福建省厦门市2013届高三3月质量检查数学

厦门市2013届高三质量检查

数学（理科）试卷

注意事项：

1.本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、学号、姓名；

2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只

有一个答案是正确的.

1．已知全集U?R，集合A?xx?3，B?xx?2?0，则A?CUB等于（ ） A．(??,3] B．(??,3) C．[2,3) D．(?3,2]

????x22. 双曲线?y2?1的渐近线方程为（ ）

4A．y??2x B．y??4x C．y??11x D．y??x 243. 某雷达测速区规定：凡车速大于或等于80 km/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚．如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有（ ）

A．20辆 B．40辆 C．60辆 D．80辆 4. “e?e”是log2a?log2b”的( )

ab A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5.函数f(x)?x?sinx(x?R)（ ）

A.是偶函数且为减函数 B. 是偶函数且为增函数 C.是奇函数且为减函数 D. 是奇函数且为增函数

?y?x,?26. 若不等式组?y?0,表示的平面区域为M，不等式y?x表示的平面区域为N， ?x?1?现随机向区域M内投掷一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为（ ）

开始 i = 0 输入正整数n n为奇数? 是1112A． B． C． D.

63237．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛2

结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3∶1的比分获胜的概率为（ ）

3

86448A. 27 B. 81 C. 9 D. 9 8. 在右侧程序框图中，输入n?5，按程序运行后输出的结果是（ ）

A．3 B．4 C．5 D.6

9．若函数f(x)?x?3x在(a,6?a)上有最小值，则实数a的取值范围是（ ） A．(?5,1)

B．[?5,1)

?32否n = 3n+1 n = n/2 i = i + 1 否n = 1? 是输出i 结束 C．??2,1?

D．(?2,1)

????????10. ?ABC中，BC?2,A?45，B为锐角，点O是?ABC外接圆的圆心，则OA?BC的

取值范围是（ ）

A. (?2,22] B. (?22,2] C. [?22,22] D. (?2,2)

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分。 11．若(a?i)为纯虚数（i为虚数单位），则实数a= . 12．已知sin(2π3?x)?,则cos2x＝ . 2513．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，俯视图

是半圆。现有一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到 ．．A点，则蚂蚁所经过路程的最小值为________．

14．在含有3件次品的10件产品中，取出n(n?10,n?N)件产品，

记?n表示取出的次品数，算得如下一组期望值E?n：

110C30C7C3C3 当n=1时， E?1?0?1?1?17?;

C10C1010俯视图A2正视图B侧视图*2110C30C7C3C7C32C76?1??2?? 当n=2时， E?2?0?; 222C10C10C1010312130C30C7C3C7C32C7C3C79?1??2??3?? 当n=3时， E?3?0?; 3333C10C10C10C1010……

观察以上结果，可以推测：若在含有M件次品的N件产品中，取出

*n(n?N,n?N)件产品，记ξn表示取出的次品数，则Eξn= ．

15．某同学在研究函数f(x)?x2?1?x2?6x?10的性质时，受到两点间距离公式的(x?0)2?(0?1)2?(x?3)2?(0?1)2，则f(x)表示

启发，将f(x)变形为f(x)?，下列关于函数f(x)的描述正确的是 ．（填上所有正|PA|?|PB|（如图）确结论的序号）

①f(x)的图象是中心对称图形； ②f(x)的图象是轴对称图形； ③函数f(x)的值域为[13,??)； ④方程f[f(x)]?1?10有两个解.

OPyA(0,1)xB(3,-1)三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

16.（本小题满分13分）

已知函数f(x)?yP33sin?x?cos?x（??0）的周期为4。 22O （Ⅰ）求f(x) 的解析式；

（Ⅱ）将f(x)的图象沿x轴向右平移

2个单位得到函数g(x)的图象， 3PQ，求?OQP的大小。 P、Q分别为函数g(x)图象的最高点和最低点（如图）17．（本小题满分13分）

如图，PA,QC都与正方形ABCD所在平面垂直，AB=PA=2QC=2，AC∩BD=O （Ⅰ）求证：OP⊥平面QBD;

（Ⅱ）求二面角P-BQ-D平面角的余弦值；

QADOBCPE （Ⅲ）过点C与平面PBQ平行的平面交PD于点E，求的值.

