概率论习题册答案中国地质大学武汉

概率论习题册答案

第一章 随机事件及其概率

§1.1 样本空间与随机事件

一、

计算下列各题

1.写出下列随机实验样本空间：

(1) 同时掷出三颗骰子，记录三只骰子总数之和；

(2) 10只产品中有3次产品，每次从中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数；

(3) 一只口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中抽取4只，观察它们具有哪种颜色；

(4) 有A,B,C三只盒子，a,b,c三只球，将三只球，装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球情况；

(5) 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 解 1（1）{3,4,5,?,18}； （2）{3,4,5,?,10}；

（3）{R,W,B,RW,RB,WB,RWB}；其中R,W,B分别表示红色，白色和蓝色； （4）{Aa,Bb,Cc;Aa,Bc,Cb;Ab,Ba,Cc;Ab,Bc,Ca;Ac,Bb,Ca,Ac,Ba,Cb}其中Aa表示a求放在盒子A中，可类推；

（5）{(x,y,z)|x?0,y?0,z?0,x?y?z?1}其中x,y,z分别表示三段之长。 2. 设A,B,C为三事件，用A,B,C运算关系表示下列事件：

（1）A发生,B和C不发生； （2）A与B都发生, 而C不发生； （3）A,B,C均发生； （4）A,B,C至少一个不发生； （5）A,B,C都不发生； （6）A,B,C最多一个发生； （7）A,B,C中不多于二个发生； （8）A,B,C中至少二个发生。 解 （1）ABC；（2）ABC；（3）ABC；（4）A?B?C；（5）ABC； （6）ABC?ABC?ABC?ABC；（7）ABC；（8）AB?AC?BC

3．下面各式说明什么包含关系？

(1) AB?A ； (2) A?B?A； (3) A?B?C?A 解 （1）A?B； （2）A?B； （3）A?B?C

4. 设??{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A?{2,3,4}, B?{3,4,5}, C?{5,6,7}具体写出下列各事件： (1) AB， (2) A?B， (3) A B， (4) ABC， (5)A(B?C). 解 （1）{5}； (2) {1,3,4,5,6,7,8,9,10}； (3) {2,3,4,5}；

(4) {1,5,6,7,8,9,10}； (5) {1,2,5,6,7,8,9,10}。

5．如下图，令Ai表示“第i个开关闭合”, i?1,2,3,4,5,6，试用A1, A2, ?,A6表示下列事件，（1）系统Ⅰ为通路，（2）系统Ⅱ为通路。

系统Ⅰ 系统 Ⅱ

1 5 2 3 1 2 3 4 L1 4 R1 L2 6 R2

解 (1) A1?A2A3?A4 (2) A1A5?A1A2A3A4?A6A3A4?A6A2A5。

§1.2 事件的频率与概率

一．填空题

1．设事件A,B的概率分别为0.5，0.6，且互不相容，则积事件AB的概率P(AB)? 0 ； 2．设随机事件A,B及其和事件A?B的概率分别是0.4、0.3和0.6，若B表示B对立事件，那么积事件AB 的概率P(AB)? 0.3 ；

3. 已知P(A)=0.4, P(B)=0.3,

(1) 当A,B互不相容时, P(A+B)== 0.7; P(AB)= 0 . (2) 当B+A时, P(A+B)== 0.4 ; P(AB)= 0.3 ； 4. 若P(A)??,P(B)??,P(AB)??,P(A?B)?P(A?B)=

1-g;P(AB)?b-g;

1????。

二、选择题

1. 若二事件A和B同时出现的概率P(AB)=0则（C） （A）A和B不相容； （B）AB是不可能事件； （C）AB未必是不可能事件； （D）P(A)=0或P(B)=0. 2. 对于任意二事件A和B有P(A?B)? (C ) (A) P(A)?P(B); （B）P(A)?P(B)?P(AB); （C）P(A)?P(AB); （D）P(A)?P(B)?P(B)?P(AB).

