北京市丰台区2019届高三数学下册综合练习题6

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丰台区2018—2018学年度第二学期统一练习(一) 2018.3

高三数学(理科) 第一部分 (选择题 共40分)

一.选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1.已知全集U?R,集合A??x|x??2或x?3?,B??x|x??1或x?4?,那么集合(CUA)B等于( )

(A)?x|?2≤x?4? (B)?x|?2?x?3?

(C)?x|?2?x??1? (D)?x|?2?x??1或3?x?4?

(0,+?)2.在下列函数中,是偶函数,且在内单调递增的是

(C)y?|lgx| (D)y?cosx

频率3.对高速公路某段上汽车行驶速度进行抽组距0.06(A)y?2|x| (B)y?1x2样调查,画出如下频率分布直方图.根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过80km/h的概率 (A) 75,0.25 (B)80,0.35 (C)77.5,0.25 (D)77.5,0.35

0.050.040.020.01O60657075808590车速(km/h)4. 若数列?an?满足an+1=2an(an刮0,nN*),且a2与a4的等差中项是5,则a1+a2++an 等于

(A)2n (B)2n-1 (C)2n-1 (D)2n-1-1 5. 已知直线m,n和平面?,若n⊥?,则“m??”是“n⊥m”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条

(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

6. 有三对师徒共6个人,站成一排照相,每对师徒相邻的站法共有 (A) 72 (B)54 (C) 48 (D) 8 7.如图,已知三棱锥P-ABC的底面是等腰直角三角形,且∠ACB=90O,侧面PAB⊥底面ABC,AB=PA=PB=4.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x,y,z分别是 (A)23,2,2 (B)4,2,22 (C)23,22,2 (D)23,2, 22 BACPxz主视图侧视图yy俯视图8. 经济学家在研究供求关系时,一般用纵轴表示产品价格(自变量),而用横轴来表示产品数量(因变量).某类产品的市场供求关系在不受外界因素(如政府限制最高价格等)的影响下,市场会自发调解供求关系:当产品价格P1低于均衡价格P0时,需求量大于供应量,价格会上升为P2;当产品价格P2高于均衡价格P0时,供应量大于需求量,价格又会下降,价格如此波动下去,产品价格将会逐渐靠进均衡价格P0.能正确表示上述供求关系的图形是

(A) (B)

(C) (D)

第二部分 (非选择题 共110分)

一、填空题共6小题,每小题5分,共30分.

x2y29.已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的一条渐近线为y?3x,那么双曲

abP2P0P1单价供应曲线需求曲线单价需求曲线供应曲线P2P0P1O数量O数量线的离心率为_________.

10. 如图,BC为⊙O的直径,且BC=6,延长CB与⊙O在点D处的切线交于点A,若AD=4,则AB=________.

ABDOC

11. 在?ABC中角

3bsinA?cco?AsA,

aB,C的对边分别是a,b,c,若

coCsinA?________. ,则

12. 在梯形ABCD中,AB//CD,AB?2CD,E为BC中点,若

,则x+y=_______. AE?xAB?yAD?x?0,?13. 已知x,y满足?y?x,(k为常数),若z?x?2y最大值为8,则

?x?y?k.?k=________.

?x?1(x?1),??x(x?1).14.已知函数f(x)???______.

若f(x)?f(x?1),则x的取值范围是

二、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.

15.(本小题共13分)

已知函数f(x)=cosx(cosx?3sinx) .

(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;

(Ⅱ)当x?[0,] 时,求函数f(x)的单调递减区间.

π2

16.(本小题共13分)

从某病毒爆发的疫区返回本市若干人,为了迅速甄别是否有人感

染病毒,对这些人抽血,并将血样分成4组,每组血样混合在一起进行化验.

(Ⅰ)若这些人中有1人感染了病毒.

①求恰好化验2次时,能够查出含有病毒血样组的概率; ②设确定出含有病毒血样组的化验次数为X,求E(X). (Ⅱ)如果这些人中有2人携带病毒,设确定出全部含有病毒血样组的次数Y 的均值E(Y),请指出(Ⅰ)②中E(X)与E(Y)的大小关系.(只写结论,不需说明理由)

17.(本小题共13分)

如图,在五面体ABCDEF中,四边形

FEABCD为菱形,且?BAD=60°,对角

DOABC

线AC与BD相交于O;OF⊥平面ABCD,BC=CE=DE=2EF=2. (Ⅰ)求证: EF//BC;

(Ⅱ)求直线DE与平面BCFE所成角的正弦值.

18.(本小题共14分) 已知函数f(x)?xlnx.

(Ⅰ)求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)求证:f(x)?x?1;

(Ⅲ)若f(x)?ax2?(a?0)在区间(0,??)上恒成立,求a的最小值.

