解析几何第四版吕林根课后习题答案一至三章

第一章 向量与坐标

§1.1 向量的概念

1.下列情形中的向量终点各构成什么图形？

（1）把空间中一切单位向量归结到共同的始点；

（2）把平行于某一平面的一切单位向量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点；

（4）把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面； （2）单位圆

（3）直线； （4）相距为2的两点

A F 2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，

在向量OA、OB、 OC、OD、OE、 OF、AB、BC、CD、 DE、EF B O E

和FA中，哪些向量是相等的？

C [解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF中，

相等的向量对是： 图1-1

OA和EF；OB和FA；OC和AB；OE和CD；OF和DE.

3. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、

ＤＡ的中点，求证：KL＝NM. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？

[证明]：如图1-2，连结AC, 则在?BAC中， KL中，NM1AC. KL与AC方向相同；在?DAC21AC. NM与AC方向相同，从而2KL＝NM且KL与NM方向相同，所以KL＝

NM.

4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对向量中，找出相等的向量和互为相反向量的向量：

(1) AB、CD; (2) AE、CG; (3) AC、

EG;

(4) AD、GF; (5) BE、CH. [解]：相等的向量对是（2）、（3）和（5）； 互为反向量的向量对是（1）和（4）。

§1.2 向量的加法

1.要使下列各式成立，向量a,b应满足什么条件？ （1）a?b?a?b; （2）a?b?a?b; （3）a?b?a?b; （4）a?b?a?b;

图1—3 （5）a?b?a?b.

[解]：（1）a,b所在的直线垂直时有a?b?a?b；

（2）a,b同向时有a?b?a?b;

（3）a?b,且a,b反向时有a?b?a?b; （4）a,b反向时有a?b?a?b;

（5）a,b同向，且a?b时有a?b?a?b.

§1.3 数量乘向量

1 试解下列各题．

⑴ 化简(x?y)?(a?b)?(x?y)?(a?b)．

⑵ 已知a?e1?2e2?e3，b?3e1?2e2?2e3，求a?b，a?b和3a?2b．

???????3x?4y?a⑶ 从向量方程组??，解出向量x，y． ????2x?3y?b??????????????????解 ⑴

(x?y)?(a?b)?(x?y)?(a?b)?xa?xb?ya?yb?xa?xb?ya?yb?2xb?2ya⑵ a?b?e1?2e2?e3?3e1?2e2?2e3?4e1?e3，

a?b?e1?2e2?e3?(3e1?2e2?2e3)??2e1?4e2?3e3， 3a?2b?3(e1?2e2?e3)?2(3e1?2e2?2e3)??3e1?10e2?7e3． 2 已知四边形ABCD中，AB?a?2c，CD?5a?6b?8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，求EF．

???1?1?1???1?? 解 EF?CD?AB?(5a?6b?8c)?(a?2c)?3a?3b?5c．

2222????????????????????????????????????????????????????????? 3 设AB?a?5b，BC??2a?8b，CD?3(a?b)，证明：A、B、D三点共线． 证明 ∵BD?BC?CD??2a?8b?3(a?b)?a?5b?AB

∴AB与BD共线，又∵B为公共点，从而A、B、D三点共线．

4 在四边形ABCD中，AB?a?2b，BC??4a?b，CD??5a?3b，证明ABCD为梯形．

?????????????????????????????? 证明∵AD?AB?BC?CD?(a?2b)?(?4a?b)?(5a?3b)?2(?4a?b)?2BC ∴AD∥BC，∴ABCD为梯形．

6. 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线向量AL, BM,

?

??????????????CN可 以构成一个三角形.

[证明]： ?AL?12(AB?AC) BM?12(BA?BC)

CN?12(CA?CB)

?AL?BM?CN?12(AB?AC?BA?BC?CA?CB)?0

从而三中线向量AL,BM,CN构成一个三角形。

7. 设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明 OA?OB+OC=OL+OM+ON.

[证明] ?OA?OL?LA OB?OM?MB OC?ON?NC

?OA?OB?OC?OL?OM?ON?(LA?MB?NC) =OL?OM?ON?(AL?BM?CN) 由上题结论知：AL?BM?CN?0

?OA?OB?OC?OL?OM?ON

8. 如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明

OA+OB+OC+OD＝4OM.

[证明]：因为OM＝

12(OA+OC), OM＝12(OB+OD), 所以 2OM＝12(OA+OB+OC+OD) 所以

OA图1-5

+OB+OC+OD＝4OM.

9 在平行六面体ABCDEFG（参看第一节第4题图）中，AC??AF??AH??2AG?．

??????? 证明 AC?AF?AH?AC?AF?AD?DH?AC??AF??FG??CG??2AG?．证明

10. 用向量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半． 证明 已知梯形ABCD，两腰中点分别为M、N，连接AN、BN． MN?MA?AN?MA?AD?DN，

MN?MB?BN?MB?BC?CN，∴ MN?AD?BC，即

???1?1? MN?(AD?BC) ，故MN平行且等于(AD?BC)．

22????????????????

11. 用向量法证明，平行四边行的对角线互相平分.

[证明]：如图1-4，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点

?AD?OD?OABC?OC?OB但 AD?BC

图1-4 ?OD?OA?OC?OBOA?OC?OD?OB由于(OA?OC)∥AC,(OB?OD)∥BD,而AC不平行于BD，

?OA?OC?OD?OB?0，

从而OA=OC，OB=OD。

12. 设点O是平面上正多边形A1A2…An的中心，证明: [证明]：因为

?OA1+OA2+…+OAn＝0.

OA1＋OA3＝?OA2, OA2＋OA4＝?OA3, ……

OAn?1+OA1＝?OAn, OAn＋OA2＝?OA1,

所以 2(OA1+OA2+…+OAn)

?所以 (?－2)(OA1+OA2+…+OAn)＝0. 显然 ?≠2, 即 ?－2≠0.

?所以 OA1+OA2+…+OAn＝0.

13．在12题的条件下，设P是任意点，证明：PA1?PA2???PAn?nPO 证明：?OA1?OA2???OAn?0

?PA1?PO?PA2?PO???PAn?PO?0

＝?(OA1+OA2+…+OAn),

?????? 即 PA1?PA2???PAn?nPO

§1.4 向量的线性关系与向量的分解

1．在平行四边形ABCD中，

（1）设对角线AZ?a,BD?b,求AB,BC,CD,DA. 解：AB??1111b?a,BC?b?a,CD?b?a,DA??b?a．设边BC和CD的2222????????（2）中点M和N，且AM?P,AN?q求BC,CD。 解：AC?1?1?q?P,BC?2MC?2?q?P?P??q?3P 2?2????? CD?2CN?2AN?AC?2????1??1p?q?q??q?p

2??22．在平行六面体ABCD-EFGH中，设AB?e1,AD?e2,AE?e3,三个

面上对角线向量设为AC?p,AH?q,AF?r,试把向量a??p??q??r写成e1,e2,e3的线性组合。

证明：AC?p?e2?e1,AH?q?e3?e2， AF?r?e3?e1，

a??AC??AH??AF

???????e1??????e2??????e3

3. 设一直线上三点A, B, P满足AP＝?PB(??－1),O是空间任意一点，求证：

OA??OB

1??[证明]：如图1-7，因为

OP＝

AP＝OP－OA,

PB＝OB－OP,

所以 OP－OA＝? (OB－OP),

(1+?)OP＝OA+?OB,

OA??OB从而 OP＝.

1??4. 在?ABC中,设AB?e1,AC?e2.

图1-7

(1) 设D、E是边BC三等分点,将向量AD,AE分解为e1,e2的线性组合; （2）设AT是角A的平分线(它与BC交于T点),将AT分解为e1,e2的线性组合 解：（1）?BC?AC?AB?e2?e1,BD?

