2013届湖北七市（州）高三年级联合考试文科数学试卷（带解析）

2013届湖北七市（州）高三年级联合考试文科数学试卷（带解析）

一、选择题

1.已知集合A={1，2，3}, BA={3},BA={1，2，3，4，5}，则集合B的子集的个数为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解析】

试题分析：由题意知集合B表示的三个实数是3，4，5共三个元素，所以其子集个数有2=8个.

考点：集合的运算、子集的个数 2.命题“A．B．C．D．【答案】D 【解析】

试题分析：该命题的否定即是“不存在实数x，使得上述不等式成立”.即对考点：原命题的否命题、全称量词与存在量词

3.已知α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，则“α//β是“l//β”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】

试题分析：α//β可以推出l//β，但l//β，α却不一定平行于β.所以是充分不必要条件. 考点：充分条件与必要条件、线面位置关系 4.函数f(x)=2x-sinx的零点个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4

.

”的否定是（ ）

3

【答案】A 【解析】 试题分析：

,易知该函数导数恒大于0，所以是单增函数.f(0)=0.故只有一个零点.

考点：函数的单调性、函数的零点、导数 5.不等式A．（-2,0） B．(-∞,-2)U(0，+∞) C．(-4，2)

D．(-∞，-4)U(2，+∞) 【答案】C 【解析】 试题分析：

，所以

，所以

，解得

.

对任意a，b∈(0，+∞)恒成立，则实数x的取值范围是（ ）

考点：基本不等式、一元二次不等式解法

6.如下图所示，程序框图输出的所有实数对 (x，y)所对应的点都在函数（ ）

A．y=x+1的图象上 B．y=2x的图象上 C．y=2的图象上 D．y=2的图象上 【答案】D 【解析】

试题分析：由程序框图可知，输出的点依次是（1,1）、（2,2）、（3,4）、（4,8）.所以选D. 考点：算法及其程序框图

7.在区间[0,]上随机取一个数x,则事件 “sinxcosx”发生的概率为（ ）

x-1x

A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】

试题分析：在[0,]上，率为.

考点：随机事件的概率、几何概型

8.定义：函数f(x)的定义域为D,如果对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得

(其中c为常数）成立，则称函数f(x)在D上的几何均值为c则下列函数在其定

义域上的“几何均值”可以为2的是( ) A．y=x+1 B．y=sinx+3

C．y=e(e为自然对数的底） D．y=|lnx| 【答案】C 【解析】

试题分析：因为对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D使得(其中c为常数）成立.则必须是单调函数.否则不能满足“唯一的x2∈D”.在四个选项中，只有C是单调函数.所以选C.

考点：函数的单调性、基本初等函数 9.已知抛物线

与双曲线

有相同的焦点F，点A是两曲线的一

x2

时，，时，.所以的概

个交点，且AF丄y轴，则双曲线的离心率为( ) A．

B．

C．

D．

【答案】B 【解析】

试题分析：易知抛物线的焦点

，所以

，其中

，所以

.因为AF丄y轴，所以点A

，从而得

，所以

的纵坐标是c，由点A是两曲线的一个交点得

，又

.

，所以

，双曲线的离心率

考点：双曲线的标准方程与性质、抛物线的标准方程与性质

10.10.设x,y满足约束条件曲线A．

，若目标函数z=ax+by(a>0, b>0)的最大值为8，点P为

上动点，则点P到点（a，b)的最小距离为（ ）

B．O C．

D．1

【答案】A 【解析】 试题分析：

由得，因为

，即

，易知在直线和的交点（4,6）无交点.对曲线在点（-1，的距离是曲线）到线段

）

处取得最大值为8.所以.故点（a，b）可以视作线段在第三象限.与直线

（x>0,y>0）上的动点，又可知曲线方程求导得处的切线斜率为

，令.与直线

得

，则

.所以曲线）到直线

平行.此时点（-1，

上的动点P到直线（x>0,y>0）即其到直线

的最小距离.作图易知，点（-1，的最小距离是

.

考点：导数、点到直线的距离、函数的图像 二、填空题 1.若【答案】【解析】 试题分析：

，θ为第二象限角，所以

.由

得

.

