北京市丰台区2019届高三数学下册综合练习题6

丰台区2018—2018学年度第二学期统一练习（一） 2018.3

高三数学（理科） 第一部分 （选择题 共40分）

一.选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1.已知全集U?R，集合A??x|x??2或x?3?，B??x|x??1或x?4?，那么集合(CUA)B等于（ ）

（A）?x|?2≤x?4? （B）?x|?2?x?3?

（C）?x|?2?x??1? （D）?x|?2?x??1或3?x?4?

（0，+?）2．在下列函数中，是偶函数,且在内单调递增的是

（C）y?|lgx| （D）y?cosx

频率3.对高速公路某段上汽车行驶速度进行抽组距0.06（A）y?2|x| （B）y?1x2样调查，画出如下频率分布直方图.根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过80km/h的概率 （A） 75，0.25 （B）80,0.35 （C）77.5,0.25 （D）77.5,0.35

0.050.040.020.01O60657075808590车速(km/h)4. 若数列?an?满足an+1=2an(an刮0,nN*)，且a2与a4的等差中项是5，则a1+a2++an 等于

（A）2n （B）2n-1 （C）2n-1 （D）2n-1-1 5. 已知直线m,n和平面?，若n⊥?，则“m??”是“n⊥m”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条

件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

6. 有三对师徒共6个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有 （A） 72 （B）54 （C） 48 （D） 8 7.如图，已知三棱锥P-ABC的底面是等腰直角三角形，且∠ACB=90O，侧面PAB⊥底面ABC，AB=PA=PB=4.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x,y,z分别是 （A）23,2,2 （B）4,2,22 （C）23,22，2 （D）23,2, 22 BACPxz主视图侧视图yy俯视图8. 经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格(自变量)，而用横轴来表示产品数量（因变量）.某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格P1低于均衡价格P0时，需求量大于供应量，价格会上升为P2；当产品价格P2高于均衡价格P0时，供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此波动下去，产品价格将会逐渐靠进均衡价格P0.能正确表示上述供求关系的图形是

（A） （B）

（C） （D）

第二部分 （非选择题 共110分）

一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

x2y29.已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的一条渐近线为y?3x，那么双曲

abP2P0P1单价供应曲线需求曲线单价需求曲线供应曲线P2P0P1O数量O数量线的离心率为_________.

10. 如图，BC为⊙O的直径，且BC=6，延长CB与⊙O在点D处的切线交于点A，若AD=4，则AB=________.

ABDOC

11. 在?ABC中角

3bsinA?cco?AsA，

aB，C的对边分别是a，b，c，若

coCsinA?________． ，则

12. 在梯形ABCD中，AB//CD,AB?2CD，E为BC中点，若

,则x+y=_______. AE?xAB?yAD?x?0,?13. 已知x,y满足?y?x,（k为常数），若z?x?2y最大值为8，则

?x?y?k.?k=________.

?x?1(x?1),??x(x?1).14.已知函数f(x)???______.

若f(x)?f(x?1)，则x的取值范围是

二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15.（本小题共13分）

已知函数f(x）=cosx(cosx?3sinx) .

(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；

(Ⅱ)当x?[0,] 时，求函数f(x）的单调递减区间.

π2

16.（本小题共13分）

从某病毒爆发的疫区返回本市若干人，为了迅速甄别是否有人感

染病毒，对这些人抽血，并将血样分成4组，每组血样混合在一起进行化验.

（Ⅰ）若这些人中有1人感染了病毒.

①求恰好化验2次时,能够查出含有病毒血样组的概率； ②设确定出含有病毒血样组的化验次数为X，求E（X）. (Ⅱ)如果这些人中有2人携带病毒，设确定出全部含有病毒血样组的次数Y 的均值E(Y)，请指出（Ⅰ）②中E（X）与E(Y)的大小关系.（只写结论,不需说明理由）

17.（本小题共13分）

如图，在五面体ABCDEF中，四边形

FEABCD为菱形，且?BAD=60°，对角

DOABC

线AC与BD相交于O；OF⊥平面ABCD，BC=CE=DE=2EF=2. (Ⅰ)求证： EF//BC；

(Ⅱ)求直线DE与平面BCFE所成角的正弦值.

18.（本小题共14分） 已知函数f(x)?xlnx.

（Ⅰ）求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）求证：f(x)?x?1；

（Ⅲ）若f(x)?ax2?(a?0)在区间(0,??)上恒成立，求a的最小值.

19.（本小题共14分）

x2y23 已知椭圆G：2?2?1(a?b?0)的离心率为，短半轴长为1.

ab22a

（Ⅰ）求椭圆G的方程；

（Ⅱ）设椭圆G的短轴端点分别为A,B，点P是椭圆G上异于点

A,B的一动

点，直线PA,PB分别与直线x?4于M,N两点，以线段MN为

直径作圆C.