（2）因为

11BC?e2?e1， 33112121AD?AB?BD?e2?e1?e1?e1?e2，同理AE?e2?e1

333333??|BT||e1| ＝,|TC||e1|且 BT与TC方向相同， 所以 BT＝|e1|TC. |e2|e1?AT＝由上题结论有

|e1||e2||e|e?|e1|e2＝21. |e1||e1|?|e2|1?|e2|e25．在四面体OABC中，设点G是?ABC的重心（三中线之交点），求向量OG对于向量

OA,,OB,OC的分解式。

解：?G是?ABC的重心。?连接AG并延长与BC交于P

?AP?12211AB?AC,AG?AP??AB?AC?AB?AC 2332311同理BG?BA?BC,CG?CA?CB C O 331?OG?OA?AG?OA?AB?BC （1） G P

31 OG?OB?BG?OB?BA?BC （2） A B

3 1 OG?OC?CG?OC?CA?CB （3） （图1）

3

????????????????由（1）（2）（3）得

3OG?OA?OB?OC? ?OA?OB?OC 即OG?1?AB?AC?BA??1BC?CA?CB 33??1OA?OB?OC 3??6．用向量法证明以下各题

（1）三角形三中线共点

证明：设BC，CA，AB中，点分别为L，M，N。AL与BM交于P1，AL于CN交于P2 BM于CN交于P3，取空间任一点O，则 A

21BM?OB?BA?BC 3311 ?OB?OA?OB?OC?OB?OA?OB?OC A

331同理OP2?OA?OB?OC N M 31 OP3?OA?OB?OC B L C

3OP1?OB?BP1?OB??????????? ?P1,P2,P3三点重合 O ?三角形三中线共点 （图2） （第3页）

7．已知向量a,b不共线，问c?2a?b与d?3a?2b是否线性相关？ 证明：设存在不全为0的?,?，使得?c??d?0 即

?2a?b?b????2???0?a?2??3???b????2???0

??故由已知a,b不共线得

?2??3??0???2??0????0??0与假设矛盾， 故不存在不全为0的?,?，使得

?c??d?0成立。所以c,d线性无关。

???8. 证明三个向量a＝－e1+3e2+2e3, b＝4e1－6e2+2e3，c＝－3e1+12e2＋11e3共面，

?其中a能否用b,c线性表示？如能表示，写出线性表示关系式.

[证明]：由于向量e1, e2, e3不共面，即它们线性无关.

??考虑表达式 ?a+?b+vc＝0，即

?? (－e1+3e2+2e3)+? (4e1－6e2+2e3)+v (－3e1+12e2＋11e3)＝0,

?或 (－?+4?－3v) e1+(3?－6?＋12v) e2+(2?+2?＋11v) e3＝0.

由于e1, e2, e3线性无关，故有

????4??3v?0,?12v?0, ?3?－6?＋?2??2??11v?0.?解得 ?＝－10，?＝－1，v＝2.

???由于 ?＝－10?0，所以a能用b,c线性表示

?1?1?a＝－b＋c.

5109．证明三个向量?a??b,?b??c,?c??a共面。 证明：??a??b?????b??c????c??a??0

?三个向量线性相关，从而三个向量共面。

OC－OB＝?(OA－OB),

所以 BC＝?BA, 从而 BC//BA.

故 A，B，C三点共线.

§1.5 标架与坐标

???3. 在空间直角坐标系{O;i,j,k}下，求P(2,－3,－1)，M(a, b, c)关于 (1) 坐标平面；(2) 坐标轴；(3) 坐标原点的各个对称点的坐标. [解]：M (a, b, c)关于xOy平面的对称点坐标为(a, b, －c)，

M (a, b, c)关于yOz平面的对称点坐标为(－a, b, c)， M (a, b, c)关于xOz平面的对称点坐标为(a,－b, c)， M (a, b, c)关于x轴平面的对称点坐标为(a,－b,－c)， M (a, b, c)关于y轴的对称点的坐标为(－a, b,－c)， M (a, b, c)关于z轴的对称点的坐标为(－a,－b, c). 类似考虑P (2,－3，－1)即可. 8. 已知向量a, b, c的分量如下：

(1) a＝{0, －1, 2}，b＝{0, 2, －4}，c＝{1, 2, －1}； (2) a＝{1, 2, 3}，b＝{2, －1, 0}，c＝{0, 5, 6}.

试判别它们是否共面？能否将c表成a，b的线性组合？若能表示，写出表示式.

0?12[解]:(1) 因为 0122?4＝0,所以 a, b, c三向量共面, ?1又因为a, b的对应坐标成比例，即a//b，但c故不能将c表成a, b的线性组合.

123(2) 因为 2?10＝0,所以 a, b, c三向量共面.

a，

056又因为 a, b的对应坐标不成比例，即ab，

故可以将c表成a, b的线性组合.

??设 c＝?a+?b, 亦即{0, 5, 6}＝?{1, 2, 3}+?{2, －1, 0} 从而

???2??0,? ?2????0, ?3??6.?解得 ?＝2，?＝－1,

???所以 c＝2a－b.

7．已知A,B,C三点坐标如下：

??（2）在标架?O;e,e,e?下，A?0,1,0?,B??1,0,?2?,C??2,3,4?（1）在标架O;e1,e2下，A?0,1?,B?2,?2?,C??2,4?.

123

判别它们是否共线？若共线，写出AB和AC的线形关系式. 解：（1）因为AB??2,?3?,AC???2,3? 所以AB??AC 共线

（2）AB???1,?1,?2?,AC???2,2,4? 设AB??AC，但?不存在 所以A,B,C不共线.

???2??0???2?得?2????5 所以? .

???1??3??6?9. 已知线段AB被点C(2,0,2)和D(5,-2,0)三等分,试求这个线段两端点A与B的坐标. 答 A(-1,2,4),B(8,-4,2).

10.证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍. 用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来.

[证明]：设四面体A1A2A3A4,Ai对面重心为Gi, 欲证AiGi交于一点(i＝1, 2, 3, 4).

在AiGi上取一点Pi，使AiP＝3P, 从而OPi＝iiGi设Ai (xi, yi, zi)(i＝1, 2, 3, 4)，则

?x?x3?x4,G1?23?OAi?3OGi，

1?3z2?z3?z4??, 3?z1?z3?z4??, 3?z1?z2?z4??, 3?z1?z2?z3??, 3?y2?y3?y4,3y1?y3?y4,3y1?y2?y4,3y1?y2?y3,3x?x?xG2??134,3??x?x2?x4,G3?13??x?x2?x3,G4?13?所以

P1(

x1?3?x2?x3?x4y?y3?y4z?z3?z4y1?3?2z1?3?2333,,) 1?31?31?3?P1(

x1?x2?x3?x4y1?y2?y3?y4z1?z2?z3?z4,,).

444同理得P2?P3?P4?P1，所以AiGi交于一点P，且这点到顶点距离等于这点到对面重心距离的三

倍.

§1.6 向量在轴上的射影

1．已知向量AB与单位向量e的夹角为150，且AB?10，求射影向量eAB与射影eAB，又如果e??e，求射影向量e?AB与射影e?AB. [解] 射影eAB=ABcos?(e,AB)?10.COS150??53, 射影向量eAB=?53e

?e???e,??(e?,AB)?180???(e,AB)?30? ?射影e?AB=ABcos?(e?,AB)?10.COS30?53,

??? 射影向量e?AB=53e?

2试证明：射影l(?a1??a2+…+?nan)＝?1射影la1+?2射影la2+…+?n射影lan.

[证明]：用数学归纳法来证.

当n＝2时，有

射影l(?1a1??2a2)＝射影l(?1a1)+射影l(?2a2)＝?1射影la1+?2射影la2. 假设当n＝k时等式成立，即有

射影l(?1a1????kak)＝?1射影la1+…+?k射影lak. 欲证当n＝k+1时亦然. 事实上 射影l(?1a1????kak??k?1ak?1) ＝射影l[(?1a1????kak)+?k?1ak?1] ＝射影l(?1a1????kak)+射影l(?k?1ak?1)

＝?1射影la1+…+?k射影lak+?k+1射影lak?1 故等式对自然数n成立.

§1.7 两向量的数性积

1．证明：

???????（1） 向量a垂直于向量(ab)c?(ac)b ；

?（2）在平面上如 果m1?????????????????证明：（1） ∵a.?(a?b)c??(ac)b?a(ab)c?a(ac)b

?????????? ?(ab)ac?(ac)ab=0

???????∴向量a垂直于向量(ab)c?(ac)b .

