概率论与数理统计题库

一、 事件的关系与运算

1、设A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A为（ A ） （A）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”. （B）“甲种产品滞销”. （C）“乙种产品畅销”. （D）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”.

8、 设A、B、C为三个事件，则事件“ A、B、C都不发生”可表示为 ( C )

(A) ABC ； (B) 1?ABC； (C) A B C； (D) A?B?C.

1、某地震现场应急工作组对震区三幢楼房开展建筑安全评估与鉴定，设事件Ai={第i幢楼房经评估鉴定为安全}（i=1，2，3）。事件“恰有一幢楼房经评估鉴定为安全” 用A1、A2、A3可表示为

A1A2 A3?A1A2A3?A1 A2A3；

二、 五大公式：

3、设X在1,2,3,4中等可能取值，Y再从1,?,X中等可能取一整数，则 ； P（Y?4）?（A）

(A) 1/16 ； (B) 7/48； (C) 13/48； (D) 25/48.

P(B)?0.5，1、已知事件A，条件概率P(B|A)?0.3，则P(A?B)? B有概率P(A)?0.4，0.62 ．

1、已知事件A，条件概率P(B|A)?0.3，则P(A?B)? P(B)?0.5，B有概率P(A)?0.4，0.78 ；

1、已知事件A，B有概率P(A)?0.4，条件概率P(B|A)?0.3，则P(A?B)? 0.28 ；

1、设A、B、C是三个事件，P(A)?P(B)?P(C)?1/3，P(AB)?P(AC)?0，

P(BC)?1/4，则P(A?B?C)? 3/4（或0.75） ；

1、设P(A)?1/4，P(BA)?1/3，P(AB)?1/2，则P(A?B)? 1/3 ；

“甲地发生春季旱情“乙地发生春季旱情”是两个随机事件，且1、设A?、B?P(A)?1/4，P(BA)?1/3，P(AB)?1/2，则C?“甲或乙地发生春季旱情”发生的概率为 1/3 ；

1、已知P(A)?P(B)?P(C)?1/4，P(AB)?0， P(AC)?P(BC)?1/6，则

- 1 -

P(A?B?C)? 5/12 ；

1、已知P(A)?P(B)?P(C)?1/4，P(AB)?P(BC)?0，P(AC)?1/8，则P(A?B?C)? 5/8 ；

1、已知P(A)?1/2，P(B)?1/3， P(AB)?1/10，则P(AB)? 4/15 ； 6、 设A、B是两事件，如果满足等式P(AB)=P(A)P(B),则称事件A、B 相互独立 ；

“甲地房价下跌”“乙地房价下跌”是两个随机事件，且P(A)?3/4，1、设A?、B?“甲或乙地房价下跌”发生的概率为 ； P(BA)?2/3，P(AB)?1/2，则C?1、已知P(B)?b,P(AB)?c,且b?c，则P(B?A)? b-c ；

3、设A、B、C是随机事件，A与C互不相容， P(AB)?1/2,P(C)?1/3,则P(AB|C)? 3/4 ；

1．设事件A、B互不相容，P(A)?p，P(B)?q，则P(A?B)?

（A）(1?p)q. （B）pq. （C）p?q. （D）p. （ D ） 1、若P(A)?0.5,P(B)?0.4,P(A?B)?0.6，则P(BA)?（ C ）

(A) 0.2 ； (B) 0.45； (C) 0.6； (D) 0.75；

1、若P(A)?1/4,P(BA)?1/3,P(AB)?1/2，则P(A?B)?（ C ） (A) 1/5 ； (B) 1/4； (C) 1/3； (D) 1/2；

9、设P(A)?0.8,P(B)?0.7,P(A|B)?0.8,则下列结论正确的是（ A ）

(A) A与B相互独立； (B) A与B互斥； (C) B?A； (D) P(A?B)?P(A)?P(B). 8、对于任意事件A和B，有P(A?B)?（ C ）

(A) P(A)?P(B); (B) P(A)?P(B)?P(AB); (C) P(A)?P(AB); (D) P(A)?P(B)?P(AB). 9、设A、B为随机事件，且P(B)?0,P(A|B)?1,则必有（ C ）

(A) P(A?B)?P(A); (B) P(A?B)?P(B); (C) P(A?B)?P(A); (D) P(A?B)?P(B).

