数项级数的敛散性判别法

第六讲 数项级数的敛散性判别法

§1 柯西判别法及其推广

比较原理适用于正项级数，高等数学中讲过正项级数的比较原理： 比较原理I：设

?u，?vnn?1n?1??n都是正项级数，存在c?0，使

?un?cvn(n?1,2,3,...)

n

（i） 若

?vn?1收敛，则

?un?1?n也收敛；（ii） 若

??un?1?n发散，则

?vn?1?n也发散．

比较原理II（极限形式）设

?u，?vnn?1n?1?n均为正项级数，若

limun?l?(0,??)

n??vn

则

?u、?vnn?1n?1??n同敛散．

根据比较原理，可以利用已知其敛散性的级数作为比较对象来判别其它 级数的敛散性．柯西判别法和达朗贝尔判别法是以几何级数作为比较对象而 得到的审敛法．下面用比较判别法推出更宽泛的柯西判别法． 定理1（柯西判别法1）设

?un?1?n为正项级数，

（i）若从某一项起（即存在N，当n?N时）有nun?q?1（q为常数），

则

?un?1?n收敛；

?（ii）若从某项起，nun?1，则?un发散．

n?1证（i）若当n?N时，有nun?q?1，即un?qn，而级数

?qn?1?n收敛，

根据比较原理I知级数

?un?1?n也收敛．

?（ii）若从某项起，nun?1，imun?0则un?1，故ln??，由级数收敛的必要条件知

?un?1n 1

发散．定理证毕． 定理2（柯西判别法2） 设

?un?1?n为正项级数，limnn???则：（i）当r?1时，?unun?r，

n?1?收敛；（ii） 当r?1（或r???）时，?un发散；（iii）当r?1时，法则失效．

n?1

例1 判别下列正项级数的敛散性

123(1)?()2?()3?357?nn?()?2n?1；(2)?nen=1?n?n

(3)?n?xn（?为任何实数，x?0）．

n=11解 (1) 因为r?limun??1n??2n，所以原级数收敛．

(2) 因为rn?limnun?lim??n??n??en??，所以原级数发散．

(3) 对任意?，r?limnun?x．当0?x?1时收敛；当x?1时发散；当x?1时，

?1，即???1时收敛；当???1此时级数是p?级数，要对p???进行讨论，当??时，即???1时发散．

?1nn例2 判别级数?n[2?(?1)]的敛散性．

n?13解 由于

n12?(?1)nn limun?limnn[2?(?1)]?limn??n??3n??3n不存在，故应用定理2无法判别级数的敛散性．又因为

n12?(?1)2?1nnnu?n[2?(?1)]???q?1 n3n33由定理1（柯西判别法1）知原级数收敛． 例3（98考研）设正项数列?an?单调减少，且是否收敛？并说明理由．

?1?n(?1)a发散，试问级数?n???a?1n?1n?1?n???n 2

解 答案：级数

?1????a?1n?1?n??n收敛，证明如下：

由于?an?单调减少且an?0,根据单调有界准则知极限liman存在．设liman?a,则

n??n??a?0．如果a?0,则由莱布尼兹判别法知

n(?1)a(?1)an发散矛盾，收敛，这与??nnn?1n?1??故a?0．再由?an?单调减少，故an?a?0,取q? 0?nun?1?1， a?111??q?1 an?1a?1n根据柯西判别法1知

?1????n?1?an?1??收敛．

下面介绍柯西判别法的两个推广，称它们为广义柯西判别法． 定理3（广义柯西判别法1） 设

?un?1?n为正项级数，如果它的通项un的

an?ban?b?a?0?次根的极限等于r，即limn??un?r．则当r?1时，级数收敛；当r?1时，

级数发散；当r?1级数可能收敛也可能发散．

证 因为liman?bun?r，即对任给正数?，存在正整数N1，当n?N1时，有

n??

