正弦稳态电路的分析

1、如图1所示正弦电路，R1=R2=1Ω, (1)当电源频率为f0时，Xc2=-j1Ω时，电压表的读数V1=3V, V2=6V, V3=2V,求 Is；

(2) 电路中电阻、电容和电感的值不

?ISV1R1R2?R2I?UV2L?LU?C1UIC1V3 C2?IC2?R1U图1

变，现将电源的频率提高一倍，即为2f0，若想维持V1的读数不变，问IS应变为多少？

UR13??1,所以?I=I∠0°由于UR1=3V,所以 I=I=3∠0° 解：（1）设参考相量?R11?R=3∠0°，U?L=6∠90°U?C=2∠-90° U?=U?R1+U?L+U?C1=3∠0°根据KVL U+ 6∠-90°+ 2∠90°=3+j4 V

??UU????根据 KCL IS=IR2+IC2+I=++?I=2+j7 A

-jXCR2IS=22+72=53=7.3A

(2) 电源的频率提高一倍，保持V1的读数不变，由于R1不变，易知流过R1的电

1?流I=3,故仍设I=3∠0°，但电容阻抗的模变为原来的，电感阻抗的模变为原2?=3∠0°?=12∠90°来的2倍，所以，U，U=12j R1L?=1∠-90°=-j UC1?=U?R1+U?L+U?C1=3+12j-j=3+j11 V 根据KVL U??UU????根据 KCL IS=IR2+IC2+I=++?I=-16+j17 A

-jXCR2IS=162+172=23.35A

?=50∠60°?=-100∠150°2、若已知三个同频正弦电压的相量分别为UV，UV 12?=-100+j100 V, f=50HZ 求： U3(1) 试写出3个正弦量u1，u2，u3 (2) u1，u2和u2，u3的相位差 (3) u= u1+u2+u3的表达式

?，U?写成标准指数形式，即 解：（1）将U23

?=-100∠150°V=100∠-30°V U2?=-100+j100 V=100U3V 2∠135°

根据相量和正弦量的关系，可得

u1=502cos(314t+60°) V，u2=1002cos(314t-30°) V u3=200cos(314t+135°) V

(2) ΔΦ12=90°，ΔΦ23=-30°-135°=-165°

133122????（3）U=U1+U2+U3=50(+j)+100(-j)+1002(-+j)

222222

=94.02∠82.9°V

u=94.022cos(314t+82.9°) V

3、如图3所示正弦电流电路，已知?A，当XC=1Ω, U=1V；当XC=2Ω, UIS=3∠0°仍为1V。试求：参数R和XL的值。 解：电路的总阻抗为

R×jXLRXRXZ=-jXC+=+j(2-XC)

R+jXLR2+XL2R+XL22L2L-jxC?U?ISRjxL 图3

当XC=1Ω和XC=2Ω，可以列出如下两个方程

RX2L2RX2LU2(2)?(-1)??1 (1) R?X2LR2?X2LIS

RX2L2RX2LU2(2)?(-2)??1 (2) 222R?XLR?XLIS解（1）、（2）得，R=23Ω，XL=2Ω

4、图4所示工频正弦电流电路中，U=100V，感性负载Z1的电流I1=10A，功率因数λ1=0.5，R=20Ω。 （1）求电源发出的有功功率、电流I、功率因数λ （2）当电流I限制为11A时，应并联最小多大的电容？ 并求这时的功率因数λ。

解：（1）由于λ1=0.5，可得ψ1=60°

图4

U?I?I1?I2CZ1R

感性负载Z1吸收的有功功率P1=U I1λ1=100×10×0.5=500 W Z1吸收的无功功率Q1=U I1sin60°=100×10×0.866=866 var

U21002R吸收的有功功率P2==500 W =R20所以电源发出的有功功率P= P1 +P2=1000 W 视在功率S=P2+Q2=10002+8662=1322.86 VA

P1000=0.756 λ==S1322.86SI==13.23 A

U(2) 当电流I限制为11A时，总的功率因数λ=

P1000==0.909 S100×11当电路仍为感性时，并联的电容为最小，ψ=arccos0.909=24.62° 此时电路的无功功率 Q=Ptanψ=1000tan24.62=458.26 var Q=Q1+QC=866+(-ωCU2) C=

Q1-Q10-4 F 2=1.3×ωU5、如图5所示电路，R=1Ω，L=0.5H，电感L上的电

?与U?的相位差。 压uL=22cos2t V。试求UCLC?CU?I?RI?RU?RUL?IL?L=2∠0°解：U V

L

?LU? IL==2?-90A°

j?L?R图5

UL ?I=?IR+?IL=22∠-45°A IR==2∠0°A ?