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1、从多年的教学经验可知，一名二年级同学参加英语CET4培训班集中培训后能超过425分的概率为0.8，不参加培训而能超过425分的概率为0.4。假如这次有70%的同学参加了培训。

（1）任取我们班一名同学，求该同学超过425分的概率？

（2）如果一名同学得分超过425分，则他参加过培训的概率有多大？ 解：设事件A=“参加培训”，B=“英语CET4成绩超过425分”，则

P(BA)?0.8P(BA)?0.8，P(BA)?0.4，P(A)?0.7P(A)?0.3，所以 （1）P(B)?P(A)P(BA)?P(A)P(BA)?0.7?0.8?0.3?0.4?0.68。 （2）P(AB)?P(AB)P(A)P(BA)0.7?0.8???0.823529。 P(B)P(B)0.681、在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%、35%、40%，

并且在各自的产品里，不合格品各占5%、4%、2%。 问：（1）全部螺丝钉的不合格品率为多少？（2）若现在从产品中任取一件恰是不合格品，则该不合格品是甲厂生产的概率为多大？

解：设A1表示“螺丝钉由甲台机器生产”，A2表示“螺丝钉由乙台机器生产”， A3表示“螺丝钉由丙台机器生产”，B表示“螺丝钉不合格”。

（1）由全概率公式P(B)?P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2)?P(A3)P(BA3) =0.25×0.05+0.35×0.04+0.40×0.02=0.0345； （5分） （2）由贝叶斯公式P(A1B)?P(A1)P(BA)P(B)?0.25?0.05?0.362319 （3分）

0.03451、金鱼的主人外出，委托朋友换水，设已知如果不换水，金鱼死去的概率为0.8，若换水，则金鱼死去的概率为0.15。有0.9的把握确定朋友会记得换水。 问：（1）主人回来金鱼还活着的概率？（2）若主人回来金鱼已经死去，则朋友忘记换水的概率为多大？

解：设A表示“朋友换水”，B表示“金鱼还活着”，则P(A)?0.9，P(A)?0.1，

P(BA)?1?0.15?0.85，P(BA)?0.15，P(BA)?0.2，P(BA)?0.8， （1）由全概率公式P(B)?P(A)P(BA)?P(A)P(BA)

=0.9×0.85+0.1×0.2=0.785； …………………………………（5分） （2）由贝叶斯公式P(AB)?P(A)P(BA)P(B)?0.1?0.8?0.372093 ……（8分）

1?0.7851、 已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.

解：设A?“任取一产品，经检验认为是合格品” ……………………（2）

- 3 -

B?“任取一产品确是合格品”

则（1） P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B) ……………………（3）

?0.9?5 ?0.9 （2）

P(B|A)?0.?10.?02

P(AB)0.9?0.95??0.9977P(A)0.857. ……………………（2）

1、有甲、乙、丙三个盒子，其中分别有一个白球和两个黑球、一个黑球和两个白球、三个白球和三个黑球。掷一枚骰子，若出现1，2，3点则选甲盒，若出现4点则选乙盒，否则选丙盒。然后从所选的中盒子中任取一球。求： （1）取出的球是白球的概率；

（2）当取出的球为白球时，此球来自甲盒的概率。

解：设 A=“选中的为甲盒”， A=“选中的为乙盒”， C=“选中的为丙盒”，D=

312“取出一球为白球”，已知P(A)?,P(B)?,P(C)?666

123P(D|A)?,P(D|B)?,P(D|C)?336 ……………………………… (3分) ，

（1）由全概率公式 P(D)???????3112234 …………………… (2分)

636366931?（2）由Bayes公式 P(A|D)?63?3 ……………………………… (2分)

489 1、发报台分别以0.6和0.4的概率发出信号“·”和“—”，由于通信系统受到干扰，当发出信号“·”时，收报台未必收到“·”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“·”和“—”，同样当发出信号“—”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“—”和“·”，求：（1）收报台收到信号“·”的概率；（2）当收报台收到信号“·”时，发报台是发出信号“·”的概率。

解：设 A=“发出信号‘’”， B=“发出信号‘—’”， C=“收到信号‘·’”，已知

P(A)?0.6，P(B)?0.4，P(CA)?0.8，P(CB)?0.1…………… (3分) （1）由全概率公式

P(C)?P(A)P(CA)?P(B)P(CB)?0.6?0.8?0.4?0.1?0.52 ……… (2分) （2）由Bayes公式 P(AC)?P(A)P(CA)P(C)?0.6?0.812? …… (2分) 0.52131、某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的。根据以往的记录有以下