?????m2，且a?mi＝b?mi (i=1,2)，则有a＝b.

?（2） 因为 m1????m2,所以，对该平面上任意向量c＝?m1＋?m2,

????????????833, h2?23, h3?8. (2)AB?66, AC?96, BC?18. ∴h1?11????6.已知: a??2,3?,1 , b??5,6,4?, 试求: (1)以a,b为边的平行四

边

形

的

面

积

.

(2)这平行四边形的两条高的长.

解: (1)S??ab??sin?(?a,b?) ∵cos?(?a,??b)?a???b1622??ab??77 ∴sin?(a,b)?S?36(2)?a?14, ?b?77 , ∴hs321s34621??a?7 h2??b?77.

7. 用向量方法证明： （1）三角形的正弦定理

asinA＝bsinB＝csinC. （2）三角形面积的海伦(Heron)公式，即三斜求积公式：

?2＝p(p－a)(p－b)(p－c).

式中p＝

12(a+b+c)是三角形的半周长，?为三角形的面积. [证明]： (1) 如图1-13，在△ABC中，设BC＝a，CA＝b?，且|a|＝a，|b?|＝b, |c|＝c, 则 a+b?+c?AB＝c，

从而有 b??＝0,

所以 |b??c＝c?a＝a?b,

?c|＝|c?a|＝|a?b?|,

bcsinA＝casinB＝absinC,

于是

abcsinA＝sinB＝sinC. (2) 同上题图，△ABC的面积为

?＝

12|a?b?|, 所以 ?2＝

14(a?b?)2. 因为 (a?b?)2+(a?b?)2＝a2b?2

,

所以 ?2

＝1[a2b?2－(a?b?)2].

由于 a+b?4+c＝?0,

从而 a+b?＝－c，(a＋b?)2

＝c2,

所以 ab?＝12(c?2－a2

－b?2)＝12(c2－a2－b2), 29777∴

故有 ?2＝

14[a2b2－122224(c－a－b)] ＝116[2ab－(c2－a2－b2)][2ab+(c2－a2－b2)] ＝116[(a+b)2－c2][c?2－(a－b)2] ＝116(a+b+c)(a+b－c)(c+a－b)(c－a＋b) ＝116?2p?(2p－2c)(2p－2b)(2p－2a). 所以 ?2=p(p?a)(p?b)(p?c),

或 ?=p(p?a)(p?b)(p?c).

§1.9 三向量的混合积

1. 设a, b, c为三个非零向量，证明

(3) (a, b, c+?a+?b) =(a, b, c);

(4 ＋b, b＋c, c＋a) =2(a, b, c).

[证明]：(1)左端=(a?b)?(c+?a+?b)

=(a?b)?c+(a?b)?(?a)+(a?b)?(?b) =(a?b)?c+?(a?b)?a+?(a?b)?b =(abc)+?(aba)+?(abb) =(abc)=右端.

(2) 左端=[(b+c)?(c+a)]?(a+b)

=[b?c+b?a+c?a]?(a+b)

=(b?c)?a+(b?a)?a+(c?a)?a+(b?c)?b+(b?a)?b+(c?a)?b=(bca)+(cab)=2(abc)=右端.

2． 设径矢OA?r1, OB?r2, OC?r3, 证明 R＝(r1?r2)＋(r2?r3)＋(r3?r1) 垂直于ABC平面.

) (a [证明]:由于 AB?R=(r2?r1)?[(r1?r2)?(r2?r3)?(r3?r1)]

=(r2r1r2)?(r2r2r3)?(r2r3r1)?(r1r1r2)?(r1r2r3)?(r1r3r1) =(r1r2r3)?(r1r2r3)?0,

所以 AB?R. 同理可证 AC?R.

所以 R?平面ABC. ???3．u=a1e1+b1e2+c1e3,v?a2e1+b2e2+c2e3, w=a3e1+b3e2+c3e3,

a1???试证明 (u,v,w)=a2a3??a1[证明]：? u?v=

b1b2b3c1c2(e1,e2,e3). c3a2?????? ?(u,v,w)=(u?v)?w

a1b1b1=c3(e1?e2)?e3+a2b2b2

b1b1

(e1?e2)+b2b2c1c1(e2?e3)+c2c2a1(e3?e1) a2a1b3(e3?e1)?e2 a2c1c1a3(e2?e3)?e1+c2c2?(e1?e2)?e3 b3?a2??a1???4.已知直角坐标系内向量a,b,c的分量,判别这些向量是否共面?如果不共面,求出以它们为

???三邻边作成的平行六面体体积. (1)a??3,4,5?, b??1,2,2?, c??9,14,16?.

???(2), , . a??3,0,?1?b??2,?4,3?c???1,?2,2?345??????2?0 ∴向量a,b,c共面 解: (1)共面 ∵(a,b,c)=1291416

?a1b1b1c1c1=?c?a??ab3bc3c222?22a1b1c1=a2b2c2(e1,e2,e3). a3b3c330?1??????(2)不共面 ∵(a,b,c)=2?43?2 ∴向量a,b,c不共面 以其为邻边作成

?1?22的平行六面体体积V?2

5. 已知直角坐标系内?,?,C,D四点坐标,判别它们是否共面?如果不共面,求以它们为顶点的四面体体积和从顶点D所引出的高的长. ⑴A?1,0,1?,B?4,4,6?,C?2,2,3?,D?10,14,17?; ⑵A?2,3,1?,B?4,1,?2?,C?6,3,7?,D??5,4,8?. 解: ⑴共面.

⑵??AB,AC,AD??4???????2?7?2?301?586?2?58?V?

37?又AB?AC???12,?24,8?,?AB?AC?28,

???h?

1162929? ?顶点D所引出的四面体高为. 2877§1.10 三向量的双重矢性积

??????????1,0,?1?,b?1,?2,0?,c??1,2,1?,求?a?b??c和a??b?c?. 1. 在直角坐标系内,已知a??????????????????????2?b?5a 解 ?a?b??c=?a?c?b-?b?c?a=

????????? =??2,4,0???5,0,?5???3,4,?5?

?????????????????2?b?c???2,4,0????1,2,1????1,2,?1?. a??b?c?=?a?c?b-?a?b?c=

??????2. 证明 对于任意向量ri?i?1,2,3,4?下式成立:

??????????????????????????r1?r2??r3?r4???r1?r3??r4?r2???r1?r4??r2?r3??0 ????????????????????证 左式=?r1r3??r2r4???????????????????????r1r4??r2r3???r1r4??r3r2?

???????????????????????????????? ??r1r2??r3r4???r1r2??r3r4???r1r3??r2r4??0

??????????????????????????3. 证明 ?a?b???a?d?=?abd?a

????????????????????证 ?a?b???a?d?=?a?b?d?a????????????????????a?b?a?d??abd?a ????????????????????????????????4. 证明 ?a?b,c?d,e?f?=?abd??cef???abc??def?

??????????????????????????????证 ?a?b,c?d,e?f?=[?a?b???c?d?]?e?f?

?????????????????????????? =??abd?c??abc?d?.?e?f?

?????????????????? =?abd??cef???????????????????????abc??def? ???????5. 证明 a,b,c共面的充要条件是b?c,c?a,a?b共面. 证 b?c,c?a,a?b共面的

????????????????b?c,c?a,a?b??0

???????????????????b?c???c?a??.?a?b??0

?????????????????????????????bca?c??bcc?a?.?a?b??0

???????????????abc??0

?????????abd?=0

??2?a,b,c共面.

6. 对于任意向量a,b,c,d,证明

???????????????????????????????? ?bcd?a??cda?b??dab?c??abc?d?0 ??????????????证 ?bcd?a??????????cda?b??????????dab?c??????????abc?d ??????????????????????????????????=??c?d?b?a???c?d?a?b???a?b?d?c???a?b?c?d

????????????????????????????????=?c?d???a?b???a?b???c?d? ????????????????=?a?b???c?d????????????????a?b???c?d??0 ????

第二章 轨迹与方程 §2.1平面曲线的方程

1.一动点M到A(3,0)的距离恒等于它到点B(?6,0)的距离一半，求此动点M的轨迹方程，并指出此轨迹是什么图形？

解：动点M在轨迹上的充要条件是MA?

