矩阵的最小多项式的进一步讨论

２００６年第８卷第３期

总第７８期

巢湖学院学报

ＣｈａｏｈｕＣｏｌｌｅｇｅＪｏｕｒｎａｌ

Ｎｏ．３．，Ｖｏｌ．８．２００６ＧｅｎｅｒａｌＳｅｒｉａｌＮｏ．７８

矩阵的最小多项式的进一步讨论

贺加来

（巢湖职业技术学院，安徽

巢湖

２３８０００）

摘要：本文介绍最小多项式的求法，以及利用最小多项式解决相关问题。

文献标识码：Ａ

文章编号：１６７２－２８６８（２００６）０３－０１５７－０３

关键词：矩阵；最小多项式；最小多项式的应用中图分类号：Ｏ２４１．６

我们知道，矩阵的最小多项式在高等代数课本中讲解较少，但此内容是重要的。本文就此对矩阵的最小多项式的求法及其应用作进一步的讨论，供参考。

１最小多项式的求法。

在有些问题中，常常要求已知矩阵的最小多项式，下面给出两种求法。

２

!０－λ－λ＋２３λ－３$"%１００→"%

＋１λ－１&０－λ#

２

!０－λ＋２λ－１３（λ－１）$"%１００→"%

λ－１&００#

１．１利用不变因子求最小多项式

我们知道，方阵Ａ的最小多项式ｍＡ（λ）等于Ａ的特征矩阵λＥ－Ａ的最后一个不变因子Ｅｎλ）。因此，当我们把λＥ－Ａ化为标准形后（或能求出）Ｅｎ（λ）），就可求出Ａ的最小多项式。

Ａ

Ａ

!０－（λ－１）２０

"１００"

λ－１００#

Ａ

$!１－００

%"－１０→０λ%"

００（λ－１）２

&#$%．%&

!１－２６$"０３%例１，求矩阵Ａ＝－１最小多项式"%－１－１４&#

解

因Ｅ３（λ）＝（λ－１）２，所以ｍＡ（λ）＝（λ－１）２．

１．２利用特征多项式求最小多项式

我们知道：△Ａ（λ）＝│λＥ－Ａ│，又△Ａ（λ）的根都是ｍＡ（λ）的根，故若：

Ｋ１

Ｋ２

Ｋｔ

!λ－１２－６

"１λ－３

（λＥ－Ａ）＝

"

－４#１１λ$%→%&

$%→%&

△Ａ（λ）＝（λ－λ－λ－λ１）（λ２）……（λｔ）

Ｌ１

Ｌ２

其中，λ１，λ２……λｔ互异，ｋ１，ｋ２……ｋｔ均≥１，则必有：

ｍＡ（λ）＝（λ－λ－λ－λ１）（λ２）……（λｔ）

其中１≤Ｌｉ≤ｋｉ，ｉ＝１，２……ｔ．

Ｌｔ

!０－（λ＋１）λ＋２３（λ＋１）－６

"λ－３１"

＋１λ－１０－λ#

由此得求ｍＡ（λ）的方法如下：先求出△Ａ（λ），再将△Ａ（λ）分解不同的一次因式的幂积，取包含一切不同的一次因式的幂积，由低次向高次逐一试验，求出使Ａ零化的次数最低的这

收稿日期：２００６－０２－１０

作者简介：贺加来（１９６５－），男，安徽含山人。巢湖职业技术学院讲师，主要从事数学教学与研究。

样的幂积即为ｍＡ（λ）。

例２，设ｎ阶矩阵Ａ的所有元素都是１，求Ａ的最小多项式。

解：由假设，Ａ中一切阶数＞１的子式都为０，故

ｎｎ－１ｎ－１

△Ａ（λ）＝λ－ｎλ＝λ（λ－ｎ），

ｋ

故ｍＡ（λ）的形状为：ｍＡ（λ）＝λ（λ－ｎ），

例４，设矩阵

,－１－２６&

*０３’Ａ＝－１*’

４－１－１%(

Ｗ＝｛ｆ（Ａ）│ｆ（λ）∈Ｐ［λ］，Ｐ为数域｝，求Ｗ的维数和一组基。

解：由例１知，ｍＡ（λ）＝（λ－１）２，故次ｍＡ（λ）＝２，从而维Ｗ＝２。

（１≤ｋ≤ｎ－１）

经验证知：Ａ（Ａ－ｎＥ）＝Ａ２－ｎＡ＝０．注：△Ａ（λ）无重根，则ｍＡ（λ）＝△Ａ（λ）．

Ｅ、Ａ为Ｗ的一组基。

２．３Ａ为方阵确定φ（Ａ）非奇异及求φ（Ａ）的逆。（φ（λ）是多

项式）。

我们先证明下面这个命题：

命题：设ｍＡ（λ）是方阵Ａ的最小多项式，φ（λ）是次数≥１的多项式。

２应用最小多项式的几类问题２．１已知方阵Ａ和多项式ｆ（λ），求ｆ（Ａ）

设ｆ（λ）是任意多项式，ｍＡ（λ）为Ａ的最小多项式，用ｍＡ（λ）除ｆ（λ），得商式ｑ（λ）和余式ｒ（λ），即ｆ（λ）＝ｑ（λ）ｍＡ（λ）＋ｒ（λ）式中的ｒ

）＝０或次ｒ（λ）＜次ｍＡ（λ）。（λ

由于ｍＡ（Ａ）＝０，

故得：ｆ（Ａ）＝ｑ（Ａ）ｍＡ（Ａ）＋ｒ（Ａ）＝ｒ（Ａ）

由此知，由ｒ（Ａ）来求ｆ（Ａ），要比直接计算ｆ（Ａ）简单些。

例３，设：ｆ（λ）＝λ＋２λ－２λ－３λ－２λ＋９λ－４λ＋λ－６λ＋１１λ

１２

１１

１０

９

８

６

５

４

２

（１）若φ（λ）│ｍＡ（λ），则φ（Ａ）降秩（奇异）。（２）若ｄ（λ）＝（φ（λ），ｍＡ（λ）），则秩ｄ（Ａ）＝秩φ（Ａ）。（３）φ（Ａ）非异的充要条件为φ（λ）、ｍＡ（λ）互质。