的数据：

- 4 -

元件厂 1 2 3 次品率 0.02 0.01 0.03 市场份额 0.15 0.80 0.05 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。 (1)在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；

(2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，试分析此次品出自何厂的概率

最大。

解：设A=“取到的一只元件是次品”，Bi=“所取到的产品是由第i家工厂提供的”，i=1,2,3. 则

P(B1)=0.15,P(B2)=0.80,P(B3)=0.05,P(AB1)=0.02, P(AB2)=0.01,

P(AB3)=0.03. ……………………（2分） 于是(1) 由全概率公式得

P(A)=P(AB1)P(B1)+P(AB2)P(B2)+P(AB3)P(B3)=0.0125.

……………………（2分） (2) 由贝叶斯公式得

P(B1A)=P(AB1)P(B1)P(A)=0.02′0.15=0.24,

0.0125P(AB3)P(B3)P(A)P(B2A)=P(AB2)P(B2)P(A)=0.64, P(B3A)==0.12.

故这只次品来自于第二家工厂的概率最大。……………………（3分）

1、在某工厂里有甲、乙、丙三条流水线生产灯泡，它们的产量各占25%、35%、40%，并且各流水线生产灯泡中不合格品率分别为5%、4%、2%。问：

（1）质检员现任取一只该厂灯泡，则该灯泡是不合格品的概率为多少？ （2）若现在检出该只灯泡是不合格品，则该灯泡是甲厂生产的概率为多大？

解：设A1表示“灯泡由甲台机器生产”，A2表示“灯泡由乙台机器生产”， A3表示“灯泡由丙台机器生产”，B表示“灯泡是不合格品”，…………（2分） （1）由全概率公式P(B)?P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2)?P(A3)P(BA3) =0.25×0.05+0.35×0.04+0.40×0.02=0.0345； …………（3分） （2）由贝叶斯公式P(A1B)?P(A1)P(BA)P(B)?0.25?0.05?0.362319 …（2分）

0.034515、据美国的一份资料报导，在美国总的来说患肺癌的概率约为0.1%，在人群中约有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，试求： (1)不吸烟者患肺癌的概率是多少？

(2)如果某人查出患有肺癌，那么他是吸烟者的可能性有多大？

- 5 -

1x?x?0,?2e,X的分布函数为F(x)?? ………………………………（3分）

1?x??1?2e,x?0.?0,x??1,?2、设连续型随机变量X的分布函数为 F(x)??A?Barcsinx,?1?x?1,求

?1,x?1.?（1）A和B；（2）P{X?1/2}；（3）概率密度函数f(x);（4）E(X).

?F(?1?0)?A?arcsin(?1)?0?F(?1?0)11解：（1）?，A?,B?. ……(2分)

2?1)?1?F(1?0)?F(1?0)?A?arcsin((2) P{X?1/2}?F(1/2)?F(?1/2)?0.5 ………………………………(2分)

1?,x?1,11?2（3） f(x)???1?x………(2分)（4）E(X)??xdx?0………(2分)

?12?1?x?0,x?1.?2、设随机变量X具有概率密度

ìkx,0?x3,????xf(x)=?í2-,3＃x4,

?2???其它.??0,7). 2

(1)确定常数k；（2）求X的分布函数F(x)；（3）求P(1

ì0,x<0,???xx??dx,0?x3,?ò?06F(x)=镲眄3x镲xx镲dx+(2-)dx,3?x镲蝌镲0632镲镲镲镲?1,x34.=4,ì0,????x2??,??122x<0,0?x3,-3+2x-??1,x,3?x4,4x34.…（3分）

- 11 -

(3) P{1

ì0,x<1,???F(x)=?ílnx,1?xe, 试求：

??x3e.???A,X<5).2

(1)常数A；（2）X的概率密度f(x)；（3）P(X<2),P(0

1ì,1

?0,其他.??(3)P(X?2)?P(X?2)?F(2)?ln2； P(0?X?3)?F(3)?F(0)?1

55P(2?X?52)?F(2)?F(2)?ln4 ……………………（3分）

六、 一维随机变量的函数的分布求法

Xpk?1016、 已知随机变量X的分布律是

0.20.50.3，则Y=X2的分布律为

Ypk010.50.5 ；

3、设随机变量X的分布函数为F(x)，则Y?3X?1的分布函数为（ A ）

1111（A）F(y?)；（B） F(3y?1)；（C） 3F(y)?1；（D F(y)?；

33333、设随机变量X的概率密度为f(x)?（ B ） （A）

1,???x???，则Y?2X的概率密度为2?(1?x)1121arctany； ；（B）；（C） ；（D） 222?(1?4y)?(4?y)?(1?y)?4、设圆的半径R~U(0,1)，求圆的面积S??R2的分布密度。

?1,0?r?1,解：因为R~U(0,1)，f(r)??