1MB。设M的坐标(x,y)有 2(x?3)2?y2?1(x?6)2?y2 化简得(x?6)2?y2?36 2故此动点M的轨迹方程为(x?6)2?y2?36

此轨迹为椭圆

2.有一长度为2a(a＞0）的线段，它的两端点分别在x轴正半轴与y轴的正半轴上移动，

是求此线段中点的轨迹。A，B为两端点，M为此线段的中点。 解：如图所示 设A(x,o),B(o,y).则M(,).在Rt?AOB中有

xy22(x2?y2)?(2a)2.把M点的坐标代入此式得:

(x2?y2)?a2(x?0,y?0).∴此线段中点的轨

迹为(x?y)?a.

2222

3. 一动点到两定点的距离的乘积等于定值m,求此动点的轨迹.

解:设两定点的距离为2a,并取两定点的连线为x轴, 两定点所连线段的中垂线为y轴.现有:

AM?BM?m2.设M(x,y)在Rt?BNM中

222 (a?x)?y?AM. (1) 在Rt?BNM中

2

(a?x)2?y2?BM. (2) 由(1)(2)两式得:

(x2?y2)2?2a2(x2?y2)?m4?a4.

4.设P,Q,R是等轴双曲线上任意三点,求证?PQR的重心H必在同一等轴双曲线上.

?x?ct?证明:设等轴双曲线的参数方程为?c P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x3,y3).重心H

y??t?(

x1?x2?x3y1?y2?y3,) 33

5.任何一圆交等轴双曲线xy?c2于四点P(ct1,),Q(ct2,一定有t1t2t3t4?1.

ct1ccc),R(ct3,)及S(ct4,).那么

t3t4t2

22证明:设圆的方程x?y?2Dx?2Ey?F?0.圆与等轴双曲线交点(ct,),则代入得

ctc22Ecct?2?2Dct??F?0.整理得: c2t4?2Dct3?Ft2?2Ect?c2?0.可知

tt22c2(i?1,2,是它的四个根3,则有韦达定理t1?t2?t?3t4?(?1)2?1.

c4

8. 把下面的平面曲线的普通方程化为参数方程. ⑴y?x; ⑵ x?y2?3?解:⑴?x?t

??y?t231212?a,?a?0?; ⑶x3?y3?3axy?0,?a?0?.

12令x?acos?,代入方程x?y?a 得y?a?acos12121224121212??asin2?,y?asin4?

124??x?acos?. ?参数方程为?4??y?asin?33⑶令y?tx,代入方程x?y?3axy?0

得1?tx?3atx?0

?3?32?x21?t3x?3at?0

?????x?0或x?3at1?t3

3at3at2当x?0时,y?0;当x?时,y?

1?t31?t33at?x???1?t3故参数方程为?. 23at?y??1?t3?

§2.2 曲面的方程

1、 一动点移动时，与A(4,0,0)及xoy平面等距离，求该动点的轨迹方程。 解：设在给定的坐标系下，动点M(x,y,z)，所求的轨迹为C， 则M(x,y,z)?C22?2MA?z

?z

亦即(x?4)?y?z?(x?4)2?y2?0

由于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为(x?4)?y?0

2、在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程：

（1）到两定点距离之比为常数的点的轨迹； （2）到两定点的距离之和为常数的点的轨迹； （3）到两定点的距离之差为常数的点的轨迹；

（4）到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。 解：（1）取二定点的连线为x轴，二定点连接线段的中点作为坐标原点，且令两距离之比的常数为m，二定点的距离为2a，则二定点的坐标为(a,0,0),(?a,0,0)，设动点M(x,y,z)，所求的轨迹为C，则

22M(x,y,z)?C2?22(x?a)2?y2?z2?m(x?a)2?y2?z2

2222亦即(x?a)?y?z?m[(x?a)?y?z]

经同解变形得：(1?m)(x?y?z)?2a(1?m)x?(1?m)a?0 上式即为所要求的动点的轨迹方程。

（2）建立坐标系如（1），但设两定点的距离为2c，距离之和常数为2a。设动点M(x,y,z)，

2222222要求的轨迹为C， 则M(x,y,z)?C?(x?c)2?y2?z2?(x?c)2?y2?z2?2a

222222亦即(x?c)?y?z?2a?(x?c)?y?z

两边平方且整理后，得：(a2?c2)x2?a2y2?a2z2?a2(a2?c2) （1）

?a?c?令b2?a2?c2

从而（1）为b2x2?a2y2?a2z2?a2b2 即：b2x2?a2y2?a2z2?a2b2

由于上述过程为同解变形，所以（3）即为所求的轨迹方程。 （3）建立如（2）的坐标系，设动点M(x,y,z)，所求的轨迹为C， 则M(x,y,z)?C?(x?c)2?y2?z2?(x?c)2?y2?z2??2a

x2y2z2类似于（2），上式经同解变形为：2?2?2?1

abc其中 b?c?a222(c?a) （*）

（*）即为所求的轨迹的方程。

（4）取定平面为xoy面，并让定点在z轴上，从而定点的坐标为(0,0,c)，再令距离之比为

m。

设动点M(x,y,z)，所求的轨迹为C，则

M(x,y,z)?C22?2x2?y2?z2?mz

22将上述方程经同解化简为：x?y?(1?m)z?2cz?c?0 （*） （*）即为所要求的轨迹方程。

3. 求下列各球面的方程：

（1）中心(2,?1,3)，半径为；R?6 （2）中心在原点，且经过点(6,?2,3)； （3）一条直径的两端点是(2?3,5)与(4,1,?3) （4）通过原点与(4,0,0),(1,3,0),(0,0,?4) 解：（1）由本节例5 知，所求的球面方程为：

(x?2)2?(y?1)2?(z?3)2?36

（2）由已知，球面半径R?所以类似上题，得球面方程为

62?(?2)2?32?7

x2?y2?z2?49

（3）由已知，球面的球心坐标a?2?4?3?15?3?3,b???1,c??1，球的半径222R?1(4?2)2?(1?3)2?(5?3)22?21，所以球面方程为： (x?3)2?(y?1)2?(z?1)2?21

（4）设所求的球面方程为：x2?y2?z2?2gx?2hy?2kz?l?0 因该球面经过点(0,0,0),(4,0,0),(1,3,0),(0,0,?4)，所以

??l?0??16?8g?0 ?10?2g?6h?0 ??16?8k?0解（1）有

??l?0??h??1?g??2 ??k?2?所求的球面方程为x2?y2?z2?4x?2y?4z?0

§2.3 母线平行于坐标轴的柱面方程

1、画出下列方程所表示的曲面的图形。 （1）4x2?9y2?36 解：各题的图形如下： （1）4x2?9y2?36

z y

1） （

O x

§2.4 空间曲线的方程

1、平面x?c与x2?y2?2x?0的公共点组成怎样的轨迹。 解：上述二图形的公共点的坐标满足

?x2?y2?2x?0?y2?c(2?c) ????x?c?x?c从而：（Ⅰ）当0?c?2时，公共点的轨迹为：

??y?c(2?c) 及 ???x?c即为两条平行轴的直线；

（Ⅱ）当c?0时，公共点的轨迹为：

??y??c(2?c) ???x?c?y?0 即为z轴； ??x?0（Ⅲ）当c?2时，公共点的轨迹为：

?y?0 即过(2,0,0)且平行于z轴的直线； ?x?2?（Ⅳ）当c?2或c?0时，两图形无公共点。

2、指出下列曲面与三个坐标面的交线分别是什么曲线？

（1）x?y?16z?64； （2）x?4y?16z?64； （3）x?4y?16z?64； （4）x?9y?10z 解：（1）曲面与xoy面的交线为：

22222222222?x2?y2?16z2?64?x2?y2?64 ????z?0?z?0此曲线是圆心在原点，半径R?8且处在xoy面上的圆。

222同理可求出曲面x?y?16z?64与yoz面(x?0)及zox面(y?0)的交线分别为：

?y2?16z2?64??x?0?x2?16z2?64， ??y?0

它们分别是中心在原点，长轴在y轴上，且处在yoz面上的椭圆，以及中心在原点，长轴在

x轴上，且处在zox面上的椭圆；

（2）由面x2?4y2?16z2?64与xoy面(z?0)，yoz面(x?0)，zox面(y?0)的交线分别为：

?x2?4y2?16z2?64?x2?4y2?16z2?64?x2?4y2?16z2?64,?,? ?z?0x?0y?0????x2?4y2?64?y2?4z2?16?x2?16z2?64亦即：?,?,?

