?x??)?h； 当h?0时，y?Asin(?x??)?????????所有各点向下平行移动h个单位?y?Asin(?x??)?h； 当h?0时，y?Asin(?x??)????????? 注意：函数y?Acos(?x??)?h和函数y?Atan(?x??)?h的变换情况同上．

3、三角函数的值域： （1）y?asinx?b型：

设t?sinx，化为一次函数y?at?b在闭区间[?1,1]上求最值． （2）y?asinx?bcosx?c，a,b?0型： 引入辅助角?,tan??b，化为y?a2?b2sin(x??)?c． a （3）y?asin2x?bsinx?c型：

设t?sinx?[?1,1]，化为二次函数y?at2?bt?c求解． （4）y?asinxcosx?b(sinx?cosx)?c型：

a(t2?1)?bt?c在闭 设t?sinx?cosx?[?2,2]，则t?1?2sinxcosx，化为二次函数y??22 区间t?[?2,2]上求最值．

（5）y?atanx?bcotx型：

b 设t?tanx，化为y?at?，用“Nike函数”或“差函数”求解．

tasinx?b （6）y?型：

csinx?d 方法一：常数分离、分层求解；方法二：利用有界性，化为?1?sinx?1求解．

asinx?b （7）y?型：

ccosx?d 化为asinx?yccosx?b?dy，合并a2?y2c2sin(x??)?b?dy，利用有界性， sinx(???)b?dya?yc222求解．??[1,1]

不全为0）型：

（8）asinxcosx?bsin2x?ccos2x，（a?,0b,cac?bb?c 利用降次公式，可得asinxcosx?bsin2x?ccos2x?sin2x?，然后利用辅 cos2x?222 助角公式即可．

4、三角函数的对称性： 对称中心 对称轴方程 y?sinx (k?,0)，k?Z x?k???2，k?Z y?cosx y?tanx y?cotx (k??(?2,0)，k?Z x?k?，k?Z / / k?,0)k?Z 2k?(,0)k?Z 2 备注：①y?sinx和y?cosx的对称中心在其函数图像上；

②y?tanx和y?cotx的对称中心不一定在其函数图像上．（有可能在渐近线上） 例3：求函数y?5sin(2x?)?7的对称轴方程和对称中心．

3 解析：由函数y?sinx的对称轴方程x?k?? 解得x???2，k?Z，可得2x??3?k???2，k?Z

?12?k?，k?Z． 2??k? 所以，函数y?5sin(2x?)?7的对称轴方程为x??，k?Z．

3122 由函数y?sinx的中心对称点(k?,0)，k?Z，可得2x? 解得x???3?k?，k?Z

?6?k?，k?Z． 2??k?,7)，k?Z． 所以，函数y?5sin(2x?)?7的对称中心为(??362

5、反正弦、反余弦、反正切函数的性质和图像： 定义域 值域 奇偶性 单调性 对称中心 y?arcsinx y?arccosx [?1,1] [0,?] y?arctanx (??,??) [?1,1] [?,] 22奇函数 ??(?非奇非偶函数 在[?1,1]上是减函数 点(0,) 2,) 22奇函数 ??在[?1,1]上是增函数 点(0,0) 在(??,??)上是增函数 点(0,0) ?图像 重要结论： （1）先反三角函数后三角函数： ①a?[?1,1]?sin(arcsina)?cos(arccosa)?a； ②a?R?tan(arctana)?a． （2）先三角函数后反三角函数： ①??[? ??,]?arcsin(sin?)??； 22 ②??[0,?]?arccos(cos?)??；

,)?arctan(tan?)??． 22 （3）反三角函数对称中心特征方程式：

③??(??? ①a?[?1,1]?arcsin(?a)??arcsina； ②a?[?1,1]?arccos(?a)???arccosa； ③a?(??,??)?arctan(?a)??arctana． 6、解三角方程公式：

k?sinx?a,a?1x??k?(?1)arcasikn?,Z?x?a,a?1x??2k?arccaosk?,Z?cos． ?tan??k?arctaan?k,Z?x?a,a?Rx

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