?r????an?bun??r??? （1）

对于任给常数b，总存在N2，当有n?N2时有

an?b?0 （2）

取N?max?N1,N2?，当n?N时，式（1）和式（2）同时成立．

当r?1时，取?足够小，使r???q?1．由上述讨论，存在N，当n?N时，式（1）

an?b和式（2）同时成立，那么有un?q，正项级数

?qn?1??an?b?qb?(qn?1?an)收敛（因为其为等

比级数且公比0?q?1），由比较审敛法知，级数

n?un?1n收敛．

当r?1时，取?足够小，使r???q?1，由上面的讨论，存在N，当n?N时，式（1）

an?b和式（2）同时成立，则un?q

，正项级数

?qn?1?an?b?qb?(qn?1?an)发散，由比较审敛法知，

3

级数

?un?1?n发散．

当r?1时，取un??11an?bu?limlim?1．a?0,b，那么，对任何为常数，有而npp/(an?b)n??n??nn?11发散，收敛．说明此时级数可能收敛也可能发散．定理证毕． ??2nnn?1n?1?1?例4 判别级数???n?1?3n?1?解 因为lim2n?1un?limn???2n?1的收敛性．

1?0?1,由广义柯西判别法1知，级数

n??3n?1?1????n?1?3n?1??2n?1收敛．

注 例4也可用柯西判别法2(定理2)，但比较麻烦，而用广义柯西判别法1要简单得多． 定理4（广义柯西判别法2） 设

?un?1?n为正项级数，如果它的一般项un的nm（m是大于

m1的正整数）次根的极限等于r，即limnun?r．则当r?1时，级数收敛；当r?1时，

n??级数发散；当r?1时，级数可能收敛也可能发散．

证 因为limnun?r，即对任给的正数?，存在正整数N，当n?N时有

mn??r???nun?r??m

当r?1时，取?足够小，使r???q?1．由上面的讨论，存在N，当n?N时， 有un?q．因为q?nmnm又正项级数?q收敛（因q?(0,1)），由比较审敛法知?qn?q，

nnn?1n?1??m收敛 ，所以

?un?1n收敛．

当r?1时，取?足够小，使r???q?1．由上面的讨论，存在N，当n?N时，有

un?qnm?1，那么limun?0，所以级数?un发散．

n???n?1当r?1时，同样取un?P1?p?0?，那么 npPlimnmn??11??1???lim?lim??n??1/nm??1 nmnpn???n??n??4

这说明r?1时，级数可能收敛也可能发散．定理证毕．

注 广义柯西判别法是柯西判别法2(定理2)的推广[1]．事实上，在广义柯西判别法1中，取a?1,b?0，在广义柯西判别法2中，取m?1便得定理2（柯西判别法2）．

