05上作业解答19-25

第19次作业

教学内容：§4 .1 .3 最大值与最小值 §4 .1 .4 方程根的个数

**1。方程x?3x?1?03在(0，1)内 （ ）

(A)　无实根　　　　　(B)　有唯一实根(C)　有两个实根　　　(D)　有三个实根

答　(B)

**2．求函数y?x?1?x在指定区间??5,1?上的最大值和最小值. 解：?y??1??121?x34?21?x?121?x，

?临界点为x?考虑y?，x?1。

1?34?54?3?3???4??4，y?1??1?1?1?1，

6，y?1??1。

在端点处y??5???5?1???5???5?

?3?5?最大值为y???，

?4?4最小值为y??5???5?

6.

**3．求函数y?x2?3x?2在x?10时的最大值,最小值

解：由于所给函数与函数g?y?(x?3x?2) 有相同的最大值与最小值点，

而令dgdxdgdx?2(x?3x?2)(2x?3)，?0得x1?1，x2?2，x3?322222

。

原来函数值31　　y(1)?y(2)?0，y()?24　　y(?10)?132，y(10)?72故所给函数的最大值为y(?10)?132

　　　　最小值为y(1)?y(2)?0

.

**4．设 A?(2a,0)(a?0), 在心形线 ??a(1?cos?) 的第一象限部分上找一点P, 使

?OPA的面积最大.

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解：由于线段OA?2a为一个确定的值, 所以本问题本质上是求P点纵坐标

? y?a(1?cos?)sin?(0???)

2的最大值.

令

dyd??0, 可得(0,dyd??a(2cos??cos??1),

2?2)上的唯一驻点 ???3,

?3根据实际意义可知, 所求之点就是对应于 ??P?(34a,334 的点

a).

**5．欲造一个有上、下底的圆柱形铁桶，容积为定植V，试问当铁桶的底半径R和高度H取何值时，才能使用料最省？

解：所需材料为A?2?R2?2?R?H。 ?定值V??R2H，?H? ?A?2?R?2?R?A??4?R?V2V?R2。

2V?R2?2?R?32VR，

32VR2?V4?R?2VR32， 得到唯一驻点R?3V2?。

此时H??R2???2????V??2?4V?。

3?

根据问题的实际情况，当R?V2?3，H?4V?时，所需材料最省.

**6 在铁道线（假设是直线）上有一点A与原料供应站B相距100km，在铁道线外有一 工厂C,且CA垂直于AB(如图)且C,A相距20km已知汽车运费为m元,火车t?km的运费为n元(m?n)现准备在A,B之间选一点D,向工厂修建一条公路,使

t?km原料供应站　　　　B运货到工厂所用运费最省,问D应选在何处?

解：设AD?x,则CD?400?x,2BD?100?x,

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于是总运费　　y??y?m400?xmx?n400?x400?x222?n(100?x)　　(0?x?100)

，

x?20nm2令y??0得唯一驻点：?n2　y???400m(400?x)232?0

可见:在距A点20nm?n22(km)处,修公路至C可使总费用最省。

**7．由y?0,x?8,y?x2围成的曲线边三角形在曲边OB上求一点,使得过此点所作的2OAB,这里A?(8,0)、B?(8,64).

y?x的切线与OA,AB所围成的三角形

面积最大。

解：

设曲边OB上任取一点为　　　　　Y?x2M?(x，x)(0?x?8),则过该点的切线为：?2x(X?x)

2

x2切线与x轴的交点P?(，0)与x?8的交点Q?(8，2x(8?x)?x)2于是所围的三角形　　　　S?S??342PAQ的面积为：x2)2x(8?x)?x14

212(8????x4(16?x)　(0?x?8)x?163，

2x?16x?64?(16?x)(16?3x)，唯一驻点　S???32x?16　　　S??x?163?0

?16256??在点?，?处作切线，所围面积最39??

大.

**8. 证明方程 x?33x?1?30 在区间[7,63]上有且仅有一个解,并用对分法将此含根区间缩小至原来区间的四分之一.

解: 设 f(x)?x?33x?1?30, 则 f(x) 在[7,63]上连续,在(7,63)内可导,且 f(7)??29?0,f(63)?21?0,

根据闭区间上连续函数的零值点定理可知方程 f(x)?0 在区间[7,63]上至少有一个根； 又因为 f(x)?1?(x?1)3?0,7?x?63, 可知方程 f(x)?0 在区间[7,63]上至多有一个根.

