黑龙江省哈尔滨市第六中学2016届高三数学上学期10月月考试题 理

哈尔滨市第六中学2016届高三10月月考

数学试卷（理工类）

考试时间：120分钟 满分：150分

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

x 11

0}，N {x|2x ，则M N=（ ） x 22

A．( 1, ) B．[ 1,2) C．( 1,2) D．[ 1,2]

1.. 设集合M {x|

a R，2. 已知i为虚数单位，若a2 1 a 1 i为纯虚数， 则复数z a a 2 i 在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

x

3.已知a>1，f(x) a

2

2x

，则使f(x) 1成立的一个充分不必要条件是（ ）

A． 1 x 0 B． 2 x 1 C． 2 x 0 D． 0 x 1

4.已知函数f

x xcosx，为了得到函数g x sin2x cos2x的图象，只需要将y f x 的图象( ) A. 向右平移C. 向右平移

个单位长度 4

8

个单位长度

B. 向左平移 D. 向左平移

4

个单位长度 个单位长度

8

2 x 1,x 0

，5.已知函数f(x) 若f(f( 1)) 4a，则实数a的取值范围是（ ）

logx ax,x 0 3

A．( ,1) B．( ,0) C．( , ) D. (1, ) 6.已知 是 ABC的一个内角，且sin cos

1

5

12

，则sin2 cos 的值为（ ） 5

383338

或-A．5 B．25 C．25 D. 525

7.定义在R上的函数f(x)满足：f( x) f(x),fx( 1)

1

，当x ( 1,0)时， f(x) 2x 1，则f(x)

f(log ( ) 220)1111A. B. C. D.

5544

1 2

8. 数列{an}是等比数列，若a2 1，a5 ，设Sn a1a2 a2a3 anan 1，若3Sn m 2m对任意n N8

恒成立，则m的取值范围为（ ）

A． 4 m 2 B．m 4或m 2 C． 2 m 4 D．m 2或m 4

9. 已知a,b,c分别为 ABC内角A,B,C的对边，且a,b,c成等比数列，且B A.3 B.

1

3

，则

11

=（ ） tanAtanC

324 C. D. 233

10. 平行四边形ABCD中，AD 1, BAD 60 ，E为CD中点．若AC BE 1，则|AB| （ ） A． 1 B．

111

C． D．

324

x

11.已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数，g(x) 0，f (x)g(x) f(x)g (x)，且f(x) ag(x)(a 0，且a 1)，

f(n)f(1)f( 1)5

的前n项和大于62，则n的最小值为（ ） ．若数列{g(n)g(1)g( 1)2

A．6 B．7 C．8 D．9

12.定义在(1, )上的函数f(x)满足下列两个条件：（1）对任意的x (1, )恒有f(2x) 2f(x)成立；（2）当记函数g(x) f(x) k(x 1)，若函数g(x)恰有两个零点，则实数k的取值范围是（ ） x 1,2 时，f(x) 2 x．

333

[,2](,2)[,2) [1,2)A. B. C.D.444

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分)

13. 若向量a 5,b 3,a b 7 ，求向量a与b的夹角为________________

14.已知数列 an 中，a3 2,a7

1a5

15.已知 a ( 1,1),OA a b,OB a b，若 OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则 OAB的面积

是_______

x 1,

16. 已知函数f(x)

log2x,

x 0

，若方程f(x) a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x 0

x1 x2 x3 x4，则x3(x1 x2)

1

的取值范围是 . 2

x3x4

x 1 cos

( 为参数) ，以O为极点，x轴的非

y sin

三、解答题：(本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤) 17.（本小题10分）在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为 负半轴为极轴建立直角坐标系。 （1）求圆C的极坐标方程

（2）直线l

的极坐标方程为2 sin( 求线段PQ的长度。

18.（本小题12分）在 ABC中，记 BAC x（角的单位是弧度制）， ABC的面积为S，且

8，

3

) 射线OM

3

与圆C的交点为O和P，与直线l的交点为Q，

4 S

2

（1）求x的取值范围；

（2）根据（1）中x的取值范围，求函数f

x 2 x 4

2cos2

x

19. （本小题12分）在 ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c 且满足cos2A cos2B 2cos(

6

A)cos(

6

A)

（1）求角B的值； （2）若b 且b a，求a 1

2

c的取值范围．

20. （本小题12分）已知在数列 a中，a时，其前n项和S2

n 1 1，当n 2n满足Sn anSn 2an 0。（1）求数列 an 的通项公式an； （2）若bn 1 1

n 2，记数列 的前项和为Tn，求证：Tn 3。 Snbn

21. （本小题12分）数列 an 的前n项和为Sn，且满足S1 2,Sn 1 3Sn 2. （1）求数列 an 的通项公式an； （2）设b1

1 2,b annS(n 2)，求证：b1 b2 ... bn 1 n 1 Sn

3

22. （本小题12分）设函数f(x) x2 bln(x 1)，其中b 0。

1

时，判断函数f(x)在定义域上的单调性； 21

（2）当b 时，求函数f(x)的极值点；

2

111

（3）证明对任意的正整数n ，不等式ln( 1) 2 3都成立

nnn

（1）当b

4

理科数学答案

一 选择题

二 填空题

13.

