大学物理习题册答案完整版1-22

练习 一 一、选择题：

1．C； 2．B； 3．D；4．B、B； 5．B； 6．C； 7．D 二、填空题：

1．23m/s

2．变速曲线运动;变速直线运动;匀速(率)曲线运动 3．x?(y?3)2，8ti?2j，8i 4．an?80m/s2，at?2m/s2 5．at??g/2，??23v2/(3g) 6．102m，东北 三、计算题

1．解: (1)?x?x(2)?x(0)?4m

????xx(2)?x(0)4?0???2m/s ?t22dx?4?t3,v(1)?4?1?3m/s,v(3)??23m/s, (2) v?dtv?(3) a??vv(3)?v(1)?23?3????13m/s2 ?t3?12dv??3t2 加速度不是时间t的线性函数,不可用a?(a1?a2)/2计算. dt(4)a(3)??27m/s2

???22．解: (1)r?(3t?5)i?(0.5t?3t?4)j a?1247?x?5??x?5? (2)y?0.5? ?x?x??3?4???18918?3??3?????? (3) ?r?r(2)?r(1)?3i?4.5j

???????dr?3i?(t?3)j,v(4)?3i?7j (4)v?dtv22?1y?17v?v?v?58m/s??tg?tg ，与轴夹角 xxyvx32x2y2. 3．解:（1）?x?acos?t,y?bsin?t;?2?2?1,质点轨迹是椭圆ab????dr??(?asin?ti?bcos?tj) （2）v?dt????dv?a????2(acos?ti?bsin?tj)???2r??方向恒指向椭圆中心

dt4．解: a?dv/dt,dv?adt?6tdt,

2?v12dv??6tdt,v?3t2

2t2t v?dx/dt,dx?vdt?3tdt,?dx??3t2dt,x?t3?8

0x5．解：v?R??kt2，v(2)?4k?16,k?4,v?4t2

dv?8t,at(1)?8m/s2 dtv(1)?4m/s,at?an(1)?v(1)2/R?16m/s2,a(1)?at(1)2?an(1)2?58m/s2

1

6．解：选地为静系K，火车为动系K?．由题意知：雨滴对地速度vpK的方向偏前30°，火车行驶时，雨滴对火车的相对速度vpK?偏后45°，火车对地速度vK?K=35 m/s，方向水平． 作图可知：

??vpKsin30o?vPK?sin45o?vK?K ; vpKcos30o?vPK?cos45o 由此二式解出：vPK?vK?Ksin30??sin45?cos30cos45???25.6m/s ?vpK?45? 30? vpK?练习 二 一、选择题：

1.B； 2.B； 3.A； 4.D； 5.B； 6.A；7.A；8.C 二、填空题：

?vK?Kk31．0, 2g 2．a?kt, v?v0?1kt2,x?v0t?kt

6m2m?m?3．mv0sin?;向下 4．55i?44j(m/s) 5．1.2m 6．882J

三、计算题 1．解：(1)mvdvdvktmv0??kv2,分离变量并积分?2???dt, 得 v?

0dtm?kv0tmvv0(2) dx?vdt?tmv0mkmv0dt?ln(1?v0t) dt,x??0m?kvtkmm?kv0t0(3) mdvkdvdv??kv2 ,mv??kv2,??dxlnvdtdxvmvv0?xk?k?x??x,v?v0em?v0e

mk2．解：(1)A外?(2) m?ba F外dx??(4x?6x2)dx?(2x2?2x3)10.5?3.25J0.51dv??(4x?6x2)，2vdv??(4x?6x2)

dxdt0.51?v0vdv???(2x?3x2)dx，v2?3.25,v?1.80m/s

mv0

M?m3．解：由动量守恒可得子弹相对砂箱静止时的速度大小为v?211mM2?mv0?12v0 由质点系动能定理得 ?fl?(M?m)???mv0??2M?m22m?M??1mM2111mM2?mv0?f?v0, ?E?mv02?(M?m)?v0 ??222m?M2lm?M?M?m?4．解：炮弹在最高点爆炸前后动量守恒,设另一块的速率?2与水平方向的夹角为?

2mvcos?0?mmmv2cos?,0?v2sin??v1 22221202?10 v1解得:v2?v?4vcos?0, ??tg.

2v0cos?05． 解：由动量守恒

A B m mv0?(m?M)v?(m?2M)v?

2

v?mv0mv0 ,v??m?Mm?2M从子弹和物块A以共同速度开始运动后,对子弹和物块A、B系统的机械能守恒

111M(m?M)v2?(m?2M)v?2?k(?l)2,?l?mv0 222k(m?M)(m?2M)6．解：(1)由动量守恒得 mv?MV?0,

11mv2?MV2 22m2MgR2MgR解得 v?;V?

Mm?Mm?M由动能定理得 mgR?(2) 小球相对木槽的速度

m A R M B m2MgR v??v?V?(1?)M(m?M)v?22m(m?M)g2m2g N?mg?m,N?mg??3mg?RMM练习 三 一、选择题：

1.D； 2. C； 3.C； 4.D； 5.A； 6.C 二、填空题：

1．4(s)，?15(m/s) 2．62.5，5/3(s) 3．mg?三、计算题

1．解：（1）由题意知?A?lmgl2， 4．50ml 2182?nA2??600??20rad/s 6060轮与皮带之间没有滑动 ?ARA??BRB

?A??BRB/RA?0.8??75/30?2?rad/s2

B?A20?RBt???10s ?A2?2?n?2??300A???10rad/s （2）??A6060????A10?201??A?A????rad/s2;

t?606轮与皮带之间没有滑动

ARA1301???????rad/s2 RB67515???02??10?02．解：(1)匀加速转动????40??1.26?1021/s2

t0.52???2??0(20?)2?0?2.5reV ?????5?rad,n?2?2??2?40?1112(2)M?I?,FR?mR?,F?mR???5?0.15?40??47.3N

2221A?M????J??????5?0.152?40??5??111J

2??B???ARA(3)???0??t?40??10?1.26?103rad/s,

v?R??0.15?1.26?103?1.89?102m/s

3

3．解：(D)对右物体m1g?T1?m1a(1),

T2

T2 对右滑轮

1T3 T1RA?T2RA?J1?1?2mR21AA?1?2mARAa T3 T11?T2?2mAa(2);对左物体T3?m2g?ma,(3) mg 对左滑轮

T12RB?T3RB?J2?2?2m211BRB?2?2mBRBa?T2?T3?2mBa(4)

(1)～(4)式相加解得a?m1?m2mm/2?mg

1?2?mAB/24．解：(1)由转动定理M?J?得

??M/J?Fr/J?9.8?0.2/0.5?39.2rad/s2

(2)由牛顿第二定律、转动定理及线量和角量的关系得 mg?T?ma (1) Tr?J? (2) a?r? (3)

F???mg10?J/r??9.810?0.2?0.5/0.2?21.8rad/s2mr 5．解：(1) 各物体受力情况如图。

rT?mg?ma，mg?T??ma?

TT?(2r)?Tr?9mr2?/2 a?r?m,ro ，a??2r?

?由上述方程组解得：

m?,r???2g/(19r)?10.3rad?s?2

TT?(2) 设?为组合轮转过的角度，则 ?T??h/r，?2?2??，?

T??(2?h/r)1/2?9.08rad?s?1

aABa?mgmg6．解：根据转动定律得 Jd?dt??k? （1）

即dt??Jd?t?0/2Jdk?， ?0dt?????，t?Jkln2

0k?（1）式可写成 J?d?Jd???k?，d???kd?，

??0d????0/2J??d?，??J?0,n???J?0 0k2k2?4?k练习 四 一、选择题：

1.B； 2.D； 3.D； 4.D； 5.A； 6.B； 7.C 二、填空题：

1．16ml2?2，13ml2? 2．??3g3g2l，??l

3．减小，增大，不变，增大 4．不一定，动量 5．3m?2ML

三、计算题

1．解：根据质点和刚体转动的动能定理得

m12gh?Th?2m22v (1) TR??12J?2?14m1R2?2 (2)

4

T1

T1 2mg

Tmgm1 R h m2 ?h?R?,v?R?, ?Th?(1)+(3)式得 v?21m1v2 (3) 4m2gh m1?2m222．解：(1)人和盘系统角动量守恒 J??(J?mR2)??

mRJ,??????????角速度减小. ????22J?MRJ?MR(2)?Ek?1J??2?1(J?mR2)?2

2221J??11mR2J2?2?(J?mR)??J???2 2?22J?mR22?J?mR?

3．解：(1) 设子弹和杆碰撞期间相互作用力为f

t对杆运用角动量定理fldt?I??0?1Ml2? (1)

?03t对子弹运用动量定理?fdt?mv?mv0?ml??mv0 (2)

?0v0fl?f122?(1)+(2)?l整理得 mvl???Ml?ml??(角动量守恒,可直接写出该式), 0?3?M3mv00.03v0??2rad/s

(M?3m)l3l(2)根据机械能守恒得

1?12l2?2?Ml?ml???Mg(1?cos?)?mgl(1?cos?) , 2?32???v?122?2?Ml?ml???43?cos??1???1??0.863,??30.29

(M?2m)2.99?9.84．解：(1)对弹簧、滑轮、地球组成的系统机械能守恒.取重物的初位置为重力势能零点,当重物沿斜面向下位移x时

111?mgxsin370?kx2?mv2?J?2?0 (1)

222物体下滑最远时,v?0,??0,

J k 1?mgxsin37?kx2?0

2037?x?2mgsin370/k?1.18m

(2) ??v/r,当x?1m时,由(1)式可解得:v?0.68m/s

5．解：球、环系统受外力矩为零，角动量守恒。地球、球、环系统(重力)做功，机械能守恒。取B点为重力势能零点。小球在B、C点相对环的速度为vB，vC。 BB点：J0?0?(J0?mR)? (1)

1122 (2) 1J0?0??mgR?J0?2?m??2R2?vB2222AOR?0CJ0?0 ,

vB???J?mR22J0R2?0 2Rg?2J0?mR2C点：1,vc?2mvc?mg(2R)4gR

练习 五 一、选择题：

1.B； 2.D； 3.A； 4.B； 5.C； 6.B 二、填空题：

1．相对性原理:物理规律在一切惯性系中都有相同的数学表达形式; 光速不变原理:任一惯性系中测得的

5

光在真空中的传播速度都是相等的.

2．1.3?10-5s 3．0.988c 4．4 5．2.60?108m/s，2.60?108m/s 三、计算题

1．解：(1)根据洛仑兹正变换关系t??t?vx/c21?v/c22 ,由题意知

??t1??t2t2?t11?v2/c2,?t???t1?v2/c2x?vt2,即 v?1?(?t,由题意知

252)?c??c ?t?3(2) 根据洛仑兹正变换关系x?? ?x??1?v/c?v?t1?v2/c28??v?t???5c,即空间距离l??x??5c?6.71?10m/s

2．解：(1)根据洛仑兹正变换关系x??x?vt1?v/c22,由题意知

?x???x1?v2/c2,v?1?(?x?x')2?c?8, ?c32t?vx/c(2) 根据洛仑兹正变换关系t??

221?v/c?t???v?x/c21?v2/c2?8??v?x?/c2??8/c??0.94?10?8s,?t??0.94?10s

3．解：(1)根据运动时和固有时的关系

?t???/1?v2/c2?2.6?10?8/1?(0.8c/c)2?4.33?10?8s

(2) 距离为同一参考系测得的速率与时间的乘积

l?v?t?0.8?3?108?4.33?10?8?10.3m

v2mm?m?4. 解：(1)l??l1?2,m??,??? ??222222cl?l?1?v/c?1?v/c1?v/c(2)l??l,m??m1?v2/c2,????m?m ??22l?l1?v2/c21?v/c5．解：(1)根据洛仑兹速度逆变换关系ux?

6．解：动能的增量等于外力的功

u?0.8c?0.5cx?v??0.929c 2?1?0.41?vux/c(2) 根据光速不变原理, 光子的速度为c

?m0A1??Ek1???22?1?v/cv?0.1c?22?15?m0??c?0.005m0c?0.41?10J??m0A2??Ek2???22?1?v/c一、选择题：

v?0.9c?m01?v2/c2?22?14?J v?0.8c?c?0.627m0c?5.14?10?练习 六 1．C；2．C；3．B；4．C；5．B；6．D 二、填空题：

6

1．

2．πR2E 3．q，0，?q 4．q 5．3?，垂直于平板向左

?0?02?024?02π?0a2q6．4π?0R2E

三、计算题

1．解：以一端A为坐标原点o，沿AB细直线为x轴，如图所示。在细线上取长为dx的线元，其电量

dq??dx。根据点电荷的场强公式，dq在P点所激发的场强沿x轴正方向，大小为

1?dx dEP?24π?0(a?b?x)oAaxdxBbP?xdEP小为

根据场强的叠加原理，P处的总场强沿x轴正方向，其大

a1?dx?11?a EP??dEP???(?)?204π?(a?b?x)4π?0ba?b4π?0(a?b)b02．解：在细圆环上位于

?处取长为dl的线元，其电量

oy。根据点电荷的场强公式，dq在细圆环中dq??dl???Rd?0sin场强方向如图所示，其大小为

?sin?d? dqdE??024π?0R4π?0Rdl?dE心o处所激发的

?x?dE沿x、y方向的分量分别为dEx??cos?dE和dEy??sin?dE。根据场强的叠加原理，细圆环中心o处场

强的分量分别为

Ex??dEx???02π?0sin?cos?d??0 4π?0REy??dEy???02??????所以，细圆环中心处的场强为E?Exi?Eyj??0j。

4?0R?0sin??sin?d???0 4??0R4?0Ra正方向，建立图

3．解：以左侧表面上任意一点为坐标原点o，垂直于板面向右为x轴示坐标系。在平板内x处取厚度为dx的簿层，该簿层与原带电平板平的电量为?=?dx。该簿层可以看作为无限大平面，根据无限大均匀公式，簿层在其两侧的产生的场强大小为dE????dx，方向平2?02?0场强的叠加原理可以求得

oM1xMM2行，其单位面积带电平面的场强行于x轴，根据

xdxM1处的场强为

E1??a0a?kxka2

?dx???dx??02?02?04?02M2处的场强为 E2??a?dx??akxdx?ka

002?02?04?0M处（a?x?0）的场强为 E??x?dx??a??dx?k(2x2?a2)

