场论典型例题

场论典型例题

第一章

矢量分析

例题1、（基本矢量计算）

已知两个矢量A?i?2j，B?4i?3j，求

（1）A?B （2）A?B （3）A?B（4）A?B （5）若A和B两矢量夹角为?，求cos?。 解：

（1）A?B=(i?2j)?(4i?3j)=(1?4)i?(2?3)j=5i?5j （2）A?B=(i?2j)?(4i?3j)=(1?4)i?(2?3)j=?3i?j （3）A?B=(i?2j)?(4i?3j)=(1?4)?(2?3)=4?6=10

i j k（4）A?B=(i?2j)?(4i?3j)=1 2 0 =?5k

4 3 0 （5）根据内积的定义有：A?B=ABcos?，其中A，B为矢量的模。

A?BΑB所以：cos??

其中A?B在（2）中已经得到A?B=10，

222而A=1?2?0?2225，B=4?3?0?5

因此cos??A?BΑB=

1055=

25

说明：

此题可以用于掌握矢量运算法则。 例题2、（矢性函数的极限）

设F(t)?Asint?Bcost (0?t?2?)，式中A，B为矢量，分别为A?i?j，

B?i?j。求下列极限。

（1）limF(t) （2）lim|F(t)|

t??/3t??/3解：（1）整理F(t)。

F(t)?Asint?Bcost?(i?j)sint?(i?j)cost

=(cost?sint)i?(cost?sint)j

1?232323而 (cost?sint)|t??/3=

(cost?sint)|t??/3=

1?

所以limF(t)=

t??/31?i+

1?23j

（2）|F(t)|=|(cost?sint)i?(cost?sint)j| =(cost?sint)2?(cost?sint)2 =2

lim|F(t)|?t??/32

说明：

对矢性函数的极限，归结为对各坐标分量求极限，因此，需要温习高等数学中微积分中关于“函数极限”的内容，特别是一些常用极限的求法。

例题3、（求矢性函数的导数） t?设矢性函数r为{acost,asint,ct}，

drdsdrdtsa?c22 ，其中a和c都是常数，求

drds、drds 。

解：由复合函数的求导公式有

dtds=．

dtds

dtds为数性函数求导，根据微积分中的知识，求得：=

1a?cdrdt22

另外，因为矢性函数的导数归结为三个数性函数的求导，所以

drdsdrdtdtds={?asint,acost,c}

因此，=．={?asint,acost,c}1a?c22

=

21a?c2{?asinsa?c22,acossa?c22,c}

drds=

21a?c12{?asinsa?c22,acossa?c22,c}

=

a?c22(?asinsa?c22)?(acos2sa?c22)?c22

=1 说明：

对矢性函数的求导的问题，转换成对各坐标分量求导，因此，需要温习高等数学中微积分中关于“函数导数”的内容，一些常用简单函数的导数应熟记。求导法则和复合函数求导法是常用的求解工具，要熟练运用。

例题4（求矢性函数的微分）

设r?{t?sint,cost}，求dr，|dr|。 解： dr={d(t?sint),dcost} ={(1?cost)dt,?sintdt} ={1?cost,?sint}dt

|dr|=

(1?cost)?sin22tdt

=2?2costdt 说明：

矢性函数的微分和求导的方法类似，转换成对各坐标分量求微分，但是微分和求导的几何意义不同，详细区别参见教材《矢量分析与场论》7、8页。

例题5（求矢性函数的积分）

1设F(t)?ti?tj?tk，求?F(t)dt

023411234解：?F(t)dt=?(ti?tj?tk)dt

010=?(ti?tj?tk)dt

0121314234=i?tdt?j?tdt?k?tdt

000=

13i?14j?15k

说明：

本题是求得矢性函数的定积分，对矢性函数的定积分的问题，转换成对各坐标分量求定积分，需要复习高等数学中微积分中关于“函数积分”的内容，一些简单函数的积分应熟记。常用的积分方法有：“凑”微分法、换元积分、分部积分法等。在求矢性函数的不定积分时，一定不要忘记结果中要加上一个任意常矢量。

第二章 场论

典型例题分析

例题1、（求数量场方向导数）

求数量场u?xz?2yz在点M(2,0,?1)处沿l?2xi?xyj?3zk方向的方向导数。 解：

?u?x2324=2zx ，

3?u?y=4zy ，

?u?z=3xz?2y

222在M(2,0,?1)处有

?u?x=?4 ，

?u?y=0 ，

?u?z=12

4另外，在M(2,0,?1)处l?2xi?xyj?3zk =4i?3k

则l的方向余弦分别为：co?s=

43?0?4222?45，cos?=0，

cos?=

33?0?4222?35

所以，方向导数

45?u?l35=

?u?xcos?+

?u?ycos?+

?u?zcos?

=?4?

