高等数学同济版大学微积分公式

(tgx)′=secx(ctgx)′= csc2x(secx)′=secx tgx(cscx)′= cscx ctgx(ax)′=axlna(logax)′=

1xlna

2

(arcsinx)′=

1

x2

1

(arccosx)′=

x21

(arctgx)′=

1+x2

1

(arcctgx)′=

1+x2

∫tgxdx= lncosx+C∫ctgxdx=lnsinx+C

∫secxdx=lnsecx+tgx+C∫cscxdx=lncscx ctgx+C

dxx1

arctg=+C∫a2+x2aa

dxx a1

ln=∫x2 a22ax+a+C

dx1a+x

=∫a2 x22alna x+Cdxx

=+Carcsin∫a2 x2

a

π

2

n

dx2

sec=∫cos2x∫xdx=tgx+C

dx2

csc=∫sin2x∫xdx= ctgx+C

∫secx tgxdx=secx+C

∫cscx ctgxdx= cscx+C

ax

∫adx=lna+C

x

∫shxdx=chx+C∫chxdx=shx+C∫

dxx2±a2

=ln(x+x2±a2)+C

π

2

In=∫sinxdx=∫cosnxdx=

n 1

In 2n

∫∫∫

x2a22

x+adx=x+a+ln(x+x2+a2)+C

22x2a2222

x adx=x a lnx+x2 a2+C

22x2a2x222

a xdx=a x+arcsin+C

a22

2

2

·和差角公式： ·和差化积公式：

sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β)=cosαcosβ sinαsinβ

tgα±tgβ

tg(α±β)=

1 tgα tgβctgα ctgβ 1

ctg(α±β)=

ctgβ±ctgα

sinα+sinβ=2sin

α+β

22α+βα β

sinα sinβ=2cossin

22α+βα β

cosα+cosβ=2coscos

22α+βα β

cosα cosβ=2sinsin

22

cos

α β

弧微分公式：ds=+y′2dx,其中y′=tgαK=平均曲率：

α

α:从M点到M′点，切线斜率的倾角变化量； s：MM′弧长。 s

y′′dα α

M点的曲率：K=lim==.

23 s→0 sds(1+y′)

直线：K=0;1

半径为a的圆：K=.

a定积分近视计算：

b

矩形法：∫f(x)≈

ab

b a

(y0+y1+ +yn 1)n

b a1

[(y0+yn)+y1+ +yn 1]n2

b a

[(y0+yn)+2(y2+y4+ +yn 2)+4(y1+y3+ +yn 1)]3n

梯形法：∫f(x)≈

a

b

抛物线法：∫f(x)≈

a

定积分相关公式： 功：W=F s

水压力：F=p A

mm

引力：F=k122,k为引力系数

r

b1

函数的平均值：y=f(x)dx∫b aa1

f2(t)dt∫b aa

b

·倍角公式：

sin2α=2sinαcosα

cos2α=2cos2α 1=1 2sin2α=cos2α sin2αctg2α 1

ctg2α=

2ctgα2tgα

tg2α=

1 tg2α

·半角公式： sintg

·正弦定理：

·反三角函数性质：arcsinx=

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式： (uv)

(n)

k(n k)(k)

=∑Cnuvk=0n

sin3α=3sinα 4sin3αcos3α=4cos3α 3cosα3tgα tg3α

tg3α=

1 3tg2α

α2

=±=±

cosα1+cos　　　　　　　　　　　　cos=±222

1 cosα1 cosαsinαα+cosα1+cosαsinα

==　　ctg=±==

1+cosαsinα1+cosα21 cosαsinα1 cosα

α2

abc

===2R ·余弦定理：c2=a2+b2 2abcosC sinAsinBsinC

π2

arccosx　　　arctgx=

π2

arcctgx

=u(n)v+nu(n 1)v′+

n(n 1)(n 2)n(n 1) (n k+1)(n k)(k)

uv′′+ +uv+ +uv(n)

k!2!

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：f(b) f(a)=f′(ξ)(b a)

f(b) f(a)f′(ξ)

=F(b) F(a)F′(ξ)