?z?0?x?0?y?0即为中心在原点，长轴在x轴上，且处在xoy面上的椭圆；中心在原点，实轴在y轴，且处

在yoz面上的双曲线，以及中心在原点，实轴在x轴，且处在zox面上的双曲线。 （3）曲面x2?4y2?16z2?64与xoy面(z?0)，yoz面(x?0)，zox面(y?0)的交线分别为：

?x2?4y2?16z2?64?x2?4y2?16z2?64?x2?4y2?16z2?64,?,? ??z?0?x?0?y?0?x2?4y2?64??4y2?16z2?64?x2?16z2?64亦即?,?,?

z?0x?0y?0???即为中心在原点，实轴在x轴，且处在xoy面上的双曲线；无轨迹以及中心在原点，实轴在

x轴上，且处在zox面上的双曲线。

22（4）曲面x?9y?16z与xoy面(z?0)，yoz面(x?0)，zox面(y?0)的交线分别

为：

?x2?9y2?16z?x2?9y2?16z?x2?9y2?16z,?,? ??z?0?x?0?y?0?x2?9y2?0?9y2?16z?x2?16z亦即?,?,?

z?0y?0???x?0即为坐标原点，顶点在原点以z轴为对称轴，且处在yoz面上的抛物线，以及顶点在原点，以z轴为对称轴，且处在zox面上的抛物线。

3. 求下列空间曲线对三个坐标面的射影柱面方程。

?x2?y2?z?0?x2?z2?3yz?2x?3z?3?0?0（1）?;（2）?

?z?x?1?y?z?1?0222??x?2y?6z?5?x?y?z?1（3）?（4）?2 223x?2y?10z?7?x?(y?1)?(z?1)?1???x2?y2?z?0解：（1）从方程组?

?z?x?1分别消去变量x,y,z，得：(z?1)2?y2?z?0

亦即： z2?y2?3z?1?0 （Ⅰ）

z?x?1?0 （Ⅱ）

x2?y2?x?1?0 （Ⅲ）

（Ⅰ）是原曲线对yoz平面的射影柱面方程； （Ⅱ）是原曲线对zox平面的射影柱面方程； （Ⅲ）是原曲线对xoy平面的射影柱面方程。 （2）按照与（1）同样的方法可得原曲线

（Ⅰ）对yoz平面的射影柱面方程；y?z?1?0；

（Ⅱ）对zox平面的射影柱面方程；x?2z?2x?6z?3?0； （Ⅲ）对xoy平面的射影柱面方程。x2?2y2?2x?2y?1?0。 （3） 原曲线对yoz平面的射影柱面方程：2y?7z?2?0

原曲线对zox平面的射影柱面方程：x?z?3?0 原曲线对xoy平面的射影柱面方程：7x?2y?23?0 （4） 原曲线对yoz平面的射影柱面方程：y?z?1?0

原曲线对zox平面的射影柱面方程：x?2z?2z?0 原曲线对xoy平面的射影柱面方程：x?2y?2y?0

222222?y2?4z?06. 求空间曲线?的参数方程. 2?x?z?0 解: 令y?2t,代入方程y?4z?0得y?t再将所得结果代入方程x?z?0得

222?x??t?x??t4.从而知曲线的参数方程为?y?2t

?z?t2?4

第三章 平面与空间直线

§ 3.1平面的方程

1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：

（1）通过点M1(3,1,?1)和点M2(1,?1,0)且平行于向量{?1,0,2}的平面（2）通过点

M1(1,?5,1)和M2(3,2,?2)且垂直于xoy坐标面的平面；

（3）已知四点A(5,1,3)，B(1,6,2)，C(5,0,4)D(4,0,6)。求通过直线AB且平行于直线CD的平面，并求通过直线AB且与?ABC平面垂直的平面。

解： （1）? M1M2?{?2,?2,1}，又向量{?1,0,2}平行于所求平面， 故所求的平面方程为：

?x?3?2u?v? ?y?1?2u

?z??1?u?2v?一般方程为：4x?3y?2z?7?0

（2）由于平面垂直于xoy面，所以它平行于z轴，即{0,0,1}与所求的平面平行，又

M1M2?{2,7,?3}，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：

?x?1?2u??y??5?7u ?z?1?3u?v?一般方程为：7(x?1)?2(y?5)?0，即7x?2y?17?0。 （3）（ⅰ）设平面?通过直线AB，且平行于直线CD： AB?{?4,5,?1}，CD?{?1,0,2} 从而?的参数方程为：

?x?5?4u?v? ?y?1?5u?z?3?u?2v?一般方程为：10x?9y?5z?74?0。

（ⅱ）设平面??通过直线AB，且垂直于?ABC所在的平面

? AB?{?4,5,?1}， AB?AC?{?4,5,?1}?{0,?1,1}?{4,4,4}?4{1,1,1}

?x?5?4u?v??y?1?5u?v ?z?3?u?v?均与??平行，所以??的参数式方程为：

一般方程为：2x?y?3z?2?0.

2.化一般方程为截距式与参数式： ?:x?2y?z?4?0. 解：

?与三个坐标轴的交点为：(?4,0,0),(0?2,0),(0,0,4)，

xyz???1. ?4?24所以，它的截距式方程为：

又与所给平面方程平行的向量为：{4,?2,0},{4,0,4}，

? 所求平面的参数式方程为：

?x??4?2u?v? ?y??u?z?v?3.证明向量v?{X,Y,Z}平行与平面Ax?By?Cz?D?0的充要条件为：

AX?BY?CZ?0. 证明： 不妨设A?0，

则平面Ax?By?Cz?D?0的参数式方程为：

DBC?x???u?v?AAA? ?y?u?z?v??BC故其方位向量为：{?,1,0},{?,0,1}，

AA从而v平行于平面Ax?By?Cz?D?0的充要条件为：

v，{?BC,1,0},{?,0,1}共面? AAXYB?1AC?0A? AX?BY?CZ?0.

Z0?0 14. 已知连接两点A(3,10,?5),B(0,12,z)的线段平行于平面7x?4y?z?1?0，求B点的z坐标.

解： ? AB?{?3,2,5?z}

而AB平行于7x?4y?z?1?0 由题3知：(?3)?7?2?4?(z?5)?0 从而z?18.

5. 求下列平面的一般方程.

⑴通过点?1?2,?1,1?和?2?3,?2,1?且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点??3,2,?4?且在x轴和y轴上截距分别为?2和?3的平面; ⑶与平面5x?y?2z?3?0垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面; ⑷已知两点?1?3,?1,2?,?2?4,?2,?1?,求通过?1且垂直于?1,?2的平面; ⑸原点?在所求平面上的正射影为??2,9,?6?;

⑹求过点?1?3,?5,1?和?2?4,1,2?且垂直于平面x?8y?3z?1?0的平面.

x?2解:平行于x轴的平面方程为

y?1z?1?1000?0.即z?1?0.

11同理可知平行于y轴,z轴的平面的方程分别为z?1?0,x?y?1?0. ⑵设该平面的截距式方程为

xyz24???1,把点??3,2,?4?代入得c?? ?2?3c19故一般方程为12x?8y?19z?24?0.

⑶若所求平面经过x轴，则?0,0,0?为平面内一个点,

?5,1,?2?和?1,0,0?为所求平面的方位向量,

x?0∴点法式方程为

y?0z?010?2?0

051∴一般方程为2y?z?0.

同理经过y轴,z轴的平面的一般方程分别为2x?5z?0,x?5y?0.

1,?1,?3?.?1?2垂直于平面?, ⑷?1?2??1,?1,?3?,平面?通过点?1?3,?1,2?, ∴该平面的法向量n????因此平面?的点位式方程为?x?3???y?1??3?z?2??0. 化简得x?y?3z?2?0.