?例5 判断级数

????2n?1?n?12?n?n2的收敛性．

n2解 因为limnun?limn?n??n??收敛．

2?n???2n?1??limn1??1，由广义柯西判别法2知原级数

n??2n?12定理5（广义柯西判别法3） 设wn?unvn,un?0,vn?0,(n?1,2,n)，若

??vnlimun?u，lim?v．则当uv?1时，级数?wn收敛；当uv?1时，级数?wn发n??n??vn?1n?1n?1散[2]．

为证明定理5，需要一些预备知识：

Stolz定理 设?an?、?bn?为两个数列，数列?bn?在某顶之后单调递增,且

limbn???，若limn??an?an?1a（或??），则limn?l（或??）． ?l，

n??b?bn??bnn?1nn??命题1 设数列?xn?．若limxn?l，则lim证 令an?x1?x2?x1?x2?n??n?xn?l?limxn。

n???xn，bn?n，由Stolz定理，

xn?limxn?l

n??n?(n?1)n??limx1?x2?n??n?xn?lim命题证毕．

命题2设an?0，(n?1,2,)．liman?a，则limna1a2n??n??an?a?liman．

n??n??证 由an?0，考虑数列?lnan?，由对数函数的连续性易知limlnan?lna．再 由命题1知

limna1a2n??an?limlna1?lna2?n??nlnna1a2an?lnan?lna

根据指数函数的连续性便得

limna1a2n??an?limen???elna?a,

a?0或a???时，结论仍成立，这里证明略去．

命题3 设vn?0，lim

vnv?v，则limnvn?v?limn．

n??vn??n??vn?1n?15

证 令a1?v1，an?vnv(n?2,3)，由命题2 n?1limnvavnn??n?limnn??a1?an?1n?limn??an?limn??v

n?1命题证毕．

证明定理5 由命题3知，

limnwvnn??n?limnn??un?limnn??vn?limnn??un?limn??v?uv

n?1再用柯西判敛法(定理2) 便得结论．定理证毕．

显然，定理2(柯西判敛法2)是广义柯西判别法3当vn?1时的特例．

?例6 判定级数?n!?n?1?n2?1?nn?1?2n??n??的敛散性. n2解 设u?n?1?n???n??，vn?n!?2n?1?n则 limn?nn??u?limn???n?1?n?n???e,?1nlimvn?1???nn??v?limn?2n?1?n?2n?1n?1n??2n?1???2n?1???limn??2n?1?limn???n?, ??1?1?2e2n??11?n!?n?1?n2由于e?2e?2?1，根据广义柯西判别法3知，级数?nn?1?2n?1???n??收敛．?n 判定???n2?n?3?xn?1例7n?1?n2?3n?4???1?xn?x?0?的敛散性． ?n2?n?3?nuxn?1解 设n???n2?3n?4??,vn?1?xn，则 limnn2?n?3n??un?limn??n2?3n?4?1，

limvnx?xn?x,0?x?1n??v?lim?? n?1n??1?xn?1,x?1 6

?n2?n?3?xn?1?n所以，当0?x?1时，级数??n?1?n2?3n?4???1?xn收敛．当x?1时，由于 limnuvnn??n?limn??v?1，

n?1广义柯西判别法3失效．然而x?1时

?12nn?1

lim?n?n?3?4,x?1n????x?2e?n2?3n?4???1?xn?? ?1??xe4,x?1??n2?n?3?nxn?1由级数收敛的必要条件知，当x?1时级数??n?1?n2?3n?4???1?xn发散． §2达朗贝尔判别法及其推广

用比较原理也能推出更宽泛的达朗贝尔判别法． ?定理6（达朗贝尔判别法1） 设

?un为正项级数,

n?1（i） 若从某项起(?N,n?N)，有u?n?1u?q?1，则?un收敛； nn?1（ii） 若从某项起(?N,n?N)，有u?n?1u?1，则?un发散． nn?1证明（i）由n?N时，有

un?1u?q?1，从而 n

u3N?1?quN，uN?2?quN?1?q2uN，uN?3?uNq，uN?k?ukNq,???由于

?ukNq收敛，由比较原理知

N?k收敛，故

n收敛．

k?1?uk?1?un?1（ii）若存在N，当n?N时，有

un?1u?1，则un?1?un，故limun?0，nn??

?由级数收敛的必要条件知

?un发散．定理证毕．

n?1定理7（达朗贝尔判别法2）设limu?n?1n??u?r，则（i）若r?1，则?un nn?1 7

收敛；（ii）若r?1（或r???），则?un发散；（iii）若r?1，敛散性不能确定．这

n?1?正是高等数学中的达朗贝尔判别法． 例8判别下列级数的敛散性．

n!22223(1?)n； (2)???123n?1n?2n??n；

(3)?n?1??nns(s?0,??0)．

?n!un?11??1，所以级数?n收敛． 解 （1）因为r?limn??uen?1nn（2） 因为r?limun?1?2?1，所以原级数发散．

n??unun?1?n?1ns?lim??．当0???1时，级数收敛（3） 对任意S?0，r?limn??un??(n?1)s?nn当??1时，级数发散；当??1时原级数为?(?s?0)；