3. 设A , B是任意两个概率不为0的不相容的事件,则下列事件肯定正确的（D） (A) A与B不相容; (B)A与B相容; (C) P(AB)=P(A)P(B); (D) P(A-B)=P(A). 4. 当事件A、B同时发生时，事件C必发生则（B）

(A)P(C)?P(A)?P(B)?1;(B)P(C)?P(A)?P(B)?1;

(C)P(C)?P(AB); (D)P(C)?P(A?B).三、计算下列各题

1. 已知P(A)?P(B)?P(C)?生的概率。

解P(ABC)?P(A?B?C)?1?P(A?B?C)?31?3 ?1?[P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)]?1??????48?8

11,P(AB)?0,P(AC)?P(BC)?，求事件A,B,C全不发4162 某地有甲、乙、丙三种报纸，该地成年人中有20%读甲报，16%读乙报，14%读丙报，其中8%兼读甲和乙报，5%兼读甲和丙报，4%兼读乙和丙报，又有2%兼读所有报纸，问成年人至少读一种报纸的概率。

解 设A，B，C分别表示读甲，乙，丙报纸

P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) ?0.2?0.16?0.14?0.08?0.05?0.04?0.02?0.35

3. 某门课只有通过口试及笔试两种考试，方可结业. 某学生通过口试概率为80%，通过笔试的概率为65%，至少通过两者之一的概率为75%，问该学生这门课结业的可能性有多大？

解 A=“他通过口试”，B=“他通过笔试”,则 P(A)=0.8, P(B)=0.65, P(A+B)=0.75 P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0.8+0.65-0.75=0.70

即该学生这门课结业的可能性为70%。

4. 向三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余二个各为0.1. 只要炸中一个，另两个也要爆炸. 求军火库发生爆炸的概率。

解 设A、B、C分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，D表示军火库爆炸这个事件，则

P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.025+0.1+0.1=0.225.

四、证明题

?P（A）?P（B）?2P（AB）试证P（AB?AB）.

证 P（AB?AB）?P（AB)?P(AB)?P(ABAB)?P(A?B)?P(B?A) ?P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?2P(AB) 。

§1.3 古典概型与几何概型

一、填空题

1．一部四卷的文集，按任意次序放在书架上，各卷自左向右，或自右向左顺序恰好为1、2、3、4概率为

1 ； 122．一批(N个)产品中有M个次品、从这批产品中任取n个，其中恰有个m个次品的概

mn?mnCn率是 CM?M/CN ；

3．某地铁车站, 每5分钟有一趟列车到站，乘客到达车站的时刻是任意的，则乘客侯车时间不超过3分钟的概率为 0.6 ；

4．在区间（0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于

6 ”的概率为 0.68 ； 55. 将C、C、E、E、I、N、S七个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率为 1/1260 ；

6.在区间?0,1?中随机取两个数，则这两个数之差的绝对值小于二、选择题

13的概率为。 241. 张奖券中含有m张有奖的，k个人购买，每人一张，其中至少有一人中奖的概率是

（B）

1?1Cnk?mCmCnk?mm (A) k; (B) 1?k; (C) ; (D) kCnCnCnrCm. ?kCr?1nk2. 掷两枚均匀硬币,出现一正一反的概率是（B）

） （A1113; B ( () C) ; ; ( D). 3244三、计算下列各题

1．已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。

（1）两只都是正品 ；（2）两只都是次品 ；（3）一只是正品，一只是次品；（4）至少一只是正品。

解 （1） p1?C822C1028?; (2)452C21p2?2?

C1045 (3)p3?11C8C22C10?16144; ( 4 ) p 4?1?p2?1??. 4545452. 把10本书任意放在书架上，求其中指定的5本书放在一起的概率。 解 所求概率p?6!?5!1?. 10!42 3. 某学生宿舍有8名学生，问（1）8人生日都在星期天的概率是多少？（2）8人生日都不在星期天的概率是多少？（3）8人生日不都在星期天的概率是多少？

解 (1)1?1?p1?8???;

7?7?68?6?p2?8???; (3)7?7?88 (2)1?1?p3?1?8?1???。

7?7?84．从0 ~ 9中任取4个数构成电话号码（可重复取）求： （1）有2个电话号码相同，另2个电话号码不同的概率p； （2）取的至少有3个电话号码相同的概率q。 解 (1)122C10C4A9p??0.432；

104111C1C3A04?9C10?0.0 37 (2)q?410

5. 某工厂生产过程中每批出现次品的概率为0.05,每100个产品为一批,检查产品质量时,在每一批任取一半来检查,如果发现次品不多于一个,则这批产品可以认为是合格的.,求一批产品被认为是合格的概率p。