19.(本小题共14分)

x2y23 已知椭圆G:2?2?1(a?b?0)的离心率为,短半轴长为1.

ab22a

(Ⅰ)求椭圆G的方程;

(Ⅱ)设椭圆G的短轴端点分别为A,B,点P是椭圆G上异于点

A,B的一动

点,直线PA,PB分别与直线x?4于M,N两点,以线段MN为

直径作圆C.

① 当点P在y轴左侧时,求圆C半径的最小值;

② 问:是否存在一个圆心在x轴上的定圆与圆C相切?若存在,指出该定圆的圆心和半径,并证明你的结论;若不存在,说明理由.

20.(本小题共13分)

已知数列

?an?a?n?1an?1=??an?1??an({an}是无穷数列,

a1=a,a2?b(

a,b是正整数),

an?1),an?1a(n?1)an?1.

(Ⅰ)若a1?2,a2=1,写出a4,a5的值;

(Ⅱ)已知数列{an}中ak?( 1k?N*),求证:数列{an}中有无穷项为1;(Ⅲ)已知数列{an}中任何一项都不等于1,记

bn=ma2ax?n{a2n,?n}(1{bn}是单调递减数列.

为mx{,,m,n;较大者).求证:数列1a,m2n,3

丰台区2018年高三年级第二学期数学统一练习(一)

数 学(理科)参考答案

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. 题号 1 2 A 3 D 4 B 5 A 6 C 7 A 8 D 答案 C 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9. 2 10. 2 11. 14. (0,1]

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.

解:(Ⅰ) f(x)=3sinxcosx?cos2x

1516 12. 13. 343

f(x)=31?cos2xsin2x?22 31?cos2xsin2x?)22

f(x)=(f(x)=sin(2x??6)?12

T?2?2????|?|2

f(x)的最小正周期为

?.

----------------------------------7分 (Ⅱ)当2k??3?,k?Z 时,函数f(x)单调递减,

262?2?即f(x)的递减区间为:[k??,k??],k?Z,

63??2???由[0,][k??,k??]=[,?],k?Z

62263?2x??2k????所以

f(x)的递减区间为:

[,]62??.

------------------------------------13分

16. 解:(Ⅰ)①恰好化验2次时,就能够查出含有病毒血样的组为事件A.

P(A)? 1.-----4分

414

恰好化验2次时,就能够查出含有病毒血样的组的概率为

②确定出含有病毒血样组的次数为X,则X的可能取值为1,2,3.

P(X?1)?111,P(X?2)?,P(X?3)?. 4 42则X的分布列为:

X 1 2 3

P 1 41 41 2所

1414以

1294:E(X)

=1??2??3??--------------------------------------------11分 (

)

E(X)?E(Y)

------------------------------------------------------------------13分 17. 解:(Ⅰ)因为四边形ABCD为菱形

所以AD∥BC,且BC?面ADEF,AD?面ADEF

所以BC∥面ADEF且面ADEF面BCEF?EF

所以EF∥BC. ----------------------------------------------------------6

(Ⅱ)因为FO?面ABCD 所以FO?AO,FO?OB 又因为OB?AO

以O为坐标原点,OA,OB,OF分别为x轴,y轴,z轴,

建立空间直角坐标系,取CD的中点M,连OM,EM. 易证EM⊥平面ABCD.

又因为BC?CE?DE?2EF?2,得出以下各点坐标:

B(0,1,0),C(?3,0,0),D(0,?1,0),F(0,0,3),E(?31,?,3)22

向量DE?(?31,,3),向量BC?(?3,?1,0),向量BF?(0,?1,3) 22设面BCFE的法向量为:n0?(x0,y0,z0)

???n0?BC?0??3x0?y0?0得到 ,?????n0?BF?0??y0?3z0?0令y0?3时n0?(?1,3,1)

设DF与n0所成角为?,直线DE与面BCEF所成角为?.

31)?(?1)??3?3?1|15|n?DE|22sin?=|cos?|=0==

5|n0|?|DE|?32122222(?1)?(3)?(1)?()?()?(3)22|(?直线EF与平面BCEF所成角的正弦值为

15.----------------------------------------13分 518.设函数f(x)?xlnx.

(Ⅰ)求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)求证:f(x)?x?1;

(Ⅲ)若f(x)?ax2?(a?0)在区间(0,??)上恒成立,求a的最小值. 解:(Ⅰ)设切线的斜率为k f?(x)?lnx?1

k?f?(1)?ln1?1?1

因为f(1)?1?ln1?0,切点为(1,0). 切线方程为

y?0?1?(x?1)2a,化简得:

y?x?1.----------------------------4分

(Ⅱ)要证:f(x)?x?1

只需证明:g(x)?xlnx?x?1?0在(0,??)恒成立, g?(x)?lnx?1?1?lnx

当x?(0,1)时f?(x)?0,f(x)在(0,1)上单调递减; 当x?(1,??)时f?(x)?0,f(x)在(1,??)上单调递增;

当x?1时g(x)min?g(1)?1?ln1?1?1?0

g(x)?xlnx?x?1?0在(0,??)恒成立

f(??以

.--------------------------------------------------------------------------x10分

2(Ⅲ)要使:xlnx?ax?