2

3 14. 75 15.2 16. 1,1

三 解答题

17.(1) 2cos -------3

（2）

设P1( 1， 1

），P1

( 2， 2）， =2cos 1，

2 sin( 3

) 3,PQ 2 得13 得2----10

3

18.（1）因为 BAC x， AB AC 8，所以，bccosx 8，又S 1

2

bcsinx，所以，S 4tanx，

又4 S 1 tanxx (0, ),所以，x

的取值范围是：

4

x

3

---------------4

(2）f x 2 x

4

2cos2

x 2sin

2x

6 1 因为，

3 2x 6 5 4

x

3

，即

26，12 sin

2x 6 2， 所以，f x max f

4 1，f

x min

f

3

2-----------------------12 19. （1）由已知cos2A cos2B 2cos

6 A cos 6 A

得2sin2B 2sin2A 2 3cos2A

12 4

4

sinA

化简得sinB

2

,故B 2 3或3． ----------------- 6分

（2）因为b a，所以B

a3

， 由正弦定理

c b

sinAsinCsinB

2,得，

5

故a

1 2 3 c 2sinA sinC 2sinA sin A sinAA A 9分 26 3 2

因为b a，所以

3

A

2

, A ， ------------ 10分

3662

所以a

1

c A ． ---------12 26

2

20.解：（1）因为当n 2时，an Sn Sn 1，所以，Sn Sn Sn 1 Sn 2 Sn Sn 1 0， 所以，SnSn 1 2 Sn 1 Sn ，所以，

1 1111

，所以，数列 为等差数列，其首项为1，公差为，

2SnSn 12 Sn

222211

；当n 2时，an Sn Sn 1 1 n 1 ，Sn

n 1n 1nnn 1Sn2

1 n 1

所以，an 。--------------------------5 2

nn 1 n 2

（2）因为，

11

n 1 n，所以， Snbn2

1111

Tn 2 3 2 4 3 n 1 n，…………（1）

2222

11111

Tn 2 2 3 3 n n n 1 n 1………（2） 22222

1111111

（1） （2）得，Tn 2 2 3 4 n n 1 n 1

2222222

所以，Tn 3

n 3 3 n2------------------------------------------12

21.证明：（Ⅰ） Sn+1=3Sn+2，

∴Sn+1+1=3(Sn+1)． 又 S1+1=3，

∴{Sn+1}是首项为3，公比为3的等比数列，∴Sn 3n 1,n N*． n=1时，a1=S1=2，

n>1时，an Sn Sn 1 (3n 1) (3n 1 1)

3n 1(3 1) 2 3n 1．故an 2 3n 1,n N*．--------------------------5

2 3n 111

, n 1 （Ⅱ） bn n 1

nn 1n

(3 1)(3 1)3 13 1

b1 b2 ... bn

22.解（Ⅰ）当b

1111111111 (1 2) (2 3) (n 1 n) n 1．---23 13 13 13 13 13 1223 1

----------------------------12

1

时，函数f(x)在定义域（-1，+∞）上单调递增

---------------------32

6

（Ⅱ） 当b

12时，解f'(x)=0

得两个不同解x 1 11 2,x2 2

○1当b＜0

时，x1 1,x2 1

∴x1 ( 1, ),x2 ( 1, )，

此时f(x)在( 1,

)上有唯一的极小值点x2

○

2当0 b 1

2

时，x1,x2 ( 1, )

f'(x)在( 1,x1),(x2, )都大于0，f'(x)在(x1,x2)上小于0，

此时f(x

)有一个极大值点x1

1 12和一个极小值点x 2 2

综上可知，

(1)0 b

12时，f(x

)有一个极大值点x1

和一个极小值点x2 （2）b＜0，时，f(x)在（-1，+

∞）上有唯一的极小值点x2 -----------------------7

（Ⅲ）当b=-1时，f(x) x2

ln(x 1). 令h(x) x3

f(x) x3

x2

ln(x 1),则h'(x) 3x3 (x 1)2

x 1

在[0, )上恒正

∴h(x)在[0, )上单调递增，当x∈（0，+∞）时，恒有h(x) h(0) 0

即当x∈（0，+∞）时，有x3

x2

ln(x 1) 0,ln(x 1) x2

x3

， 对任意正整数n，取x

1n得ln(1n 1) 11

n2 n

3 -------------------------12分

7

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