2?C=?j1?I=∠-135°V UC?C?C与U?L的相位差为 -135°所以，U

R6、如图6所示正弦稳态电路，已知R=XL=10Ω，XC=2Ω，试求端口ab的输入电阻。

?1 I+0.2UIC=?解: ?a?1U?10.2U-jXC?CI jXL图6

b

?=(10+j10)×?UI+(-j2)×?IC 1?U10+j81=Zin?=1+j0.4=11.88∠16.86°Ω I7、如图7所示正弦稳态电路，已知R=1KΩ，IC=3IR，f?50Hz，要使端口输

?超前电阻上的电压U? 45°入电压U，求电感L的值。 R

?RU???IR?0?A 解：设UR?UR?0?V 则IR?Ra?UL?I?RU?RI?CIRCb ??R?IC?90?=3IR?90?A IC?j?CU?RU?????R U=jXL（IR?IC）+UR=jXL（1+3?90?）+UR?超前U? 45°因为U，所以R

图7

XL3XL ?1?RRXL=

R?366? 1?3R2R1C?CU?CgmU8、如图8a所示正弦稳态电路，已知R1=R2=20Ω，R3=10Ω，C=250μF，gm=0.025S，

?S=20?0?V，ω=100rad/s，求ZL何值时，它U?SU aZLbR2获得的功率最大，并求出最大功率Pmax。 解：将ZL用电流源替代，如下图8b

以0作为参考结点，建立结点1、2的电路方程

(111?1?20?0???)Un1-Un2= 20202010201?1??C-?I Un1+Un2=-0.025U1010R21图8a

R12C?CU?CgmUa?U-

?SU R2?Ib ?C=1?I UI=-j40?j?C?n2=10-202?45??I 解以上三个方程可得：U0图8b

?=U?C=10-202??45???n2-UI U?OC=10?0? V Zeq=202??45?Ω 所以 ZL= Z*eq=202?45?Ω UPmax

=U2OCReq=1.25 W

9、如图9所示正弦稳态电路，R1=R2=R3=1Ω，is=sint A，i2(t)=0，L2=0.125H求：C2、i1(t)、 i3(t)、 i4(t)以及is发出的平均功率 L1的无功功率。

解：因为i2(t)=0，所以L2、C2并联谐振

??1L2C2?1

is3H L1i2i4C2L2L2=0.125H

u i1R1R31F3i3R21又L1和F的电容发生串联谐振，所以

3u=(R1//R3)? is=0.5 sint V i1(t)= i3(t)=0.5sint A

图9

?U?I4??0.0442??90? j?L i4(t)=0.4422sin(t-90°)

is发出的平均功率P=Is2(R1//R3)=0.5?0.5=0.25 W L1的无功功率Q=?LI12=0.375 var

10、如图10所示正弦电流电路，R=1Ω，XL=1Ω，

?=1?0?V，求电流I。 XC=0.5Ω，U?=(1?1?1)U?=2?45°I=YU解：? RjXL?jXC?U?ICLR 图10

I=2A

11、列出图11所示电路相量形式的回路方程和结点方程。 解：设各回路方向如图所示。 回路方程如下：

1?1?(R1+)I1-I2=0

jωCjωC （1）

1R1?I1LR2C?2U?IS?4IR30??U2?3I?SU2?U1?1????U? （2） -I1?(R2?)I2-R2I4j?Cj?C ?I23 图11

?2-I?4)R?U?-U? ?(I2S （3）

??(R?R?jwL)I???(I??I?)R （4） ?R2I2234242

?I2=?IS I3-?

（5）

选结点0作为参考结点，结点方程如下:

(111?-(1+jωC)U?-1U?=0 （1） +jωC++)Un1n3R1R2R3+jωLR1R2n2?-U?）?μ（Un1n2=Un2

（2） （3）

?=-U? Un3S

12、如图12所示正弦电流电路，R1=80Ω，R2=30Ω，电流表A的读数为0，A1的读数为1A，求uS

解：由于电流表A的读数为0，所以1H的电感与100μF发生并联谐振，谐振频率ω0=

1100×10×1-6R1100μF10i1i1AR2A11Hus=100rad/s

0.4H100μF1×1=100V 并联谐振的谐振电压U=

100×100×10-6图12

I1=10030+(100×0.4)22=2A

本题受控源相当于10电阻，所以

12US=(80+30+10)+(100×0.4-)×2=268.32 -6100×100×102us=268.322cos100t

13、如图所示正弦电流电路，当2-2?开路时，电压表V1、V2的读数均为50V，当2-2?端接阻抗为50Ω的电感时，电压表V1的读数为150V，V2读数不变。求阻抗Z1和Z2。 解：当2-2?开路时，总电源为100V,电压表V1、V2的读数均为50V，所以 Z1=Z2，而当当2-2?端接阻抗为50Ω的电感时，电压表V1的读数为150V，

图13

100∠0°V1Z1Z2V22'2V2读数为50V，总电源为100V，所以V1、V2的电压大小相等，方向相反。易知并联电感后端口2-2?的阻抗与Z1阻抗性质相反，Z1应为容性，Z2?=Z2//jωL应