0x2?02?04?0由以上各处场强大小可以看出，场强最小在a?x?0之间，其最小值为零。令 k(2x2?a2)?0，得

4?0x?2。 a24．解：根据电荷分布的对称性，场强具有球对称性且方向沿径向。设壳层内任一点P到球心距离为r1，过P点作一个与带电球形壳层同心的球面作为高斯面S。高斯面内的总电量为

7

abr1P4343

q??V??(πr1?πa)?33对S面应用高斯定理

???S??E1?dS??q，得E?4πr?0121??q，P点的场强大小

?0?a3 (a?r?b) ?(r1?2)13?0r1E1??q4??0r12??(πr13?πa3)43434??0r12??5．解：在空腔内任取一点P，设大球心o和小球心o?指向P点的矢量分别为R和r，

如图所示。根据均匀带电球体的场强公式，原大球（没有挖去小球时）电荷和挖去的小

???? 球电荷在P点激发的场强分别为E1??R和E2??r3?03?0根据场强叠加原理，P点总场强为

???????????? E?E1?E2?R?r?(R?r)?a3?03?03?03?06．解：如图所示，在球内取半径为r、厚为dr与带电球体同心的薄球壳，薄球壳的带电

量为 dq??d V?kr2?4πr2dr?4πkr4则带电球体的总电量为 Q?dq?4πkr4dr?4πkR5

??R0?P?Rr?o?oadr5设带电球内任一点P到球心距离为r1，过P点作一个与带电球同心的球面作为高斯面

orS。高斯面内的总电量为

?q??4πkr4dr?0r14πk5

r15应用高斯定理

???S??E1?dS??q，得E?4πr?0121??q，P点的场强大小

?0k3 r15?0E1??q4??r201?(r1?R)

练习 七 一、选择题

1．D；2．C；3．B；4．C；5．B；6．D 二、填空题

1．路径的起点和终点位置，电荷移动的路径，保守 2．3．

q，0 ??0a2? 4．300V，100V 5．?R1q 6．?a

??2?02?0?04π?0r三、计算题

1．解：以一端A为坐标原点o，沿AB细直线为x轴，如图所示。在细线上取

oA线元dx，其电量为dq??dx。根据点电荷电势公式，dq在P点处的电势为 dVP?dq1?dx

?4π?0r4π?0a?b?xaxdxBbPx根据电势的叠加原理，P点处的电势为

a1?dx?a?b

VP??dVP???ln04π?a?b?x4π?0b02．解：在圆盘上取半径为r?r?dr范围的同心细圆环，其上的电量为 drdq??dS???2πdr r根据均匀带电细圆环的电势公式，dq在盘中心的电势为

or 8

dV?dq??2πrdr???dr 4π?0r4π?0r2?0R根据电势叠加原理，圆盘中心的电势为

V??dV??0??R

dr?2?02?03．解：在带电球体上取半径为r?r?dr范围的同心薄球层，其电量为

dq??dV?kr?4πr2dr?4πkr3dr

该薄球层看作均匀带电球面，根据均匀带电球面的电势公式，r?a时生的电势为

drdq4πkr3drkr3dV???dr

4π?0a4π?0a?0aa?r?R时的dq在P点产生的电势为

dq4πkr3drkr2dV???dr

4π?0r4π?0r?0or的dq在P点产

根据电势叠加原理，P点的电势为

V??dV??a02Rkrkr3ka3kR3ka3 dr??dr???a??0a4?3?3?00004．解：设内球带电量为q，根据高斯定理，两球间的电场强度大小为 q E?4??0r2根据电势差与场强的积分关系，两球间的电势差满足

R2?R2R2qq?11??U??E?dr??E?dr???dr???? R1R1R14??r24??RR00?12?内球面所带的电量为

4??0R1R2U q?R2?R15．解：（1）根据电荷分布的对称性，场强具有轴对称性且方向沿径向。设任一点P到轴线距离为r，过P点作一个与带电圆柱面同轴的长度为l的圆柱面作为高斯面S。应用高斯定理

E?2πrl???E?dS?????q?0，得

S?02??0rlr?R1，?q?0，E?0

?q，即E??q。

?2??0R1EE??2??0rR1?r?R2，?q???l，E?r?R2，?q?0，E? 2??0r?2??0R2?0

oR1R2rE~r曲线如右图所示。

?b?（2）根据电势差和场强的积分关系Uab??E?dl，取路径沿圆柱的径向，则内外圆柱

a面之间的电势差为

U??R2R1??R2R2E?dr??E?dr??R1R1R???dr?ln2 2??0r2??0R1?aoax6．解：根据高斯定理，可求得两平面之间的场强大小为

?E? (?a?x?a)

?0场强方向沿x轴正向。两平面外侧场强处处为零，是等势区。

根据场强和电势的积分关系，两平面之间(?a?x?a)坐标x处的电势为

?0?00??V??E?dl??E?dx??dx??x

xxx??00????V?a?0?ao?a?a?0xV~x曲线如右图所示。

练习 八

9

一、选择题

1．B；2．C D；3．B；4．A；5．C；6．A 二、填空题

1．小于 2．?q，Q?q 3．6．1，?r，?r

三、计算题 1．解：（1）根据电荷守恒定律和静电感应规律，外球的内表面带电?q，外球的外表面带电q，外球的电量代数和为零。根据静电感应规律，电荷均匀颁布在导体表面，根据均匀带电球面电势公式，外球的电势为V?1q

24π?0r2 4．qd，qd 5．不变，增大，减小，增大

?0S2?0S4??0R2q（2）根据静电感应规律，外球的内表面带电仍为?q，外球接地时外球电势为零，根据电势叠加原理外球的外表面将不带电。

2．解：设B和C两板上的电荷面密度分别为?B和?C，A、C两板间的场强大小为E1，A、B两板间的场强大小为E2，根据静电感应规律，可得

q??B??C?0 S （1）

d1d2C1AE1E2B根据题意有UAB?UAC，即E1d1?E2d2，或?Cd?0??B，所以 d?02?Cd1??Bd2 （2）

由（1）、（2）两式，解得???Bd1q，d2q

?C??d1?d2Sd1?d2SA板的电势为

VA?UAB?E2d2???B?0?d2?d1d2q

d1?d2?0S3．解：设中间这块板的电荷面密度为??q，边上两块板的电荷面密度分别为?1和?2，板间的场强分别

S为E1和E2（垂直于板面向右为正）。根据无限大均匀带电平面的场强公式和场强的叠加原理，得

???????2?1， E2???2?1 2?02?02?02?02?02?0根据电势与场强的关系，得V?E2d?E1d??2??1d

22?02E1?中间板的电势为

?2d2d?12E2E1V??d?d?2??1dd?q1?(?2?1)???d?V 22?02?02?022?022?024S?02qVq?E14．解：根据静电感应规律可知，球壳内表面带电?q，球壳外表面带电q，所有电荷都均匀分布在表面。根据高斯定理可求得R1?r?R0和r?R2区域的场强方向沿径向且大小表达式为E?q4π?0r2R0R1qR2，其它区域场强为零。系统静电能为

10

?1?B1l??l??0I11 ?)2πa?ba?b(方向沿左边向上。同样可以求得，在矩形线圈右边中的电动势大小与左边中的相等，方向沿右边向下。另外两边中没有感应电动势。所以，线圈中的感应电动势大小为

??2?1?2l??0I11 ?)2πa?ba?b(方向沿顺时针方向。

3．解：以无限长直导线为边，在垂直于圆柱轴线的平面内作无限长矩形回路ABABCD，AB与圆柱轴线相距为d。以ABCD为绕向，ABCD回路中的感应电

动势为

?i??电动势方向为反时针方向。

d?mdB??S??kπR2 dtdt?d??o??d?D??R????C由对称性可知，无限长直导线CD中的电动势为

?CD??i??kπR2

1212电动势方向D?C。

4．解：ob段中的动生电动势为

L/5L/5???1 ?1?L/5(??B)?dl??Bld????BL2 ?0?0?0Blld50感应电动势方向o?b。

同样可以求得，oa段中的动生电动势为 ?2??4L/50a??o1Bb???16(??B)?dl??BL2

504L/5o2感应电动势方向o?a。 ab杆中的动生电动势为

???1??2?感应电动势方向b?a。

1163?BL2??BL2???BL2 505010ab两端间的电势差Ua?Ub????3?BL2 102πr5．解：根据安培环路定理，与载流无限长直导线距离为r处的磁感应强度大小为?0I。以顺时针方向为线圈回路的绕向，较远导线中的电流在线圈中产生的磁通量为

3d?I?Id3?1??d?0dr?0ln

2d2πr2π2较近导线中的电流在线圈中产生的磁通量为

2d?I?Id?2???d?0dr??0ln2

d2πr2π?0Id4 总磁通量为

3感应电动势为???d???0d(ln4)dI??0d?ln4

dt2π3dt2π3???1??2??2πlnIdId方向为顺时针。

6．解：以abcda作为回路的绕向，任意时刻t时，矩形导线框的磁通量为

l0?l1?il?ill?l02???Bl2dr??dr?02ln01

l02πr2πl0（1）如i?I0时，ab中的感应电动势等于线框中的感应电动势，即

?Idll?l?Il?ld??????002ln01??00?ln01

dt2πdtl02πl0A?ia?bl2dab中电动势方向b?a，a两点电势高。

（2）i?I0sin(?t)，矩形导线框的磁通量为

16

cBl0l1???0l2I0sin?t2πlnl0?l1 l0线框中的感应电动势为 ???d????0I0lnl0?l1(?sin?t?l?cos?t)

2dt2πl0练习 十二 一、选择题

1．C；2．B；3．D；4．D；5．A

二、填空题

1．0.040H 2．0 3．?N2S/l，?NI/l 4．?0I2

8π2a25．变化的磁场激发涡旋电场，变化的电场激发涡旋磁场（位移电流） 6．写出麦克斯韦方程组的积分形式：

???????B， D?dS??dVE?dl???dS??S?V??L?S?t

????????D， B?dS?0??S??LH?dl??S(J??t)?dS

三、计算题

1．解：设N1匝线圈中电流为I1，它在环中产生的磁感强度为B1??0n1I1??0N1I1

2πR通过N2匝线圈的磁通链数为?12?N2B1S?N2?0N1I1πa2

2πR22 两线圈的互感为 M??12??0N1NaI12R2． 解：(1)设B线圈中的电流为I，B线圈在圆心激发的磁感应强度为B??0NBI

02RA线圈的磁通量为?m?NAB0SA??0NBINASA

2R?7两线圈的互感为 M??m??0NBNASA?4π?10?100?50?4?10?4?6.28?10?4H

I2R2?0.2(2)A线圈中的感生电动势为 ?i?MdI?6.28?10?4?50?3.14?10?4V

dt3．解：设螺绕环线圈中通有电流为I，离环中心r处的磁感应强度为

B?2?0NI

2πr2螺绕环的磁通链数为?m?NBdS?NR?0NIhdr??0NIhlnR2

?S?R2πr2?R112螺绕环的自感 L??m??0NhlnR2

I2πR1hR2rR1dr4．解：设无限长直导线通有电流I。离直导线r处的磁感应强度为

B?2πr?0I

b2πr2πbdrl2b通过矩形线圈的磁通连为 ?m?NB?dS?N?0Il?dr?N?0Illn2

??SbI线圈与长直导线间的互感为

M?r?mI?N?02πlln2?100?2?10?7?0.2ln2?2.77?10?6H

5．解：根据安培环路定理，导线内距轴线为r处的磁场强度为H?rI，磁能密度为

22πR22 wm?1?0?rH2??0?rrI

2428πR 17

导线内部单位长度储存的磁场能量为

222R Wm?wmdV??0?rrI2πrdr??0?rI

??08π2R416πU6．解：（1）细导线中的电流为iR?U?0sin?t RR（2）通过电容器的位移电流为id?dq?CdU??0SU0?cos?t

dtdtd（3）通过极板外接线中的电流i?id?iR??0SdU0?cos?t?U0sin?t R??（4）根据安培环路定理??H?dl??(id?iR)

H?2πr?r?0πr2dU0?cos?t?U0sin?t RH?