当F(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率

空间解析几何和向量代数：

空间2点的距离：d=M1M2=(x2 x1)2+(y2 y1)2+(z2 z1)2向量在轴上的投影：Prju=cos , 是u轴的夹角。

Prju(a1+a2)=Prja1+Prja2

a b=a bcosθ=axbx+ayby+azbz,是一个数量,两向量之间的夹角：cosθ=i

c=a×b=ax

bx

jayby

axbx+ayby+azbz

ax+ay+az bx+by+bz

2

2

2

2

2

2

k

az,c=a bsinθ.例：线速度：v=w×r.bz

aybycy

az

bz=a×b ccosα,α为锐角时，

cz

ax

向量的混合积：[abc]=(a×b) c=bx

cx代表平行六面体的体积。

1、点法式：A(x x0)+B(y y0)+C(z z0)=0，其中n={A,B,C},M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax+By+Cz+D=0

xyz

3++=1

abc平面外任意一点到该平面的距离：d=

Ax0+By0+Cz0+D

A2+B2+C2

平面的方程：

x=x0+mt

x xy y0z z0

0===t,其中s={m,n,p};参数方程： y=y0+nt

mnp z=z+pt

0 二次曲面：

x2y2z2

12+2+2=1

abcx2y2

2+,p,q同号）=z（

2p2q3、双曲面：

x2y2z2

2+2 2=1

abcx2y2z2

12 2+2=（马鞍面）

abc

多元函数微分法及应用

全微分：dz=

z z u u u

dx+dy+dzdx+dy　　　du=

x y x y z

全微分的近似计算： z≈dz=fx(x,y) x+fy(x,y) y多元复合函数的求导法：

dz z u z v

z=f[u(t),v(t)]= + 　

dt u t v t

z z u z v

z=f[u(x,y),v(x,y)]= +

x u x v x

当u=u(x,y)，v=v(x,y)时，

u u v vdu=dx+dy　　　dv=dx+dy　

x y x y隐函数的求导公式：

FFdyFx dyd2y

隐函数F(x,y)=0= 2=( x)＋( x)

yFydx xFydxFydxFyF z z

隐函数F(x,y,z)=0= x=

FzFz x y

F

F(x,y,u,v)=0 (F,G) u

隐函数方程组：　　　J== G (u,v) G(x,y,u,v)=0

u

1 (F,G)1 (F,G) u v

= =

J (x,v)J (u,x) x x1 (F,G)1 (F,G) u v

= =

J (y,v)J (u,y) y y微分法在几何上的应用：

F

v=Fu GGu v

FvGv

x= (t)

x xy y0z z0

=空间曲线 y=ψ(t)在点M(x0,y0,z0)0=

′′ (t0)ψ(t0)ω′(t0) z=ω(t)

在点M处的法平面方程： ′(t0)(x x0)+ψ′(t0)(y y0)+ω′(t0)(z z0)=0 FyFzFzFxFx F(x,y,z)=0

,则切向量T={,,若空间曲线方程为：

GGGxGG(,,)0Gxyz= yzzx

曲面F(x,y,z)=0上一点M(x0,y0,z0)，则：

1、过此点的法向量：n={Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}

Fy

Gy

2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x x0)+Fy(x0,y0,z0)(y y0)+Fz(x0,y0,z0)(z z0)=0y y0z z0x x0

3==

Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)

方向导数与梯度：

f f f

函数z=f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l=cos +sin

y l x其中 为x轴到方向l的转角。

f f

函数z=f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=i+j

x y

f

它与方向导数的关系是=gradf(x,y) e，其中e=cos i+sin j，为l方向上的

l

单位向量。 f

∴是gradf(x,y)在l上的投影。 l

多元函数的极值及其求法：

设fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0，令：fxx(x0,y0)=A,　fxy(x0,y0)=B,　fyy(x0,y0)=C A<0,(x0,y0)为极大值2

0ACB时， >

A>0,(x0,y0)为极小值 2

则： AC B<0时，　　　　　　无极值 AC B2=0时,　　　　　　　不确定 重积分及其应用：

∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ

D

D′

曲面z=f(x,y)的面积A=∫∫

D

z z

dxdy1+ +

x y

2

2

平面薄片的重心：=

Mx

=M

∫∫xρ(x,y)dσ

D

∫∫ρ(x,y)dσ

D

D

,　　=

MyM

=

∫∫yρ(x,y)dσ

D

∫∫ρ(x,y)dσ

D

D

平面薄片的转动惯量：对于x轴Ix=∫∫y2ρ(x,y)dσ,　　对于y轴Iy=∫∫x2ρ(x,y)dσ平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a>0)的引力：F={Fx,Fy,Fz}，其中：Fx=f∫∫

D

ρ(x,y)xdσ(x+y+a)

2

2

22

Fy=f∫∫3

D

ρ(x,y)ydσ(x+y+a)

2

2

22

Fz= fa∫∫3

D

ρ(x,y)xdσ(x+y+a)