ED18．（本小题满分13分）

某城市2002年有人口200万，该年医疗费用投入10亿元。此后该城市每年新增人口10万，医疗费用投入每年新增x亿元。已知2012年该城市医疗费用人均投入1000元。 （Ⅰ）求x的值；

（Ⅱ）预计该城市从2013年起，每年人口增长率为10%。为加大医疗改革力度，要求

将来10年医疗费用总投入达到690亿元，若医疗费用人均投入每年新增y元，．．．求y的值。

（参考数据：1.1?2.85） 19. （本小题满分13分）

已知函数f(x)?x?alnx在x?1处的切线l与直线x?2y?0垂直，函数

11g(x)?f(x)?12x?b．x 2（Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）若函数g(x)存在单调递减区间，求实数b的取值范围； （Ⅲ）设x1,x2(x1?x2)是函数g(x)的两个极值点，若b?值．

20. （本小题满分14分）

7，求g(x1)?g(x2)的最大2x2?y2?1. 已知椭圆C1:2（Ⅰ）我们知道圆具有性质：若E为圆O：x?y?r(r?0)的弦AB的中点，则直

线AB的斜率kAB与直线OE的斜率kOE的乘积kAB?kOE为定值。类比圆的这个性质，写出椭圆C1的类似性质，并加以证明；

（Ⅱ）如图（1），点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x

轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求三角形OCD面积的最小值；

222x2y2??1上任意一点P作C1的两条切线PM和PN，（Ⅲ）如图（2），过椭圆C2:82切点分别为M，N.当点P在椭圆C2上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.

yDByPMCNOOxx

图（1） 图（2）

21.本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

?11??? ，B??12?.

已知矩阵A????23?23????（Ⅰ）求矩阵A的逆矩阵A；

（Ⅱ）求直线x?y?1?0在矩阵AB对应的线性变换作用下所得曲线的方程. （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

?1?1?x?2?2cosθ,在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是?（?为参数）.

y?2sinθ?（Ⅰ）将C1的方程化为普通方程；

（Ⅱ）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设曲线C2的极坐标方程是

θ?π(ρ?R)， 3求曲线C1与C2交点的极坐标. ．．．

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

已知正数x，y，z满足x?y?z?6． （Ⅰ）求x?2y?z的最大值；

（Ⅱ）若不等式a?1?2a?x?2y?z对满足条件的x，y，z恒成立，求实数a的

取值范围．

222

厦门市2013届高三质量检查 数学（理科）评分标准

一．选择题； BCAB D BACC A10.分析1：BC=2，?A?450，所以2R?a?R?2，如图建系， sinAyA1B(?1,0),C(1,0)O(0,1)，求得圆O：(x?1)2?y2?2，设A(x,y)，则

????????OA?BC??

????????????????????????????????分析2：OA?BC?|OA|?|BC|cos?OA,BC??4cos?OA,BC?…

分

析

3

：

OBD?????????????????????????????????????1221???????OA?BC?(OD?DA)?BC?DA?BC??(AC?AB)?(AC?AB)?(c?b)

22又所

bc2， ??0sinBsinCsin45以

1211(c?b)?[(22sinC)?(22sinB)]=(c2?b2)?4(sin2C?sin2B)?... 2222二．填空题： 11. ?1 12. ?15．②③

7 13. 252?6 (或22?3) 14.

mn NAyx?x23315.分析：如图设P(x1,0),Q(x2,0)，当P，Q关于(,0)对称时，即1?