?0,其它.当s?0，F(s)?P{S?s}?0；当0?s??，

- 12 -

F(s)?P{S?s}?P{?R?s}?P{?s??，F(s)?P{S?s}?1

?1,0?s??.所以f(s)?F'(s)?? ?2?s?0,其它.?2s??R?s?}?P{0?R?ss?}???01dr?s?；当

1、设长方形的长X~U(0,1)，已知长方形的周长为2，求长方形面积的数学期望和方差。

?1,0?x?1,解：因X~U(0,1)，故f(x)?? ……………………（1分）

?0,其他；面积为A?X(1?X)，所以

E(A)?E(X(1?X))??????x(1?x)f(x)dx??x(1?x)dx?0????111…………（2分） 61， 30E(A2)?E(X2(1?X)2)??x2(1?x)2f(x)dx??x2(1?x)2dx?0D(A)?E(A2)?E2(A)?111??…………………………（3分） 30361802、若X~N(0,1)，Y?eX，求Y的概率密度函数。

解：因为当y?0时，Y?eX?y是不可能事件，所以FY(y)?P{Y?y}?0； 又当y?0时，FY(y)?P{Y?y}?P{eX?y}?P{X?lny}?FX(lny)（5分）

?1?(lny)1e2?,y?0,?所以Y的概率密度函数fY(y)?FY'(y)??2?（3分） y?,y?0.?0,21、设X~N(0,1)，求Y?X的概率密度。

解：设随机变量X和Y的分布函数分别为FX(x)、FY(y)，先求Y的分布函数FY(y)。由于Y?X?0，故当y?0时，FY(y)?0 ……………………（1分） 当y?0时，有FY(y)?P{Y?y}?P{X?y}?P{?y?X?y}?FX(y)?FX(?y)， 将FY(y)关于y求导数，即得Y的概率密度为

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?2?y?2[fX(y)?fX(?y)],y?0,?e2,y?0,……………（4分） fY(y)?????0,y?0.??0,y?0.?21、设X~N(0,1)，求Y?X2的概率密度。

解：设随机变量X和Y的分布函数分别为FX(x)、FY(y)，先求Y的分布函数FY(y)。由于Y?X2?0，故当y?0时，FY(y)?0 ……………………（2分） 当y?0时，有

FY(y)?P{Y?y}?P{X2?y}?P{?y?X?y}?FX(y)?FX(?y)， 将FY(y)关于y求导数，即得Y的概率密度为

y??1?1[fX(y)?fX(?y)],y?0,?e2,y?0,?fY(y)??2y??2?y……………（4分）

?0,?y?0.y?0.??0,1、设随机变量X~U(0,1)，求Y?e2X的分布密度函数fY(y)。

?1,0?x?1,解：因X~U(0,1)，故fX(x)?? ……………………（1分）

?0,其他；FY(y)?P{e2X?0,y?1,?0,y?1,?1?11?2lny?2?y}?P{X?lny}???fX(x)dx,1?y?e,??lny,1?y?e2,……（3

022??21,y?e2.??1,y?e.??分）

?0,y?1,??1fY(y)?FY'(y)??,1?y?e2,…………………（2分）

?2y?1,y?e2.??x,3、设随机变量X具有概率密度fX(x)??8???0,0?x?4其它，

求随机变量Y=2X+8的概率密度。

y?8)??2fX(x)dx …（3分） 解： FY(y)?P(Y?y)?P(2X?8?y)?P(X???2y?8 - 14 -

?1y?81),y?8y?8?(fY(y)?fX()()???82222??0，?y?8,8?y?16，???32?其它.?0，0?y?8?4，2其它，…（3分）

?1?2,?1?x?0,?2117、设随机变量X具有概率密度fX(x)??令,求随机变量Y的概Y?X,0?x?2,??4?0,其他.??率密度fY(y).