为感性，设 Z1=-jXC 则

-jXC=-3，XC=200Ω

-jXC×j50j(50-XC)-jXC?CU?LU?UZ1=Z2=-j200Ω

14、如图所示14正弦稳态电路，R=XL=5Ω，I1=10A，

UC=100V，XC=10Ω， 试求U和I。

I2=I2?0?A 解：设??I?I1?I2?RU?U?I?C2U R?CUC1jXL?I2图14a

?I1图14b

?R=502?0? V U?C=100?45? ?I2=102?0?A U?I1=10?135?A

所以，I=I12?I22?2I1I2COS45?=10 A I12+I2=I22

?C同相 I与U易知?U=2UC=1002 V

15、如图15a所示正弦稳态电路，R1=1KΩ，R2=2KΩ，L=1H，求Ucd=Uab时C的值。

解：R1L支路并联R2C支路，其相量图如下，在R1L支路

?L超前U?R 90°中，U，故知c

a?R2dULCdR2?I2?I2?abU b?cdcUR1 ?I1a ?I1?C?abUUb?cdU?R1U?LU点的轨迹为下半圆周，而d点的轨迹为上半圆周。如果要使

c图15b

Ucd=Uab，则abcd则应为矩形。 UR2=UL ，UR1=UC

图15a

UR2UL?LL??0.5?F ，?R2C?，C=UCUR1R1R1R216、如图16a所示正弦稳态电路，电压表V1、V2读数分别为60V、50V，电路的功率因数λ=0.5，求

?U?IC?CU?RRUV?LUV1L UR、UL和UC

解：画出图示电路的相量图如图16b

?LU?1U图16a

?与?I的相位差φ=-60°由λ=0.5，可求得U

?I ?RUUR=UCOSφ=60?0.5=30 V

φ UL=U1?UR?40 V

22图16b

?U?CUUC=UL+Usinφ=92.0V

17、如图17a所示正弦稳态电路，U=10V，f=50HZ， IC=2I=2IL，电路消耗的平均功率为10W，当U保持不变，f=1000HZ时，求各支路电流及电路消耗的功率。

I??IC??IL的相量图，为一个等腰三角形 解：先画出??U ?IRCjXL ?IL?IC图17a

?滞后??45°?超前?I超前UIL45°UIC90°U，又IC=2I=2IL，根据几何知识，可得?，，

如图b所示，又已知平均功率P=UICOS45°=10W，U=10V，所以I=2A IL =2A，IC=2A，XC=5Ω；P= IL 2R=10，所以R=5Ω

R?XL=

U?52，XL=5Ω IL45°45°?CI?U当f=1000HZ时，XL=100Ω，R=5Ω，XC=0.25Ω

?=10?0? 设U ?IL10?0??IC=?40j

?0.25j10?0??IL=?0.005?0.1j?0.1??87.1? j100?5?I=?IL≈40j IC+?图17b

所以，IC=40A，IL=0.1A，I=40A P= IL 2R=0.5mW

18、如图18a所示正弦稳态电路，R1=R2=R3，I1=I2=I3，U=150V，功率表读数为1500W，求：R1、XL、XC 解：由于R1=R2=R3，I1=I2=I3 可知 UR2=UR3 UC=UL

?I1??I2??I3的相量图，为一个等边三角形

?U ba**WR1?1U?I1LR2C ?2U R3?I2?I3?2同相，??也是同相 I1与UI1与Uφ=60°，?图18a

由P=1500，U I1=1500，I1=10A 而I12 R1=500 R1=5Ω

XL=XC=3 R1=8.66Ω

?R3U?I3φ ?I2?R2U?I1?CU??1U2U?L U图18b AR1?U19、如图19a所示正弦稳态电路，R3=10Ω，R1:R2=1:3，当L变化时，电压表的读数一直保持10V不变，求电阻R及端口电压U的值。 解：画出相量图如图。

?I2R3DRECR2V 由于R1:R2=1:3，则UAC=0.25U，C为固定点，显然BE点在

下半圆弧AEB上运动，要保持UCD=10V，则D应为AE与小圆的交点，所以UAC=UCD=10V UAB=U=40V

又UAD=UDE，所以，R=R3=10Ω

图19b 图19a

20、如图20a所示正弦稳态电路，ω=10rad/s，电流表读数为103A，电压表读数为53V，求R、L、C。 解：先画出相量图。

在相量图中，?ACD为等边三角形

?ISAVRCC?I2RDLVVA?I1且I1=I2=

URR，所以XC=XL 电容、电感电压的有效值相等

?CAB=30°，XL3R?3 I1=I2=ISA2COS30??10A

R=32，XC=XL=0.5，C=0.2F，L=0.05H

图20a

?CI1B?ISD?图20a

I2

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