222 f(x1)?f(x2),所以f(x)关于x?QOPM3对称. 2B ④设f(x)?t，则f(t)?1?10，观察出t1?0，则t2?3，由③知无解. 三．解答题：

16.本题考查了三角函数和角公式的变换和三角函数图像周期、对称、平移等基本性质，考

查运用有关勾股定理、余弦定理求解三角形的能力，考查了运用数形结合的数学思想解决问题的能力．满分13分． 解：（1）f(x)?33sin?x?cos?x 2213?3(sin?x?cos?x)

22----------------------------------------------------------------1分

?3(sin?xcos--3分

??cos?xsin)?3sin(?x?)-----------------------------------3332??= 42??因为?=4，??o,所以?=-------------------------------------5分

所以f(x)?3sin(x?)23-------------------------------------6分 （2）将f(x)的图像沿x轴向右平移

??

2个单位得到函数3g(x)?3sin?2x---------------------------7分

因为P、Q分别为该图像的最高点和最低点，

所以P(1,3),Q(3,?3)--------------------------------------------------------------------------9分 所以OP?2,PQ?4,----------------------------------------------------------------------------10分

OQ2?PQ2?OP23--------------------------------------------------12分 OQ?12,?cos???2OQ?QP2所以???6---------------------------------------------------------------------------------------13分

法2：可以得?POx?60o,?P?60o,?QOx?30o所以?=30o

????????QP?QO(?2,23)?(?3,3)3?法3：利用数量积公式cos????? ，所以?=30o ??????24?12?9?3QP?QO17． 本题主要考查空间直线与平面垂直的判断、线面平行及二面角的判断及计算、空间向

量应用的基本方法，

考查空间想象、计算、推理论证等能力．满分13分． 解：（Ⅰ）连接OQ，由题知PA∥QC,∴P、A、Q、C共面

BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A，

∴BD⊥平面PACQ, ∴BD⊥OP. ------------------------------------------------------1分

由题中数据得PA=2，AO=OC=2,OP=6,QC=1，OQ=3 ∴△ PAO∽ △ OCQ,∴∠POA=∠OQC,

又∵∠POA+∠OPA=90°∴∠POA+∠COQ=90°∴OP⊥OQ

（或计算PQ=3，由勾股定理得出∠POQ=90°，OP⊥OQ）------------------3分

∵OP⊥BD, OP⊥OQ,BD∩OQ=O，∴OP⊥平面QBD--------------------------4分

（Ⅱ）如图，以A为原点，分别以AB,AD,AP所在直线为X,Y,Z轴建立直角坐标系， ∴各点坐标分别为A(0,0,0) ，B(2,0,0) ，C（2,2,0），D（0,2,0）,P（0,0,2）,Q(2,2,1),O(1,1,0)-- -----------------5分

∴BP=(-2,0,2), BQ=（0,2,1）,设平面PBQ的法向量n?(x,y,z)

???????x?z?n?BP??2x?2z?0∴?????，得?， ?2y??z???n?BQ?2y?z?0不

妨

设

y??1，

∴n?(2,?1,2)--------------------------------------------------------------------------------------------------6分

由

（

Ⅰ

）

知

平

面

BDQ

的

法

向

量

OP?(?1,?1,2)，

---------------------------------------------------------------------------7分

?????OP?n?2?1?46， cos?OP，n>=???????66?3OP?n∴二面角P-BQ-D平面角的余弦值为

6.--------------------------------------9分 6?????????????????????????????1（Ⅲ）设PE??ED,∴PD?PE?ED?(1??)ED??0,2,?2?,ED??0,2,?2?