解： FY(y)?P(Y?y)?P(X2?y) …………………（1分） 当y?0时，FY(y)?0 ………………（1分） 当0?y?1时，FY(y)?P(?y?X?y)??1?y20dy??y014dy?34y；…（1分）

当1?y?4时，FY(y)?P(?y?X?y)?1；…………………（1分） y?142当4?y时，FY(y)?1； ………………………（1分）

?30,y?0,??8y?3??y,0?y?1,?1?4所以，FY(y)??fY(y)?FY?(y)???1y?1,1?y?4,?8y?4?02??14?y.??,0?y?1,,1?y?4,……（2分） ,其他.注：能写出FY(y)即可给分，分布函数求解过程中步骤不全可酌情给分。

七、常见随机变量的分布与数字特征

2．设X~b(n,p)，E(X)?2.4，D(X)?1.44，则n?__6___，p?__0.4___。

2、设X~b(n1,p)，Y~b(n2,p)则X?Y~b(n1?n2,p)；

1．设离散型随机变量X~b(1,p)，P{X?0}?4P{X?1}，则P{X?0}?__0.8___。 3、若X~?(?) 且P(X?1)?3P(X?2)，则?? 2/3 ；

- 15 -

3、若X~?(2) ，则E(X2)? 6 ；

3、设X~?(?)，且P{X?1}?P{X?2}，则??___2________；

14、设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P{X?E(X2)}?；

2e13、设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P{X?k}?；

k!e6、设X和Y相互独立，且分别服从参数为3和5的泊松分布，则X?Y服从参数为 8 的泊松分布；

5、设随机变量X服从区间?a,b?上的均匀分布，且E?X??3，D?X??1 与b= 5 ；

5、若X~?(3) ，则E(X2)? 12 ；

4、根据历史地震资料分析，某地连续两次强震之间时间间隔的年数X是一随机变量，

4，则a= 3?1?e?0.1x其分布函数为F(x)???0发生强震的概率为1?e?0.3；

,x?0, 现在该地刚发生了一次强震，则今后三年内再次,x?0.5、本次考试共有7个选择题，每题有四个选项，其中只有一个为正确选项。同学甲一题都不会，遂决定采取随便“蒙”的方法选答案。若以X表示该同学“蒙”对答案的题数，则E(X)= 7/4 ；

5、某同学进行三分球投篮练习，直到首次投中三分球为止共投篮球X次。已知每次投中三分球的概率为0.25，则E(X)? 4 ，D(X)? 12 ； 2、设随机变量X的概率分布律为P{X?k}?A,k?0,1,2,?，则参数A?（ D ） k!(A) 0 ； (B) 1； (C) e； (D) e?1；

4、设X~N??,?2?，Y?aX?b，其中a、b为常数，且a?0，则Y~（D）

???? ?C?.N?a??b,a??； ?D?.N?a??b,a??.

4、设X~N??,??，Y?aX?b，其中a、b为常数，且a?0，则Y~（ C ）

?A?.Na??b,a2?2?b2； ?B?.Na??b,a2?2?b2；

22222 ?A?.Na??b,a2?2?b2； ?B?.Na??b,a2?2?b2；

??C?.N?a??b,a2?2??； ?D?.N?a??b,??a2?2．

?5、设随机变量X服从区间?a,b?上的均匀分布，并且E?X??3，D?X??4，试常数a3 - 16 -

与b为 （ B ）

（A）a?0，b?6；（B）a?1，b?5；（C）a?2，b?4；（D）a?5，b?1. 4、某地警察每晚查获机动车醉驾的人数X服从参数为??20泊松分布，则今晚某地警察查获至少一人醉驾的概率为1?e?20；

3、尽管一再强调考试不要作弊，但每次考试往往总有一些人作弊。假设某校以往每学期期末考试中作弊同学人数X服从参数为10的泊松分布，则本次期末考试中无同学作弊的概率为 e?10；

5某地每天发生交通事故的次数X服从参数为??10泊松分布，则明天至少发生一次交通事故的概率为1?e?10；

5、设随机变量X在[1,6]上服从均匀分布，则方程x2?Xx?1?0有实根的概率为 4/5或0.8 ；

3．设随机变量X~N(0,1)，X的分布函数为?(x)，则P(X?2)的值为 （A）2[1??(2)]. （B）2?(2)?1.