. (5) op??2,9,?6? p?op????4?81?36?11.

op?p?n0?11?cos?,cos?,cos????2,9,?6?. 296,cos??,cos???. 111111296y?z?11?0. 则该平面的法式方程为:x?111111∴ cos??既 2x?9y?6z?121?0.

1,?8,3?，M1M2??（6）平面x?8y?3z?1?0的法向量为n??1,6,1?，点从?4,1,2?

?x?4写出平面的点位式方程为

y?1z?2?8631?0，则A?11?83??26, 61B?3113?2,C??14,D??26?4?2?28??74， 1111则一般方程Ax?By?Cz?D?0,即：13x?y?7z?37?0. 6．将下列平面的一般方程化为法式方程。

?1?.x?2y?5z?3?0.?2?x?y?1?0.?3?x?2?0.?4?4x?4y?7z?0.

解：?D??3.

???1A?B?C222?130

?将已知的一般方程乘上??130.得法式方程

x30?2y30?5z30?1330?0.

?2??D?1.?????12x?12y?1212.?将已知的一般方程乘上???2.得法式方程

?0.

?3?.?D?2.????1.?将已知的一般方程乘上???1.得法式方程?x?2?0. ?4?.?D?0.????1.即??1或???1

999将已知的一般方程乘上??11447或???.得法式方程为x?y?z?0或99999?447x?y?z?0. 9997．求自坐标原点自以下各平面所引垂线的长和指向平面的单位法向量的方向余弦。

?1?.2x?3y?6z?35?0.?2?.x?2y?2z?21?0.

解：?1?.D??35.??1236.化为法式方程为x?y?z?5?0原点指向平面?的单位法7777236,cos??,cos??.原点o到平面?777向量为u??,,?,它的方向余弦为cos??的距离为P???D?5.

?236??777??2?.D?21.???1.化为法式方程为-?1x?2y?2z?7?0原点指向平面?的单位法向

3333量为n???0122?122?,,??,它的方向余弦为cos???,cos??,cos???.原点o到平

333?333?面?的距离p???D?7. 第20页

8．已知三角形顶点A?0,?7,0?,B?2,?1,1?,C?2,2,2?.求平行于?ABC所在的平面且与她相距为2各单位的平面方程。

????????????解：设AB?a,AC?b.点A?0,?7,0?.则a??2,6,1?,b??2,9,2?写出平面的点位式方程

x22y?769z1?0 2设一般方程Ax?By?Cz?D?0.?A?3.B?2,C?6,D??14?0. 则??1.p???D?2. 7相距为2个单位。则当p?4时D??28.当p?0时D?0.

?所求平面为3x?2y?6z?28?0.和3x?2y?6z?0.

9．求与原点距离为6个单位，且在三坐标轴ox,oy与oz上的截距之比为a:b:c??1:3:2的平面。

解：设a??x,b?3x,c?2x.?abc?0.?设平面的截距方程为xya?b?zc?1. 即bcx?acy?abz?abc. 又?原点到此平面的距离d?6.?abc?b2c2?6.

?a2c2?a2b2?x21?x11321?7,?a??7,b?7,c?7.

?所求方程为?x?yz3?2?7.

10．平面xa?yb?zc?1分别与三个坐标轴交于点A,B,C.求?ABC的面积。

解 A(a,0, B(0,b,0),C(0,0,c)???AB????a,b,0?,???AC????a,0,c? ???AB?????AC???bc,ca,ab?;???AB?????AC??b2c2?c2a2?a2b2.

∴S?ABC=12b2c2?c2a2?a2b2

11．设从坐标原点到平面的距离为。求证

证明：由题知：?1111?p.?1111p?a2?b2?c2. a2?b2?c2从而有11p2?a2?11b2?c2.

§ 3.2 平面与点的相关位置

1.计算下列点和平面间的离差和距离： （1）M(?2,4,3)， ?: 2x?y?2z?3?0； （2）M(1,2,?3)，

?: 5x?3y?z?4?0.

解： 将?的方程法式化，得：

?23x?13y?23z?1?0， 故离差为：?(M)?(?23)?(?2)?13?4?23?3?1??13，

.

1M到?的距离d??(M)?.

3（2）类似（1），可求得

?(M)??535?635?335?435?0，

M到?的距离d??(M)?0.

2.求下列各点的坐标：

（1）在y轴上且到平面2?2y?2z?2?0的距离等于4个单位的点； （2）在z轴上且到点M(1,?2,0)与到平面3x?2y?6z?9?0距离相等的点； （3）在x轴上且到平面12x?16y?15z?1?0和2x?2y?z?1?0距离相等的点。 解：（1）设要求的点为M(0,y0,0)则由题意

2y0?29?4

? y0?1?6 ?y0??5或7.

即所求的点为（0，-5，0）及（0，7，0）。 （2）设所求的点为(0,0,z0)则由题意知：

12?22?z0?由此，z0??2或-82/13。 故，要求的点为(0,0,?2)及(0,0,?26z0?97

82)。 13（3）设所求的点为(x0,0,0)，由题意知：

12?0?125由此解得：x0?2或11/43。

?2x0?13

所求点即（2，0，0）及（11/43，0，0）。

,?5),C(1,?1,4)，计算从顶点S向底3.已知四面体的四个顶点为S(0,6,4),A(3,5,3),B(?2,11面ABC所引的高。

解：地面ABC的方程为：

2x?y?2z?5?0

所以，高h?

4.求中心在C(3,?5,2)且与平面2x?y?3z?11?0相切的球面方程。 解：球面的半径为C到平面?：2x?y?3z?11?0的距离，它为：

?6?2?4?53?3。

R?2?3?5?6?1114?2814?214，

所以，要求的球面的方程为：

(x?3)2?(y?5)2?(z?2)2?56.

即：x2?y2?z2?6x?10y?4z?18?0.

5．求通过x轴其与点M?5,4,13?相距8个单位的平面方程。

解：设通过x轴的平面为By?Cz?0.它与点M?5,4,13?相距8个单位，从而

4B?13CB2?C2?8.?48B2?104BC?105C2?0.因此?12B?35C??4B?3C??0.

从而得12B?35C?0或4B?3C?0.于是有B:C?35:12或B:C?3:??4?.

?所求平面为35y?12z?0或3y?4z?0.

6. 求与下列各对平面距离相等的点的轨迹. ⑴3x?6y?2z?7?0和4x?3y?5?0; ⑵9x?y?2z?14?0和9x?y?2z?6?0. 解: ⑴ ?1:1?3x?6y?2z?7??0 71?4x?3y?5??0 511令?3x?6y?2z?7???4x?3y?5? 75?2:化简整理可得:13x?51y?10z?0与43x?9y?10z?70?0.

⑵对应项系数相同,可求D?程:9x?y?2z?4?0.

'D1?D2?14?6???4,从而直接写出所求的方22

9 判别点M（2 -1 1）和N （1 2 -3）在由下列相交平面所构成的同一个二面角内，还是在相邻二面角内，或是在对顶的二面角内？ （1）?1:3x?y?2z?3?0与?2:x?2y?z?4?0 （2）1:2x?y?5z?1?0与?2:3x?2y?6z?1?0

?6?1?2?3?0 解：（1）将M（2 -1 1），N（1 2 -3）代入?1，得： ?

3?2?6?3?0? 则M，N在?1的异侧 再代入?2，得：??2?2?1?4?7?0

1?4?3?4?4?0? ?MN在?2的同侧 ?MN在相邻二面角内

（2）将M（2 -1 1）N（1 2 -3）代入?1，得：? 则MN在?1的异侧。 再代入?2，得：?则MN在?2的异侧

?4?1?5?1?9?0

?2?2?15?1??8?0?6?6?2?1?13?0

?3?4?18?1??20?0? MN 在对顶的二面角内

10 试求由平面?1：2x?y?2z?3?0与?2：3x?2y?6z?1?0所成的二面角的角平分方程，在此二面角内有点（1， 2， -3）

解：设p（x y z）为二面角的角平分面上的点，点p到?1?2的距离相等

2x?y?2z?32?1?2222?3x?2y?6z?132?22?62?5x?3y?32z?19?0(1)化简得?