解 可以认为一批100个产品中有5个次品,

505149基本事件总数?C100, 有利的基本事件数?C95?C5C955149C95?C5C95所求概率 p?50C100 。

6. 随机地将15名新生平均分配到三个班中，这15名新生有3名优秀生.求（1）每个班各分一名优秀生的概率p（2）3名优秀生在同一个班的概率q。

解 基本事件总数有

15！种 5！ 5！ 5！(1) 每个班各分一名优秀生有3! 种, 对每一分法,12名非优秀生平均分配到三个班中分3！ 12！12！3！ 12！！ 4！ 4！?25. 法总数为种, 所以共有种分法. 所以 p =415！914！ 4！ 4！4！ 4！ 4！5！ 5！ 5！ (2)3名优秀生分配到同一个班, 分法有3种, 对每一分法,12名非优秀生分配到三个班中3?12！3?12！12！！ 5！ 5！?6。 分法总数为, 共有种, 所以 q =215！912！ 5！ 5！2！ 5！ 5！5！ 5！ 5！7. 随机的向半圆0?y?2ax?x2（a为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域面积成正比，求原点和该点连线与X轴的夹角小于

1解 这是几何概型, 样本空间占有面积为? a2,

2?的概率。 411所求事件占有面积为? a2?a2

4211? a2?a2112??。 所以, 所求概率p?412?? a228. 设点(p,q)随机地落在平面区域D: |p|≤1, |q|≤1上, 试求一元二次方程

x2?px?q?0两个根 (1) 都是实数的概率, (2) 都是正数的概率。

解 (1) 方程两根都是实数?p2?4q?0, 即 q?12p,4

12(p?1)dp??1413 方程两根都是实数的概率??.4241(2) 方程两根都是正数?p2?4q?0, p?0, q?0,012??14pdp1

方程两根都是正数的概率??.448

§1.4 条件概率

三、计算下列各题

1．某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品在有75件一等品，试求在该产品任取一件的是一等品的概率。

解 令A? 品“任取一件是合格，品B”?“任取一件是一等 P(AB)?P(A)P(B|A)?(1?0.04)?0.75?0.72。

2. 设某种动物由出生而活到20岁的概率为 0.8，活到25岁的概率为0.4，求年龄为20 岁的这种动物活到25岁的概率。

解 设A? “该动物活到20岁”，B?“该动物活到25岁” P(B|A)?P(AB)0.4??0.5。 P(A)0.83. 在100个次品中有10 个次品 ，每次从任取一个（不放回），求直到第4次才取到正品的概率。

解 Ai=“第i次取到正品” i =1，2，3，4.

P(A1A2A3A4)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)

4. 比赛规定5局比赛中先胜3局为胜，设甲、乙两人在每局中获胜的概率分别为0.6和0.4，若比赛进行了两局，甲以2︰0领先，求最终甲为胜利者的概率。

解 设 B=“最终甲胜”，Ai=“第i局甲胜”

?109890????0.00069100999897P(B|A1A2)?

?P(BA1A2)P(A1A2A3)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4A5)?P(A1A2)P(A1)P(A2)33320.6?0.6?0.4?0.6?0.4?0.9360.62

四、证明题

1. 若P(A)?0,P(B)?0，且P(A|B)?P(A)证明P(B|A)?P(B)。 证 因为 P(A|B)?P(A), 则 所以 P(B|A)?P(AB)?P(A)?P(AB)?P(A)P(B) P(B)P(AB)P(A)P(B)??P(B) 。 P(A)P(A)2. 证明事件A与B互不相容，且0

1?P（B）P(AB)P(A)?。 1?P(B)P(B)

§1.5 全概率公式和贝叶斯公式

三、 计算下列各题

1. 三个箱子, 第一个箱子里有4个黑球1个白球, 第二个箱子里有3个黑球3个白球, 第三个箱子里有3个黑球5个白球, 求（1）随机地取一个箱子，再从这个箱子取出一球为白球的概率; （2）已知取出的一个球为白球, 此球属于第二个箱子的概率。

解 Ai =“在第i箱取球” i=1，2，3，B=“取出一球为白球”

11131553(1)P(B)??P(Ai)P(B|Ai)???????

