2003年高考试题 - 数学文（全国卷）及答案

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

数学（文史类）

注意事项：

1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．

2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．

3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：

三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式

11 sin??cos??[sin(???)?sin(???)] S台侧?(c??c)l 其中c?、c分别表示 221cos??sin??[sin(???)?sin(???)] 上、下底面周长，l表示斜高或母线长.

214cos??cos??[cos(???)?cos(???)] 球体的体积公式：V球??R3 ，其中R

231sin??sin???[cos(???)?cos(???)] 表示球的半径.

2本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第Ⅰ卷（选择题共60分）

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．直线y?2x关于x对称的直线方程为 （ ） （A）y??1x （B）y?1x （C）y??2x （D）y?2x

22??，42．已知x??，则tg2x? （ ） ?,0cosx???5?2?24 （A）7 （B）?7 （C）24 （D）?

7242473．抛物线y?ax的准线方程是y?2,则a的值为 （ ）

211 （B）? （C）8 （D）?8 8814．等差数列?an?中，已知a1?,a2?a5?4,an?33,则n为（ ）

3 （A）

（A）48 （B）49 （C）50 （D）51

5．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1,F2,?FMF12?120?，则双曲线的离心率为（ ） （A）3 （B）663 （C） （D） 233 1

?2?x?1x?0?6．设函数f(x)??1 ，若f(x0)?1，则x0的取值范围是 （ ） 2x?0??x （A）（?1，1） （B）（?1，??）

（C）（??，?2）?（0，??） （D）（??，?1）?（1，??） 7．已知f(x5)?lgx,则f(2)?（ ）

（A）lg2 （B）lg32 （C）lg11 （D）lg2

5328．函数y?sin(x??)(0????)是R上的偶函数，则??（ ） （A）0 （B）

?? （C） （D）? 429．已知点(a,2)(a?0)到直线l:x-y?3?0的距离为1，则a?（ ） （A）2 （B）2?2 （C）2?1 （D）2?1 10．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为

3R，该圆柱的全面积为（ ） 45829

（A）2?R （B）?R2 （C）?R2 （D）?R2

234

11．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为?的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P4（入射角等于反射3和P角）若P4与P0重合，则tg?= （ ）

（A）1 （B）

321 （C） （D）1 5212．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） （A）3? （B）4? （C）33? （D）6?

2003年普通高等学校招生全国统一考试

数 学（文史类）

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上 13．不等式4x?x2?x的解集是____________________.

914．(x2?1)9的展开式中x系数是 ________ . 2x15．在平面几何里，有勾股定理：“设?ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB2?AC2?BC2”拓展到空间，类比 2

平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A?BCD的三个侧面AB、C、AC两两互相垂直，则______________________________________________.” 16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域

不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法2 共有 种5 _______________________（以数字作答）

3 1

4

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分）

已知正四棱柱ABCD?A1BC11D1，AB?1，AA1?2，点E为CC1中点，点F为BD1点中点 （Ⅰ）证明EF为BD1与CC1的公垂线 DC

（Ⅱ）求点D1到面BDE的距离 A

B E

F D C

M 18．（本小题满分12分）

A B

已知复数z的辐角为60?，且|z?1|是|z|和|z?2|的等比中项，求|z|. 19．（本小题满分12分）

已知数列?a?1n?满足a1?1,an?3n?an?1(n?2). （Ⅰ）求a2,a3；

3n（Ⅱ）证明a?1n?2 20．（本小题满分12分）

y 已知函数f(x)?2sinx(sinx?cosx) （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和最大值； （Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数区间?????2,??2?上的图象? ??O ?x

22 21．（本小题满分12分）

3

y?f(x)在

在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南?(cos??2)方向

10300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45?方向y 北 移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风东O 的侵袭？ O x ?海

岸 O

线

P r(t) 45? P 22．（本小题满分14分）

已知常数a?0，在矩形ABCD中，AB?4，BC?4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且BE?CF?DC，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离

BCCDDA的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由

y

C D F

E P G

x O A B

2003年普通高等学校招生全国统一考试

数学试题（文）参考解答及评分标准

说明：

一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

4

三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四. 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.

1．C 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D 7．D 8．C 9．C 10．B 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. 13．(2,4] 14．?212222 15．S?ABC?S?ACD?S?ADB?S?BCD 16．72 2三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（I）证明：取BD中点M，连结MC，FM，

∵F为BD1中点， ∴FM∥D1D且FM=又EC=

1D1D 21CC1，且EC⊥MC， 2∴四边形EFMC是矩形 ∴EF⊥CC1 又CM⊥面DBD1 ∴EF⊥面DBD1 ∵BD1?面DBD1，

∴EF⊥BD1 故EF为BD1与CC1的公垂线 （II）解：连结ED1，有V

由（I）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d，

则S△DBC·d=S△DCD1·EF. ∵AA1=2·AB=1.

?BD?BE?ED?2,EF?2 2?S?DBD1?1133 ?2?2?2,S?DBC???(2)2?222223. 3故点D1到平面BDE的距离为

??18．解：设z=r(cos60?isin60),则复数z的实邻为

r 2?z?z?r,zz?r2 由题设|z?1|2?|z|?|z?2|

即(z?1)(z?1)?|z|(z?2)(z?2) r2?r?1?rr2?2r?4

r2?2r?1?0解得r?2?1r??2?1（舍去） 即|z|=2?1

219．（I）解∵a1?1,?a2?3?1?4,a3?3?4?13

（II）证明：由已知an?an?1?3n?1,故

an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1

5

=3

n?1?3n?23n?1???3?1?.

23n?1 所以an?

220．解（I）f(x)?2sin2x?2sinxcosx?1?cos2x?sin2x ?1?2(sin2x?cos

??cos2xsin)?1?2sin(2x?) 444??所以函数f(x)的最小正周期为π，最大值为1?2.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 x y ?3? 81 ??8 ? 81 3? 85? 81 1?2 1?2 故函数y?f(x)在区 间[?

21．解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向. 在时刻：t（h）台风中心P(x,y)的坐标为

??,]上的图象是 22?22?20?t,?x?300??102 ??y??300?72?20?2t.?102? 此时台风侵袭的区域是(x?x)2?(y?y)2?[r(t)]2，其中r(t)?10t+60， 若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有

(0?x)2?(0?y)2?(10t?60)2,

即(300?2227222?20?t)?(?300??20?t)?(10t?60)2, 1021022即t?36t?288?0， 解得12?t?24.

答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭

22．解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到定点距离

6

的和为定值.

按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）

设

BECFDC???k(0?k?1)， BCCDDA由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）. 直线OF的方程为：2ax?(2k?1)y?0， ① 直线GE的方程为：?a(2k?1)x?y?2a?0. ②

从①，②消去参数k，得点P（x，y）坐标满足方程2a2x2?y2?2ay?0，

22x(y?a)整理得??1. 21a21时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 212当a?时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长.

2当a?2当a2?111时，点P到椭圆两个焦点(??a2,a),(?a2,a)的距离之和为定值2. 222111时，点P到椭圆两个焦点(0,a?a2?），（0，a?a2?)的距离之和为定值2a. 222当a2?

7

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/rqp6.html