物理学(第五版)课后习题解答

第十章波动

1 . 一横波沿绳子传播时的波动表达式为

y?0.05cos(10πt?4πx)，x，

y的单位为米，

（1）求此波的振幅、波速、频率和波长。（2）求绳子上各质点振动的最大速度和最大加速t的单位为秒。度。（3）求

x?0.2 m处的质点在t?1s时的相位，它是原点处质点在哪一时刻的相位？

t0.2?x0.5)

解 （1）将题中绳波表达式y?0.05cos(10πt?4πx)?0.05cos2π(与一般波动表达式

y?Acos2π(tT?x?)比较，得振幅

A?0.05 m，T?0.2s频率

??5 Hz，波长?（

2

）

?0.5 m。波速u?上

各

???0.5?5?2.5 m?s

点

振

动

的

-1

绳质最大速度

vmax??A?2π?A?2?3.14?5?0.05?1.572222 m?s-1 绳上各质点振动时的最大加

2速度

amax??A?4π?A?4?3.14?5?0.05?49.3x?0.2m，

m?s-

（3）将

t?1，

s代入

(10πt?4πx)得到所求相位

10π?1?4π?0.2?9.2πx落后

x?0.2 m处质点的振动比原点处质点的振动在时间上

m?s-1），所以它是原点处质点在

u?0.22.5?0.08s （

u????2.5t0?(1?0.08)?0.92s时的相位。

2.设有一平面简谐波 y?0.02cos2π(t0.01?x0.3) ， x，y以m计， t以s计。（1）求振

幅、波长、频率和波速。（2）求

x?0.1m处质点振动的初相位。

t0.01?x0.3)与一般表式

解（1）将题设平面简谐波的表式y?0.02cos2π(y?Acos2π(tT?x?)比较，可得振幅A?0.02 m，波长??0.3 m，周期T?0.01s。

因此频率

??1T?10.01?100Hz ， 波速 u????0.3?100?30m·s

-

（2）将

x?0.1m代入波动表式，得到位于该处的质点的振动表式

y?0.02cos2π(t0.01?0.10.3)?0.02cos(2π0.01t?2π3)

因而该处质点振动的初相位?0??2π3。

3. 有一平面简谐波在介质中传播，波速u处一点P的运动方程为

?10 m?s-1，已知沿传播方向距波源O（坐标原点）为5.0 m

yP?0.30cos(2πt?π2)m，求波动方程。

解 波动方程要根据任意点的振动方程写出。取波动向为

x轴正方向（右向）传播, 如图Q点（距离

o点

x）比P点晚振动(xQ?xP)u)?时间,所以波动方程可以写出为

yQ?0.30cos[2π(t?xQ?xP10?2] ?0.30cos[2π(t?x10)?3?2]m

Q点为任意一点，任意一点的运动方程即为波动方程。

O

P Q x 3题图

?0时的波形如图所示，且周期T?2s。（1）写出O4. 已知一沿x轴负方向传播的平面余弦波，在t点的振动表达式；（2）写出此波的波动表达式；（3）写出（4）Q点离O点的距离多大？ Q点的振动表达式；

解 （1）由图及题给条件知：

A?0.1m，

??2πT?πs-1。作原点的旋转矢量图y0??A2且

4题图

4题-1图

v0?0因为波动向x轴负方向传播，所以原点要跟随其

右方的质点进行运动，故应向上即向正方向运动，

可得?0??23π ，所以O点的振动表达式为

y0?0.10cos(πt?23π) m

（2）由题图可得 ??0.40 m ，u??T?0.42?0.20 m?s-1

波动向x轴负向传播，所以波动表达式为

y?0.10cos[π(t?xu)?23π]

?0.10cos[π(t?x0.2)?23π] m（3）因不能直接求出xQ，所以不能由波动表达式求出Q点的振动

表达式。可由图线判断出Q点的初相，再用振动表达式的标准形式写出Q点的振动方程。 据题给图线，

可作出Q点的旋转矢量（如图），可得Q点的初相位是，其振动表达式为yQ?0.10cos(πt?π2)m 。

（4）根据波动方程可写出Q点的振动表达式为

yQ?0.10cos[π(t?xQ0.2)?23π] m

与

yQ?0.10cos[?t??2]m比较得xQ?0.233 m 。 4题-2图 y 5.一平面波在介质中以速度u?20m·s-1沿

x轴负方向传播，如图所示，已知a点的振动方程为

ya?3cos4πt，t的单位为秒，y的单位为米。求：（1）以a为坐标原

点写出波动方程。（2）以距a点5m处的b 点为坐标原点，写出波动方程。

u

a

b

解（1）以

a点为坐标原点的波动方程为

a点为坐标原点时，by?3cos4π(t?x20)5题图

m

（2）以点的坐标为

x??5520m，代入上式，得b点的振动方程为

yb?3cos4π(t?若以b)?3cos(4πt?π)x20m

点为坐标原点，则波动方程y?3cos[4π(t?)?π]m。

6.图示为平面简谐波在t?0时的波形图，设此简谐波的频率为200 Hz，且图中质点P的运动方向向

上。求：（1）该波的波动方程；（2）在距原点O为7.5 m处质点的运动方程与t?0时该点的振动速度。

??20π3解（1）由P的运动方向可知：该波动向x轴负向传播。且：

A?0.10m，

m， ?0?，

6题图

u????4?103m?s-1

所以y?0.10cos[400π(t?x4000)?π3] （2）y?0.10cos[400π(t?54000)?π3]