353638120i?1311?P(A2)P(B|A2)3220 (2)P(A2|B)???53P(B)531202. 设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、3箱、2箱，三厂产品的废品率依次为0.1、0.2、0.3，从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件产品，求取得正品的概率。

解 设A=｛取得的产品为正品｝， Bi,i?1,2,3分别为甲、乙、丙三厂的产品

P(B1)=0.5 ，P(B2)=0.3，P(B3)=0.2，P(A|B1)?0 .9 ，P(A|B2)?0 .8 ,P(A|B3)?0.7

所以 P（A）??P?Bi?P?ABi??0.83。

i?133. 一群人中有37.5 %的为A型血型，20.9 %为B型，7.9 %为 AB型，33.7 %为 O型，已知能允许输血的血型配对如下表，现在在人群中任选一人为输血者，再选一人为需要输血者，问输血者能成功的概率是多少？

输血者 A型 受血者 B型 × √ √ × AB型 √ √ √ × O型 √ √ √ √ A型 B型 AB型 O型 √ × × √ 解 设A=｛输血成功｝ Bi,i=1,2,3,4分别表示A,B,AB,O型血型

则P(B1)=0.375 P(B2)=0.209 P(B3)=0.079 P(B4)=0.337

P(A|B1)= P(B1)+P(B4)=0.712

P(A|B3)=0.663， P(A|B4)=1 同理可求出 P(A|B2)=0.288，则 P（A）=?P(B)?P(AB)i=1ii40.717。

4. 已知男人中有5 %的色盲患者，女人中有0.25 %的色盲患者，今从男女人数中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？

解 B=｛从人群中任取一人是男性｝， A=｛色盲患者｝

?PB?0.5 P(A|B) ?5% ， P(A|B) ?0.25% 因为 P（B）?? P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)?0.5?0.05?0.5?0.0025?0.02625 所以 P(B|A) ?P(B)P(A|B)0.5?0.0520??。

P(A)0.02625215. 某一工厂有A,B,C三个车间生产同一型号螺钉，每个车间的产量分别占该厂螺钉总产量的25 %、35 %、40 %，每个车间成品中的次品分别为各车间产量的5 %、4 %、2 %，如果从全厂总产品中抽取一件产品螺钉为次品，问它是A,B,C车间生产的概率。

解 A、B、C分别表示A、B、C三车间生产的螺钉，D=“表示次品螺钉”

P（A）?25% P（B）?35% P（C）?45%

P（D|A）?5% P（D|B）?4% P（D|C）?2% P?AD??P?A?P?DA?P?D?

P?A?P?DA?=

P?A?P?DA??P?B?P?DB??P?C?P?DC?=

25?5?25

25?5?35?4?40?269同理 P（B|D）=28 ； P（C|D）=16。

69696. 某高校甲系二年级一、二、三班学生人数分别为16人，25人和25人，其中参加义务献血的人数分别为12人，15人和20人，从这三个班中随机地抽取一个班，再从该班学生中任取2人.（1）求第一次取的是已献血的学生的概率p. （2）如果第二次抽到的是未参加献血的学生，求第一次取的是已献血的学生的概率q.

解 设Ai?\抽取的学生是i班的\, i?1,2,3, Bj?\第j次抽到未献血的\, j?1,2,1121则 P(Ai)?, i?1,2,3. P(B1|A1)?, P(B1|A2)?, P(B1|A3)?,3455133443(??)?.345560i?11211241(2) P(B2|A1)?, P(B2|A2)?, P(B2|A3)?, P(B1B2|A1)???,45516155151012051 P(B1B2|A2)???, P(B1B2|A3)???,2524425246 (1) p?P(B1)??P(Ai)P(Bi|Ai)?3111137P(B1B2)??P(Ai)P(B1B2|Ai)?(??)?.

3546180i?1112117 P(B2)??P(Ai)P(B2|Ai)?(??)?.

345560i?133

所以 q?P(B1|B2)?P(B1B2)37?。

P(B2)51

§1.6 事件的独立性

三、计算下列各题

1. 某类电灯泡使用时在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小以后最多只有一个坏的概率。

解 A表示一个灯泡使用时数在1000小时以上

P（A）?0.2

P｛三灯泡中最多有一个坏｝=P｛三个全好｝+P｛只有一个坏｝

32= C3(0.2)3+C3(0.2)2(1–0.2)=0.104。

2. 一射手对同一目标独立进行了四次射击,若至少命中一次的概率为的命中率。

80, 求该射手81802?1?解 ?1?P(命中 0 次）?1?（1?p)4, (1?p)4????p?。

813?3?3. 某型号的高射炮，每门炮发射一发击中的概率为0.6，现若干门炮同时发射一发，问欲以99%的把握击中来犯的一架敌机至少需要配置几门炮？

解 设需要配置n门高射炮

A=“高炮击中飞机”， 则 P（A）?0.6

P｛飞机被击中｝=P｛n门高射炮中至少有一门击中｝

4 =1–P｛n门高射炮全不命中｝ 1?(1?P|A|)n?1?0.4n?99% ?0.4n?0.01?n? 至少配备6门炮。

4. 设有三门火炮同时对某目标射击，命中概率分别为0.2、0.3、0.5，目标命中一发被击毁的概率为0.2，命中二发被击毁的概率为0.6，三发均命中被击毁的概率为0.9，求三门火炮在一次射击中击毁目标的概率。