1sn?1n?的敛散性要进一步判定．当

S?1时级数收敛，当S?1时级数发散．

[(n?1)!]n例9判别级数?的敛散性．

?4!(2n)!n?12!?解 因为

un?1(n?2)n?1(n?1)!(n?2)n?1 ??un(2n?2)!(n?2)?(n?3)(2n?2)1??n?2?????1????

n?3n?3????1?111?1??n?NN,及lim?1?故存在当时，有??,1?????．从而，当n?Nn???n?3?e2?n?3?2nnnn[(n?1)!]un?11?．根据定理6，可知级数时，收敛． un2?4!(2n)!n?12!??n下面介绍达朗贝尔判别法的推广，也称它们为广义达朗贝尔判别法． 定理8（广义达朗贝尔判别法１） 设

?un?1?n为正项级数，k是某正整数，

（i） 如果对一切n，有

un?k?q?1，则级数收敛； un 8

（ii） 如果

un?k?1，则级数发散． unun?k?q，则un?k?qun，从而 un证（i） 由于

umk?1?u(m?1)k?1?k?qu(m?1)k?1?qmu1 umk?2?u(m?1)k?2?k?qu(m?1)k?2?qmu2

umk?k?u(m?1)k?k?k?qu(m?1)k?k?qmuk

其中m是任意正整数，可见，对i?1,2,分和序列

,k，都有limumk?i?0．考虑级数的部

m??S(m?1)k?(u1??(1?q?1(u1?1?q?uk)?(uk?1?m?uk?k)??(umk?1??uk)

?umk?k)?q)(u1?1?qm?1?uk)?(u1?1?q??uk)

即S(m?1)k有上界，从而limS(m?1)k存在，设limS(m?1)k?S．注意到

m??m????Smk?1?Smk?umk?1,Smk?2?Smk?umk?1?umk?2,Smk?(k?1)?Smk?umk?1?umk?2?故limSmk?1?limSmk?2?m??m??,?umk?(k?1)

?limSmk?(k?1)?limSmk?k?S，ilSn?S，即m所以?un收

m??m??n???n?1敛． 若

un?k?1成立，则un?k?un，从而umk?1?u(m?1)k?1?u1?0，故limun?0，所以级

n??un1111??2?2?232311?n?n23数发散．定理证毕． 例10判别级数

?的收敛性．

解 取k?2，由于

u n?kun?1,n为奇数??2???1,n为偶数??3??1???1 ?2?9

根据定理8知该级数收敛．

定理9（广义达朗贝尔判别法2） 设

?un?1?n为正项级数，k是某一正整数，

limun?k?q(或+?)

n??un（i） 如果q?1,则级数收敛；（ii） 如果q?1,则级数发散． 证 （i） 如果q?1，对??1?q?0，存在N，当n?N时，有 2un?k1?q ?q?un2从而

un?k1?q1?q?q???1 un22由定理8（广义达朗贝尔判别法1）知

?un?1?n收敛．

如果q?1，则从某项开始，un0?k?un0,此时limun?0，故原级数发散．

n??例11确定下列级数的敛散性 （1）

?2n?1??n?(?1)n；（2）

?en?1?n?n????2sin?cos?n?22??.

n?2un?22?(n?2)?(?1)解 （1） 取k?2，由于lim?limnn??un??2?n?(?1)nun?4e?limn??un??n?1?1，所以原级数收敛． 41 ?1，所以原级数收敛．4e（2） 取 k?4，由于lim(n?4)?(n?4)????cos?(n?4)??2sin22??n?n????2sin?cos?n?22???e§3 积分判别法

积分判别法是利用非负函数的单调性及其积分性质，把无穷区间上的广义积分作为比较对象来判别正项级数的敛散性．

定理10（柯西积分判别法） 对于正项级数

?un?1?n，设{un}单调减少，作单

?调减少的连续函数

f(x)(f(x)?0)，使un?f(n)单调减少，则级数?un与

n?1 10

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