2在区间在(0,??)恒成立, a2 等价于:lnx?ax?在(0,??)恒成立,

ax2 等价于:h(x)?lnx?ax??0在(0,??)恒成立

ax1222212?ax?ax?2?a(x?)(x?)= 因为h?(x)?x?a?ax2=aaax22ax2①当a?0时,h(1)?ln1?a?a?0,a?0不满足题意

12②当a?0时,令h'(x)?0,则x??a或x?a(舍). 所以x?(0,?1)时h?(x)?0,h(x)在(0,?1)上单调递减;

aa11x?(?,??)时h?(x)?0,h(x)在(?,??)上单调递增;

aa111当x??a时h(x)min?h(?a)?ln(?a)?1?2

1当ln(?a)?3?0时,满足题意

所以?e3?a?0,得到

a的最小值为

?e3-----------------------------------14分

x2y2319. 解:(Ⅰ)因为2?2?1(a?b?0)的离心率为,短半轴长为1.

ab2?b?1?a?2?3??c,得到?b?1, 所以?a?2??222?c?3?a?b?c?所以椭圆的方程为

x2+y2=1.-----------------------------------------------------------3分 4(Ⅱ)① 设P(x0,y0),A(0,1),B(0,?1) 所以直线PA的方程为:y?1?令x?4,得到yM?|MN?||2?8 |x04|(?2?x0?0) x0Cy0?1x x04(y0?1)4(y0?1)?1同理得到yN??1,得到x0x0所以,圆C半径r?|1?当

x0??2时,圆半径的最小值为3.

--------------------------------------9分

② 当P在左端点时,圆C的方程为:(x-4)2+y2=9 当P在右端点时,设P(2,0),A(0,1),B(0,?1) 所以直线PA的方程为:y?1??1x 2令x?4,得到yM??1同理得到yN?1, 圆C的方程为:(x-4)2+y2=1, 易知与定圆(x-2)2+y2=1相切, 半径R=1

4?1?,?2?x0?0?4?x0r?|1?|?? 由前一问知圆C的半径

x0?4?1,0?x0?2??x0因为yM?4(y0?1)4(y0?1)4y?1,yN??1,圆C的圆心坐标为(4,0) x0x0x0

?4?,?2?x0?0x?04y024?x016(1?)2?d?(4?2)?()=4? 圆心距?4=4|x|x00?,0?x0?2x02??x02当-2?x00时,d=r-R=(1-44)-1=- ,此时定圆与圆C内切;x0x0当0

(注: 存在另一个圆心在x轴上的定圆与圆C相切,该定圆的圆心为

(6,0)和半径

R?1.得分相同)

------------------------------------------------------------------------------------14分

20..解:(Ⅰ)a4?2,a5?1;-----------------------------------------------------2分

1k?N*),假设ak?1?m(Ⅱ)ak?(

①当m?1时,依题意有

ak?2?ak?3????????1

②当m?1时,依题意有ak?2?m,ak?3?1

③当m?1时,依题意有ak?2?ak?6?1

*a?(1k?N),在无穷数列{an}中,第k项后总存k由以上过程可知:若

1111,ak?3?2,ak?4?,ak?5?,

mmmm在数值为1 的项,以此类推,数列{an}中有无穷项为1. --------------------------------------------------6分

(Ⅲ)证明:由条件可知an?1(n?1,2,3,),

).

(n?1,2,3,因为{an}中任何一项不等于1,所以an?an+1①若a2n?1?a2n,则bn?a2n?1. 因为a2n+1=a2n?1,所以a2n?1?a2n+1.

a2n 若a2n?21?1,则a2n+2?a2n?21?a2n?1,于是a2n-1?a2n+2;

a2na2na2n?1a2na2n2a若2?1,则a2n+2?a??2n?a2n?a2n?a2n?1,于是a2n-1?a2n+2; a2na2n?1a2n?12n?1a2n若a2n?21?1,则a2n+2?1,于题意不符;

a2n所以a2n?1?max{a2n+1,a2n+2},即bn?bn?1. ②若a2n?1?a2n,则bn?a2n. 因为a2n+1= 因为a2n+2=a2na2n-1a2na2n+1,所以a2n?a2n+1; ,所以a2n?a2n+2;

所以a2n?max{a2n+1,a2n+2},即bn?bn?1.

综上所述,对于一切正整数n,总有bn?bn?1,所以数列{bn}是单调递减

数列.

-------------------------------------------------------------------------------13分

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/rq2.html

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