解 设A=｛目标一次射击中被击毁｝Bi=｛目标被击中的发数｝，（i?0，1，2，3，）

则P(B0)?0.8?0.7?0.5?0.28

P(B1)=0.2×0.7×0.5+0.8×0.3×0.5+0.8×0.7×0.5=0.47

lg0?01?5?026 lg0?4P(B2)=0.2×0.3×0.5+0.2×0.7×0.5+0.8×0.3×0.5=0.22 P(B3)=0.2×0.3×0.5=0.03

P(A|B0)?0 P(A|B1)?0.2 P(A|B2)?0 .6 P(A|B3)?0.9

所以 P(A)??P?Bi?P?ABi??0.47×0.2+0.2×0.6+0.03×0.9=0.253。

i?035. . 掷一枚均匀硬币，直到出现3次正面朝上为止，若正好在第6次后停止，求第5次也正面朝上的概率.

解 A=“正好在第6次后停止”，B=“第5次也正面朝上”.

11311?()??P(AB)2222?0.4 P(B|A)??111P(A)C52?()2?()3?2221C4?四、证明题

设A,B是任意二事件,其中A的概率不等于0和1, 证明,P(B|A)?P(B|A)是事件A与B独立的充分必要条件。

和1，证 因为A的概率不等于0和1,所以A的概率不等0于

P(AB)PAB()?P(A)PA() ?[1?P(A)]P(AB)?P(A)[P(B)?P(AB)]

P(B|A)?PB(A|?) ?P(AB)?P(A)P(B),即A和B独立.第二章 随机变量及其函数的概率分布

§2.1 随机变量与分布函数

§2.2 离散型随机变量及其概率分布

三、 计算下列各题

1. 袋中有10个球，分别编号为1~10，从中任取5个球，令X表示取出5个球的最大号码，试求X的分布列。

解 X的可能取值为5，6，7，8，9，10 且P(X?k)? 所以X的分布列为

X P 5 6 7 8 9 10 Ck4?15C10, k?5,6,7,8,9,10

155155 2841825225236312. 一批元件的正品率为，次品率为，现对这批元件进行有放回的测试，设第

44X次首次测到正品，试求X的分布列。

?1?解 X的取值为1，2，3，… 且 P(X?k)????4?k?1?33?, k?1,2,3,?. 44k 此即为X的分布列。

3. 袋中有6个球，分别标有数字1，2，2，2，3，3，从中任取一个球，令X为取出的球的号码，试求X的分布列及分布函数。 解 X的分布列为

X P 1 2 3 111 263?0, x?1?1?, 1?x?2? 由分布函数的计算公式得X的分布函数为 F(x)??6

2?, 2?x?3?3?1, x?3?4. 设随机变量X的分布律为P(X?k)?k k?1,2,3,4,5。 1515 求 (1) P(?X?), (2) P(1?x?3), (3) P(X?3).

2215121 解 (1) P(?X?)?P(X?1)?P(X?2)???,

2215155(2) P(1?x?3)?P(X?1)?P(X?2)?P(X?3)?1232???,1515155

453(3) P(X?3)?P(X?4)?P(X?5)??? .15155

?k5. （1）设随机变量X的分布律为P(X?k)?a k?1,2,?; ??0为常数，试

k!确定a。（2）设随机变量Y只取正整数值N，且P(Y?N)与N2成反比，求Y的分布律。 解 （1）因为

?P(X?k)?1,及?k!?e??1, ??0，所以a?e??1.

k?1k?1???k1（2）令P(Y?N)?a6k类似上题可得 。 k? N?1,2,?; ?2N2所以Y的分布律为 P(Y?N)?6,?2N2N?1,2,?

6. 汽车沿街道行驶，需要通过3个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯时间相等，以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口，求X的概率分布

解 X=0, 1, 2, 3, Ai=“汽车在第i个路口遇到红灯.”，i=1，2，3.