，θ为第二象限角，则tan2θ=_______.

考点：二倍角的正切公式 2.设复数

其中a为实数，若z的实部为2，则z的虚部为_______.

【答案】-1 【解析】 试题分析：1.

考点：复数的定义与运算 3.已知正方形ABCD的边长为1,则【答案】【解析】 试题分析：以

，

.

考点：向量的运算

4.某行业从2013年开始实施绩效工资改革，为了解该行业职工工资收入情况，调查了lOOO名该行业的职工，并由所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，由图可知中位数为:_____现要从这1000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[3500，4000)(元）内应抽出______人.

.

与

夹角为

.所以

.因为正方形ABCD的边长为1，所

.代入得

=_______.

，因为z的实部为2，所以

，a=3，故虚部为-

【答案】3400,25 【解析】

试题分析：由图可计算这六个收入组的频率依次为：0.1、0.2、0.25、0.25、0.15、0.05.所以中位数应在第三组即[3000,3500)中.由3000+500×（0.5-0.1-0.2）/0.25=3400.因为收入在[3500，4000)内人数占总人数的频率为0.25，所以应抽出100×0.25=25人. 考点：频率分布直方图

5.某三棱锥P-ABC的正视图为如图所示边长为2的正三角形，俯视图为等腰直角三角形，则三棱锥的表面积是_______.

【答案】【解析】

试题分析：由俯视图是等腰直角三角形知：PC、AC、BC两两相互垂直,且AC=BC.所以三棱锥的高即PC.由正视图是边长为2的正三角形知：高PC=，底边AB=2.所以AC=BC=，由勾股定理得PA=PB=.又AB=2，所以三角形PAB中AB边上的高为2.易知底面三角形ABC的面积为1，侧面三角形PAC与PBC的面积均为表面积为

.

，侧面三角形PAB的面积为2.所以三棱锥的

考点：三视图与直观图

6.挪威数学家阿贝尔，曾经根据阶梯形图形的两种不同分割(如下图)，利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式——阿贝尔公式：

则其中：(I)L3= ；(Ⅱ)Ln= ． 【答案】【解析】

试题分析：由图（b）第三个长方形面积（从上往下数）可知，与图（b）中最下的长方形面积易知. 考点：新概念的理解

7.若直线与圆：

对称，则实数的取值范围为_______. 【答案】【解析】

试题分析：由、两交点关于直线线

过圆心,所以，故

得

对称可知直线

与直线

相互垂直，且直.所以圆心为

代入，联立方程 ，另

，所以解得

.

交于、两点，且、两点关于直线

；对比图（a）

；

.

.圆的标准方程为：.由直线与圆有两交点，将

.所以

考点：直线与圆的方程、直线与圆的位置关系 三、解答题 1.已知向量

，

设函数

.

求在的值. 【答案】

的最小正周期与单调递增区间； 中，

分别是角

的对边，若

，

，

的面积为

，求

的最小正周期，单调递增区间为;.

【解析】 试题分析：

利用向量数量积的坐标运算及三角恒等变换得到

，可得最

小正周期为.利用复合函数的单调性得单调递增区间先由理得

.

计算出b=2，结合

由面积公式

，最后由余弦定

试题解析：（Ⅰ）

3分

∴由∴

的单调递增区间为的最小正周期

4分 得

6分

8分

（Ⅱ）

10分

在

中，由余弦定理得

12分

考点：1.平面向量的坐标运算；2.三角恒等变换；3.三角形面积公式；4.余弦定理. 2.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C丄平面ABCD，且AB=BC＝CA=

AD=CD=1. ,

求证：BD⊥AA1； 若四边形【答案】【解析】

试题分析：在底面ABCD中，由各边的关系可知再由面面垂直的性质定理可得平面，从而证得BD⊥AA1；由于四棱柱底面各边及对角线CA长度都已知，故其面积容易求得.而易知四棱柱的高即菱形中AC边上的高，由及可得高

，所以可得四棱柱体积V=试题解析：（Ⅰ）在四边形又平面

平面又因为

平面，所以平面

. 中，因为

平面 4分 ． 6分

平面

，

，所以

2分

是菱形，且

，求四棱柱

的体积.