?0r2dU0?cos?t?U0sin?t 2πrR练习 十三 (简谐振动、旋转矢量、简谐振动的合成) 一、选择题

1． 一弹簧振子，水平放置时，它作简谐振动。若把它竖直放置或放在光滑斜面上，试判断下列情况正确的是 （C）

（A）竖直放置作简谐振动，在光滑斜面上不作简谐振动； （B）竖直放置不作简谐振动，在光滑斜面上作简谐振动； （C）两种情况都作简谐振动； （D）两种情况都不作简谐振动。

d2xd2x解：(C) 竖直弹簧振子:m2??k(x?l)?mg??kx(kl?mg),2??2x?0

dtdtd2xd2x弹簧置于光滑斜面上:m2??k(x?l)?mgsin???kx (kl?mg),2??2x?0

dtdt2． 两个简谐振动的振动曲线如图所示，则有 （A） xABππ； （B）A落后；（C）A超前π； （D）A落后π。

o22t解：(A)xA?Acos?t,xB?Acos(?t??/2)

3． 一个质点作简谐振动，周期为T，当质点由平衡位置向x轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需要的最短时间为： （B） OTTTT?/3x（A）； （B）； （C）； （D）。

12468???/6A(t)???/6T解：(B)振幅矢量转过的角度????/6,所需时间t?, A(0)??（A）A超前

?2?/T124． 分振动表式分别为x1?3cos(50πt?0.25π)和x2?4cos(50πt?0.75π)（SI制）则它们的合振动表达式为： （C）

?（A）x?2cos(50πt?0.25π)； （B）x?5cos(50πt)；

A（C）x?5cos(50πt?π1?arctan)； （D）x?7。 2722解：(C)作旋转矢量图或根据下面公式计算

2122?A2?A1A?A?A?2A1A2cos(?20??10)?3?4?2?3?4cos(0.75??0.25?)?5; 3?/4?/4Ox?0?tg?1A1sin?10?A2sin?203sin(0.25?)?4sin(0.75?)?1?tg?1??tg?1

A1cos?10?A2cos?203cos(0.25?)?4cos(0.75?)275． 两个质量相同的物体分别挂在两个不同的弹簧下端，弹簧的伸长分别为?l1和?l2，且?l1?2?l2，则两弹簧振子的周期之比T1:T2为 （B）

（A）2； （B）2； （C）1/2； （D）1/2。

18

解：(B) 弹簧振子的周期T?2?m,k1?mg, k2?mg,T1??l1?2 k?l2?l1?l2T26. 一轻弹簧，上端固定，下端挂有质量为m的重物，其自由振动的周期为T．今已知振子离开平衡位置为

x时，其振动速度为v，加速度为a．则下列计算该振子劲度系数的公式中，错误的是： （B）

22 (A) k?mvmax/xmax； (B) k?mg/x；

(C) k?4?2m/T2； (D) k?ma/x。 解：B

7. 两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同．第一个质点的振动表式为x1 = Acos(?t + ?)．当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处．则第二个质

?点的振动表式为 （B） A11(A) x2?Acos(?t???π)； (B) x2?Acos(?t???π)； O223(C) x2?Acos(?t????)。解：(B)作旋转矢量图 ?t???π)； (D) x2?Acos(21?2?A2x8. 一质点沿x轴作简谐振动，振动表式为 x?4?10?2cos(2?t?1?) (SI制)。从t = 0时刻起，到质点位

?3A(0)置在x = -2cm处，且向x轴正方向运动的最短时间间隔为 （C）

4?/31111?/3（A）s； （B）s； （C）s； （D）s。

Ox?8624A(t) 解：(C)作旋转矢量图tmin???/???/2??1/2s x (cm) 二、填空题

1. 一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为A =______；? =______；? 0=______。 解：由图可知A?10cm?0.1m,T?12s,??2?/T??/6s,

作旋转矢量得?0??/3

?1?A(0)?/3x10 5 O 1 4 7 10 -10 13 t (s) O题1图l22．单摆悬线长l，在悬点的铅直下方l/2处有一小钉，如图所示。则单摆的左右两方振动

l2lT左周期之比T1:T2为 。解：单摆周期T?2?, ?左?l右2gT右3．一质点沿x轴作简谐振动，振动范围的中心点为x轴的原点。已知周期为T，振幅为A。

（1）若t = 0时质点过x = 0处且朝x轴正方向运动，则振动方程为 x =＿＿＿＿＿＿＿＿。

l1 A处且向x轴负方向运动，则振动方程为x =＿＿＿＿＿。

22??2??解：作旋转矢量图,由图可知(1)x?Acos(t?);(2)x?Acos(t?)

（2）若t = 0时质点处于x?O?A(0)?3??A(0)?2xT2T34．有两个相同的弹簧，其劲度系数均为k，(1)把它们串联起来，下面挂一个质量为m的重物，此系统作简谐振动的周期为 ；(2)把它们并联起来，下面挂一质量为m的重物，此系统作简谐振动的周期为 。

mk2m解：两个相同弹簧串联, 劲度系数为,T?2?;两个相同弹簧并联,劲度系数为2k,T?2?.

2kk25．质量为m的物体和一轻质弹簧组成弹簧振子，其固有振动周期为T，当它作振幅为A的自由简谐振动

22m4?m12?m2 2时，其振动能量E= 。解：弹簧振子振动周期T?2?,k?,振动能量E?kA?A222TT6．若两个同方向、不同频率的谐振动的表达式分别为x1?Acos10πt和x2?Acos12πt，则它们的合振

k动频率为 ，拍频为 。

解：??2??,?1?5, ?2?6,合振动频率???2??1?11Hz,拍频????2??1?1Hz

227．两个同方向的简谐振动曲线如图所示。合振动的振幅为________________，合振动的振动方程为___________________。

2???解：作旋转矢量图A2?A1; x?(A2?A1)cos?t?? ?O2??T??三、计算题 2?A1(0)1．质量m = 10 g的小球按如下规律沿x轴作简谐振动：

19

?A2(0)?2x A2 A1 xO -A1 -A2 x1(t) T x2(t) t 2 x?0.1cos(8?t??)(SI)．求此振动的周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值以及振动的能量。

3解：圆频率??8?(1/s),周期T?2?/??1/4(s),振幅A?0.1m,初相?0?2?/3

振动速度最大值vmax?A??0.1?8??0.8??2.5(m/s),

加速度最大值amax?A?2?0.1?(8?)2?6.4?2?63(m/s2)

12121kA?mvmax??0.01?2.52?3.125?10?2J 222?

2. 边长为l的一立方体木块浮于静水中，其浸入水中部分的深度为h0，今用手指沿竖直方向将其慢慢压

振动的能量E?下，使其浸入水中部分的深度为h，然后放手任其运动。若不计水对木块的粘滞阻力,试证明木块作简谐运动，并求振动的周期T和振幅A。（水和木块的密度分别为?1和?2） 解：木块平衡时：mg??1h0l2g,取液面为坐标原点，向下为x轴正向,当木块浸入水中深度增加x时

2d2x3dx???1l2(x?h0)g??2l3g???1l2xg m2??F浮?mg,?2l2dtdt?1g,d2xd2x?1g,2??2l, 2??x??0x?0,??T??2?22?2ldt?2l??1gdt A?22x0?v0/?2?h?h0

3.一水平放置的弹簧振子，振动物体质量为0.25kg，弹簧的劲度系数k?25N?m-1。

(1) 求振动的周期T和角频率?； (2) 以平衡位置为坐标原点。如果振幅A =15 cm，t = 0时物体位于x = 7.5 cm处，且物体沿x轴反向运动，求振动的表达式； (3) 求振动速度的表达式。 ?解：(1) 角频率??k/m?25/0.25?10(1/s),T?2?/??0.2?(s) (2) 作旋转矢量图,由图可知?0??/3

A(0)?/3O??????x?0.15cos?10t?? （SI制）, (3)v??1.5sin?10t?? （SI制）

3?3???x4． 一个弹簧振子作简谐振动，振幅A?0.2m，如弹簧的劲度系数k?2.0N/m，所系物体的质量（1）当系统动能是势能的三倍时，物体的位移是多少？（2）物体从正的最大位移处m?0.50kg，试求：

运动到动能等于势能的三倍处所需的最短时间是多少？

2解(1)由题意，Ek?3Ep,E?Ek?Ep?4Ep?4?kx?12112kA,得4x2?A2 , x??A??0.1m 22?A(0)(2) 由题意知 ??k/m?2.0/0.5?2(1/s)，

作旋转矢量图知：????/3，最短时间为?t???/???/6(s)

5．有两个同方向、同频率的简谐振动，它们的振动表达式为：

O?/3x1?3???x1?0.05cos?10t?π?，x2?0.06cos?10t?π?（SI制）

4?4???（1）求它们合成振动的振幅和初相。（2）另有一个振动x3?0.07cos(10t??0)，问?0为何值时，

x1?x3的振幅最大；?0为何值时，x2?x3的振幅最小。

?52解：(1)由图可知A?A12?A2?0.078m,?0??tg?1?84.80

46?A?A1?A23(2) x1?x3的振幅最大时?0??10??;

4x2?x3的振幅最小时?0??20??? ,?0?5?,(或?3?)

3?/4?/4Ox44练习 十四 平面简谐波、波的能量

一、选择题

1．一个平面简谐波沿x轴负方向传播，波速u?10m/s。x?0处，质点振动曲线如图所示，则该波的表达式(SI制)为 (B ) y(m)2o1234 20

t(s)?2

（A）y?2cos(πt?πx?π)；（B）y?2cos(πt?πx?π)；

22022202πππ（C）y?2sin(πt?πx?π)；（D）y?2sin(t?x?)。

220222022??????解：(B)由图可知T?4s,x?0处质点振动方程y0?Acos?t??0??2cos?t?? ?2??T??2O??A(0)x=0处质点在t=0 时振幅矢量.

?2y?x?????x????x?? ??波的表达式y?2cos????t??t???2cos??t?t??2cost???????2??22u2102202????????????2．一个平面简谐波沿x轴正方向传播，波速为u?160m/s，t?0时刻的波形图如图所示，则该波的表达式(SI制)为 ( C )

?y(m)u（A）y?3cos(40πt?πx?π)；（B）y?3cos(40πt?πx?π)；

34242oππππ8x(m)4（C）y?3cos(40πt?x?)；（D）y?3cos(40πt?x?)。

4242?3解:(C)由图可知??8m,u?160m/s,??u/??20(1/s),??2???40?(1/s) O设x?0处质点振动方程为y0?Acos?40?t??0?,?t?0时x?0处质点位移为

???零且向y轴正向运动, 作旋转矢量图知?0??,y0?3cos??40?t??

22??x?????? ?波的表达式y?3cos?40??t???3cos40?t?x?????????A(0)x=0处质点在t=0 时振幅矢量.

?2y42??160?2????

3. 一平面简谐波以速度u沿x轴正方向传播，在t = t＇时波形曲线如图所示．则坐标原点O的振动方程y u 为 ( D ) a u?(A) y?acos[(t?t?)?]；(B) y?acos[2?u(t?t?)??]； O x b2b2u?u?b (C) y?acos[?(t?t?)?]；(D) y?acos[?(t?t?)?]。

b2b2解:(D) 由图可知??2b,??v/??v/2b,??2????v/b

?t?t?时x?0处质点位移为零且向y轴正向运动,?cos?0?0,?sin?0?0,?0???/2

4. 一个平面简谐波在弹性媒质中传播，媒质质元从最大位移处回到平衡位置的过程中 ( C )

（A）它的势能转化成动能； （B）它的动能转化成势能； （C）它从相邻的媒质质元获得能量，其能量逐渐增加；

（D）把自己的能量传给相邻的媒质质元，其能量逐渐减小。

解：(C)质元的动能dEk?v2,势能dEP???y/?x?2,质元由最大位移处回到平衡位置过程中,v和?y/?x由

0?到最大值.

5．一平面简谐波在弹性媒质中传播时，在传播方向上某质元在某一时刻处于最大位移处，则它的 ( B )

（A）动能为零，势能最大； （B）动能为零，势能也为零； （C）动能最大，势能也最大；（D）动能最大，势能为零。 解：(B)质元的动能dEk?v2,势能dEP???y/?x?2,质元在最大位移处,v和?y/?x均为0.

6．频率为 100 Hz，传播速度为300 m/s的平面简谐波，波线上距离小于波长的两点振动的相位差为π/3，则此两点相距 ( C ) (A) 2.86 m； (B) 2.19 m； (C) 0.5 m； (D) 0.25 m。

解:(C) 波长??u/??300/100?3m,??2?,x???，3/x?2?/(?/3),x?0.5m 7．在同一媒质中两列频率相同的平面简谐波强度之比是I1:I2?4，则两列波的振幅之比A1:A2为 （A）4； （B）2； （C）16； （D）0.25。 ( B )

21IA2211解：(B)波强I??A?u,??4 22I2A28．在下面几种说法中，正确的是： ( C )

（A）波源不动时，波源的振动周期与波动的周期在数值上是不同的； （B）波源振动的速度与波速相同；

（C）在波传播方向上，任一质点的振动位相总是比波源的位相滞后； （D）在波传播方向上，任一质点的振动位相总是比波源的位相超前。

21

解：(C)在波传播方向上,任一质点的振动位相总是比波源的位相滞后 二、填空题

1． 产生机械波的必要条件是 和 。解：波源,介质.

