2011年北京市海淀区高三数学一模试题（理科）

北京市海淀区2011年高三年级第二学期期中练习

数 学 （理科） 2011.4

选择题 （共40分）

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要

求的一项.

21、已知集合A?x?R0?x?3，B?x?Rx?4，则A?B?

????A. x2?x?3 B. x2?x?3 C. xx??2或2?x?3 D. R 2．已知数列?an?为等差数列，Sn是它的前n项和.若a1?2，S3?12，则S4? A．10 B．16 C．20 D．24

3. 在极坐标系下，已知圆C的方程为ρ?2cosθ，则下列各点在圆C上的是 π??A．?1,??

3??3π??C．?2,?

4???π? B． ?1,?

?6?5π?? D． ?2,?

4??开始??????输入xn?1n?n?1x?2x?14．执行如图所示的程序框图，若输出x的值为23，则输入的x值为 A．0 B．1 C．2 D．11 5．已知平面????l，m是?内不同于l的直线，那么下列命题中 错误的是 ．．

A．若m//?，则m//l B．若m//l，则m//? C．若m??，则m?l D．若m?l，则m?? 6. 已知非零向量a,b,c满足a?b?c?０，向量a,b的夹角为120，且|b|?2||a，则向量a与c的夹角为

?n≤3否是输出x结束A．60 B．90 C．120

2???D． 150

?7.如果存在正整数?和实数?使得函数f(x)?cos(?x??)（?，?为常数）的图象如图所示（图象经过点（1,0）），那么?的值为 A．1 B．2 C． 3 D. 4

22228．已知抛物线M：y=4x，圆N：(x?1)?y?r（其中r为常数，r?0）.

y12O1x过点（1，0）的直线l交圆N于C、D两点，交抛物线M于A、B两点，且满足

AC?BD的直线l只有三条的必要条件是

A．r?(0,1] B．r?(1,2] C．r?(,4) D．r?[,??)

3232

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非选择题（共110分）

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.

3?i? . 9．复数1?i10.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1，s2，s3 频率组距 0.0008 0.0006 0.0004 0.0002 O

，

则它们的大小关系为 . （用“?”连接）

频率组距0.0008频率组距0.00080.00060.00040.00020.00060.00040.0002100015002000250030003500元O100015002000250030003500元O100015002000250030003500元甲乙丙A11．如图，A，B，C是⊙O上的三点，BE切⊙O于点B， D是CE与⊙O的交点.若

?BAC?70?，则?CBE?______；若BE?2，CE?4，

则CD? .

BOCDE12.已知平面区域D?{(x,y)|?1?x?1,?1?y?1}，在区域D内任取一点，则取到的点位于直线y?kx（k?R）下方的概率为____________ .

13.若直线l被圆C:x2?y2?2所截的弦长不小于2，则在下列曲线中：

x2?y2?1 ④ x2?y2?1 ①y?x?2 ② (x?1)?y?1 ③ 2与直线l一定有公共点的曲线的序号是 . （写出你认为正确的所有序号） 14．如图，线段AB=8，点C在线段AB上，且AC=2，P为线段CB上一动点，点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D.设CP=x， △CPD的面积

222DAC为f(x).则f(x)的定义域为 ； f'(x)的零点是 .

PB

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三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

15. （本小题共13分）

在?ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知tanB?(Ⅰ)求tanA； (Ⅱ)求?ABC的面积.

16. （本小题共14分）

在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE?EB,AD//EF，EF//BC，

11，tanC?，且c?1. 23BC?2AD?4，EF?3，AE?BE?2， G是BC的中点．

AD(Ⅰ) 求证：AB//平面DEG；

(Ⅱ) 求证：BD?EG；

(Ⅲ) 求二面角C?DF?E的余弦值.

FE

GCB

17. （本小题共13分）

某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为

2.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品. 3(Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；

(Ⅱ)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列； (Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.

