华中师范大学《数学通讯》20115发表

“对称”—经久不衰的高考考点

华中师范大学《数学通讯》2011 5 发表

华东师范大学松江实验高级中学 董顶国

邮编 201600 电话13761969517

每年的高考，较多问题都渗透着对“对称”内容的考察。在解答它们时，若能挖掘潜在的对称性，根据几何图

形的对称、数据、位置、关系等所隐含着的对称性特点，则能在纷繁的困惑中求得简捷的突破，获得问题的最优解。

一、巧用空间图形的对称简化求解

例1（09安徽卷理10）

考察正方体6个面的中心，从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ） （A）

1234 （B） （C） （D） 75757575 [解析] 如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这

226个点中任意选两个点连成直线，共有C6?C6?15?15?225

种不同取法，先研究点A为端点的平行直线有四对，由对称性知平行直线共6?4?2=12对，所以所求概率为p?选D

124?，22575E C A F

E · D

C · · D B

· ·

B

A

· F 例2（2010江西理10）过正方体ABCD?A1BC11D1的顶点A作直线L，成的角都相等，这样的直线L可以作（ ）

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

【解析】通过点A的直线AB、AD、AA1把空间分为八个卦限，由其棱之间的直线有一条体对角线AC1符合题意，该线实质是穿过相对的两

使L与棱AB,AD,AA1所

自身的对称性可知位于三条个卦限的直线，再由棱

AB,AD,AA1所在直线的无限延展性及线线角的定义知另3条穿过相对的两个卦限的直线，故选D

二、巧用曲线的对称简化求解

x2y2??1的长轴AB分成8分，例3（2006四川卷）如图把椭圆过每个分点作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,……P72516七个点，F是椭圆的一个焦点，则PF?P12F?......?P7F?_____

【解析】只需取椭圆的另一焦点与P1,P2,……P7七个点分别连接，由结论1和对称性可知

1PF?PF?......?PF???14?5??35 1272

例4（08湖北卷理10）过点E(11，2)作圆x2?y2?2x?4y?164?0的弦，

其中弦长为整数的共有（ ）

A．16条 B．17条 C．32条 D．34条 【解析】过点E的最短弦AB?10，过点E的最长弦CD?26过点E的弦由最短弦AB到最长弦CD的变化时，中间共有 15条弦的弦长为整数，由对称性另一侧亦有15条弦的弦长 为整数，故过点E且弦长为整数的弦共有15+15+2=32条所以应选C

三、利用函数图像中的对称性简化求解

例5（2010上海卷理8）对任意不等于1的正数a，函数f(x)?loga(x?3)的

反函数的图像都过点P，则点P的坐标是 ；

【解析】由互为反函数的两个函数图像关于直线y=x对称，无需求反函数，只需研究函数f(x)?loga(x?3)图象恒过点

DCAEB

O(?2,0)，所以其反函数的图像都过点P(0,?2)。

【点评】反函数是高考常考的知识点，一般难度都不大.当与反函数图像有关时，要注意反函数与原函数的图象关于直线

y?x对称.

例6（2006上海22）

已知函数y?x?a有如下性质：如果常数a > 0，那么该函数在(0,a]上是减函数，在[a,??)上是增函数。 xc2⑴ 略；⑵研究函数y?x?2（常数c > 0）在定义域内的单调性，并说明理由；

xac2⑶ 对函数y?x?和y?x?2（常数a > 0）作出推广 ，使它们都是你所推广

xx的函数的特例。研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明）。 【解析】（1）略(2) 利用定义容易考察函数y=x?cc244x?在[,+∞)上是增函数；在(0,]上是减函数. 又y=是偶函cc

x2x2数，函数图像关于y轴对称的函数在(－∞,－4c]上是减函数, 在[－4c,0)上是增函数；

an(3) 可以把函数推广为y=x?n(常数a>0),其中n是正整数.