2． 一平面简谐波的周期为2.0s，在波的传播路径上有相距为2.0cm的M、N两点，如果N点的位相比

π，那么该波的波长为 ，波速为 。 62?2?解：??2?,x???， ??2?,???x??2?24cm,u??/T?12cm/s ???/6?x??M点位相落后

3． 我们 （填能或不能）利用提高频率的方法来提高波在媒质中的传播速度。

解：不能.波速由媒质的性质决定. 4． 处于原点（x?0）的一波源所发出的平面简谐波的波动方程为y?Acos(Bt?Cx)，其中A、B、C皆为常数。此波的速度为 ；波的周期为 ；波长为 ；离波源距离为l处的质元振动相位比波源落后 ；此质元的初相位为 。 解：y?Acos(Bt?Cx)?AcosB(t???uT?2?/C,??/2?xx)?Acos?(t?),u?B/C,T?2?/??2?/B, B/cu?l/?,???2?l/??Cl,初相?Cl

xπ)?]，则x?L1处质点的振动方程u4为 ，x??L2处质点的振动和x?L1处质点的振动的位相差为?2??1? 。

5． 一平面简谐波沿x轴正向传播，波动方程为y?Acos[?(t?解：波方程中x用特定值表示后即表示特定质点振动方程y1?Acos[?(t?L1?)?]?Acos?1 u4y2?Acos[?(t?L2??(L2?L1) )?]?Acos?2,?2??1?u4u6．一平面简谐波（机械波）沿x轴正方向传播，波动表达式为y?0.2cos(?t?处媒质质点的振动加速度a的表达式为____________________________。

1?x)(SI制)，则x = -3 m23?2y122,a??0.2?cos(πt?π)??0.2?2sinπt ??0.2?cos(πt?πx)x??322?t2三、计算题

1．一平面简谐波，振动周期T?0.5s，波长? = 10m，振幅A = 0.1m。当 t = 0时，波源振动的位移恰好为正方向的最大值。若坐标原点和波源重合，且波沿x轴正方向传播，求：(1)波源的振动表达式；(2)简谐波的波动表达式；(3) x1 = ? /4处质点，在t2 = T /2时刻的位移和振动速度。 解:由题意可知??2?/T?4?(1/s),u??/T?10/0.5?20m/s

(1) 设波源的振动表达式为y?0.1cos(4?t??0),?t?0,y0?0.1m,?0.1?0.1cos?0,?0?0,y?0.1cos4?t (2) 波动表达式y?0.1cos4?(t?x/20)(SI制)

解：a?(3) 将x1?2.5m,t2?0.25s代入波动表达式得:y?0.1cos4?(0.25?2.5/20)?0.1cos0.5??0 振动速度v??y/?t??0.4?sin4?(t?x/20)

将x1?2.5m,t2?0.25s代入,v??0.4?sin4?(0.25?2.5/20)??0.4?sin0.5???0.4?(m/s)

2．一振幅为0.1m，波长为2 m的平面简谐波。沿x轴正向传播，波速为1m/s。t = 2s时，x=1m处的质点处于平衡位置且向正方向运动。求：(1)原点处质点的振动表达式；(2)波的表达式；(3)在x = 1.5m处质点的振动表达式.

u

解:由题意可知A?0.1m,??2m,u?1m/s, p p0 O 1m x T??/u?2(s),??2?/T??(1/s) x (2)设x=1m处的质点振动表达式y1?Acos(?t??0)?0.1cos(?t??0)

因为t = 2s时，该质点处于平衡位置且向正方向运动

所以0.1cos(2???0)?0,?0.1?sin(2???0)?0,?0???/2,y1?0.1cos(?t??/2)

?x?1??????波的表达式为y?0.1cos????t?????0.1cos???t?x???(SI制)

1?2?2?????t??/2)(SI制) (1) 令x?0得,y?0.1cos((3) 令x?1.5m得,y?0.1cos???t?1.5???/2??0.1cos(?t??)(SI制)

22

b?u5ma3． 一平面简谐波在介质中以速度u?20m/s沿x轴负方向传播，如图所示。已知a点的振动表式为

。 ya?3cos4πt（SI制）

（1）以a为坐标原点写出波动表达式。

（2）以距a点5m处的b点为坐标原点，写出波动表达式。

xx?x解:(1)y?3cos4?(t?)?3cos4?(t?)?3cos(4?t?)(SI制) b p u a

20205O (2)y?3cos[4?(t?5?x)]?3cos(4?t??x??)(SI制)

x 205b p u a 4．某质点作简谐振动，周期为2 s，振幅为0.06 m，t = 0 时刻，质点的位移为

0.03 m,且向正方向运动，求:(1) 该质点的振动表达式；(2) 此振动以速度u=2m/sO x 沿x轴负方向传播时，波的表达式； (3) 该波的波长。

解:(1) 由题意可知A?0.06m,??2?/T??(1/s),

设振动表达式为 y?0.06cos(?t??0),

x x ? t = 0 时刻，质点的位移为0.03 m,且向正方向运动,?cos?0?0.5,?sin?0?0,?0???/3

y?0.06cos(?t??/3)

(2) 波的表达式y?0.06cos[?(t?x/2)??/3]?0.06cos[?(t?x/2)??/3](SI制) (3) 波长??uT?4m

5．一列沿x正向传播的简谐波，已知t1?0和t2?0.25s时的波形

y(m)0.2P如图所示。（假设周期T?0.25s）试求 o（1）P点的振动表达式；（2）此波的波动表式；

?0.2（3）写出o点振动方程并画出o点的振动曲线。

解:由图可知

T?4?0.25?1s,??0.6m,v??/T?0.6m/s,??2?/T?2?(1/s) (1)P点振动表达式yP?Acos(?t??P0)?0.2cos(2?t??/2)(SI制)

t1?0x(m)0.45mt2?0.25sy(m)x?0.3?x?(2) 波动表式y?0.2cos[2?(t?)?]?0.2cos[2?(t?)?](SI制) 0.620.62(3)O点振动方程yO?0.2cos(2?t?Ot(s)?2)(SI制)

?3

2

6．一平面简谐声波，沿直径为0.14m的圆柱形管行进，波的强度为9.0?10W/m，频率为300Hz，波速

为300m/s。问：（1）波的平均能量密度和最大能量密度是多少？（2）每两个相邻的、相位差为2π的同相面间有多少能量？

122?5?3?A?u?wu,w?I/u?9.0?10?3/300?3.0?10?5J?m?3,wmax?2w?6.0?10J?m 21(2)V?s?,,w?wV??d2?w?4.62?10?7J

4解(1)I? 练习 十五 知识点：波的干涉、驻波、多普勒效应 一、选择题

1．如图所示，两列波长为? 的相干波在P点相遇．波在S1点振动的初相是??1，S1到P点的距离是r1；波在S2点的初相是??2，S2到P点的距离是r2，以k代表零或正、负整数，则P点是干涉极大的条件为： ( )

(A) r2?r1?k?； (B) ?2??1?2k?；

(C)

S1S2r1r2P

?2??1?2?(r2?r1)/??2k?； (D) ?2??1?2π(r1?r2)/??2kπ。

r??r??解:(D) y1p?A1cos?2?(t?1)??1??A1cos?1,y2p?A2cos?2?(t?2)??2??A2cos?2

uu????r?rr?r????2??1??2??1?2?21??2??1?2?12?2k?

??2．两个相干波源的相位相同，它们发出的波叠加后，在下列哪条线上总是加强的？ ( )

（A）两波源连线的垂直平分线上； （B）以两波源连线为直径的圆周上； （C）以两波源为焦点的任意一条椭圆上；（D）以两波源为焦点的任意一条双曲线上。

23

解: (A)????20??10?2?r2?r1?3．平面简谐波x?4sin(5πt?3πy)与下面哪列波干涉可形成驻波？ ( )

（A）y?4sin2π(2.5t?1.5x)； （B）y?4sin2π(2.5t?1.5x)； （C）x?4sin2π(2.5t?1.5y)； （D）x?4sin2π(2.5t?1.5y)。

解:(D)波方程x?4sin(5?t?3?y)中,x为各质点相对平衡位置的位移,y为质点平衡位置的坐标.

4．在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动 ( ) (A) 振幅相同，相位相同； (B) 振幅不同，相位相同；

(C) 振幅相同，相位不同； (D) 振幅不同，相位不同。 解: (B) 相邻波节间各质点的振动振幅不同，相位相同。

5. 在波长为? 的驻波中，两个相邻波腹之间的距离为 ( ) (A) ??/4； (B) ??/2； (C) 3??/4； (D) ??。 解: (B) 两个相邻波腹（波节）之间的距离为??/2。

6?. 一机车汽笛频率为750 Hz，机车以时速90公里远离静止的观察者．观察者听到的声音的频率是（设空气中声速为340 m/s）． ( ) (A) 810 Hz； (B) 699 Hz； (C) 805 Hz； (D) 695 Hz。 解: (B)???,对相干波源,?20??10,在垂直平线上r2?r1,???0.

u?uu340?????750?699Hz ??(u?u源）Tu?u源340?257?. 设声波在媒质中的传播速度为u，声源的频率为vS，若声源S不动，而接收器R相对于媒质以速度?R沿S、R连线向着声源S运动，则接收器R接收到的信号频率为： ( )

uu??Ru??RvS。 vS； （C）vS； （D）

u??Ruuu?u?v观u?v观解: (B)观察者收到的信号频率=测得的波速与波长的比值??????

??uTu（A）vS； （B）

二、填空题

1．设S1和S2为两相干波源，相距0.25?，S1的相位比S2的相位超前0.5?。若两波在S1与S2连线方向上的强度相同均为I0，且不随距离变化。则S1与S2连线上在S1外侧各点合成波的强度为＿＿＿＿＿，在S2外侧各点合成波的强度为_______________。

r?r0.25?解: S1外侧????20??10?2?21??0.5??2????,波的强度为零

2．简谐驻波中，在同一个波节两侧距该波节的距离相同的两个媒质元的振动相位差为________。解: ?

?23． 一驻波表式为y?4?10cos2πxcos400t（SI制），在x?1/6(m)处的一质元的振幅为 ，振动速度的表式为 。

解: A?4?10?2cos?2??1/6??2?10?2m,x?1/6m处质点振动方程为y?2?10?2cos400t,质点速度的表式v??8sin400t(SI制).

4． （a）一列平面简谐波沿x正方向传播，波长为?。若在x?0.5?处质点的振动方程为y?Acos?t，则该平面简谐波的表式为 。

（b）如果在上述波的波线上x?L（L?0.5?）处放一垂直波线的波密介质反射面，且假设反射波的振幅衰减为A?，则反射波的表式为 （x?L）。 解: (a)y?Acos??t??r?r?0.25?S2外侧????20??10?2?21??0.5??2??0，波的强度为4I0

???x??/2?? u??x???2?x????Acos??t????? ??Acos??t?u2u???????x ?/2 P x ?L??/2L?x?2?x4?L???????Acos????t??

uu??????5．一驻波方程为y?Acos2πxcos100πt(SI制)，位于x1?3/8m的质元与位于x2?5/8m处的质元的振

(b)y?A?cos???t?????动位相差为 。

24

解: yx1?Acos3?2cos100?t??Acos100?t, 425?2cos100?t??Acos100?t；位相差为0 x282?

6. 一汽笛发出频率为700Hz的声音，并且以15m/s的速度接近悬崖。由正前方反射回来的声波的波长为（已知空气中的声速为330m/s） 。 解:???(u?u源）T?(u?u源）/??315/700?0.45m

y?Acos三、计算题

1．波速为u?0.20m?s?1的两列平面简谐相干波在P点处相遇，两个波源S1和S2的振动表式分别为

。已知PS1?0.40m，PS2?0.50m，求： y10?0.1cos2?t（SI制）和y20?0.1cos(2?t?π)（SI制）

（1）两列波的波函数；（2）两列波传播到P点的位相差；（3）干涉后P点的振动是加强还是减弱，以及P

点合振幅。

解:（1）设r1为空间某点到波源S1的距离, r2为空间某点到波源S1的距离,则

， y1?0.1cos2?(t?r1/0.2)?0.1cos(2?t?10?r1)（SI制）

y2?0.1cos[2?(t?r2/0.2)??]?0.1cos(2?t?10?r2??)（SI制） （2）在两波相遇处????20??10?2?r2?r1（3）???0,P点的振动加强，合振幅为0.2m 2. 在弹性媒质中有一沿x轴正向传播的平面波，其表达式为y?0.01cos(4t?πx?π/2) (SI制)。若在x = 5.00 m处发生固定端反射，设反射波的强度不变，试写出反射波的表达式。 解: 入射波引起分界面处质点的振动方程

y?0.01cos(4t?5π?π/2)?0.01cos(4t?5.5π)

设反射波的表达式为y?0.01cos(4t?πx??0)

反射波引起分界面处质点的振动方程y?0.01cos(4t?5???0),反射波比入射波在分界面处引起质点的分振动相位落后?

4t?5???0?(4t?5.5?)??? ?0??11.5?

????2?0.50?0.40?0

0.2y?0.01cos(4t?πx?11.5?)?0.01cos(4t?πx??/2)

xt3．设入射波的表达式为 y1?Acos2?(?)，在x = 0处发生反射，反射点为一固定端。设反射时无

?T能量损失，求：(1) 反射波的表达式；(2) 合成的驻波的表达式；(3) 波腹和波节的位置。 解: （1）入射波引起分界面处(x=0)质点的振动方程y10?Acos2πt/T

反射波比入射波在x=0处引起质点的分振动相位落后? 反射波引起x=0处质点的振动方程y20?Acos?2πt/T???

??tx??????

??T???x???t???（2）y?y1?y2?2Acos?2???cos?2???

??2??T2?s2π?反射波的表达式为 y2?Aco?（3）波节x?k??2k?0,1,2?；波腹x?(2k?1)?4k?0,1,2?