?12?=4

例题2、（求数量场方向导数）

求数量场u?3x2z?xy?z2在点M(1,?1,1)处沿曲线x?t,y??t2,z?t3朝t增大方向的方向导数。

解：将所给的曲线方程改写成矢量形式。

r =xi?yj?zk=ti?tj?tk

23其导矢r'=i?2tj?3tk

r' 就是曲线沿t大一方的方向的切向矢量。

2当t?1时，r正好过M点，

将t?1代入得，r'=i?2tj?3t2k=i?2j?3k 其方向余弦为cos?=

211?(?2)?322?114，cos?=

2?21?(?2)?322??214

cos?=

31?(?2)?3222?314

又函数u在M(1,?1,1)的偏导数

?u?x=6x?y=7 ，

?u?y=?x=?1 ，

?u?z=3x?2z=5

2于是，根据方向导数的定义，所求的方向导数为

?u?l=

?u?xcos?+

?u?ycos?+

?u?zcos?=7?114+(?1)??214+5?314=

2414

说明：

注意和例题1的区别，两题所给的关于方向的条件不同，例题1直接给出了方向，例题2通过给定一曲线间接确定了方向，曲线上M点处的切线才是所需要的方向。

例题3、（求数量场梯度）

数量场u?x2yz3在M(2,1,?1)处沿哪个方向的方向导数最大？ 解：求函数u在M(2,1,?1)的偏导数

?u?x=2xyz3=?4 ，

?u?y=x2z3=?4 ，

?u?z=3x2yz2=12

梯度gradu=?4i?4j?12k

根据梯度的定义和几何意义，u(M)沿梯度方向变化最快，所以， 所求方向为?4i?4j?12k。 说明：

本题是考查点是“方向导数和梯度的关系”。

例题4、求散度。

设u?{y2?z2?3yz?2x,3xz?2xy,3xy?2xz?2z}，求divu。

?ux?x解：divu=

+

?uy?y+

?uz?z=?2?2x?2x?2=0

例题5、（求通量）

设矢量场A=xi?yj?zk。S为球面x?y?z?a，求矢量场从内穿出S的通量

?。

3332222解：先求出A的散度divA。

divA

=

?x3?x??y3?y??z3?z=3(x?y?z)

222根据通量和散度的关系有：

? =???divAdxdydz=???3(x?y?z)dxdydz。

VV222为求上面的三重积分，特别设I?考察I。

???Vzdxdydz。

2过点(0,0,z0)作平面XY平行的平面，与球体截的区域记为?的圆。 x222z0，则?z0就是z?z0平面上

a?z?y222a?z2?1

于是I=???zdxdydz=?(??z2dxdy)dz

Va?a?z因为??dxdy=?(a2?z2)

?z为圆?z的面积，所以

I =???zdxdydz=??z(a?z)dz=

V2a222415?a?a

5类似地，可得

???Vydxdydz=

2415415?a

5???Vxdxdydz=

2?a

5所以

? =???3(x?y?z)dxdydz=3???(x?y?z)dxdydz

VV222222 =3?3?415?a=

5125?a

5说明：

利用散度来求通量，问题变成一个三重积分的问题，请复习微积分中“多变量积分学”。

例题6、（求旋度）

已知A={ay?bz,?(ax?cz),bx?cy}，求rotA。 解：

i j k rotA= ??x ??y ??z

ay-bz -(ax-cz) bx-cy =[??y??z(bx?cy)???z??x(?(ax?cz)]i

+[(ay?bz)?(bx?cy)j

+[??x(?(ax?cz))???y(ay?bz)]k

=(?c?c)i?(?b?b)j?(?a?a)k=?2(ci?bj?ak) 说明：

本题的中行列式，并不是线形代数中行列式，而只是一种表示形式而已，但它的运算关系类似线形代数中行列式，请复习关于线形代数中行列式的相关内容。

例题7、（求环量）

已知矢量场A?{x2?y2,2xy}，计算环量?A?dr，其中l是由x?0，x?a，y?0，y?bl所构成的矩形回路。

解：

?A.dr=?lAxdx?Aydy?Azdzl

=

?a02xdx+?2aydy+

0b?0a(x?b)dx22+

?0b0dy=2ab2

说明：这里用到微积分中的曲线积分。

例题8、（有势场）

设矢量场A?(y2?2xz2)i?(2xy?z)j?(2x2?y?2z)k，问A是有势场吗？若是，求出任意势函数。 解：

?i j k???????rotA?? ??x??y?z?2?22??y?2xz 2xy?z 2xz?y?2z???[?1?(?1)]i?(4x?4x)j?(2y?2y)k?02

因为rotA?0，所以A是有势场。

有势场一定存在势函数，不妨设其中一个势函数为v。令u??v。 则u(x,y,z)可以通过下面的公式求得：（参见教材63页）

u(x,y,z)??xx0P(x,y0,z0)dx??yy0Q(x,y,z0)dy??R(x,y,z)dz。

z0z这里P(x,y,z)?y2?2xz2，Q(x,y,z)?2xy?z，R(x,y,z)?2x2z?y?2z 特别取M0(x0,y0,z0)为原点。 因此得：

u(x,y,z)??x00dx?2?y02xydy??(2xz?y?2z)dz022z2

?xy?2xz?yz?z2222则v??u??xy?2xz?yz?z

2222?2xz?yz?z?C，C2因为任意势函数都和v相差一个常数，所以任意势函数为?xy为常数。

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