2015春西南大学《线性代数》第一次作业

一、填空题(每小题3分，共15分)

?110???1. 若矩阵A??1k0?是正定矩阵，则k满足( k>1 ).

?00k2???2. A为3阶方阵, 且|A|??2,A*是A的伴随矩阵, 则|4A?1?A*|?( -4 ).

?102???3. A为5×3矩阵, R(A) = 3, B??020?, 则R(AB) = ( 3 ).

?003????1?4. 设三阶方阵A的特征值为1，2，-1，则?A*?的特征值为( -1,-2,1 ).

?2??11??12009?2009???5. 设A??则. ,A??01??0?1????二、单选题(每小题3分，共15分)

1. 已知A为n阶方阵，且满足A2 = 2E， E为单位阵，则(A?E)?1? （ A ）. (A)E?A (B)E?A (C)A?E (D) A 2. n阶方阵A与对角阵相似的充要条件是 ( C ).

(A) A是实对称阵 (B) A有n个互异特征值 (C) A有n个线性无关的特征向量 (D) A的特征向量两两正交 3. 已知线性方程组的系数矩阵A是4?5矩阵，且A的行向量组线性无关，则下列结论正确的是（ C ）.

(A) A的列向量组线性无关

(B) 线性方程组的增广矩阵的任意四个列向量线性无关 (C) 线性方程组的增广矩阵的行向量组线性无关 (D) 线性方程组的增广矩阵的列向量组线性无关 4. 矩阵A与B相似, 则下列说法不正确的是（ B ）.

?1

(A) R(A) = R(B) (B) A = B

(C) A?B (D) A与B有相同的特征值 5. 如果?0是n阶矩阵A的特征值, 那么必有（ A ）. (A) |A??0E|?0 (B) |A??0E|?0 (C) A??0E?0 (D) A??0E?0

三、判断题（下列叙述正确的打“√”，错误的打“×”，每小题3分，共15分)

1. 设A、B为两个不可逆的同阶方阵，则|A| = |B| . （ √ ）

2. 若A可逆，则A的伴随矩阵A*也可逆. （ √ ）

3. 若Ax = b（b ≠ 0）有无穷多解，则Ax = 0也有无穷多解. （ √ ）

4. 如果n维向量组α1,α2,α3，对于任意一组不全为零的数k1,k2,k3，总有

k1α1?k2α2?k3α3?0成立， 则向量组α1,α2,α3线性无关. （ √ ） 5. 设A、B为同阶方阵，则必有(A + B)(A－B)＝A2－B2 （ × ）

四、(10分)设4阶方阵A、B、C满足方程(2E?C?1B)AT?C?1，试求矩阵A，

?1??0其中B??0??0?2?3?2??12??12?3??01, C??00012?????00001??02101??0?. ?2?1??

五、(10分)设3阶方阵A的三个特征值为?1?2,?2??2,?3?1,A的属于?1,?2,?3?0??1??1???????的特征向量依次为α1??1?,α2??1?,α3??1?,求方阵A.

?1??1??0???????

六、(10分)设矩阵A?(α1,α2,α3,α4), 其中α2,α3,α4线性无关，α1?2α2?α3,向量

b?α1?α2?α3?α4, 求线性方程组Ax?b的通解.

七、(10分) 三阶方阵A ? 0,A2?0，证明：矩阵A的秩R(A) = 1.

八、(15分)讨论?为何值时，线性方程组

?(1??)x1?x2?x3?0??x1?(1??)x2?x3?3?x?x?(1??)x??23?1

(1) 有唯一解？ (2) 无解？ (3) 有无穷多解？并在此时求出其通解.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/rqt5.html