① 当点P在y轴左侧时，求圆C半径的最小值；

② 问：是否存在一个圆心在x轴上的定圆与圆C相切？若存在，指出该定圆的圆心和半径，并证明你的结论；若不存在，说明理由.

20.（本小题共13分）

已知数列

?an?a?n?1an?1=??an?1??an({an}是无穷数列，

a1=a,a2?b（

a,b是正整数），

an?1),an?1a(n?1)an?1.

（Ⅰ）若a1?2,a2=1，写出a4,a5的值；

（Ⅱ）已知数列{an}中ak?（ 1k?N*)，求证：数列{an}中有无穷项为1；（Ⅲ）已知数列{an}中任何一项都不等于1，记

bn=ma2ax?n{a2n,?n}(1{bn}是单调递减数列.

为mx{,,m,n;较大者）.求证：数列1a,m2n,3

丰台区2018年高三年级第二学期数学统一练习（一）

数 学（理科）参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 题号 1 2 A 3 D 4 B 5 A 6 C 7 A 8 D 答案 C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9. 2 10. 2 11. 14. (0,1]

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

解：(Ⅰ) f(x）=3sinxcosx?cos2x

1516 12. 13. 343

f(x）=31?cos2xsin2x?22 31?cos2xsin2x?)22

f(x）=(f(x）=sin(2x??6)?12

T?2?2????|?|2

f(x)的最小正周期为

?.

----------------------------------7分 (Ⅱ)当2k??3?,k?Z 时，函数f(x）单调递减,

262?2?即f(x)的递减区间为：[k??,k??],k?Z,

63??2???由[0,][k??,k??]=[,?],k?Z

62263?2x??2k????所以

f(x）的递减区间为：

[,]62??.

------------------------------------13分

16. 解：（Ⅰ）①恰好化验2次时,就能够查出含有病毒血样的组为事件A.

P(A)? 1.-----4分

414

恰好化验2次时,就能够查出含有病毒血样的组的概率为

②确定出含有病毒血样组的次数为X,则X的可能取值为1，2，3.

P(X?1)?111,P(X?2)?，P(X?3)?. 4 42则X的分布列为：

X 1 2 3

P 1 41 41 2所

1414以

1294：E（X）

=1??2??3??--------------------------------------------11分 (

Ⅱ

)

E(X)?E(Y)

------------------------------------------------------------------13分 17. 解：(Ⅰ)因为四边形ABCD为菱形

所以AD∥BC，且BC?面ADEF，AD?面ADEF

所以BC∥面ADEF且面ADEF面BCEF?EF

所以EF∥BC. ----------------------------------------------------------6

分

(Ⅱ)因为FO?面ABCD 所以FO?AO，FO?OB 又因为OB?AO

以O为坐标原点，OA，OB，OF分别为x轴，y轴，z轴，

建立空间直角坐标系，取CD的中点M，连OM,EM. 易证EM⊥平面ABCD.

又因为BC?CE?DE?2EF?2，得出以下各点坐标：

B(0,1,0),C(?3,0,0),D(0,?1,0),F(0,0,3),E(?31,?,3)22

向量DE?(?31,,3)，向量BC?(?3,?1,0)，向量BF?(0,?1,3) 22设面BCFE的法向量为：n0?(x0,y0,z0)

???n0?BC?0??3x0?y0?0得到 ,?????n0?BF?0??y0?3z0?0令y0?3时n0?(?1,3,1)

设DF与n0所成角为?，直线DE与面BCEF所成角为?.

31)?(?1)??3?3?1|15|n?DE|22sin?=|cos?|=0==

5|n0|?|DE|?32122222(?1)?(3)?(1)?()?()?(3)22|(?直线EF与平面BCEF所成角的正弦值为

15.----------------------------------------13分 518.设函数f(x)?xlnx.

（Ⅰ）求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）求证：f(x)?x?1；

（Ⅲ）若f(x)?ax2?(a?0)在区间(0,??)上恒成立，求a的最小值. 解：（Ⅰ）设切线的斜率为k f?(x)?lnx?1

k?f?(1)?ln1?1?1

因为f(1)?1?ln1?0，切点为(1,0). 切线方程为

y?0?1?(x?1)2a，化简得：

y?x?1.----------------------------4分

（Ⅱ）要证：f(x)?x?1

只需证明：g(x)?xlnx?x?1?0在(0,??)恒成立， g?(x)?lnx?1?1?lnx

当x?(0,1)时f?(x)?0，f(x)在(0,1)上单调递减； 当x?(1,??)时f?(x)?0，f(x)在(1,??)上单调递增；

当x?1时g(x)min?g(1)?1?ln1?1?1?0

g(x)?xlnx?x?1?0在(0,??)恒成立

所

f(??以

.--------------------------------------------------------------------------x10分

2（Ⅲ）要使：xlnx?ax?