（C）2??(2). （D）1?2?(2). （ A ） 4、若X~N(0,1)，则P(|X|?2)=（ A ）

（A）2[1??(2)]；（B）2?(2)?1；（C）2??(2)；（D）1?2?(2)。 4、若X服从标准正态分布N(0,1)，则P(|X|?1)=（ B ） （A）2?(1)?1；（B）2[1??(1)]；（C）2??(1)；（D）1?2?(1)；

6、若X~N(2,4),Y~N(1,2)且X与Y相互独立，则X?2Y~N(0,12)； 8、已知X~N(2,4)，Y~N(?1,2)，则X?2Y~N(0,12)；

2、某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为0.75. 则射击次数的数

学期望与方差分别为 （ D ）

(A)49491944与； (B)与； (C)与； (D) 与． 3431644392、已知某同学投篮球时的命中概率为p(0?p?1)，设X表示他首次投中时累计已投篮的次数，则X的概率分布律为P{X?k}?(1?p)k?1p,k?1,2,?.；

3、设某批电子元件的正品率为4/5，次品率为1/5，现对这批电子元件进行测试，只要

?1?测得一个正品就停止测试工作，则测试次数的分布律为P{X?k}????5?k?14 ,k?1,2,?；

56、一射手朝一目标独立重复地射击指导击中目标为止，设每次击中目标的概率为p，X为首次击中目标时的射击次数，则X的数学期望为 1/p ；

- 17 -

??e??x,x?0,4、设连续型随机变量X的概率密度为f(x)??，

0,x?0.?则P{X?D(X)}?（ D ）

(A) 0 ； (B) 1； (C) e?1； (D) e；

12、将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面朝上和反面朝上的次数，则X和

Y的相关系数为 （ A ）

(A) -1 ； (B) 0； (C) 1/2； (D) 1 .

4、已知某种型号电子器件的寿命X(以小时计)的概率密度函数为

?100?2,x?10,0 f(x)??x

??0,x?10.0（1）求X的分布函数F(x).（2）现有一大批此种器件(设各器件损坏与否相互独立)，任取10只，以Y表示寿命大于150小时的器件的只数，求Y的分布律。

解：（1）因为 当x?100时，F(x)??0dx?0，当x?100时，

??xF(x)??100??100100?100?， 0dx??dx???1???100x2xx??100xx?100,x?100,?1?所以F(x)?? …………（4分） x?x?100.?0,（2）因为任意一只器件寿命X大于150小时的概率为p?1?F(150)?2， 32 又各器件损坏与否相互独立，所以Y服从b(10,)，概率分布律为

3k10?k?10??2??1? P{X?k}???k???3??3?,k?0,1,2,?,10. ………………（8分）

??????1、某地区人口寿命X服从??80的寿命分布，求该地区人口的平均寿命和40岁以前死亡的概率。

1x?1?80?ex?0 ………（1分） 解：因X服从??80的寿命分布，故f(x)??80?x?0?0 - 18 -

1?80x（1）人的平均寿命EX??xf(x)dx??xedx?80； …………(2分)

80??0（2）该地区人40岁以前死亡的概率

?x?1?80x140P{X?40}??edx?(?80)e80|0?1?e2 ……………(3分)

8080040111????1八、 二维离散型随机变量的概率分布

5、从1,2,3中任取一个数，记为X，再从1,?,X任取一个数，记为Y，则

P{Y?2}? 5/18 ；

6．设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为

(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)1111P??69183

若X,Y独立，则?,?的值为

2112 （A）??,??. （B）??,??.

99991151 （C） ??,?? （D）??,??. （ A ）

1818667．设随机变量X与Y相互独立，其概率分布分别为

X01Y01 P0.40.6 P0.40.6

(X,Y) 则有

（A）P(X?Y)?0. （B）P(X?Y)?0.5.