18. （本小题共13分）

已知函数f(x)?x?alnx，g(x)??（Ⅰ）若a?1，求函数f(x)的极值；

（Ⅱ）设函数h(x)?f(x)?g(x)，求函数h(x)的单调区间；

(Ⅲ)若在?1,e?（e?2.718...）上存在一点x0，使得f(x0)?g(x0)成立，求a的取值范围.

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1?a, (a?R). x

19. （本小题共14分）

x2y231已知椭圆C:2?2?1 (a?b?0)经过点M(1,),其离心率为.

22ab （Ⅰ）求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设直线l:y?kx?m(|k|?1)与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA,OB为邻边作平行四边形2OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点.求OP的取值范围.

20. （本小题共13分）

已知每项均是正整数的数列A：a1,a2,a3,?,an，其中等于i的项有ki个(i?1,2,3???)， 设bj?k1?k2???kj (j?1,2,3?)，g(m)?b1?b2???bm?nm(m?1,2,3???).

（Ⅰ）设数列A:1,2,1,4，求g(1),g(2),g(3),g(4),g(5)；

（Ⅱ）若数列A满足a1?a2???an?n?100，求函数g(m)的最小值.

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数 学（理）

答案及评分参考 2011．4

选择题 （共40分）

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分） 题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 C 5 D 6 B 7 B 8 D 非选择题 （共110分）

二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）

9.1?2i 10. s1>s2>s3 11. 70?； 3 12.

1 13. ① ③ 14. (2,4); 3 2第 4 页 （共 11 页）

三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.（共13分） 解：（I）因为tanB?11tanB?tanC，tanC?,tan(B?C)?, ???????1分

1?tanBtanC2311?23?1 . ???????3分 代入得到，tan(B?C)?111??23因为A?180??B?C , ???????4分 所以tanA?tan(180??(B?C))??tan(B?C)??1. ???????5分 （II）因为0??A?180?，由（I）结论可得：A?135? . ???????7分 因为tanB?11?tanC??0，所以0??C?B?90? . ????8分 23所以sinB?105. ????9分 ,sinC?105由

ac?得a?5， ???????11分 sinAsinC11acsinB?. ??????13分 22A所以?ABC的面积为：

16. （共14分）

D解：(Ⅰ)证明：∵AD//EF,EF//BC， ∴AD//BC.

又∵BC?2AD,G是BC的中点， ∴AD//BG，

GB ∴四边形ADGB是平行四边形，

∴ AB//DG. ?????2分 ∵AB?平面DEG，DG?平面DEG，

∴AB//平面DEG. ???????4分 (Ⅱ) 解法1

证明：∵EF?平面AEB，AE?平面AEB，

∴EF?AE，

CEHF又AE?EB,EB?EF?E，EB,EF?平面BCFE，

∴AE?平面BCFE. ?????????5分

过D作DH//AE交EF于H，则DH?平面BCFE.

∵EG?平面BCFE， ∴DH?EG. ?????????6分

第 5 页 （共 11 页）

∵AD//EF,DH//AE，∴四边形AEHD平行四边形， ∴EH?AD?2，

∴EH?BG?2，又EH//BG,EH?BE，

∴四边形BGHE为正方形，

∴BH?EG， ?????????7分

又BH?DH?H,BH?平面BHD，DH?平面BHD,

∴EG⊥平面BHD. ?????????8分 ∵BD?平面BHD,

∴BD?EG. ?????????9分 解法2

z∵EF?平面AEB，AE?平面AEB，BE?平面AEB，AD∴EF?AE，EF?BE，

又AE?EB,

∴EB,EF,EA两两垂直. ????????5分

EB,EF,EA分别为x,y,z轴建立如图的以点E为坐标原点，

空间直角坐标系.