4?． 一声源的频率为1080Hz，相对于地以30m/s的速率向右运动。在其右方有一反射面相对于地以

65m/s的速率向左运动。设空气中的声速为331m/s。求

（1）声源前方空气中声波的波长； （2）每秒钟到达反射面的波数； （3）反射波的速率。

/??301/1080?0.279m 解:（1）???(u?u源）T?(u?u源） （2）???u?v观u?331?65???1080?1421Hz ??(u?v源)T331?30 （3）反射波的速率为331m/s。 5?． 如图所示，试计算：

25

（1）波源S频率为2040Hz，以速度?S向一反射面接近，观察者在A点听得拍音的频率为?v?3Hz，求波源移动的速度大小?S。设声速为340m/s。

（2）若（1）中波源没有运动，而反射面以速度??0.20m/s向观察者A接近。观察者在A点所听得的拍音频率为?v?4Hz，求波源的频率。 解: （1）?1????u?u340???2040 ??(u?vs)T340?vSSAu?u340?2???????2040

??(u?vs)T340?vS2?340?vs340340????2??1??2040??2040??2040?3

340?vS340?vS3402?vs2u?u?v340?0.2???? ??(u?v)T340?0.2反射面 vS?0.25m/s

（2）?1?2040,?2????????2??1?340.2?????4,??3398Hz 339.8练习 十六 知识点：相干光、双缝干涉、光程与光程差、薄膜干涉、迈克耳孙干涉仪

一、选择题

1． 如图所示，用波长??600nm的单色光做杨氏双缝实验，在光屏P处产生第5级明纹极大，现将折射率n?1.5的薄透明玻璃片盖在其中一条缝上，此时P处变成中央明纹极大的位置，则此玻璃片厚度为 （ ）

（A）5.0?10cm； （B）6.0?10cm；

?4?4PS1S2o（C）7.0?10?4cm； （D）8.0?10?4cm。

解: (B)空气中第五级干涉明条纹满足:??r2?r1?5?;薄透明玻璃片盖在其中一条缝时中央明纹满

5?5?600?10?9足:r2?r1?(n?1)e?0 ; e???6.0?10?6m?6.0?10?4cm

n?11.5?12． 在双缝干涉实验中，为使屏上的干涉条纹间距变大，可以采取的办法是 （ ）

（A）使屏靠近双缝； （B）使两缝的间距变小；

（C）把两个缝的宽度稍微调窄； （D）改用波长较小的单色光源。 解: (B)双缝干涉条纹的间距为?x?D?,d?,?x? d3．如图所示，在双缝干涉实验中，若单色光源S到两缝S1、S2距离相等，则观察屏上中央明纹中心位于

图中O处，现将光源S向下移动到示意图中的S?位置，则 （ ）

（A）中央明条纹向下移动，且条纹间距不变； S1S（B）中央明条纹向上移动，且条纹间距增大； OS2?S（C）中央明条纹向下移动，且条纹间距增大；

（D）中央明条纹向上移动，且条纹间距不变。

xd解: (D)设光源S?到两狭缝S1、S2的距离分别为rs1、rs2,则干涉明纹应满足?(rS1?rS2)?k?,对中央明

D纹k?0,代入上式可知x?0?中央明纹在O点上方;由干涉明纹公式易得两相邻明纹间距仍然为?x?D?/d 4． 用单色光垂直照射牛顿环装置，设其平凸透镜可以在垂直的方向上移动，在透镜离开平玻璃的过程中，可以观察到这些环状干涉条纹 （ ）

（A）向右平移； （B）向中心收缩； （C）向外扩张； （D）向左平移。 解: (B)干涉明纹满足2e??2?k?,e?,原来k级明纹所在位置将被更高级明纹占据,第k级明纹位置向中

心移动.

5． 如图所示，波长为?的平行单色光垂直入射在折射率为n2的薄膜上，经上下两个表面反射的两束光发生干涉。若薄膜厚度为e，而且n1?n2?n3，则两束反射光在相遇点的位相差为（ ）

（A）4πn2e/?； （B）2πn2e/?；

26

n1?en2n3（C）π?4πn2e/?； （D）?π?4πn2e/?。

解:(A)两束反射光在反射面均没有半波损失,两束反射光的光程差为??2n2e,光程差为?时相位差为2?,比例关系式为

2n2e???? 2?6． 两个直径相差甚微的圆柱体夹在两块平板玻璃之间构成空气劈尖，如图所示，L单色光垂直照射，可看到等厚干涉条纹，如果将两个圆柱之间的距离L拉大，则L范围内的干涉条纹（ ）

（A）数目增加，间距不变； （B）数目增加，间距变小； （C）数目不变，间距变大； （D）数目减小，间距变大。 解:(C) 空气劈尖干涉明纹满足2e??2?k?,相邻明纹(或暗纹)所对应的薄膜厚度之差

lsin??ek?1?ek??/2,因Lsin?等于两圆柱直径之差,是不变量,干涉条纹数目不变;相邻明纹(或暗

纹)间距离为l??/(2sin?),L?,??,sin??,l?.

7． 用劈尖干涉法可检测工件表面缺陷，当波长为?的单色平行光垂直入射时，若观察到的干涉条纹如图所示，每一条纹弯曲部分的顶点恰好与其左边条纹的直线部分的连线相切，则工件表面与条纹弯曲处对应的部分 （ ）

(A)凸起，且高度为? / 4；(B)凸起，且高度为? / 2； (C)凹陷，且深度为? / 2；(D)凹陷，且深度为? / 4。 解:(C),相邻明纹(或暗纹)所对应的薄膜厚度之差 lsin??ek?1?ek??/2,

平玻璃 空气劈尖 工件 8．在迈克尔逊干涉仪的一条光路中，放入一厚度为d，折射率为n的透明薄片，放入后，这条光路的光程改变了 （ ）

(A)2(n?1)d； (B)2nd； (C)(n?1)d； (D)nd。解:(A)一来一回,光程改变了2(n?1)d 二、填空题

1． 在双缝干涉实验中，双缝间距为d，双缝到屏的距离为D (D>>d)，测得中央零级明纹中心与第五级明纹中心的距离为x，则入射光的波长为__________。解:根据双缝干涉明纹条件得

xdxd ?5?,??D5D2． 双缝干涉实验中，若双缝间距由d变为d?，使屏上原第10级明纹中心变为第5级明纹中心，则

d?:d ；若在其中一缝后加一透明媒质薄片，使原光线光程增加2.5?，则此时屏中心处为第 级 纹。

xd?xd??10?,?5?,d?:d?1:2;2.5??(2k?1)?2级暗纹 D2D3． 用??600nm的单色光垂直照射牛顿环装置时，第4级暗纹对应的空气膜厚度为_________?m

k?4?600?10?9??解:根据牛顿环干涉暗纹条件2e??(2k?1),得e???1.2?10?6m?1.2?m

解:根据双缝干涉明纹条件得

22224． 在牛顿环实验中，平凸透镜的曲率半径为3.00m，当用某种单色光照射时，测得第k个暗纹半径为4.24mm，第k?10个暗纹半径为6.00mm，则所用单色光的波长为___________nm。

解:根据牛顿环干涉暗纹条件2e??22?3?3因此rk?kR??4.24?10m,rk?10?(k?10)R??6?10m,??600nm

?(2k?1)?222和几何关系R?r?(R?e),得暗纹半径rk?kR?.

5． 在垂直照射的劈尖干涉实验中，当劈尖的夹角变大时，干涉条纹将向 方向移动，相邻条纹间的距离将变 。

解:劈尖干涉中光程差??2e??/2,??原来k级明纹所在位置将被更高级明纹占据,第k级明纹位置向劈尖棱边移动;相邻条纹间距离l??2sin?,??,l变小

6． 波长为?的平行单色光垂直照射到折射率为n的劈形膜上，相邻的两明纹所对应的薄膜厚度之差是____。 解: 劈形膜干涉明纹满足2ne??/2?k?,相邻明纹所对应的薄膜厚度之差ek?1?ek??/(2n)

7． 在迈克尔逊干涉仪实验中，可移动反射镜M移动0.620mm的过程中，观察到干涉条纹移动了2300条，

2d2?0.62?10?3m???5.39?10?7m?539nm 则所用光的波长为________nm。解:.d?N,??2N2300三、计算题

1．在双缝干涉实验中，波长?＝550 nm的单色平行光垂直入射到缝间距d＝2310-4 m的双缝上，屏到双缝的距离D＝2 m．求：(1) 相邻明纹的间距及中央

27

PS1S2现零级，原？级 o明纹两侧的第5级明纹中心的间距；(2) 用一厚度为e＝6.6310m(6.6310m)、折射率为n＝1.58的玻璃

-9

片覆盖其中一缝后，零级明纹将移到原来的第几级明纹处？(1 nm = 10 m) 1．解：(1)相邻明纹的间距为：?x＝D? / d＝5.50mm

中央明纹两侧的第5级明纹中心的间距为：?x5＝10D? / d＝55.0mm (2) 设不盖玻璃片时第k级明纹和覆盖玻璃片后零级明纹重合于x

不盖玻璃片时第k级明纹应满足：r2?r1＝k????覆盖玻璃片后零级明纹应满足: r2?r1 －[(n－1)e]＝0, 所以: (n－1)e = k? ,

k＝(n－1) e / ??????36.6310-6 /( 550310-9)＝6.96≈7 ,零级明纹移到原第7级明纹处 2． 在双缝干涉实验装置中，屏幕到双缝的距离D远大于双缝之间的距离d，对于钠黄光（??589.3nm），产生的干涉条纹，相邻两明条纹的角距离（即相邻两明条纹对双缝中心处的张角）为0.20?。 （1）对于什么波长的光，这个双缝装置所得相邻两条纹的角距离比用钠黄

x光测得的角距离大10%？

（2）假想将此装置浸入水中（水的折射率n?1.33），用钠黄光垂直照射时，?x??相邻两明条纹的角距离有多大？ d2．解：(1) 由明纹条件 ? =dsin?=k?? , 又sin??????因此 ?? =?k+1??k= ? / d

角距离正比于?，???增大10％，?也应增大10％． 故?＇＝?（1＋10%）＝648.2 nm D(2) 整个干涉装置浸入水中时 ndsin?=k??????相邻两明条纹角距离变为 ??＇＝?/ (nd) = ????n＝0.15°

3?．折射率为1.52的照相机镜头的表面上涂有一层厚度均匀的折射率为1.38的MgF2增透膜，如果此膜只适用于波长为550nm的光，则此膜的最小厚度为多少？若所涂MgF2为增反膜，则此膜的最小厚度为多少？ 3．解：要起到增透效果,反射光的光程差应满足干涉相消（设MgF2的厚度为e），即 δ＝2 n 2 e＝(2 k＋1)?????

-9-8

?????????则增透膜的最小厚度：k?????emin＝??? n 2＝550310/(431.38) ＝9.96310m 要起到增反效果反射光的光程差应满足干涉相长，即 δ＝2 n 2 e＝k??

-9-7

?????????则增反膜的最小厚度：k?????emin＝??? n 2＝550310/(231.38) ＝1.99310m

?4

4． 放在空气中一劈尖的折射率为1.4，劈尖的夹角为10rad，在某一单色光的垂直照射下，可测得两条相邻明纹的间距为0.25cm，试求：(1)此单色光在空气中的波长；(2)如果此劈尖长为3.5cm，总共可产生多少条明纹？

4．解：(1) 反射光的光程差为：δ＝2 n d＋???＝k?????明条纹

l?d相邻明纹的间隔为： l ＝? d/sinθ≈?/2 n θ ，

?-4-2

所以： ?＝2 n θl＝231.431030.25310＝700nm

dkdk?1(2) 劈尖的最大厚度为： emax＝0.035310-4＝3.5310-6m

可产生的明条纹数最大级数： kmax＝(2 n 2 emax＋??????＝14.5 ，所以总共产生的明纹条数为14条。 5． 用波长为589.3nm的光做牛顿环实验，测得某一明环半径为1.0mm，其外第四个明环的半径为3.0mm，求实验中所用的平凸透镜的凸面曲率半径。 5．解：牛顿环第k级明环的半径为： rk?-5 -6

(2k?1)R?/2

第k＋4级明环的半径为： rk?4?[2(k?4)?1]R?/2

rk2?4?rk29.0?10?6?1.0?10?6 则平凸透镜的凸面曲率半径为： R＝＝＝3.39m ?94?589.3?104??

6．柱面平凹透镜A，曲率半径为R，放在平玻璃片B上，如图所示。现用波长为?的平行单色光自上方垂直往下照射，观察A和B间空气薄膜的反射光的干涉条纹。设空气膜的最大厚度d?2?。（1）求明条纹极大位置与凹透镜中心线的距离r；（2）共能看到多少条明条纹；（3）若将玻璃片B向下平移，条纹

如何移动？

6．解：(1) 光程差 δ＝2 e＋???＝k?????明条纹，δ＝2 e＋???＝（2k+1/2）???? 明条纹极大位置处的空气膜厚度为：e?(k?)明条纹极大位置与凹透镜中心线的距离:

?d1? 22rRAB9222R?[R?(d?e)]?2R(d?e)?(d?e)?2R(d?e)?R?(?k) r＝2(2) 因为0?e?2?，所以明条纹的最大级次：kmax＝4,共能看到k＝1,2,3,4八条明条纹。

(3) 由光程差可知当玻璃片B向下平移时，各处空气的厚度增大，条纹将向外移动。

28

练习 十七 知识点：惠更斯-菲涅耳原理 单缝夫琅禾费衍射 光学仪器的分辨本领 光栅衍射 一、选择题

1．在单缝衍射实验中，缝宽a?0.2mm，透镜焦距f?0.4m，入射光波长??500nm，则在距离中央亮纹中心位置2mm处是亮纹还是暗纹？从这个位置看上去可以把单缝分为几个半波带？( )

(A) 亮纹，3个半波带； (B) 亮纹，4个半波带； (C) 暗纹，3个半波带； (D) 暗纹，4个半波带。

ax0.4?10?6解: (D)asin??atg????10?6m?1000nm,asin?/(?/2)?1000nm/250nm?4

f0.42．在夫琅和费单缝衍射实验中，对于给定的入射单色光，当缝宽度变小时，除中央亮纹的中心位置不变

外，各级衍射条纹 ( )

(A) 对应的衍射角变小； (B) 对应的衍射角变大； (C) 对应的衍射角也不变； (D) 光强也不变。 解: (B)根据明纹条件asin??(2k?1)?2可知,k、?不变,a减小?增大.

LC3．在如图所示的夫琅和费单缝衍射实验装置中，S为单缝，L为凸透镜，C为放在的焦平面处的屏。当把单缝垂直于凸透镜光轴稍微向上平移时，屏幕上的衍射图样 ( )

S(A) 向上平移； (B) 向下平移；

(C) 不动； (D) 条纹间距变大。

解: (C)单缝微微平移时,光线仍然是垂直狭缝入射,根据平行光经透镜会聚时的等光程性,可知衍射图样不变. 4．如果单缝夫琅禾费衍射的第一级暗纹发生在衍射角为θ?30°的方位上．所用单色光波长为?=500 nm，则单缝宽度为 ( )

-5-?-6-7

(A) 2.5310 m； (B) 1.0310 m； (C) 1.0310 m； (D) 2.5310。 解: (C)，根据暗纹条件asin??k?，a??/sin30??1000nm

5．波长为600nm的单色光垂直入射到光栅常数为2.5?10?3mm的光栅上，光栅的刻痕与缝宽相等，则光谱上呈现的全部级数为 ( )

(A) 0、±1、±2、±3、±4； (B) 0、±1、±3； (C) ±1、±3； (D) 0、±2、±4。

解：(B)干涉主明纹条件(a?b)sin??k?,因sin??1,根据题中数据算得k?4.再根据单缝衍射暗纹条件

a?bk??2k?,k??1,2?k?2,4缺级. a6．某元素的特征光谱中含有波长分别为?1?450nm和?2?750nm的光谱线，在光栅光谱中，这两种波

asin??k??,可得缺级的级数k?长的谱线有重叠现象，重叠处的谱线?2主极大的级数将是 ( )

(A) 2、3、4、5…； (B) 2、5、8、11…； (C) 2、4、6、8…； (D) 3、6、9、12…。

解：(D)根据干涉主明纹条件得(a?b)sin??k1?1,(a?b)sin??k2?2,

450k13?k1,k1?5,10,15??k2?3,6,9?