P(X?0)?P(A1)=

111, P(X?1)=P（A1A2）?2? 242P(X?2)P（A1A2A3）?1111，=P(X?3)?P（AAA）?? 123238238X P 0 1/2 1 1/4 2 1/8 3 1/8

为所求概率分布

7. 同时掷两枚骰子, 直到一枚骰子出现6点为止, 试求抛掷次数X的概率分布律. 解 设 Ai?\第i次出现6点\, P(Ai)?11, i?1,2,?,361111所以 X的概率分布为 P(X?k)?P(A1A2?Ak?1Ak)?(1?)k?1?, k?1,2,?3636

四、证明题

试证明： 设F1(x)和F2(x)都是分布函数，又a?0, b?0, 是两个常数，且a?b?1，F(x)?aF1(x)?bF2(x)也是分布函数.

（（?0?F1x)?1, 0?aF1x)?a 解（）因为1 ??0?aF（（; 1x)?bF2x)?a?b?1（0?bF（?0?F2x)?1,2x)?b（x)?aF（?aF1x2) (2) ?x1?x2, 有?11（（?bF2x1)?bF2x2) ?F(x1)?aF（（（（1x1)?bF2x1)?aF2x2)?bF1x2)?F(x2),所以F(x)是不减函数. （3） limF(x)?lim?aF（（（（1x)?bF2x)??alimF1x)?blimF2x)?a?b?1x???x???x???x??? limF(x)?lim?aF（（（（1x)?bF2x)??alimF1x)?blimF2x)?a?0?b?0?0x???x???x???x???

(4)F(x?0)?aF1(x?0)?bF2(x?0)?aF1(x)?bF2(x)?F(x)由于F(x)满足分布函数的四个性质，所以F(x)是分布函数.

§2.3 连续型随机变量及其概率密度函数

三、计算下列各题

?x, 0?x?1?1. 设连续型随机变量X的密度函数为f(x)??2?x, 1?x?2；求X的分布函数。

?0, 其它?解 F(x)??x???0, x?0?2?x, 0?x?1?2 f(x)dx ， F(x)??2?2x?x?1, 1?x?2?2??1, x?2?1?(1?x)e?x, x?02. 设随机变量X的分布函数为F(x)??；求(1) P(X?1); (2) X0, x?0?的密度函数。

解 (1) P(X?1)?F(??)?F(1)?1?(1?2e?1)?2e?1; ?xe?x, x?0 (2) f(x)?F?(x)??

?0, x?0?4x3, 0?x?13. 设连续型随机变量X的密度函数为f(x)??；

0, 其它?（1） 求常数a，使P(X?a)?P(X?a)； （2）求常数b，使P(X?b)?0.05。 解 （1）因为 P(X?a)?P(X?a)，所以1?P(X?a)?P(X?a),故

P(X?a)??4x3dx?a4?0a11,所以a?4。 2219,20（2） 因为 P(X?b)?0.05,1?P(X?b)?0.05,P(X?b)?b4? 所以b4?

19,即b?40.95?0.9872 204. 在半径为R，球心为O的球内任取一点P，X为点O与P的距离，求X的分布函数及概率密度。

解 当0?x?R时，设OP?x，则点P落到以O为球心，x为半径的球面上时，它到O点的距离均为x，因此

P(X?x)?VOPVOR?0, x?043?33?x??x??x?3????，所以，X的分布函数为F(x)????, 0?x?R

4R3????R??R3?1, x?R??3x2, 0?x?R?X的密度函数为 f(x)?F?(x)??R3

?0, x?0,x?R?5. 设随机变量X的分布函数为F(x)?A?Barctanx,–∞

(2) P (–1

1???A?A?B?0??F(??)?0???2 2解 （ 1） ?????,1F(??)?1???A?B?1?B????2??11111 (2) P(?1?x?1)?F(1)?F(?1)?(?arctan1)?(?arctan(?1))?,2?2?2

1 (3) f(x)?F?(x)?,???x????(1?x2) 0?x?1?2x，??6. 设随机变量X的概率密度为f（x）, 以Y表示对X进行三次独立观0, 其它?察中{X≤

1}出现的次数,求概率P(Y=2). 211 111解 p = P (X≤)=?2f（x）dx??22xdx?, 由已知 Y~B(3, )

?? 042492123所以 P（Y?2） ?C（）?344647. 从某区到火车站有两条路线，一条路程短，但阻塞多，所需时间（分钟）服从N(50,100)；另一条路程长，但阻塞少，所需时间（分钟）服从N(60,16)，问