由已知得，A（0，0，2），B（2，0，0）， C（2，4，0），F（0，3，0），D（0，2，2）， G（2，2，0）. ??????????6分

EFyxBGC????????∴EG?(2,2,0)，BD?(?2,2,2)，???7分 ????????∴BD?EG??2?2?2?2?0, ???8分

∴BD?EG. ??????????9分

????(Ⅲ)由已知得EB?(2,0,0)是平面EFDA的法向量. ??????????10分 ????????设平面DCF的法向量为n?(x,y,z)，∵FD?(0,?1,2),FC?(2,1,0)，

????????y?2z?0?FD?n?0∴????，即?，令z?1,得n?(?1,2,1). ??????????12分 ???2x?y?0??FC?n?0设二面角C?DF?E的大小为?， 则cos??cos?n,EB???????26， ??????????13分 ??6266. ??????????14分 6∴二面角C?DF?E的余弦值为?17. （共13分）

解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A ??????????1分

事件A等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ?????2分

第 6 页 （共 11 页）

64213??? ??????????4分 1010315(Ⅱ) 由题可知X可能取值为0,1,2,3.

p(A)?3021C4C6C4C13P(X?0)?3?,P(X?1)?36?,

C1030C10101203C4C61C4C1P(X?2)?3?,P(X?3)?36?. ??????8分

C102C106

X P 0 1 2 3 1 303 101 21 6 ?????9分

(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检

测的事件为B ?????10分

事件B等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”

所以，P(B)?

18. （共13分）

解：（Ⅰ）f(x)的定义域为(0,??)， ?????????1分 当a?1时，f(x)?x?lnx，f?(x)?1?1131?()?. ?????13分 3038101x?1? ， ?????????2分 xx

?????????3分

所

以

x f?(x) f(x) (0,1) — 1 0 极小 (1,??) + f(x)在

x?1处取得极小值

1. ?????????4分

（Ⅱ）h(x)?x?1?a?alnx， x1?aax2?ax?(1?a)(x?1)[x?(1?a)]?????????6分 h?(x)?1?2???xxx2x2

①当a?1?0时，即a??1时，在(0,1?a)上h?(x)?0，在(1?a,??)上h?(x)?0， 所以h(x)在(0,1?a)上单调递减，在(1?a,??)上单调递增； ?????????7分 ②当1?a?0，即a??1时，在(0,??)上h?(x)?0，

所以，函数h(x)在(0,??)上单调递增. ?????????8分 （III）在?1,e?上存在一点x0，使得f(x0)?g(x0)成立，即 在?1,e?上存在一点x0，使得h(x0)?0，即

第 7 页 （共 11 页）

1?a?alnx在?1,e?上的最小值小于零. ?????????9分 x由（Ⅱ）可知 函数h(x)?x?①即1?a?e，即a?e?1时， h(x)在?1,e?上单调递减，

1?ae2?1所以h(x)的最小值为h(e)，由h(e)?e?， ?a?0可得a?ee?1e2?1e2?1因为； ?????????10分 ?e?1，所以a?e?1e?1②当1?a?1，即a?0时， h(x)在?1,e?上单调递增，

所以h(x)最小值为h(1)，由h(1)?1?1?a?0可得a??2； ?????????11分 ③当1?1?a?e，即0?a?e?1时， 可得h(x)最小值为h(1?a)， 因为0?ln(1?a)?1，所以，0?aln(1?a)?a 故h(1?a)?2?a?aln(1?a)?2

此时，h(1?a)?0不成立. ?????????12分

e2?1综上讨论可得所求a的范围是：a?或a??2. ?????????13分

e?1

19. （共14分）

a2?b21?，所以3a2?4b2 ① ?????1分 解：（Ⅰ）由已知可得e?2a42 又点M(1,)在椭圆C上，所以

223219??1 ② ?????2分 a24b2 由①②解之，得a?4,b?3.