?275057．一衍射光栅对某波长的垂直入射光在屏幕上只能出现零级和一级主极大，欲使屏幕上出现更高级次的主极大，应该 ( )

(A) 换一个光栅常数较大的光栅； (B) 换一个光栅常数较小的光栅； (C) 将光栅向靠近屏幕的方向移动； (D) 将光栅向远离屏幕的方向移动。 解：(A)干涉主明纹条件(a?b)sin??k?,sin??1,?不变时,a?b?,k?

8．光栅平面、透镜均与屏幕平行。则当入射的平行单色光从垂直与光栅平面变为斜入射时，能观察到的光谱线的最高级数k ( )

(A) 变小； (B) 变大； (C) 不变； (D) 无法确定。

解：(B)倾斜入射时,干涉主明纹条件(a?b)(sin??sin??)??k?,考虑到(sin??sin??)的绝对值可大于

解得k2?k1?1?1?k变大 二、填空题

1． 惠更斯引入_________的概念提出了惠更斯原理，菲涅耳再用_________的思想补充了惠更斯原理，发展成了惠更斯——菲涅耳原理。解:子波, 子波的相干叠加

2． 在单缝夫琅和费衍射中，若单缝两边缘点A、B发出的单色平行光到空间某点P的光程差为1.5?，

29

则A、B间可分为_________个半波带，P点处为_________（填明或暗）条纹。若光程差为2?，则A、B间可分为_________个半波带，P点处为_________（填明或暗）条纹。

解:狭缝两边缘衍射线之间的光程差为半波长的偶数倍时形成暗条纹,奇数倍时形成明条纹.?3,明;4,暗

3． 在单缝夫琅和费衍射实验中，设第1级暗纹的衍射角很小。若钠黄光(?1?589nm)为入射光，中央明纹宽度为4.0mm；若以蓝紫光(?2?442nm)为入射光，则中央明纹宽度为________mm。

???x2.中央明纹宽度?x?2x1?2D1,?x??2x2?2D2，?x??2?x?3mm

?2aaaD4． 波长为480nm的平行光垂直照射到宽为0.4mm的单缝上，单缝后面的凸透镜焦距为60cm，当单缝两边缘点A、B射向P点的两条光线在P点的相位差为π时，P点离中央明纹中心的距离等于________。

解:sin????2???,狭缝两边缘衍射线之间的光程差为半波长时?asin??

22f?0.6?480?10?9?x因此sin????3.60?10?4m?0.36mm ?,x??32a2?0.4?102af5． 迎面驶来的汽车两盏前灯相距1.2m，则当汽车距离为_________时，人眼睛才能分辨这两盏前灯。假设人的眼瞳直径为0.5mm，而入射光波长为550.0nm。

?550?10?9解：人眼的最小分辨角?R?1.22?1.22??1.342?10?3rad ?3d0.5?10??l/s?1.2/s?1.342?10?3,s?894m 6．为测定一个光栅的光栅常数，用波长为632.8nm的光垂直照射光栅，测得第1级主极大的衍射角为18?，则光栅常数d?________，第2级主极大的衍射角??______。 解：干涉主明纹条件(a?b)sin??k?,

d?a?b??/sin??632.8?10?9/sin180?2.296?10?6m?2.296?10?3mm

k?2?632.8?10?90? sin????0.618??38.17?6d2.296?10解:相位差??光程差

7．某单色光垂直入射到一个每毫米有800条刻线的光栅上，如果第一级谱线的衍射角为30°，则入射光

的波长应为_________________。

解：干涉主明纹条件(a?b)sin??k?，??dsin??(1/800)?(1/2)?6.25?10?4mm?625nm 8．用白光（400-760nm）垂直照射光栅常数为2.0?10cm的光栅，则第1级光谱对透镜中心的张角

?44.0?10?7m0为 。解：干涉主明纹条件dsin??k?,sin?1??1/d?,; ??11.54?0.21?62.0?10m7.6?10?7m0??22.33,,????2??1?22.330?11.540?10.790 sin?2??2/d??0.381?62.0?10m三、计算题

1．波长??500nm(1nm=10-9m)的单色光垂直照射到宽度a?0.25 mm的单缝上，单缝后面放置一凸透镜，在凸透镜的焦平面上放置一屏幕，用以观测衍射条纹．今测得屏幕上中央明条纹一侧第三级暗条纹和另一侧第三级暗条纹之间的距离为d?12 mm，求凸透镜的焦距f。 1．解：由单缝衍射的暗纹条件：asin??k?， 第k级暗纹的位置：xk?ftan??fsin??kf? af? aSLC 中央明条纹两侧第三级暗条纹之间的距离为:d?2x3?6da12?10?3?0.25?10?3??1m 凸透镜的焦距f f?6?6?500?10?92．在复色光照射下的单缝衍射图样中，其中某一未知波长光的第3级明纹极大位置恰与波长为??600nm光的第2级明纹极大位置重合，求这种光波的波长。

2．解：设未知光的波长为?，由单缝衍射的明纹条件：asin??(2k?1)'?2

3?．在通常亮度下，人眼瞳孔直径约为3 mm，若视觉感受最灵敏的光波长为550 nm (1 nm = 10-9 m)，试问：

30

600?10?95'?9?(2?2?1)由题意可知：asin??(2?3?1)，所以???600?10?428.6nm 227?'

(1) 人眼最小分辨角是多大？

(2) 在教室的黑板上，画的等号的两横线相距2 mm，坐在距黑板10 m处的同学能否看清？

550?1?9043．解：(1) 最小分辨角 ?R?1.22?1.22rad?2.?2?41 0?3d3?10(2) 在距黑板10 m处能分辨的最小距离为 s?l?R?10?2.24?10?4?2.24mm?2mm,不能看清。

?4．一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光束有两种波长的光，?1=440 nm，?2=660 nm (1 nm = 10-9 m)。

实验发现，两种波长的谱线(不计中央明纹)第二次重合于衍射角?=60°的方向上。求此光栅的光栅常数d。 4．解：由光栅衍射主极大公式得dsin?1?k1?1,dsin?2?k2?2,

当两谱线重合时有:?1=??2 , 即

sin?1k1?1k1?4402k1 ???sin?2k2?2k2?6603k2k1369k6???,两谱线第二次重合1?，即k1=6，k2=4 k2246k24由光栅公式可知d sin60°=6?1, d?6?1-3

=3.05310 mm ?sin60-3

5．一衍射光栅，每厘米200条狭缝，每条狭缝宽为a=2310 cm，在光栅后放一焦距f=1 m的凸透镜，

-9

现以?=600 nm (1 nm=10 m)的单色平行光垂直照射光栅，求：(1) 单缝a的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？(2) 在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？

5．解：(1) 由单缝衍射可知：asin??k??,x?ftan?

f?ax?0.03m ?k?,取k=1有 x?af∴中央明纹宽度为 ?x?2x?0.06m

(a?b)x(2)由光栅方程：(a?b)sin??k'?，得 k'??2.5

f?当x??f时，tan??sin???,

取k?= 2，共有k?= 0，±1，±2 等5个主极大

6．波长600nm的单色光垂直照射在光栅上，第二级主极大出现在sin??0.25处，且第三级缺级。试求：⑴ 光栅常数(a?b)；⑵ 光栅的狭缝宽度a；⑶? 按上述选定的a、b值，求在光屏上可能呈现的全部主极大的级次。

k?2?600?10?9??4.8?10?6m 6．解：(1) 由光栅方程(a?b)sin??k?可得光栅常数(a?b)?sin?0.25a?bk3a?b(2) 由于第三级缺级，所以 ?'?'， k'取1， a??1.6?10?6m;

akk3a?b4.8?10?6 ?

??8 (3) 由光栅方程(a?b)sin??k?可得明条纹的最高级次 kmax??9?600?10但由于第三和第六级缺级，所以光屏上可能呈现的全部主极大的级次为:

0,?1,?2,?4?5,?7,?8共17级。

练习 十八 知识点：X射线衍射、起偏和检偏、马吕斯定律、反射和折射时光的偏振、光的双折射 一、选择题

1?．波长为0.426 nm (1 nm = 10-9 m)的单色光，以70°角掠射到岩盐晶体表面上时，在反射方向出现第一级极大，则岩盐晶体的晶格常数为 ( ) (A) 0.039 nm； (B) 0.227 nm； (C) 0.584 nm； (D) 0.629 nm。解：(B) 2．自然光从空气连续射入介质A和B。光的入射角为60?时，得到的反射光RA和RB都是完全偏振光（振动方向垂直入射面），由此可知，介质A和B的折射率之比为 ( )

(A) 1:3； (B) 3:1； (C) 1:2； (D) 2:1。

31

解：(B)布儒斯特角入射时,反射光为线偏振光,且入射角与折射角之和等于900,即

n2,i0???900,根据题中数据得tg600?nA,tg300?nB/nA,nA/nB?3 n113． 一束光强为I0的自然光，相继通过三个偏振片P1、P2、P3后出射光强为I0。已知P1和P3的偏振

8化方向相互垂直。若以入射光线为轴旋转P2，要使出射光强为零，P2至少应转过的角度是 ( )

(A) 30?； (B) 45?； (C) 60?； (D) 90?。

解：(B)自然光通过偏振片后为线偏振光,光强为I0/2,线偏振光通过偏振片后的光强用马吕斯定律计算.即tgi0?I0IIIcos2?.I3?I2cos2??0cos2(900??)cos2??0sin22??0 22884． 两偏振片堆叠在一起，一束自然光垂直入射时没有光线通过。当其中一振偏片慢慢转动180?时透射光

I2?I1cos2??强度发生的变化为 ( )

(A) 光强单调增加； (B) 光强先增加，然后减小，再增加，再减小至零； (C) 光强先增加，后又减小至零； (D) 光强先增加，后减小，再增加。 解：(C)由马吕斯定律可得I2?I1cos2??I0??cos2?,?从变化到?? 2225． 一束光强为I0的自然光垂直穿过两个偏振片，且两偏振片的振偏化方向成45?角，若不考虑偏振片的反射和吸收，则穿过两个偏振片后的光强I为 ( )

II2211I0； (B) I0； (C) I0； (D) I0。解：(B)I2?I1cos2??0cos2450?0 4224426．一束自然光自空气射向一块平板玻璃（如图所示）,入射角等于布儒斯特角i0,则在界面2的反射光( )

(A)

(A) 光强为零；

(B) 是完全偏振光，且光矢量的振动方向垂直于入射面； (C) 是完全偏振光，且光矢量的振动方向平行于入射面； (D) 是部分偏振光。

解：(B)tgi0?tg60?n, ?i0???90,?tg??tg(90?i0)?ctgi0?1/tgi0?1/n

?玻璃两侧为空气,界面2与界面1的布儒斯特角互为余角.

7． 自然光以60?的入射角照射到某一透明介质表面时，反射光为线偏振光，则 ( )

(A) 折射光为线偏振光，折射角为30?； (B) 折射光为部分偏振光，折射角为30?； (C) 折射光为线偏振光，折射角不能确定； (D) 折射光为部分偏振光，折射角不能确定。

0解：(B)反射光为线偏振光,入射角为布儒斯特角,有i0???90,所以??300

8?． ABCD为一块方解石的一个截面，AB为垂直于纸面的晶体平面与纸面的交线．光 D A 轴方向在纸面内且与AB成一锐角?，如图所示。一束平行的单色自然光垂直于AB端面

光 入射。在方解石内折射光分解为o光和e光，o光和e光的 ( ) ?? 轴 (A) 传播方向相同，电场强度的振动方向互相垂直； (B) 传播方向相同，电场强度的振动方向不互相垂直； (C) 传播方向不同，电场强度的振动方向互相垂直；

C (D) 传播方向不同，电场强度的振动方向不互相垂直。解：(C) B 二、填空题

1?．以一束待测伦琴射线射到晶面间距为0.282 nm (1 nm = 10-9 m)的晶面族上，测得与第一级主极大的反射光相应的掠射角为17?30?，则待测伦琴射线的波长为_________。解：0.170nm

2．检验自然光、线偏振光和部分偏振光时，使被检验光入射到偏振片上，然后旋转偏振片。若从振偏片射出的光线____________________，则入射光为自然光；若射出的光线____________________，则入射光为部分偏振光；若射出的光线_________________，则入射光为完全偏振光。 解：亮度不变; 亮度改变,但不能消光; 亮度改变,且存在消光位置. 3?． 今有电气石偏振片，它完全吸收平行于长链方向振动的光，但对于垂直于长链方向振动的光吸收20%。当光强为I0的自然光通过该振偏片后，出射光强为___________，再通过一电气石偏振片（作为检偏器）后，光强在__________与__________之间变化。上述两片电气石，若长链之间夹角为60?，则通过检偏后光强为_____________。解：0.4I0,0, 0.32I0, 0.08I0 4?． 在以下五个图中，左边四个图表示线偏振光入射于两种介质分界面上，最右边的一个图表示入射光是自然光。n1、n2为两种介质的折射率，图中入射角i0?arctan(n2/n1)，i?i0。试在图上画出实际存在

32

000i012的折射光线和反射光线，并用点或短线把振动方向表示出来。 i i i0 i0 i0 n1 n1 n1 n1 n1 nn2 n2 n2 2 n2

5． 一束平行的自然光，以60?角入射到平玻璃表面上，若反射光是完全偏振的，则折射光束的折射角为_________；玻璃的折射率为__________。

解：反射光为线偏振光,入射角为布儒斯特角,有i0???900,所以??300,n?tg600?36?． 当光线沿光轴方向入射到双折射晶体上时，不发生___________现象，沿光轴方向寻常光和非寻常光的折射率__________；传播速度___________。解：双折射,相等,相同 ?