2

2

3

22

柱面坐标和球面坐标：

x=rcosθ

f(x,y,z)dxdydz=∫∫∫F(r,θ,z)rdrdθdz,柱面坐标： y=rsinθ,　　　∫∫∫ z=z

其中：F(r,θ,z)=f(rcosθ,rsinθ,z)

x=rsin cosθ 2

球面坐标： y=rsin sinθ，　　dv=rd rsin dθ dr=rsin drd dθ

z=rcos

2π

2

πr( ,θ)

2

F(r, ,θ)rsin dr∫0

∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=∫∫∫F(r, ,θ)rsin drd dθ=∫dθ∫d

重心：=

1

M

∫∫∫xρdv,　　=

1M

∫∫∫yρdv,　　=

1M

∫∫∫zρdv，　　其中M==∫∫∫ρdv

转动惯量：Ix=∫∫∫(y2+z2)ρdv，　　Iy=∫∫∫(x2+z2)ρdv，　　Iz=∫∫∫(x2+y2)ρdv

曲线积分：

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：

x= (t)

,　　(α≤t≤β),则：设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：

y=ψ(t)

∫

L

x=t22

′′f(x,y)ds=∫f[ (t),ψ(t(t)+ψ(t)dt　　(α<β)　　特殊情况：

y= (t)α

β

第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）： x= (t)

设L的参数方程为 ，则：

ψyt()=

β

∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy=α∫{P[ (t),ψ(t)] ′(t)+Q[ (t),ψ(t)]ψ′(t)}dt

L

两类曲线积分之间的关系：∫Pdx+Qdy=∫(Pcosα+Qcosβ)ds，其中α和β分别为

L

L

L上积分起止点处切向量的方向角。

Q P Q P dxdy=Pdx+Qdy )dxdy=Pdx+Qdy()(格林公式：格林公式：∫∫∫∫ x y x yDLDL Q P1

=2时，得到D的面积：A=∫∫dxdy=xdy ydx当P= y,Q=x

x y2L

D·平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；

2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意方向相反！

·二元函数的全微分求积： Q P

在＝时，Pdx+Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中： x y

(x,y)

Q P

＝(0,0)，应 x y

u(x,y)=

(x0,y0)

∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy，通常设x

=y0=0。

曲面积分：

22

对面积的曲面积分：∫∫f(x,y,z)ds=∫∫f[x,y,z(x,y)]+zx(x,y)+zy(x,y)dxdy

∑

Dxy

对坐标的曲面积分：∫∫P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy，其中：

∑

∫∫R(x,y,z)dxdy=±∫∫R[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正号；

∑

Dxy

∫∫P(x,y,z)dydz=±∫∫P[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正号；

∑

Dyz

∫∫Q(x,y,z)dzdx=±∫∫Q[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正号。

∑

Dzx

两类曲面积分之间的关系：∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∫∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds

∑

∑

高斯公式：

∫∫∫(

P Q R

dv=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds++

x y z∑∑

高斯公式的物理意义——通量与散度：

P Q R

,即：单位体积内所产生的流体质量，若divν<0,则为消失...++散度：divν=

x y z

通量：∫∫A nds=∫∫Ands=∫∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds， 因此，高斯公式又可写成：∫∫∫divAdv=Ands

∑

∑

∑

∑

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

∫∫(

∑

R Q P R Q P

)dxdy=Pdx+Qdy+Rdz)dydz+( )dzdx+( y z z x x yΓ

cosβ

yQ

cosγ zR

dydzdzdxdxdycosα

上式左端又可写成：=∫∫∫∫xyz x∑∑

PQRP

R Q P R Q P

空间曲线积分与路径无===

y z z x x yijk

旋度：rotA=

x y zPQR

向量场A沿有向闭曲线ΓPdx+Qdy+Rdz=A tds

Γ

Γ

常数项级数：

1 qn

1+q+q+ +q=等比数列：

1 q(n+1)n

1+2+3+ +n=等差数列：

2

111

调和级数：1+++ +是发散的

23n

2

n 1

级数审敛法：

1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）： ρ<1时，级数收敛

设：ρ=limn，则 ρ>1时，级数发散

n→∞

ρ=1时，不确定 2、比值审敛法：

ρ<1时，级数收敛

U

设：ρ=limn+1 ρ>1时，级数发散

n→∞Un ρ=1时，不确定

3、定义法：

sn=u1+u2+ +un;limsn存在，则收敛；否则发散。

n→∞

交错级数u1 u2+u3 u4+ (或 u1+u2 u3+ ,un>0)的审敛法——莱布尼兹定理： un≥un+1

如果交错级数满足 ，那么级数收敛且其和s≤u1,其余项rn的绝对值rn≤un+1。

limu=0 n→∞n绝对收敛与条件收敛：

(1)u1+u2+ +un+ ，其中un为任意实数；(2)u1+u2+u3+ +un+

如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。 1( 1)n

调和级数：∑n发散，而∑n1

级数：∑n2收敛；

≤１时发散1

p级数：∑npp>1时收敛幂级数：

1

<x1时，收敛于

1 x1+x+x2+x3+ +xn+ x≥1时，发散

+a2x2+ +anxn+ ，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全对于级数(3)a0+a1x　