xan 当n是奇数时,函数y=x?n在(0,2na]上是减函数,在[2na,+∞) 上是增函数,

x2 在(－∞,－2na]上是增函数, 在[－2na,0)上是减函数； 当n是偶数时,函数y=x?na在(0,2na]上是减函数,在[2na,+∞) 上是增函数, nx 在(－∞,－2na]上是减函数, 在[－2na,0)上是增函数；

【点评】知奇、偶性的函数单调性的考察可只研究y轴一侧的单调性，由其图象的对称性得y轴另一侧的单调性。 四、考察数列中项的对称性 例7（2007上海20）

a2，a3，?，an（n为正整数）满足条件a1?an，a2?an?1，…，an?a1，即ai?an?i?1（i?1，，2?，n）如果有穷数列a1，，

01m，Cm，?，Cm我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列Cm就是“对称数列”．

b2，b3，b4是等差数列，且b1?2，b4?11． （1）设?bn?是项数为7的“对称数列”，其中b1，依次写出?bn?的每一项；

ck?1，?，c2k?1是首项为50，（2）设?cn?是项数为2k?1(正整数k?1)的“对称数列”，其中ck，公差为?4的等差数列．记?cn?各项的和为S2k?1．当k为何值时，S2k?1取得最大值？并求出S2k?1的最大值；

（3）对于确定的正整数m?1，写出所有项数不超过2m的“对称数列”，使得1，，222，?，2m?1 依次是该数列中连续的项；当

m?1500时，

求其中一个“对称数列”前2008项的和S2008．

【解析】：（1）设?bn?的公差为d，则b4?b1?3d?2?3d?11，解得 d?3， ?5811，，，852． 数列?bn?为2，，， （2）S2k?1?c1?c2???ck?1?ck?ck?1???c2k?1 ?2(ck?ck?1???c2k?1)?ck， S2k?1??4(k?13)2?4?132?50， ?当k?13时，S2k?1取得最大值． S2k?1的最大值为626．

（3）所有可能的“对称数列”有四种形式，对每种形式的数列分m≥2008，

1500?m≤2007分别求解，限于篇幅，略

【点评】该题紧扣数列中项的对称特征，由特殊到一般，步步为营，前两问灵活考察了等差数列的通项公式及前n项和公

式，最后一问在第二问对项的对称理解的基础上，融入等比数列的考察，较好的渗透分类讨论的思想。无论从知识考察的广度，还是思维层次的深度都有较好的体现。 五、利用排列中元素位置的对称性

例8 （2007年山东高考模拟题）由数字1、2、3、4、5、6 组成所有可能的没有重复数字的四位数，它们的和是 【解析】：本题容易使解题者产生用列举法解题的念头，由于合乎要求的四位数多达(6×5×4×3)=360个，可见这种想法是行不通的。

通过观察我们发现，这列数从小到大依次是： 1234，1235，1236，……，6541，6542，6543。此数列具有一定的对称性：1234+6543=1235+6542=1236+6541=……=7777。显然，所有四位数的和为(360/2)×7777=1399860。 【点评】

六、利用式子结构形式的对称

?x2?y2?z例9（2004年江苏数学竞赛题）已知方程组?，有唯一的一组解（x,y,z），

x?y?z?m?求实数m及原方程组的解。

【解析】：方程组是关于x,y对称的，若（x,y,z）是一组解，则（y,x,z）显然也是方程组的一组解。由方程组有唯一解

?2x2?z1?111?知x=y。故原方程组可化为?，消去z得。由△=0得m??故原方程组的解是??,?,?

2?222??2x?z?m

【点评】某些数学命题所涉及的数式是呈现对称的结构，若能围绕它展开联想性思维，则能帮助我们发现解题捷径。

总之，在数学解题中，我们要用对称的眼光去审视问题，深入挖掘题中潜在的对称性，不仅为解决数学问题提供一种新的捷径，而能让学生体会数学的对称美。使学生在“美”的情境中，激发学习兴趣，发展思维能力，增强创新意识。

10/24/2010

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/rrpr.html