（1） 要在70分钟内赶到火车站应走哪条路保险？ （2） 要在65分钟内赶到火车站又应走哪条路保险？ 解 （1）因为 P(X1?70)??(70?5070?60)?0.9772,P(X2?70)??()?0.9938. 104所以走第二条。 （2）类似的走第一条。

§2.4 随机变量函数的分布

三、计算下列各题

1. 设随机变量X的分布律如下，求Y?X2?1的分布律。

X Pi -2 1 5 -1 1 6 0 1 5 1 1 15 2 11 30解

Y 1 2 5 Pi 1 5 7 30 17 302. 设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求(1) Y?eX; (2) Z??2lnX的密度函数。 解 X的密度函数为 f(x)???1, 0?x?1

?0, x?0,x?1lnxX（1）

设Y?e，则有 FY(x)?P(Y?x)?P(e?x)?P(X?lnx)?X???fX(t)dt。

所以 fY(x)?1fX(lnx)，因此当x?1及x?e时，由fX(x)?0知fY(x)?0； x?11?, 1?x?e当0?x?e时，由fX(x)?1知fY(x)?，所以所求密度函数为fY(x)??x

x?0, x?1,x?e?x?1?2?e, x?0（2） 类似的可得：fZ(x)??2

?0, x?0?3. 设X~N(0,1)，求(1) Y?e; (2) W?|X|的密度函数。

12??x22X解 （1）X的密度函数为 fX(x)?Xe (???x???)， Y?eX的分布函数为

lnyFY(y)?P(Y?y)?P(e?y)?P(X?lny)?? FY(y)?0 , y ?0

??fX(t)dt, y?0

?1?(Iny)1e2., y?0?X 所以 Y?e的密度函数为 fY(y)??2? y?0, y?0?（2） W?|X|的分布函数为 FW(y)?P(W?y)?P(|X|?y) ?P(?y?X?y)?212?y?y?e?t22dt?2?y?e0?t22dt y?0

FW(y)?0 , y ?0

?2?y2?e2, y?0 所以 W?|X|的密度函数为 fW(y)???

?0, y?0??2x?, 0?x??4. 设随机变量X的概率密度为f(x)???2；求Y?sinX的概率密度。

?0, 其它?解 当0?y?1时，FY(y)?P(Y?y)?P(sinx?y)

?P(0?X?arcsiny)?P(??arcsiny?X??)

arcsiny??02x??2dx???arcsiny?2x?2dx?2arcsiny?2,

2?, 0 ? y?1?2 所以 fY(y)???1?y

? ? 0 ,y?1?0, y5. 若球的直径D的测量值在[a,b]上均匀分布，求球的体积V的概率密度。 ?1, a?d?b1?解 fD(d)??b?a , V??D3,6?0, 其它????16v???FD?36v?, FV(v)?P(?D3?v)?P?D?3?????6?????1??1?2?3?2?a3?b33?6v??6v????3???b?a?9??v, 6?v?6所以 fV(v)?fD?3??????????????0, 其它a26. 将长度为2a的直线随机分成两部分，求以这两部分为长和宽的矩形面积小于的

2概率。

解 长为2a的直线分成 X, 2a?X 两部分,X 在[0,2a]上均匀分布?1?, 0?x?2a fX(x)??2a , 面积 Y?X(2a?X)?0, 其它??? ?a2a2?22?P(0?Y?)?P?0?X(2a?X)??P?\0?X?a?a\ ? \a?a?X?2a\?????22?22???1??a?2a?a?22a?22??2a??1??2? ?四、证明题

1. 设X是取正值的随机变量，若lnX~N(?,?2),试证X 的密度函数为

?1?12?exp?(lnx??)??2?2?,x?0, 这 p(x)???x2? 布 称为对数正态.分???0, x ? 0?证 Y?lnX~N(?,?2),X?eY,x??ey,x?0,所以X的密度为

?1?1?1?exp(lnx??)2?,x?0f(lnx),x?0?Y?2? p(x)?? ???x2??2??x??0, x?0??0, x?02. 设随机变量X服从参数为0.5的指数分布, 证明Y?1?e?2x在区间(0,1)服从均匀分布。

?2e?2x， x?0x）?证 X服从参数为0.5的指数分布,则概率密度为 f（ ?X0, x ? 0 ? Y?1?e?2x, y??2e?2x?0, 函数y单调可导,其反函数为 x??ln（1?y）?1, 0?y?111?|??ln（1?y））|(?ln（1?y）