7． 线偏振的平行光，在真空中波长为589nm，垂直入射到方解石晶体上，晶体的光轴和表面平行，如图所示。已知方解石晶体对此单色光的折射率为no?1.658，

oene?1.486，在晶体中的寻常光的波长?o?_____________，非寻常光的波长

?e?____________。解：355nm;396nm

方解三、计算题

1．自然光通过两个偏振化方向成60?角的偏振片后，透射光的强度为I1。若在这两个偏振片之间插入另一偏振片，它的偏振化方向与前两个偏振片均成30?角，则透射光强为多少？ 1．解：设入射自然光的强度为I0，所求透射光的强度为I2，由题意可知

119I0cos260??I1, I0cos230?cos230??I2, 联立两式可得 I2?I1 2242． 自然光和线偏振光的混合光束通过一偏振片。随着偏振片以光的传播方向为轴转动，透射光的强度也

跟着改变，最强和最弱的光强之比为6:1，那么入射光中自然光和线偏振光光强之比为多大？

2．解：设入射自然光和线偏振光的强度分别为I0和I，因为随着偏振片的转动自然光的出射光强不变，而线偏振光的光强在0到I之间变化，则由题意可知:,

1/2I0?II2?6,即 0?

1/2I0I53． 水的折射率为1.33，玻璃的折射率为1.50。当光由水中射向玻璃而反射时，起偏振角为多少？当光由

玻璃射向水而反射时，起偏振角又为多少？

3．解：由布儒斯特定律可知,当光由水中射向玻璃而反射时，起偏振角为:iB?arctan 当光由玻璃射向水而反射时，起偏振角为:iB?arctan1.50?48.44? 1.331.33?41.56? 1.504?． 如图所示，一块折射率n?1.50的平面玻璃浸在水中，已知一束光入射到水面时反射光是完全偏振光。若要使玻璃表面的反射光也是完全偏振光，则玻璃表面与水平面的夹角?应为多大？ 4．解：设光线由空气入射到水面时的入射角为i，折射角为r，由水中入射到玻璃表面时的入射角为iB，则由布儒斯特定律及题意可得：

1.50?48.44? 1.33sinii?nsinr 可得 r?arcsin(?)3?6.由折射定律 sin 94n???0iB?(?9r0?)]? 1由几何关系可得 ??90?[18?i?arctan1.33?53.06?, iB?arctann?5?． 用方解石切割成一个60?的正三角棱镜，光轴垂直于棱镜的正三角截面。设自然光的入射角为i，而e光在棱镜内的折射线与镜底边平行，如图所示。已知ne?1.49，no?1.66。求 （1）入射角i；（2）o光在方解石中的折射角，并在图中画出o光的光路。 ?5．解：设e光的折射角为re，o光的折射角为ro，由题意知re?30

60?i?nesireni?nosiron 由折射定律 sin sinn得 i?arcsine( ro?arcsin(

iersnei?)sini?)noarcsi?n0.7?4 50.745?arcsin? 26.671.6633

练习 十九 知识点：理想气体状态方程、温度、压强公式、能量均分原理、理想气体内能 一、选择题

1． 容器中储有一定量的处于平衡状态的理想气体，温度为T，分子质量为m，则分子速度在x方向的分量平均值为 （根据理想气体分子模型和统计假设讨论） ( )

（A）?x?18kT； （B）?x?3πm8kT3kT； （C）?x?； （D）?x?0。

2m3πm解:(D)平衡状态下,气体分子在空间的密度分布均匀,沿各个方向运动的平均分子数相等,分子速度在各个方

向的分量的各种平均值相等,分子数目愈多,这种假设的准确度愈高.

2． 若理想气体的体积为V，压强为p，温度为T，一个分子的质量为m，k为玻耳兹曼常量，R为摩尔气体常量，则该理想气体的分子数为 （ ）

（A）pV/m； （B）pV/(kT)； （C）pV/(RT)； （D）pV/(mT)。 解: (B)理想气体状态方程pV?MRT?NmRT?NRT?NkT

MmolNAmNA3．根据气体动理论，单原子理想气体的温度正比于 （ ）

（A）气体的体积； （B）气体的压强；

（C）气体分子的平均动量；（D）气体分子的平均平动动能。

13解: (D)?k?mv2?kT (分子的质量为m)

224．有两个容器，一个盛氢气，另一个盛氧气，如果两种气体分子的方均根速率相等，那么由此可以得出下列结论，正确的是 （ ）

（A）氧气的温度比氢气的高； （B）氢气的温度比氧气的高； （C）两种气体的温度相同； （D）两种气体的压强相同。 解:(A) ?k?mO2TO2123,(分子的质量为m) ?mv?kTmH2TH2225．如果在一固定容器内，理想气体分子速率都提高为原来的2倍，那么 （ ）

（A）温度和压强都升高为原来的2倍；

（B）温度升高为原来的2倍，压强升高为原来的4倍； （C）温度升高为原来的4倍，压强升高为原来的2倍； （D）温度与压强都升高为原来的4倍。 解:(D)根据公式p?1nmv2,p?nkT即可判断. (分子的质量为m) 36．一定量某理想气体按pV2＝恒量的规律膨胀，则膨胀后理想气体的温度 （ ） （A）将升高； （B）将降低； （C）不变； （D）升高还是降低，不能确定。 解:(B) pV2＝恒量, pV/T＝恒量,两式相除得VT＝恒量 二、填空题 1．质量为M，摩尔质量为Mmol，分子数密度为n的理想气体，处于平衡态时，状态方程为_______________，状态方程的另一形式为_____________，其中k称为____________常数。 解: pV?MRT; p?nkT;玻耳兹曼常数

Mmol2．两种不同种类的理想气体，其分子的平均平动动能相等，但分子数密度不同，则它们的温度 ，压强 。如果它们的温度、压强相同，但体积不同，则它们的分子数密度 ，单位体积的气体质量 ，单位体积的分子平动动能 。（填“相同”或“不同”）。 解: 平均平动动能?k?123mv?kT,p?nkT?相同,不同;相同,不同;相同. (分子的质量为m) 223．理想气体的微观模型：

（1）___________________________________；（2）____________________________________； （3）____________________________。简言之理想气体的微观模型就是____________________。

解: (1)气体分子的大小与气体分子间的距离相比较,可以忽略不计.(2)气体分子的运动服从经典力学规律.在碰撞中,每个分子都可以看作完全弹性的小球.(3)除碰撞的瞬间外,分子间相互作用力可以忽略不计。简言之:气体分子是自由地、无规则地运动着的弹性分子的集合。

34

4．氢分子的质量为3.3?10g，如果每秒有10个氢分子沿着与容器器壁的法线成45?角方向以10cm/s的速率撞击在2.0cm2面积上（碰撞是完全弹性的），则由这些氢气分子产生的压强为_________________。

?24235

2Nmvcos?2?1023s?1?3.3?10?27kg?103ms?1?0.70732解: (分子的质量为m) ??2.33?10N/m?42S2?10m5．宏观量温度T与气体分子的平均平动动能?k的关系为?k=___，因此，气体的温度是_______的量度。 解:?k??

3kT, 分子的平均平动动能(分子无规则热运动的程度) 26．储有氢气的容器以某速度v作定向运动，假设该容器突然停止，气体的全部定向运动动能都变为气体分子热运动的动能，此时容器中气体的温度上升 0.7 K ,则容器作定向运动的速度v =__________m/s，容器中气体分子的平均动能增加了__________J。 解:

1MiiR?T5?8.31?0.7Mv2?R?T,v???120.6m/s ?32Mmol2Mmol2?10分子的平均动能(平动动能+转动动能)增加

i5k?T??1.38?10?23?0.7?2.42?10?23J 22三、计算题

1．有一水银气压计，当水银柱高度为0.76m时，管顶离水银柱液面为0.12m。管的截面积为2.0?10?4m2。当有少量氦气混入水银管内顶部，水银柱高度下降为0.60m。此时温度为27℃，试计算有多少质量氦气在管顶？（氦气的摩尔质量为0.004kg/mol，0.76m水银柱压强为1.013?105Pa）

解：设管顶部氦气压强为p,p?0.16mHg?0.16?1.013?105?2.13?104pa

0.76 V?0.28?2.0?10?4?5.6?10?5m3 由理想气体状态方程pV?MRT可得, MmolpVMmol2.13?104?5.6?10?5?0.004??1.91?10?6(kg) M?RT8.31?(27?273)2．一瓶氢气和一瓶氧气温度相同。若氢气分子的平均平动动能为?k= 6.21310

?21

J。求：

(1) 氧气分子的平均平动动能和方均根速率；

23?1?23?1

(2) 氧气的温度。(阿伏伽德罗常量NA＝6.022310 mol，玻尔兹曼常量k＝1.38310 J2K) 解：(1) 温度相同,分子的平均平动动能相同

?k?kT?mv2?6.21?10?21J,(分子的质量为m)

3212v?22?k?m2?kNA?Mmol2?6.21?10?21?6.022?1023?484m/s

32.0?10?32?k2?6.21?10?21(2) 氧气的温度 T???300K ?233k3?1.38?103．（1）有一带有活塞的容器中盛有一定量的气体，如果压缩气体并对它加热，使它的温度从27℃升到177℃、体积减少一半，求气体压强变为原来的几倍？（2）这时气体分子的平均平动动能变为原来的几倍？分子的方均根速率变为原来的几倍？

解：(1) 根据理想气体状态方程,由题意可知

MVM??RT,p??RT?,p?2T?2(273?177)?3,p??3p Mmol2MmolpT3003?k?T?273?1733????kT???1.5 (2) 根据分子平均平动动能公式可知 ?k?kT,k,

?kT273?2722pV?根据方均根速率公式v2?3RT3RT?,v?2?,v?2/v2?T?/T?3/2?1.225 MmolMmol4． 水蒸气分解为同温度T的氢气和氧气H2O →H2＋

11O2时，1摩尔的水蒸气可分解成1摩尔氢气和摩22尔氧气。当不计振动自由度时，求此过程中内能的增量。

35

解：水蒸汽的自由度i?6，EH2O?Mi?RT?3RT Mmol2 氢气和氧气的自由度均为5，EH2?EO2? 内能的增量?E?51515RT??RT?RT 22245．有 2310?3 m3刚性双原子分子理想气体，其内能为6.753102 J。(1) 试求气体的压强；(2) 设分子总数

22

为 5.4310个，求分子的平均平动动能及气体的温度。 解：（1）因为PV?153RT?3RT?RT 44MM55RT，内能E?RT?N?kT。 MmolMmol222E2?6.75?10252所以 p? ??1.35?10N/m?35V5?2?10332E3E3?6.75?102（2）分子的平均平动动能?k?kT?????7.5?10?21J 22225N5N5?5.4?1033?k?kT??1.38?10?23?T?7.5?10?21J，T?362K

226．一容器被中间的隔板分成相等的两半，一半装有氦气，温度为250K；另一半装有氧气，温度为310K，

二者压强相等。求去掉隔板两种气体混合后的温度。

解：设氦气、氧气的摩尔数分别为?1、?2，根据理想气体状态方程可知

pV?TV??1RT1,p??2RT2,2?1

2?1T22 将系统进行的过程近似地看成绝热过程,又因系统对外不作功,内能守恒

??E2?,?1 E1?E2?E13535RT1??2RT2??1RT??2RT, 22228T1T23?T?5?2T23T1?5(?2/?1)T23T1?5(T1/T2)T2??284.4k T?11??3T2?5T13?1?5?23?5(?2/?1)3?5(T1/T2)练习 二十 知识点：麦克斯韦速率分布律、三个统计速率、平均碰撞频率和平均自由程 一、选择题

1． 在一定速率?附近麦克斯韦速率分布函数 f(?)的物理意义是：一定量的气体在给定温度下处于平衡态时的 （ ）

（A）速率为?的分子数；

（B）分子数随速率?的变化；

（C）速率为?的分子数占总分子数的百分比；

（D）速率在?附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比。

解：(D) f(v)?dN,速率在v附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比

Ndv2． 如果氢气和氦气的温度相同，摩尔数也相同，则 （ ）

（A）这两种气体的平均动能相同； （B）这两种气体的平均平动动能相同； （C）这两种气体的内能相等； （D）这两种气体的势能相等。

解：(B) 平均动能=平均平动动能+转动动能,氦气为单原子分子,i?3;氢气为双原子(刚性)分子, i?5 3． 在恒定不变的压强下，理想气体分子的平均碰撞次数z与温度T的关系为 ( ) （A）与T无关； （B）与T成正比； （C）与T成反比； （D）与T成正比； （E）与T成反比。

8R 解：(C)z?2vn?d2?28RTp?d2?2?d2p?MmolkT?MmolT4． 根据经典的能量按自由度均分原理，每个自由度的平均能量为 （ ）

（A）kT/4； （B）kT/3； （C）kT/2； （D）3kT/2； （E）kT。 解：(C)