综上所述,可知方程 f(x)?0 在区间[7,63]上有且仅有一个解. 又由于 f(35)?35?3336?30?5?3327??4?0,

?2 53

含根区间[7,63]可缩小一半为[35,63]； 又由于

f(49)?49?3350?30?19?3364?7?0, 含根区间[35,63]又可缩小一半为[35,49].

***9. 讨论方程x5?5x?C?0实数根的个数.

解: 设 f(x)?x5?5x?C, 则f(x)在(??,??)上可导, 且 f?(x)?5(x4?1),

当 x?1 时, 有 f?(x)?0, 所以 f(x)?； 当 x?1 时, 有 f?(x)?0, 所以 f(x)?,

所以 f(x) 有极大值 f(?1)?C?4 和极大值 f(1)?C?4.

由于还有

f(??)???,f(??)?, 所以综合起来有:

当 C?4 时, 方程有三个实数根； 当 C?4 时, 方程有两个实数根； 当 C?4 时, 方程有一个实数根.

***10. 证明方程 tanx?x 在区间 (n???2,n???2)(n?1,2,3,?)内有且仅有一个解xn,

并证明 arctan(n?)?xn?n??arctan(n??证明: 设 f(x)?tanx?x, 显然函数 f(x) 在 (n??由于 f(n??(n???22).

?,n???2) 内连续且可导.

?2?0)???,f(n???2?0)???, 可知方程 f(x)?0 在区间

?2,n???2) 内至少有一个解；

又由于在区间 (n???2,n???2) 内有 f?(x)?sec,n??2x?1?0, 其中等号只在

x?n?点成立,所以f(x) 在 (n???2?2) 内严格单调增加, 可知方程 f(x)?0 在

区间 (n???2,n???2) 内至多有一个解；

综上所述,可知方程 f(x)?0 在区间(n???2,n???2) 内有且仅有一个解.

22且 f[n??arctan(n?)]??arctan(n?)?0,

由于 [n??arctan(n?),??arctan(n???)]?(n???,n???2)

f[n??arctan(n???2)]??2?arctan(n???2)?0, ).

所以有 n??arctan(n?)?xn?n??arctan(n??此即为所需证明之结论.

?254

**11．（1）某公司生产 件产品（假定全部售出），每件产品售价是(50?0.02x)元，总共消耗成本(1000?10x)元，为了获得最大利润，公司应安排产品的生产数量是多少？

（2）在问题（1）中，如果国家对该公司生产的每件产品增税4元，为了获得最大利润，该公司要交税多少？

（3）在问题（2）中，如果该公司盲目扩大生产，试问生产水平怎样时，该公司要赔本？

解：（1）R(x)?x(50?0.02x)?(1000?10x) ??0.02x2?40x?1000 R?(x)??0.04x?40令0,x?1000

（2）R(x)??0.02x2?40x?1000?4x??0.02x2?36x?1000 R?(x)?0x?900， 再交税 3600元. （3）R(x)??0.02x2?36x?1000?0， 解得：x?900?100

76?1771.8， ?x?1772.

第20次作业

教学内容：§4.2 函数的凸性与拐点

1. 填充题

**(1). 曲线 y?1?2x?3sinx 的拐点是______________.

答案:

**(2)．设曲线答(a,b)?(?y?ax3(n?,1?2n?)(n?0,?1,?2,?3,?

?bx2以点(1，3)为拐点,则数组(a,b)?_________________.

39，)22

**(3). f(x)?arctanx是区间_________上的凸函数；是区间_________答案 (??,0]，[0,??). 说明:也可以填 (??,0),(0,??).

2．选择题 **（1）函数上的凹函数.

y?x?12x?13在定义区间内 （ ）

(A)　　单调增加(C)　　图形上凸(B)　　单调减少(D)　　图形下凸答：(A) **（2）曲线y?xlnx2在点P?(1e2，?2e4)近邻是 （ ）

A.　下凸的；B　上凸的；C　左侧近邻下凸,右侧近邻上凸；D　左侧近邻上凸,右侧的邻下凸。

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