220, 其它?12?f（由公式 f（Yy）X?所以 Y?1?e?2x在区间(0,1)服从均匀分布。

第三章 多维随机变量及其分布

§3.1 二维随机变量的概率分布

三、计算下列各题

0?x?1，0?y?1?4xy，??1. 已知随机变量X和Y的联合密度为f（x，y）, 求X和Y的0， 其它?联合分布函数F(x,y)。

解 因为 F?X,Y???x?????yf(x,y)dxdy

(1)x?0或y?0时，由f(x,y)?0,得F(x,y)?0(2) 0?x?1， 0?y?1时, F(x,y)??dx?4xydy?x2y200xy(3) x?1, 0?y?1时, F(x,y)??dx?4xydy?y2001y(4) 0?x?1, y?1时, F(x,y)??dx?4xydy?x200x1

(5) x?1, y?1时, F(x,y)?1?0, x?0或y?0?22 0?y?1?xy, 0?x?1，?所以 F(x,y)??y2, x?1, 0?y?1

?2?x, 0?x?1, y?1?1, x?1, y?1?

2. 一个箱子装有12只开关，其中2只是次品，现随机地无放回抽取两次，每次取一只，以X和Y分别表示第一次和第二次取出的次品数，试写出X和Y的概率分布律。

解. P(X?0,Y?0)?11C10C911C12C1111C2C4510?, P(X?1,Y?0)?110?,. 16666C12C11 P(X?0,Y?1)?11C10C211C12C1111C2C101?, P(X?1,Y?1)?111?66C12C1166

?2g(x2?y2)?, 0?x,y?????3. 给定非负函数g(x),它满足?g(x)dx?1,又设f(x,y)???x2?y2,

0???0, 其它问f(x,y)是否是随机变量X和Y的联合概率密度?说明理由。

解 f(x,y)是X和Y的联合概率密度只要满足f(x,y)≥0与

??????????f(x,y)dxdy?1

由于0?x,y??, x2?y2?0, g(x)非负, 所以g(x2?y2)?0, 故f(x,y)?0,

??????????f(x,y)dxdy?????????2g(x2?y2)???x2?y2dxdy?2???20d????0g(r)rdr?1 r所以f(x,y)是随机变量X和Y的联合概率密度。

4. 设随机变量 (X,Y) 的联合密度为（fx，y）????k?6?x?y?, 0?x?2,2?y?4，求：

??0, 其它（1）系数k； （2）P?X?1,Y?3?； （3）P?X?1.5?； （4）P?X?Y?4?。

1f(x,y)dxdy?dyk(6?x?y)dx?8k?1?k?. ???????2?083113（2）P?X?1,Y?3???dy?(6?x?y)dx?.

208841.5127（3）P?X?1.5???dy?(6?x?y)dx?.

2083244?y12（4）P?X?Y?4?=P?X?1.5???dy?(6?x?y)dx?.

2083解：（1） ????42??a(1?x2?y2), x2?y2?15. 设随机变量 (X,Y) 的联合密度为f（x，y）, ????0, 其它1求 (1) 系数a, (2) 概率P（X2?Y2?）。

4解 (1) ??????????f(x,y)dxdy??d??a(1?r)rdr?0022?1?a3?1?a?.3?1201 (2) P(X?Y?)?42??2f(x,y)dxdy??d??1402?X?Y2?31(1?r)rdr ?.?2

1n1n解：设X??Xi，由题设，E(X)??E(Xi)?0，从而

ni?1ni?1?n??1n?limP??Xi?n??limP??Xi?1??limPX?1?limPX?E(X)?1， n??n???i?1?n???ni?1?n???????n?即 limP??Xi?n??limPX?E(X)?1，

n???i?1?n????由切比雪夫大数定律，知对??1?0，有

?n?limP??Xi?n??limPX?E(X)?1?1. n???i?1?n????11．设随机变量序列X1,X2,,Xn,?1?n满足条件limDX??i??0，证明

n??n2?i?1???1n?1n?limP??Xi??E(Xi)????1。 n???nni?1??i?1??1n?1n?1n?1?n?证明：因为E??Xi???E(Xi),D??Xi??DX??i?， 2?ni?1?ni?1?ni?1?n?i?1?所以由切比雪夫不等式可得

?1n?DX??i???ni?1??1n??1n?? P??Xi?E??Xi?????1?2??ni?1????ni?1??1n?limDX??i?nnn????n1?1??i?1??1. 从而有 limP??Xi??E(Xi)????1?n???nni?1?2??i?1?

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