高二“自主招生、竞赛及高考”讲义七（平面几何）

平面几何

焦点话题

1.三角形中的巧合点

2.Simson线及垂足三角形

3.调和点列与配极

4.圆幂与根轴

例题和习题

1．已知ABCD是圆内接四边形，IA、IB、IC、ID分别是△BCD、△ACD、△ABD、△ABC的内心。求证：IAIBICID是矩形。（Fuhrmann定理）

ADICIBIDIABC

2．已知：△ABC中，AB＝AC，BE、CF是的高，H是垂心，过H作AB的平行线交AC于D，AH延长交外接圆于G点。求证：DF⊥FG。

ADFHBGEC

3．已知△ABC中，AB=AC，O、I分别是△ABC的外心和内心，点D在AB边上，且OD⊥BI。求证：ID∥AC。

ADOIBC

4．已知圆内接四边形ABCD，有一半圆直径落在BC边上，且与AB、CD、AD都相切。

求证：AB＋CD＝BC。

DA

5．在△ABC左右两边上截取BE＝CF＝BC。O是△AEF的外心，I是△ABC的内心。求

证：OI⊥BC。

AOEFBOCIBC

6. 已知：△ABC ≌ △ADE，延长底边BC，ED交于P点， O是△PCD的外心。求证：AO⊥BE。

ABECDOP

7．已知：E、F在△ABC的AB、AC两边上，且BE＝CF＝BC，I是△ABC的内心，S

是△ABC外接圆BC弧中点，T是△AEF外接圆EF弧中点。求证：SI＝IT。

AFETIBSC

8．已知D是△ABC的BC边上任一点，O、O1、O2分别是△ABC、△ABD、△ACD的外心。求证：A、O、O1、O2四点共圆。（Salmon定理）

AO1OO2BDC

9．已知ABCD是梯形（AD∥BC），E是腰AB上的动点，O1、O2分别是△ADE、△BCE的外心。求证：O1O2的长度不随E点的运动而变化。

ADEO1O2BC

10．已知：点D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上，O1、O2、O3分别是△AEF、△BFD、△CDE的外心。求证：△O1O2O3∽△ABC。

AO1EO2BDO3CF

11．已知：AM是△ABC的中线，P是△ABC 内一点，满足∠BAM＝∠CAP，O、O1、O2分别是△ABC、△ABP、△ACP的外心。求证：AO平分O1O2。

AO1O2OPBMC

12．在△ABC中，D是BC边上一点，设O1、O2分别是△ABD、△ACD的外心，O′

是经过A、O1、O2三点的圆之圆心。求证：O′D⊥BC的充要条件是：AD恰好经过△ABC的九点圆心。

AO'O2O1NiBDC

13．已知E、F是△ABC两边AB、AC的中点，CM、BN是AB、AC边上的高，连线EF、

MN相交于P点。又设O、H分别是△ABC的外心和垂心。联结AP、OH。求证：AP⊥OH。

AMEONHBQCLPF

14．已知E，F是∠AOB内的两点，并且满足∠AOE＝∠BOF。自E，F向OA作垂线，

垂足分别为E1，F1；自E、F向OB作垂线，垂足分别为E2，F2。连接E1E2，F1F2，并设两线交于点P。求证：OP⊥EF。

OF1PE1E2F2AEFB

15．AC是与BD垂直于E的直径，G是BA延长线上一点，过B作BF∥DG交DA

延长线于F，作CH⊥GF于H。求证：B、E、F、H四点共圆。

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