5． 在20℃时，单原子理想气体的内能为 （ ）

（A）部分势能和部分动能； （B）全部势能； （C）全部转动动能； （D）全部平动动能； （E）全部振动动能。

36

解：(D)单原子分子的平动自由度为3,转动自由度0, 振动自由度为0

6． 1mol双原子刚性分子理想气体，在1atm下从0℃上升到100℃时，内能的增量为 （ ）

（A）23J； （B）46J； （C）2077.5J； （D）1246.5J； （E）12500J。 解：(C)?E?二、填空题

1．f(?)为麦克斯韦速率分布函数，

Mi5R?T?1??8.31?100?2077.5J

Mmol22???pf(?)d?的物理意义是_____________，??0m?2f(?)d?的物理2意义是__________，速率分布函数归一化条件的数学表达式为___________，其物理意义是_________。 解：

?dNdNdv??vp?vpN,vp~?速率区间内分子数占总分子数的百分率; vpNdv22??mv?mvdN,速率区间内分子的平均平动动能; 0~?f(v)dv?1;速率在0~?内的分子?02f(v)dv ??02N 0?f(v)dv????数占总分子数的比率为1。

2． 同一温度下的氢气和氧气的速率分布曲线如右图所示，其中曲线1为_____________的速率分布曲线，__________的最概然速率较大（填“氢气”或“氧气”）。若图中曲线表示同一种气体不同温度时的速率分布曲线，温度分别为T1和T2且T1

3．设氮气为刚性分子组成的理想气体，其分子的平动自由度数为_________，转动自由度为_________；分子内原子间的振动自由度为__________。解：3;2;0

4．在温度为27℃时，2mol氢气的平动动能为 ，转动动能为 。

3解：分子平动自由度3, 平动动能为2NA?k?2NA?kT?3RT?3?8.31?300?7479J

2分子转动自由度2, 转动动能为2NA?kT?2RT?2?8.31?300?4986J

5． 1mol氧气和2mol氮气组成混合气体，在标准状态下，氧分子的平均能量为_________，氮分子的平均能量为____________；氧气与氮气的内能之比为____________。 解：氧气、氮气均为双原子分子,自由度为5,因此

??55MikT??1.38?10?23?273?9.42?10?21J;??9.42?10?21J; E?RT ?1:2 22Mmol26．2 mol氮气，由状态A(p1,V)变到状态B(p2,V)，气体内能的增量为__________。 解：内能E?Mii5RT?PV,内能的增量?E?(P2?P1)V

Mmol222三、计算题

?

1． 设氢气的温度为300℃。求速率在3000m/s到3010m/s之间的分子数N1与速率在?p到?p+10m/s之间的分子数N2之比。

解：根据麦克斯韦速率分布函数可得

?Nm3/2?4?()eN2?kT?mv22kTv2?v?4v2)ev?p(?(v2)vp?v(分子的质量为m) vp?(30002)vpN1?N430002)ev?p(?(30002)vpN30002104?110)e，1?(,N2?NeNvvpv?2pp3000?e,

vp?2RT/Mmol?

N130002?(2183)2?2183m/s，?()e?e?0.78,

N22183?(mgh)kT2．假定大气层各处温度相同均为T，空气的摩尔质量为Mmol，试根据玻尔兹曼分布律n?n0?e，

pRT?ln0。并求上升到什么高度处，大气的压证明大气压强p与高度h(从海平面算起)的关系是h?Mmolgp强减到地面的75%。

37

解：p?nkT?n0kTe?mgh/kT?p0e?mgh/kT,h? h?RTpln0(分子的质量为m)

MmolgpRTp0RT4ln?ln Mmolg0.75p0Mmolg33?．导体中自由电子的运动类似于气体分子的运动。设导体中共有N个自由电子。电子气中电子的最大速率?F叫做费米速率。电子的速率在?与?+d?之间的概率为：

?4??2AdV ( ? F???0)

dN??N?N?? ? ?F)?0 ( 式中A为归一化常量。（1）由归一化条件求A。（2）证明电子气中电子的平均动能

2?k?(m?F)?EF，此处EF叫做费米能。

33NdN3v2dvA4?v2Adv4?vFA?解：(1)?f(v)dv?1, ?,??1，?3 3004?vFN3NNvFV13Vv4dv3?12?32(2)?k??mvf(v)dv?m???mvF??EF 302025?2vF?5315235?vFFF4．今测得温度为t1＝15℃，压强为p1＝0.76 m汞柱高时，氩分子和氖分子的平均自由程分别为：?Ar＝ 6.7310 m和?Ne=13.2310 m，求：

(1) 氖分子和氩分子有效直径之比dNe / dAr＝？

(2) 温度为t2＝20℃，压强为p2＝0.15 m汞柱高时，氩分子的平均自由程?Ar＝？

2?ArdNed?Ar6.7??0.712 ?2,Ne?解：(1)??,

2d?13.2?d2?dnArNeNeAr/?8

?8

1(2) ????ArT2p1293?0.76??5.15?Ar?3.45?10?7m ， ?Ar????5.15p2T10.15?2882?d2p?ArkT,

?3?105．真空管的线度为 10?2m，其中真空度为1.33?10pa，设空气分子的有效直径为3?10m。求：

（1）温度为27℃时单位体积内的空气分子数；（2）平均碰撞频率；（3）平均自由程。

p1.33?10?38RT8?8.31?300173解：(1)n?,(2)??3.21?10个/mv???467m/s，

kT1.38?10?23?300?Mmol3.142?0.0289z?2?d2vn?2?3.14?9?10?20?467?3.21?10?17?59.7s?1 ，(3)??v?z12?dn2?7.82m

练习 二十一 知识点：热力学第一定律及其应用、绝热过程 p(atm)A32一、选择题

1． 如图所示为一定量的理想气体的p—V图，由图可得出结论 ( C ) 1（A）ABC是等温过程； （B）TA>TB； o（C）TA

解：(C)pAVA?pCVC?TA?TC;过A、C作等温线,B在过A、C的等温线之上。

BCV(10?3m3)1232． 一定量的理想气体，处在某一初始状态，现在要使它的温度经过一系列状态变化后回到初始状态的温度，可能实现的过程为 （ D）

（A）先保持压强不变而使它的体积膨胀，接着保持体积不变而增大压强； （B）先保持压强不变而使它的体积减小，接着保持体积不变而减小压强；

（C）先保持体积不变而使它的压强增大，接着保持压强不变而使它体积膨胀； （D）先保持体积不变而使它的压强减小，接着保持压强不变而使它体积膨胀。

解：(D)作等温线,由于末状态和初状态温度相同,状态变化过程的起点、终点应在同一等温线上。

3． 气体的摩尔定压热容Cp大于摩尔定体热容CV，其主要原因是 （ C ）

（A）膨胀系数不同； （B）温度不同； （C）气体膨胀需作功； （D）分子引力不同。 解：(C)根据热力学第一定律可知,对等容过程QV??E;对等压过程Qp??E?A。

4． 压强、体积和温度都相同（常温条件）的氧气和氦气在等压过程中吸收了相等的热量，它们对外作的功之比为 （ C ）

38

（A）1:1； （B）5:9； （C）5:7； （D）9:5。

解：(C)氧气为双原子分子, 氦气为单原子分子.由等压过程吸热和作功的表达式:

AQpRMMR/(7RT/2)5?O2?Qp?Cp?T,A?p?V?R?T?A??。 CpMmolAHeR/(5RT/2)7Mmol5． 一摩尔单原子理想气体，从初态温度T1、压强p1、体积V1，准静态地等温压缩至体积V2，外界需作

多少功？ （ B ）

（A）RT1ln(V2/V1)；（B）RT1ln(V1/V2)；（C）p1(V2?V1)；（D）(p2V2? p1V1)。

解：(B)

pV?MVVRT,A外???pdV??MRT1?1dV?MRT1lnV1 。

VVVMmolMmolMmolV22211pa6． 在p—V图上有两条曲线abc和adc，由此可以得出以下结论： b （D）

d（A）其中一条是绝热线，另一条是等温线；（B）两个过程吸收的热量相同； cV（C）两个过程中系统对外作的功相等；（D）两个过程中系统的内能变化相同。 o解：(D)对于一定质量的气体,内能是温度的单值函数。

7． 1mol的单原子分子理想气体从状态A变为状态B，如果不知是什么气体，变化过程也不知道，但A、B两态的压强、体积和温度都知道，则可求出： （ D ） pbp1(A) 气体所作的功； (B) 气体内能的变化；

(C) 气体传给外界的热量； (D) 气体的质量。 解：(B) 对于一定质量的气体,内能是温度的单值函数。 cp0a二、填空题

V1． 一定量的理想气体从同一初态a(p0,V0)出发，分别经两个准静态过程ab和ac，boV0V1点的压强为p1，c点的体积为V1，如图所示，若两个过程中系统吸收的热量相同，则该气体的比热容比? =Cp/CV=_________________。

pMM解：Qab?Cp(Tc?Ta), CV(Tb?Ta), Qac?cbMmolMmolCMpV?pV?p/p?1?pV?pV pV?RT, ?CV?10?00??Cp?01?00?,??p?10daMmolR?R?CVV1/V0?1?R?RoV2． 如图所示，一理想气体系统由状态a沿acb到达状态b，系统吸收热量350J，

而系统做功为130J。

（1）经过过程adb，系统对外做功40J，则系统吸收的热量Q=____________。 （2）当系统由状态b沿曲线ba返回状态a时，外界对系统做功为60J，则系统吸收的热量Q=________。 解：根据热力学第一定律求解:?Eab?Qacb?Aacb?350?130?220J,

Qadb?Aadb??Eab?40?220?260J,Qba?Aba??Eba??60?220??280J

3?． 对下表所列的理想气体各过程，并参照下图，填表判断系统的内能增量?E，对外作功A和吸收热量Q的正负（用符号?，?，0表示）： p绝热线p过程 A Q a?E cd等温线等体减压 0 ? ? 等压压缩 a? ? ? bbc绝热膨胀 + 0 VV? oo图(a) a→b→c 0 ? ? 图(a)图(b)a→b→c ? + ? 图(b) a→d→c ? + + 4．不规则地搅拌盛于绝热容器中的液体，液体温度在升高，若将液体看作系统，则：

(1) 外界传给系统的热量_________零；(2) 外界对系统作的功__________零； (3) 系统的内能的增量___________零；（填大于、等于、小于） 解：等于零；大于零；大于零；

5．压强、体积和温度都相同的氢气和氦气(均视为刚性分子的理想气体)，它们的质量之比为m1∶m2 =__________，它们的内能之比为E1∶E2 =__________，如果它们分别在等压过程中吸收了相同的热量，则它们对外作功之比为A1∶A2 =__________。(各量下角标1表示氢气，2表示氦气) 解：pV?mM21miiEi5mRT?pV,1?1?; RT,1?1mol??;E?m2M2mol42Mmol22E2i23MmolQpRmmR?T?A?Qp?Cp?T,A?p?V?CpMmolMmol

39

?

AO2AHe?R/(7RT/2)5?

R/(5RT/2)7三、计算题

1． 标准状态下的0.014kg氮气，压缩为原体积的一半，分别经过（1）等温过程，（2）绝热过程，（3）等压过程。试计算在这些过程中气体内能的改变、吸收的热量和对外界所作的功。 解：(1) 等温过程，内能不变， ?E?0

V吸收的热量和对外界所作的功Q?A?MRTln2?0.5?8.31?273?ln1??786J

MMolV12?V1?T??1??1(2) 绝热过程，根据绝热方程2????2,T?2T1?360K, 2?T1?V?2?内能的改变?E?MCV?T?M5R?T?0.5?5?8.31?(360?273)?904J

MMolMMol22吸收的热量Q?0, 对外界所作的功A???E??904J (3)等压过程

??1V1V1V2?，T2?2T1?T1 T1T2V12MM55273CV?T?R?T?0.5??8.31?(?273)??1418J MMolMMol222MM273气体对外界所作的功为A?p?V?R?T?R?T?0.5?8.31?(?273)??565J MMolMMol2吸收的热量为 Q??E?A??198J3

内能增量?E?2． 2 mol双原子分子理想气体从状态A(p1,V1)沿p ?V图所示直线变化到状态B(p2,V2)，试求： (1) 气体的内能增量；(2) 气体对外界所作的功；(3) 气体吸收的热量； p解：(1) 内能增量?E?MiR(T2?T1)?5(p2V2?p1V1)

Mmol22Bp2 (2) 功等于直线AB下的面积A?1(p2V2?p1V1) 2p1OA (3) 根据热力学第一定律得 Q?A??E?3(p2V2?p1V1) 3．如果一定量的理想气体，其体积和压强依照V?a/p的规律变化，其

V1V2V

中a为已知常量。试求： (1) 气体从体积V1膨胀到V2所作的功； (2) 气体体积为V1时的温度T1与体积为V2时的温度T2之比。

2V2V2aT1V2a2M1?2?1??解：A??pdV??， , ??dV?a??pV??RT?VV?V1V1V2TVVM2??121mol4． 有单原子理想气体，若绝热压缩使其容积减半，问气体分子的平均速率变为原来的速率的几倍？若为双原子理想气体，又为几倍？ 解：根据绝热方程T1V1??1?T2V2??1?V1?T由题意知，2????T1?V?2???12??1?2??1

v2T8RT?2?2根据平均速率公式v?得,

v1T1?Mmol单原子??

i?27v2i?25v2?,?21/5?1.15 ?,?21/3?1.26;双原子??i5v1i3v15．温度为27℃、压强为1 atm的2 mol刚性双原子分子理想气体，经等温过程体积膨胀至原来的3倍。

(1) 计算这个过程中气体对外所作的功；

(2) 假若气体经绝热过程体积膨胀为原来的3倍，那么气体对外作的功又是多少？ 解：(1) 等温过程中的功 A?MVRTln2?2?8.31?300?ln3?5478J MMolV1??1?V1?T?(2) 根据绝热方程得 2???T1?V2?? 绝热过程 A??E?0

1?3??1,T2?3???1T1?3?7/5?1T1?0.644?300?193K

A???E??

MM55CV?T??R?T??2??8.31?(193?300)?4446J MMolMMol2240

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