23x?y?4z?24?0(2)?把点p代入到?1?2上，?1?0 ?2?0

在（1）上取点（

18' 0 0）代入?1?2，?1'?0?2?0。 5\在（2）上取点（0 0 -6）代入?1?2，?1\?0?2?0

?（2）为所求，?解平面的方程为：3x?y?4z?24?0

3.3 两平面的相关位置

1.判别下列各对直线的相关位置： （1）x?2y?4z?1?0与

xy??z?3?0； 42（2）2x?y?2z?5?0与x?3y?z?1?0； （3）6x?2y?4z?5?0与9x?3y?6z?解：（1）? 1:2:(?4)?9?0。 211::(?1)， ? （1）中的两平面平行（不重合）； 42（2）? 2:(?1):(?2)?1:3:(?1)， ? （2）中两平面相交； （3）? 6:2:(?4)?9:3:(?6)， ? （3）中两平面平行（不重合）。

2.分别在下列条件下确定l,m,n的值：

（1）使(l?3)x?(m?1)y?(n?3)z?8?0和(m?3)x?(n?9)y?(l?3)z?16?0表示同一平面；

（2）使2x?my?3z?5?0与lx?6y?6z?2?0表示二平行平面； （3）使lx?y?3z?1?0与7x?2y?z?0表示二互相垂直的平面。 解：（1）欲使所给的二方程表示同一平面，则：

l?3m?1n?38??? m?3n?9l?3?16即：

?m?2l?3?0??n?2m?7?0 ?l?2n?9?0?从而：l?71337，m?，n?。

999（2）欲使所给的二方程表示二平行平面，则：

2m3?? l?6?6所以：l??4，m?3。

（3）欲使所给的二方程表示二垂直平面，则：

7l?2?3?0 所以： l??

3.求下列两平行平面间的距离：

（1）19x?4y?8z?21?0，19x?4y?8z?42?0； （2）3x?6y?2z?7?0，3x?6y?2z?14?0。 解：（1）将所给的方程化为：

1。 71948x?y?z?1?0 2121211948?x?y?z?2?0 212121?所以两平面间的距离为：2-1=1。

（2）同（1）可求得两平行平面间的距离为1+2=3。

4.求下列各组平面所成的角： （1）x?y?11?0，3x?8?0；

（2）2x?3y?6z?12?0，x?2y?2z?7?0。 解：（1）设?1：x?y?11?0，?2：3x?8?0

?(? cos1,?2)?? ?(?1,?2)??32?3或

??2 2?43?。 4（2）设?1：2x?3y?6z?12?0，?2：x?2y?2z?7?0

? cos(?1,?2)??2?6?128??

7?32188?(?1,?2)?cos?1或?(?1,?2)???cos?1。

212105. 求下列平面的方程:

(1) 通过点M1?0,0,1?和M2?3,0,0?且与坐标面xOy成60角的平面; (2) 过z轴且与平面2x?y?5z?7?0成60角的平面.

0

解 ⑴ 设所求平面的方程为

xyz???1. 3b1又xoy面的方程为z=0,所以cos60??11?0??0?13b?1??1?2??????1?3??b?22?1 2解得b??320,∴所求平面的方程为

x?3?y?z?1, 326即x?26y?3z?3?0

⑵设所求平面的方程为Ax?By?0;则cos60??2A?B?A2?B24?1?5?1 23A2?8AB?3B2?0,?A?B或A??3B 3?所求平面的方程为x?3y?0或3x?y?0.

§ 3.4空间直线的方程

1.求下列各直线的方程：

（1）通过点A(?3,0,1)和点B(2,?5,1)的直线； （2）通过点M0(x0,y0,z0)且平行于两相交平面?i：

Aix?Biy?Ciz?Di?0

(i?1,2)的直线；

（3）通过点M(1?5,3)且与x,y,z三轴分别成60,45,120的直线； （4）通过点M(1,0,?2)且与两直线

???x?1yz?1xy?1z?1???和?垂直的直线； 11?11?10（5）通过点M(2,?3,?5)且与平面6x?3y?5z?2?0垂直的直线。 解：（1）由本节（3.4—6）式，得所求的直线方程为：

x?3yz?1?? 2?3?50

即：

x?3yz?1x?3yz?1????，亦即。 5?501?10?B1??B2C1C1,C2C2A1A1,A2A2B1?? B2?（2）欲求直线的方向向量为：

所以，直线方程为：

x?x0y?y0z?z0。 ??B1C1C1A1A1B1B2C2C2A2A2B2?121?,??， （3）欲求的直线的方向向量为：cos60,cos45,cos120??,222???????故直线方程为：

x?1y?5z?3??。 1?12（４）欲求直线的方向向量为：?1,1,?1???1,?1,0????1,?1,?2?， 所以，直线方程为：

x?1yz?2??。 112（５）欲求的直线的方向向量为：?6,?3,?5?， 所以直线方程为：

x?2y?3z?5??。 6?3?5

２.求以下各点的坐标： （１）在直线

x?1y?8z?8??上与原点相距２５个单位的点； 213（２）关于直线??x?y?4z?12?0与点P(2,0,?1)对称的点。

2x?y?2z?3?0?解：（１）设所求的点为M(x,y,z)，则：

?x?1?2t??y?8?t ?z?8?3t?又x?y?z?25

即：(1?2t)?(8?t)?(8?3t)?25，

22222222解得：t?4或?62 71176130,?,?)。 777所以要求的点的坐标为：(9,12,20),(?（２）已知直线的方向向量为：?1,?1,?4???2,1,?2???6,?6,3?，或为?2,?2,1?，

?过P垂直与已知直线的平面为：2(x?2)?2y?(z?1)?0，

即2x?2y?z?3?0，

该平面与已知直线的交点为(1,1,3)，所以若令P?(x,y,z)为P的对称点，则：

1?2?x0?y?1?z，1?，3? 222? x?0,y?2,z?7，

即P?(0,2,7)。

３.求下列各平面的方程：

（１）通过点p(2,0,?1)，且又通过直线（２）通过直线

x?1yz?2??的平面； 2?13x?2y?3z?1??且与直线 1?5?1?2x?y?z?3?0 ??x?2y?z?5?0平行的平面； （３）通过直线

x?1y?2z?2??且与平面3x?2y?z?5?0垂直的平面； 2?32（４）通过直线??5x?8y?3z?9?0向三坐标面所引的三个射影平面。

?2x?4y?z?1?0解：（１）因为所求的平面过点p(2,0,?1)和p?(?1,0,2)，且它平行于向量?2,?1,3?，所以要求的平面方程为：

x?22?3即x?5y?z?1?0。

y?10z?133?0

1,2,?1????1,3,5?， （２）已知直线的方向向量为?2,?1,1????平面方程为：

x?21?1即11x?2y?z?15?0

y?3z?1?53?1?0 5（３）要求平面的法向量为?2,?3,2???3,2,?1????1,8,13?，

?平面的方程为：(x?1)?8(y?2)?13(z?2)?0，

即x?8y?13z?9?0。

?5x?8y?3z?9?0（4）由已知方程?

2x?4y?z?1?0?分别消去x，y，z得到：

36y?11z?23?0，9x?z?7?0，11x?4y?6?0

此即为三个射影平面的方程。

4.化下列直线的一般方程为射影式方程与标准方程，并求出直线的方向余弦： （1）??2x?y?z?1?0?x?z?6?0 （2）?

?3x?y?2z?3?0?2x?4y?z?6?0（3）??x?y?z?0

x?2?1?1?1221::?(?3):1:(?5)

?1?2?233?1解：（1）直线的方向数为：

?3?2?x?z???5?5， ?射影式方程为： ?19?y??z?5?5?32?x?z??55， 即?19?y??z?55?29x?y?5?5?z， 标准方程为：31?5531?3155方向余弦为：cos???35??35，cos???35??35，

55cos???135??535。

5（2）已知直线的方向数为：

01?4?1:11?12:102?4?4:3:(?4)，

?x?4z??24射影式方程为：???4?4， ??y?3?18?4z??4??x??z???y??3?6即9

4z?2y?9标准方程为：x?6?1?2?z， ?34?3方向余弦为：cos????141??441，cos???4341??41， 44cos???141??441。

4（3）已知直线的方向数为：1?1?111100:01:10?0:(?1):(?1)?0:1:1，

?射影式方程为： ??x?2， ?y?z?2标准式方程为：

x?20?y?21?z， 方向余弦为：cos??0，cos???112，cos???2。

5. 一线与三坐标轴间的角分别为?,?,?.证明si2n??s2i?n?2s?i?n 2 .