x2y2??1. ?????5分 故椭圆C的方程为43 (Ⅱ) 当k?0时，P(0,2m)在椭圆C上，解得m??3，所以|OP|?3. ??6分 2当k?0时，则由??y?kx?m, 22?xy??1.?3?4222消y化简整理得：(3?4k)x?8kmx?4m?12?0，

??64k2m2?4(3?4k2)(4m2?12)?48(3?4k2?m2)?0 ③ ?????8分

第 8 页 （共 11 页）

设A,B,P点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x0,y0)，则

x0?x1?x2??8km6m,y?y?y?k(x?x)?2m?. ?????9分 012123?4k23?4k222x0y0??1. ?????10分 由于点P在椭圆C上，所以 4316k2m212m2224m?3?4k 从而，化简得，经检验满足③式. ???11分 ??12222(3?4k)(3?4k)64k2m236m2 又|OP|?x?y??(3?4k2)2(3?4k2)2

20204m2(16k2?9)16k2?9 ? ?222(3?4k)4k?3?4? 因为0?k?3. ?????????12分

24k?3133?1， ，得3?4k2?3?4，有?2244k?3故3?OP?13. ?????????13分 213]. ?????????14分 2 综上，所求OP的取值范围是[3,(Ⅱ)另解：设A,B,P点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x0,y0)，

?3x12?4y12?12①由A,B在椭圆上，可得?2 ?????????6分 2?3x2?4y2?12②①—②整理得3(x1?x2)(x1?x2)?4(y1?y2)(y1?y2)?0③ ?????????7分

?????????????x1?x2?x0④由已知可得OP?OA?OB，所以? ????????8分

y?y?y⑤20?1由已知当k?y1?y2 ,即y1?y2?k(x1?x2) ⑥ ?????????9分

x1?x2把④⑤⑥代入③整理得3x0??4ky0 ?????????10分 与3x02?4y02?12联立消x0整理得y0?由3x02?4y02?12得x0?4?所以|OP|?x0?y0?4?22229 ????????11分

4k2?3242y0， 34213y0?y02?4?y02?4?2 ????????12分 334k?3第 9 页 （共 11 页）

因为k?133?1， ，得3?4k2?3?4，有?244k2?3故3?OP?13. ?????????13分 213]. ?????????14分 2所求OP的取值范围是[3,20. （共13分）

解：（1）根据题设中有关字母的定义，

k1?2,k2?1,k3?0,k4?1,kj?0(j?5,6,7?)

b1?2,b2?2?1?3,b3?2?1?0?3,b4?4,bm?4(m?5,6,7,?)

g(1)?b1?4?1??2g(2)?b1?b2?4?2??3,g(3)?b1?b2?b3?4?3??4,g(4)?b1?b2?b3?b4?4?4??4,g(5)?b1?b2?b3?b4?b5?4?5??4.

（2）一方面，g(m?1)?g(m)?bm?1?n，根据“数列A含有n项”及bj的含义知bm?1?n， 故g(m?1)?g(m)?0，即g(m)?g(m?1) ① ???????7分 另一方面，设整数M?max?a1,a2,?,an?，则当m?M时必有bm?n， 所以g(1)?g(2)???g(M?1)?g(M)?g(M?1)??

所以g(m)的最小值为g(M?1). …………………9分 下面计算g(M?1)的值：

g(M?1)?b1?b2?b3???bM?1?n(M?1)

?(b1?n)?(b2?n)?(b3?n)???(bM?1?n)

?(?k2?k3???kM)?(?k3?k4???kM)?(?k4?k5???kM)???(?kM) ??[k2?2k3???(M?1)kM]

??(k1?2k2?3k3???MkM)?(k1?k2???kM) ??(a1?a2?a3???an)?bM

??(a1?a2?a3???an)?n …………………12分

∵a1?a2?a3???an?n?100 ， ∴g(M?1)??100,

第 10 页 （共 11 页）

∴g(m)最小值为?100. …………………13分 说明：其它正确解法按相应步骤给分. 第 11 页 11 页）

（共

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