?0.10cos(400πt?56π) M， v?dydtt?0??(400π?0.10)sin56π??62.8m?s-1。

7.波源作简谐运动，周期为0.2 s，若该振动以10m?s-1的速度沿直线传播，设t?0时，波源处的质点

经平衡位置向负方向运动，求：（1）距波源5.0 m处质点的运动方程和初相；（2）距波源为16.0 m和17.0 m的两质点间的相位差。

解 需先写出波动方程。由题给条件可知T?0.2 s，u?10 m?s-1，?0?传

播

方

向

12π

为

取

x轴正向，

y?Acos[（1）x2πT(t?xu)??0]?Acos[10π(t?x10)?12π] m

?5 m处质点的振动方程为

y?Acos(10πt?4.5π)?Acos(10πt?0.5π) m初相 ?0??0.5π。

（2）???2π(x2?x1)??2π(17?16)u?T?π。

8.如题图所示，设B点发出的平面横波沿BP方向传播，它在B点的振动方

y1?2?10y2?2?10?3cos2?t;C点发出的平面横波沿CP方向传播，它在C点的振动方程为

?3cos(2?t??)，本题中y以m计，t以s计．设BP＝0.4m，CP＝0.5 m，波速

u=0.2m·s-1，求：(1)两波传到P点时的位相差；(2)当这两列波的振动方向相同时，P处合振动的振幅；

8题图

解: (1)???(?2??1)?2??(CP?BP)????u(CP?BP)???2?(0.5?0.4)?00.2?3，

(2）P点是相长干涉，且振动方向相同，所以

AP?A1?A2?4?10m

9.如图所示，两相干波源分别在P，Q两点处，它们发出频率为?，波长为?，振幅为A且初相相同的两列相干波。设PQ?3?2，R为PQ连线上的一点。求：（1）自P，Q发出的两列波在R处的相

位差及合振幅；（2）P，Q连线之间因干涉而静止的点。 解（1）

????P??Q?2π?rP?rQ?9题图

3?0?2π?2

???3π

?所以

A?0'。（2） 设此点距P为

x3?，则距Q为 (

232?x),该点相位差为

????P??Q?2π?rP?rQx?( ?0?2?3?2?x)?2?(???2x?)

干涉静止，则 ???(2k?1)?，即

x?1?k232?。

取k?0,1,?1,?2，可分别得x??2,0,?,?。这些点即为干涉静止点。

10.两波在同一细绳上传播，它们的方程分别为

y1?0.06cos(πx?4πt)m和

y2?0.06cos(πx?4πt)m。（1）证明这细绳是作驻波式振动，并求波节和波腹的位置；（2）波

腹处的振幅多大？在

x?1.2m处，振幅多大？

解 将y1的方程改写为：

y1?0.06cos[?(4πt?πx)]?0.06cos(4πt?πx) m这样

y1，

y2便为在

x方向上沿相反方向传播的相干波源，其合成结果即为驻波。

?4π，

?u?π， 所以??且从方程可知 ?u??2m。

2π（1）波节：

x??(2k?1)??4??(k?0.5)m k?0,1,2,?

x??k? 波腹：

?2??km k?0,1,2,?

故铝的红限波长?0?c?0?hcA?6.63?10?34?3?10?1984.2?1.6?10m

?2.96?10?7m?296nm

9、电子和光子波长都为0.20m时，它们各自的动量和能量各有多大？

解 电子的动量和能量分别为Pe?h?Pe?6.63?100.20?10?34?9?3.3?10?24kg?m?s?1

2Ee?2m?(3.3?10?24)22?9.1?10?34?9?31?6.08?10?18J?38eV

光子的动量和能量分别为P?h??6.63?100.20?10?34?3.3?10?24kg?m?s

?1 ??h??hc??6.63?10?3?10?980.20?10?9.945?1016J?6216eV

h简注：物质波（德布罗意波）和光波都具有波粒二象性，电子的波粒二象性是Pe?? ,

Ee?Pe22m联系在一起；光子的波粒二象性是由P?h?，??h?联系在一起。

10、 一质量为40g的子弹以1.0×10m?s3?1的速率飞行，求：（1）其德布罗意波的波长；（2）若子弹

位置的不确定量为0.10mm，求其速度的不确定量。 解 （1）子弹的德布罗意波长为

??hmv?1.66?10?35m

(2) 由不确定关系式以及?px?m?vx可得子弹速率的不确定量为

?v?

?pxm?hm?x?1.66?10?28m?s

?1

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