详见解析；

，且平面平面，所以

（Ⅱ）过点作于点，∵平面

∴即

平面

为四棱柱的一条高 8分

是菱形,且

的高为的底面面积的体积为

12分

，

9分

10分

又∵四边形∴ 四棱柱又∵ 四棱柱∴ 四棱柱

考点：1.面面垂直性质定理；2.棱柱的体积公式；3.解三角形.

3.数列{an}是公比为的等比数列，且1-a2是a1与1+a3的等比中项，前n项和为Sn；数列{bn}是等差数列，b1=8，其前n项和Tn满足Tn=n·bn+1(为常数，且≠1)．

(I)求数列{an}的通项公式及的值； (Ⅱ)比较+【答案】【解析】 试题分析：的通项公式

由1-a2是a1与1+a3的等比中项以及公比为可以得出首项，从而求得数列{an}

.通过代特殊值法可以解得

；

可求得

，所以

+

+ +，

与Sn的大小． ；

通过裂项相消以及等比数列求和公式，再用放缩法可以得.

试题解析：（Ⅰ）由题意解得又

，∴，即

，即

2分

4分

解得 或（舍）∴ 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知∴又∴

由①②可知

，

7分

① 9分

11分

② 12分

13分

考点：1.等比数列的性质；2.裂项相消法.3.等比数列的求和公式.

4.在矩形ABCD中，|AB|=2，|AD|=2，E、F、G、H分别为矩形四条边的中点，以HF、GE所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系(如图所示)．若R、R′分别在线段0F、CF上，且

.

(Ⅰ)求证：直线ER与GR′的交点P在椭圆：+=1上；

(Ⅱ)若M、N为椭圆上的两点，且直线GM与直线GN的斜率之积为，求证：直线MN过定点. 【答案】【解析】 试题分析：

先计算出E、R、G、R′各点坐标，得出直线ER与GR′的方程，解得其交点坐标 代入满足椭圆方程即可;

先讨论直线MN的斜率不存在时的情况，在讨论斜

详见解析；

直线MN过定点(0,-3).

率存在时，用斜截式设出直线MN方程.与椭圆方程联立，用“设而不求”的方法通过韦达定理得出b为定值-3.从而证明出MN过定点（0，-3）. 试题解析：（Ⅰ）∵

，∴

， ① 2分 ② 3分

1分

又又

则直线 则直线

的方程为的方程为

由①②得 4分

5分

∴直线与的交点在椭圆

的斜率不存在时，设

∴

的斜率存在时，设

上 6分

（Ⅱ）① 当直线则② 当直线

,不合题意 8分

联立方程 得

则 ，

10分

又即将

∴直线过定点

代入上式得

14分

13分

考点：1.直线的方程；2.解析几何；3.韦达定理. 5.已知函数若函数讨论函数如果存在试求的最大值. 【答案】

;.

【解析】

试题分析：通过求导以及极值点的导数计算的值为1；通过导数与函数的单调性关系讨论函数的单调减区间；先写出函数表达式，是一个三次多项式.由，

在处取得最小值知在区间上恒成立，从而得

再讨论

得

.

与

时利用二次函数在闭区间的最值问题解

当在

和

上是增函数，在的单调递减区间； ，使函数

，

，在

处取得最小值，

是减函数，求的值；

时，单调减区间为当时，单调减区间为;

试题解析：（Ⅰ）函数

在

和

1分 上是增函数，在

上是减函数，

∴为的两个极值点，∴即 3分

解得：（Ⅱ）

4分

，

的定义域为

，

5分

当当

时，由时，由

解得解得

，

，

的单调减区间为

的单调减区间为

7分

9分 上恒成立，即

（Ⅲ），据题意知① 10分

在区间

当当

时，不等式①成立； 时，不等式①可化为

② 11分

令，由于二次函数的图象是开口向下的抛物线，故它在闭区间上的最小值必在端点处取得，又，所以不等式②恒成立的充要条件是，即 12分 即

，因为这个关于的不等式在区间

13分

又

，故

，

14分

上有解，所以

考点：1.函数的求导；2.利用导数求函数单调性；3.利用二次函数图象解一元二次不等式的恒成立问题.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/rqxx.html