（C）P(X?Y)?0.52. （D）P(X?Y)?1. （ C ）

X3、二维随机变量(X,Y)的联合分布律为Y?10.10.200.10.310.20.101

则P(X?Y?1)=（C）

(A) 0.2； (B) 0.3； (C) 0.5； (D) 1. 11、设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布为

X Y 1 2

1 2 3 c 1/6 1/6 1/6 1/12 1/6 - 19 -

3 则c= （ A ）

(A) 0 ； (B)

1/12 1/6 c 111； (C) ； (D) . 612241、二维随机变量(X,Y)的联合分布律为

XY

?101010.10.30.2

0.20.10.1（1）求X,Y的边缘分布律；（2）求P(X?Y?0)。

解：.（1）P(X??1)?0.1?0.2?0.3，P{X?0}?0.3?0.1?0.4，

P{X?1}?0.2?0.1?0.3，P{Y?0}?0.1?0.3?0.2?0.6，P{Y?1}?0.2?0.1?0.1?0.4。 （5分）

（2）P(X?Y?0)?P{X?0,Y?0}?P{X??1,Y?1}?0.5。 （3分） 2、二维随机变量(X,Y)的联合分布律为

XY

?101010.10.10.2

0.20.30.1（1）求X,Y的边缘分布律；（2）求P(X?Y?1)；（3）X,Y是否相互独立。 解：（1）P(X??1)?0.1?0.2?0.3，P{X?0}?0.3?0.1?0.4，

P{X?1}?0.2?0.1?0.3，

P{Y?0}?0.1?0.1?0.2?0.4，

P{Y?1}?0.2?0.3?0.1?0.6。…………………………………（4分）

（2）P(X?Y?1)?P{X?0,Y?1}?P{X?1,Y?0}?0.5 ………………（7分） （3）因为P{X?0,Y?0}?0.1?P{X?0}P{Y?0}，X,Y不相互独立。

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对0?x1,x2,ni?1,xn?1有

n L(?)??f(ix?;?)?n2?(ixn??1??)n/2?i1?(?i1ni1x?? )lnL(?)?ln??(??1)?lnxi ……（2分）

i?1 令dd?lnL(?)?0

?? 得?的最大似然估计量为?n2(?lnXi)2i?1n ……（2分）

十六、 区间估计与假设检验

10、已知灯泡寿命X~N(?,1002)，今抽取25只灯泡进行寿命测试，得样本x?1200小时，则?的置信度为95%的置信区间是 (1160.8,1239.2) （z0.025?1.96）。

10、已知一批零件的长度X(单位cm)服从正态分布N(?,1)，今从中随机地抽取16零件，得到长度的平均值为40cm，则?的置信度为95%的置信区间是 (39.51,40.49) （z0.025?1.96）。

7、假设防灾科技学院男生身高X~N(?,?2)，随机测得16人身高，得x?173(cm)，

s?6(cm)，?2未知，则?的置信度为(t0.025(15)?2.1315) 。

0.95的置信区间

3、（本小题7分）某批矿砂的5个样品中的金含量，测定结果为x?3.252，s?0.002，再假设测定总体服从正态分布，但参数均未知。问在??0.01下能否接受假设：这批矿砂的金含量均值为3.25。（已知t0.005(4)?4.6041，t0.005(5)?4.0322，5?2.236根据需要选用）。

解：测定值X~N(?,?2)，?,?2均未知，关于均值?的假设检验，用t检验法。 提出假设：H0:??3.25，H1:??3.25 ……………………（2分） 选取检验统计量：

当原假设为真时，检验统计量为t?X?3.25S/n- 46 -

~t(n?1)，……………（4分）

由于显著性水平为

??0.01，t0.005(4)?4.6041故拒绝域为

(??,4.6041]?[4.6041,?)；…………………………………（5分）

现在n?5，x?3.252，s?0.002，

t的观测值为t?3.252?3.250.002/5?2.236，…………………（6）

所以t?2.236?4.6041，接受原假设. …………………（7）

八、（本题6分）打包机装糖入包，每包标准重为100斤，每日开工后，要检验所装糖包重量的总体期望值是否合乎标准（100斤）。某日开工包糖，称得重量如下（单位斤）：99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，99.5，102.1，100.5，计算得x=99.98，s=0.685，已知所装糖包的重量服从正态分布，问该天打包机所装糖包是否合乎标准？（??0.05，t1??/2(8)?t0.975(8)??2.3060）

解：设糖的每包重量为X，则X~N(?,?2)，由题意，?,?2均未知，

要检验假设 H0:??100;H1:??100 ……………… （2分） 因为方差未知，所以选取统计量 T?X?100S/9~t(8) …… （1分）

H0的拒绝域为W?{t?t?/2(8)} ……………… （2分） 而t?99.98?100?3?-0.086

0.685t?/2(8)??t0.975(8)?2.3060

?0.086?2.3060，未落入拒绝域，所以接受H0 可以认为该天打包机所装糖包合乎标准。………… （1分）

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