x<R时收敛

数轴上都收敛，则必存在R，使x>R时发散，其中R称为收敛半径。

x=R时不定

1

ρ≠0时，R=

求收敛半径的方法：设lim

an+1

=ρ，其中an，an+1是(3)ρ=0时，R=+∞

n→∞an

ρ=+∞时，R=0

ρ

函数展开成幂级数：

f′′(x0)f(n)(x0)2

函数展开成泰勒级数：f(x)=f(x0)(x x0)+(x x0)+ +(x x0)n+

2!n!

f(n+1)(ξ)

余项：Rn=limRn=0(x x0)n+1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：

n→∞(n+1)!f′′(0)2f(n)(0)n

x0=0时即为麦克劳林公式：f(x)=f(0)+f′(0)x+x+ +x+

2!n!一些函数展开成幂级数：

m(m 1)2m(m 1) (m n+1)n

( 1<x<1)x+ +x+ 　　　

2!n!

352n 1

xxx

sinx=x + +( 1)n 1( ∞<x<+∞)+ 　　　

3!5!(2n 1)!(1+x)m=1+mx+

欧拉公式：

eix+e ix

cosx= 2ix

e=cosx+isinx　　　或 ix ix

sinx=e e 2

三角级数：

a0∞

f(t)=A0+∑Ansin(nωt+ n)=+∑(ancosnx+bnsinnx)

2n=1n=1

其中，a0=aA0，an=Ansin n，bn=Ancos n，ωt=x。

正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x sinnx,cosnx 任意两个不同项的乘积在[ π,π]上的积分＝0。傅立叶级数：

a0∞

f(x)=+∑(ancosnx+bnsinnx)，周期=2π

2n=1

π

1

(n=0,1,2 ) an=∫f(x)cosnxdx　　　

π π

其中 π

b=1f(x)sinnxdx　　　(n=1,2,3 ) nπ∫ π

∞

π211

1+2+2+ =

835

π2111

+++ =

24224262

正弦级数：an=0，bn=余弦级数：bn=0，an=

π2111

1+2+2+2+ =6234

π2111

1 2+2 2+ =12234f(x)sinnxdx　　n=1,2,3 　f(x)=∑b∫π

2

π

n

sinnx是奇函数

2

π

π

∫

f(x)cosnxdx　　n=0,1,2 　f(x)=

a0

+∑ancosnx是偶函数2

周期为2l的周期函数的傅立叶级数：

a0∞nπxnπx

)，周期=2lf(x)=+∑(ancos+bnsin

2n=1ll

l 1nπx

(n=0,1,2 )dx　　　 an=∫f(x)cos

l ll

其中 l

b=1f(x)sinnπxdx　　　(n=1,2,3 ) nl∫l l

微分方程的相关概念：

一阶微分方程：y′=f(x,y)　或　P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy=f(x)dx的形式，解法：

∫g(y)dy=∫f(x)dx　　得：G(y)=F(x)+C称为隐式通解。

dyy

=f(x,y)= (x,y)，即写成的函数，解法：dxxdudxduyydydu

= (u)，∴=设u=，则=u+x，u+分离变量，积分后将代替u，dxx (u) uxxdxdx齐次方程：一阶微分方程可以写成即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：

dy

1+P(x)y=Q(x)

dx

P(x)dx

当Q(x)=0时,为齐次方程，y=Ce∫

P(x)dxP(x)dx

当Q(x)≠0时，为非齐次方程，y=(∫Q(x)e∫dx+C)e∫

dy

2+P(x)y=Q(x)yn，(n≠0,1)

dx全微分方程：

如果P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0中左端是某函数的全微分方程，即： u u

du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0=P(x,y)=Q(x,y)

x y∴u(x,y)=C应该是该全微分方程的通解。

二阶微分方程：

f(x)≡0时为齐次d2ydy

+P(x)+Q(x)y=f(x)2

dxdxf(x)≠0时为非齐次

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)y′′+py′+qy=0，其中p,q为常数；求解步骤：

1、写出特征方程：( )r2+pr+q=0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y′′,y′,y的系数；2、求出( )式的两个根r1,r2

3、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：

二阶常系数非齐次线性微分方程 y′′+py′+qy=f(x)，p,q为常数f(x)=eλxPm(x)型，λ为常数；f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]型

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/rr71.html