证 ∵cos2??cos2??cos2??1, ∴1?sin2??1?sin2??1?sin2??1,即

sin2??sin2??sin2??2.

§ 3.5直线与平面的相关位置

1.判别下列直线与平面的相关位置：

x?3y?4z??与4x?2y?2z?3； ?2?73xyz?与3x?2y?7z?8； （2）?3?27（1）

?5x?3y?2z?5?0（3）?与4x?3y?7z?7?0；

2x?y?z?1?0??x?t?（4）?y??2t?9与3x?4y?7z?10?0。

?z?9t?4?解：（1）?(?2)?4?(?7)?(?2)?3?(?2)?0， 而4?3?2?(?4)?2?0?3?17?0，， 所以，直线与平面平行。

（2）?3?3?2?(?2)?17?7?0 所以，直线与平面相交，且因为

3?27??， 3?27? 直线与平面垂直。

（3）直线的方向向量为：?5,?3,2???2,?1,?1???5,9,1?，

? 4?5?3?9?7?1?0，

而点M(?2,?5,0)在直线上，又4?(?2)?3?(?5)?7?0， 所以，直线在平面上。

1,?2,9?， （4）直线的方向向量为?? 3?1?4?(?2)?7?9?0

?直线与平面相交。

2.试验证直线l：和交角。

xy?1z?1??与平面?：2x?y?z?3?0相交，并求出它的交点?112

解： ? 2?(?1)?1?1?1?2??3?0

? 直线与平面相交。

?x??t?又直线的坐标式参数方程为： ?y?1?t

?z?1?2t?设交点处对应的参数为t0，

?2?(?t0)?(1?t0)?(1?2t0)?3?0 ?t0??1，

从而交点为（1，0，-1）。

又设直线l与平面?的交角为?，则：

sin??2?(?1)?1?1?1?26?6?1， 2? ??

?6。

3.确定l,m的值，使： （1）直线

x?1y?2z??与平面lx?3y?5z?1?0平行； 431?x?2t?2?（2）直线?y??4t?5与平面lx?my?6z?7?0垂直。

?z?3t?1?解：（1）欲使所给直线与平面平行，则须：

4l?3?3?5?1?0

即l?1。

（2）欲使所给直线与平面垂直，则须：

lm6?? 2?43所以：l?4,m??8。

?A1x?B1y?C1z?04.决定直线?和平面(A1?A2)x?(B1?B2)y?(C1?C2)z?0的相

Ax?By?Cz?022?2互位置。

解：在直线上任取M1(x1,y1,z1)，有：

?A1x1?B1y1?C1z1?0 ??A2x1?B2y1?C2z1?0? (A1?A2)x1?(B1?B2)y1?(C1?C2)z1?0

这表明M1在平面上，所以已给的直线处在已给的平面上。

5.设直线与三坐标平面的交角分别为?,?,?.证明cos2??cos2??cos2??2.

证明 设直线与X,Y,Z轴的交角分别为?,?,?.而直线与yoz,zox,xoy面的交角依次为

?,?,?.那么,??∴

?2??,???2??,???2??.而cos2??cos2??cos2??1.

?????????cos2?????cos2?????cos2?????1.

?2??2??2?sin2??sin2??sin2??1.

从而有cos2??cos2??cos2??2. 6.求下列球面的方程

(1)与平面x+2y+3=0相切于点M?1,1,?3?且半径r=3的球面;

(2) 与两平行平面6x-3y-2z-35=0和6x-3y-2z+63=0都相切且于其中之一相切于点

M?5,?1,?1?的球面.

1?x?1?t?3?2?解: ⑴?y?1?t为过切点?且垂直与已知平面的直线,

3?2?z??3?t?3?显见,,122是这条直线的方向余弦.

333取t?3,则得x?2,y?3;

取t??3,则得x?0,y??1,z??5.

故所求球面有两个:?x?2???y?3???z?1??9,与x2??y?1???z?5??9.

22222⑵x?5?6t,y??1?3t,z??1?2t为过点?且垂直于两平面的直线,将其代入第二个平面方程,得t??2,反代回参数方程,得x??7,y?5,z?3.设球之中心为C,半径为r,则

C??1,2,1?,r2??5?1????1?2????1?1??49.故所求球面方程

222为?x?1???y?2???z?1??49.

222

3.7空间直线的相关位置

1.直线方程??A1x?B1y?C1z?D1?0的系数满足什么条件才能使：

?A2x?B2y?C2z?D2?0（1）直线与x轴相交； （2）直线与x轴平行； （3）直线与x轴重合。 解：（1）所给直线与x轴相交? ? x0使

A1x0?D1?0且A2x0?D2?0

?

A1A2D1D2?0且 A1，A2不全为零。

（2）?x轴与平面A1x?B1y?C1z?D1?0平行

? 1?A1?0?B1?0?C1?0 ?A1?0

又x轴与平面A2x?B2y?C2z?D2?0平行，所以 1?A1?0?B2?0?C2?0 ?A2?0 即A1?A2?0，但直线不与x轴重合，

? D1,D2不全为零。

（3）参照（2）有A1?A2?0，且D1?D2?0。

2.确定?值使下列两直线相交： （1）?（2）

?3x?y?2z?6?0与z轴；

?x?4y??z?15?0x?1y?1z?1??与x?1?y?1?z。 12?解：（1）若所给直线相交，则有（类似题1）：

2?6??15?0

从而 ??5。

（2）若所给二直线相交，则

1?1?1?1111从而：??

3.判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面；如果是异面直线，求出它们之间的距离。 （1）?（2）

21??0

15。 4?x?2y?2z?0?x?2y?z?11?0与?；

3x?2y?6?02x?z?14?0??x?3y?8z?3x?3y?7z?6????与； 3?11?324?x?tx?1y?4z?2???（3）?y?2t?1与。 417?5?z??t?2?解：（1）将所给的直线方程化为标准式，为：

33y?2?4?z ?234x?7y?2z?? 2?3?4x?：3：4=2：（-3）：（-4） ?（-2）

?二直线平行。 33又点(,,0)与点（7，2，0）在二直线上，

2433??115???向量?7?,2?,0???,,0?平行于二直线所确定的平面，该平面的法向量为：

24??24??115???2,3,4????,,0????5,22,?19?，

?24?从而平面方程为：5(x?7)?22(y?2)?19(z?0)?0， 即 5x?22y?19z?9?0。

3?38?73?6（2）因为??3?3?1214??270?0，

?二直线是异面的。

615?33?11?324二直线的距离：d??3,?1,1????3,2,4?0?2706?15?3222?270?330。

13（3）因为??12?1?0，

47?5但是：1：2：（-1）≠4：7：（-5）

所以，两直线相交，二直线所决定的平面的法向量为?1,2?1???4,7,?5????3,1,?1?，

?平面的方程为：3x?y?z?3。

4.给定两异面直线：

x?3yz?1x?1y?2z????，试求它们的公垂线方程。 与210101解：因为?2,1,0???1,0,1???1,?2,?1?，

?公垂线方程为：

?x?3y?1?2??2?1??x?1y?2?10??2??1即?z?10?0?1z1?0?1

?x?2y?5z?8?0，

?2x?2y?2z?2?0?x?2y?5z?8?0。

x?y?z?1?0?亦即?5.求下列各对直线间的角 (1)

x?1y?2z?5xy?3z?1??与??. 362296(2)??3x?4y?2z?0?4x?y?6z?2?0与?.

2x?y?2z?0y?3z?2?0??x1x2?y1y2?z1z2222x12?y12?z12x2?y2?z2解 (1) cos?????6?54?129?36?44?81?36??72 77

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