1????????????????22?CE?CD?DE???2,,?，--------------------------------------------------11分

1??1????????∵CE∥平面PBQ,∴CE与平面PBQ的法向量n?(2,?1,2)垂直。

?????242?4?n?CE??4????0,---------------------------------------------------12分

1??1??1??∴??1PE1. ∴?--------------------------------------------------13分

ED22（方法二）在平面PAD中，分别过D点、P点作直线PA、AD的平行线相交于点M， 连结MC交直线DQ与点N，在平面PQD中过点N作直线NE∥PQ交PQ于点E，----------------------------11分

由题可知CN∥PB,NE∥PQ,CN∩NE=N

∴平面CNE∥平面PBQ,∴CE∥平面PBQ----------------------------------12分 ∵CQ=1，MD=PA=2，∴∵NE∥PQ,

QN1? ND2PE1?------------------------------------------------------------13分 ED2

18．本题主要考查学生审题阅读、理解分析的能力，考查等差等比数列的基本知识，考

查数学建模及其应用与计算的能力，考查运用数学知识分析问题和解决实际问题问题的能力．满分13分.

解：（Ⅰ）依题意，从2002年起，该城市的人口数组成一个等差数列，

到2012年，n?11，该城市的人口数为200?(11?1)?10?300万人，

--------------------------------2分

故2012年医疗费用投入为300?10?1000?3?10元，即为30亿元， 由于从2002年到2012年医疗费用投入也组成一个等差数列，

--------------------------------------------------4分

所以10?(11?1)x?30，解得x?2，----------------------5分 （Ⅱ）依题意，从2013年起（记2013年为第一年），

该城市的人口数组成一个等比数列{an}，

其中a1?300?(1?10%)?300?1.1，公比q?1.1，an?300?1.1-----------6分 医疗费用人均投入组成一个等差数列{bn}，

其中b1?1000?y，公差为y，bn?1000?ny；------------------7分 于是，从2013年起，将来10医疗费用总投入为：

n49S10?a1b1?a2b2???a10b10，----------------------------------------8分

S10?300(1000?y)?1.1?300(1000?2y)?1.12???300(1000?10y)?1.110，

1.1S10?300(1000?y)?1.12?300(1000?2y)?1.13???300(1000?10y)?1.111，

相减得：?0.1S10?300[1100?1.1y?1.1y???1.1y?(1000?10y)?1.1]，

210111.1?1.111?0.1S10?300[1100?y?(1000?10y)?1.111]??300(11y?1750)，

1?1.1所以Sn?3000(11y?1750)（万元），----------------12分

由题设，3000(11y?1750)?6900000，解得y?50。---------------13分

19. 本题主要考查函数的导数的几何意义，导数知识的应用等基础知识，函数的单调性、

考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、数学建模应用解决问题、分类与整合思想。满分13分. 解：（Ⅰ）∵f(x)?x?alnx，∴f?(x)?1?a.----------------------------1分 xx?1 ∵l与直线x?2y?0垂直，∴k?y?∴a?1.---------------------------------3分

（

Ⅱ

）

∵

?1?a?2，

1g(x)?lnx?x2?(b?1)x2，

1x2?(b?1)x?1∴g?(x)??x?(b?1)?.---------------------------4分

xx由

题

知

g?(x)?0在

(0,??)上有解，

∵x?0,----------------------------------------------------------------5分

设

u(x)?x2?(b?1)x?1------------------------------7分

，则

u(?0?) ∴只须

?b?1?0?2???(b??21?)?4?0，

故

?b?1　　　　???b?3?b?3或b??1b的取值范围为

(3,??).-------------------------------------------------8分

1x2?(b?1)x?1（Ⅲ）∵g?(x)??x?(b?1)?，∴令g?(x)?0，得：

xxx2?(b?1)x?1 ?0 ∴x1?x2?b?1,x1x2?1，

法1：∵g(x1)?g(x2)?[lnx1?

121x1?(b?1)x1]?[lnx2?x22?(b?1)x2] 22?lnx112x1?(x1?x22)?(b?1)(x1?x2)?ln1?(x12?x22)?(x1?x2)(x1?x2) x22x22x112x11x12?x22x1xx2?ln?(x1?x2)?ln?()?ln1?(1?2)---x22x22x1x2x22x2x1

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/rr6p.html