2在区间在(0,??)恒成立， a2 等价于：lnx?ax?在(0,??)恒成立，

ax2 等价于：h(x)?lnx?ax??0在(0,??)恒成立

ax1222212?ax?ax?2?a(x?)(x?)= 因为h?(x)?x?a?ax2=aaax22ax2①当a?0时，h(1)?ln1?a?a?0，a?0不满足题意

12②当a?0时，令h'(x)?0，则x??a或x?a（舍）. 所以x?(0,?1)时h?(x)?0，h(x)在(0,?1)上单调递减；

aa11x?(?,??)时h?(x)?0，h(x)在(?,??)上单调递增；

aa111当x??a时h(x)min?h(?a)?ln(?a)?1?2

1当ln(?a)?3?0时，满足题意

所以?e3?a?0，得到

a的最小值为

?e3-----------------------------------14分

x2y2319. 解：（Ⅰ）因为2?2?1(a?b?0)的离心率为，短半轴长为1.

ab2?b?1?a?2?3??c,得到?b?1, 所以?a?2??222?c?3?a?b?c?所以椭圆的方程为

x2+y2=1.-----------------------------------------------------------3分 4（Ⅱ）① 设P(x0,y0)，A(0,1),B(0,?1) 所以直线PA的方程为：y?1?令x?4，得到yM?|MN?||2?8 |x04|(?2?x0?0) x0Cy0?1x x04(y0?1)4(y0?1)?1同理得到yN??1，得到x0x0所以，圆C半径r?|1?当

x0??2时，圆半径的最小值为3.

--------------------------------------9分

② 当P在左端点时，圆C的方程为：(x-4)2+y2=9 当P在右端点时，设P(2,0)，A(0,1),B(0,?1) 所以直线PA的方程为：y?1??1x 2令x?4，得到yM??1同理得到yN?1， 圆C的方程为：(x-4)2+y2=1， 易知与定圆(x-2)2+y2=1相切, 半径R=1

4?1?,?2?x0?0?4?x0r?|1?|?? 由前一问知圆C的半径

x0?4?1,0?x0?2??x0因为yM?4(y0?1)4(y0?1)4y?1，yN??1，圆C的圆心坐标为(4,0) x0x0x0

?4?,?2?x0?0x?04y024?x016(1?)2?d?(4?2)?()=4? 圆心距?4=4|x|x00?,0?x0?2x02??x02当-2?x00时，d=r-R=(1-44)-1=- ，此时定圆与圆C内切；x0x0当0

(注: 存在另一个圆心在x轴上的定圆与圆C相切，该定圆的圆心为

(6,0)和半径

R?1.得分相同)

------------------------------------------------------------------------------------14分

20..解：（Ⅰ）a4?2,a5?1；-----------------------------------------------------2分

1k?N*)，假设ak?1?m（Ⅱ）ak?（

①当m?1时，依题意有

ak?2?ak?3????????1

②当m?1时，依题意有ak?2?m，ak?3?1

③当m?1时，依题意有ak?2?ak?6?1

*a?（1k?N)，在无穷数列{an}中，第k项后总存k由以上过程可知：若

1111，ak?3?2，ak?4?，ak?5?，

mmmm在数值为1 的项，以此类推，数列{an}中有无穷项为1. --------------------------------------------------6分

（Ⅲ）证明：由条件可知an?1(n?1,2,3,)，

).

（n?1,2,3,因为{an}中任何一项不等于1，所以an?an+1①若a2n?1?a2n，则bn?a2n?1. 因为a2n+1=a2n?1，所以a2n?1?a2n+1.

a2n 若a2n?21?1，则a2n+2?a2n?21?a2n?1，于是a2n-1?a2n+2；

a2na2na2n?1a2na2n2a若2?1，则a2n+2?a??2n?a2n?a2n?a2n?1，于是a2n-1?a2n+2； a2na2n?1a2n?12n?1a2n若a2n?21?1，则a2n+2?1，于题意不符；

a2n所以a2n?1?max{a2n+1,a2n+2}，即bn?bn?1. ②若a2n?1?a2n，则bn?a2n. 因为a2n+1= 因为a2n+2=a2na2n-1a2na2n+1，所以a2n?a2n+1； ，所以a2n?a2n+2；

所以a2n?max{a2n+1,a2n+2}，即bn?bn?1.

综上所述，对于一切正整数n，总有bn?bn?1，所以数列{bn}是单调递减

数列.

-------------------------------------------------------------------------------13分

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