证：１）因φ（λ）│ｍＡ（λ），故有ψ（λ），使ｍＡ（λ）＝φ（λ）ψ（λ）从而０＝ｍＡ（Ａ）＝φ（Ａ）ψ（Ａ）

若φ（Ａ）非奇异，则以［φ（Ａ）］－１左乘两边，得ψ（Ａ）＝０，这表明

#１０２&

$’求ｆ（Ａ）Ａ＝０－１１$’０１０%(

０

１

０

２

３

ψ（λ）是Ａ的零化多项式，但次ψ（λ）＜次ｍＡ（λ），这是不可能的，

故φ（Ａ）奇异。

３２

例５，设ｆ（λ）＝λ＋６λ＋１０λ－１

解：Ａ的特征多项式是：

△Ａ（λ）＝│λＥ－Ａ│＝（λ－１）（λ＋λ－１）＝λ－２λ＋１

因△Ａ（λ）没有重根，故ｍＡ（λ）＝△Ａ（λ）＝λ－２λ＋１

３

Ａ＝

以ｍＡ（λ）除ｆ（Ａ），设：ｆ（λ）＝ｑ（λ）ｍＡ（λ）＋ｒ（λ）计算可知ｒ（λ）＝６λ＋１，因此：

#－１１０

*０－１４*

%１０－４&’’(

求ｆ（Ａ）的逆矩阵。

解：由计算得△Ａ（λ）＝│λＥ－Ａ│＝λ（λ＋３）２所以ｍＡ（λ）＝λ（λ＋３）或ｍＡ（λ）＝λ（λ＋３）３

３２但Ａ（Ａ＋３Ｅ）≠０，故ｍＡ（λ）＝λ（λ＋３）２＝λ＋６λ＋９λ

#７０１２&

*’ｆ（Ａ）＝ｒ（Ａ）＝６Ａ＋Ｅ＝０－５６*’０６１%(

注：如果已知△Ａ（λ），而ｍＡ（λ）尚未求出，为了求ｆ（Ａ）可以用△Ａ（λ）除ｆ（λ）得余式ｒ（λ），此时也有ｆ（Ａ）＝ｒ（Ａ）。

易知（ｆ（λ）＋ｍＡ（λ））＝１，且有：

２２

ｐ（λ）＝－１／１６（λ＋７λ＋１６），ｑ（λ）＝１／１６（λ＋

７λ＋１７）

使ｆ（λ）Ｐ（λ）＋ｍＡ（λ）ｑ（λ）＝１，故ｆ（Ａ）Ｐ（Ａ）＝Ｅ从而

２．２求Ａ的全体多项式所生成的线性空间Ｗ的维数和

一组基：

设Ａ是数域Ｐ上的ｎ阵方阵、Ａ的最小多项式ｍＡ（λ）的次数为ｋ，Ｗ＝｛ｆ（Ａ）│ｆ（λ）∈Ｐ［λ］｝，我们有：

［ｆ（Ａ）］－１＝Ｐ（Ａ）＝－１／１６（Ａ２＋７Ａ＋１６Ｅ）＝

（１）维Ｗ＝次ｍＡ（λ）＝ｋ

Ａ、Ａ２……ＡＫ－１为Ｗ的组基。（２）Ｅ、

这是因为：对任意ｆ（λ）∈Ｐ［λ］，设ｒ（λ）是ｍＡ（λ）除ｆ（λ）所得的余式，都有ｒ（λ）＝ａ０＋ａ１λ＋……＋ａｋ－１λｋ－１∈Ｐ［λ］使得：ｆ（Ａ）＝

,－１０／１６－５／１６－４／１６*－４／１６－１０／１６－８／１６*

%－２／１６－１／１６－４／１６&’’(

２．４判别方阵能否与对角阵相似

我们知道，方阵Ａ与对角方阵相似的充要条件是Ａ的最小多项式没有重根。

为了应用上的方便，我们先证：

推论：若Ａ的某一零化多项式没有重根，则Ａ与对角方阵相似，且对角阵的元素都是此零化多项式的根。

证：设多项式φ（λ），它没有重根且φ（Ａ）＝０，由于

Ａ……Ａｋ－１ａ０Ｅ＋ａ１Ａ＋……＋ａｋ－１Ａ，即任何ｆ（Ａ）都可表示为Ｅ、

ｋ－１

的线性组合。

又Ｅ，Ａ，Ａ２，……Ａｋ－１一定线性无关，否则，由Ｅ，Ａ，Ａ２

……Ａｋ－１线性相关，即有不全为０的数Ｌ０，Ｌ１……Ｌｋ－１∈Ｐ，使

Ｌ０Ｅ＋Ｌ１Ａ＋Ｌ２Ａ……＋Ｌｋ－１Ａ＝０，从而有次数＜ｋ的多项式φ（λ）＝

２

ｋ－１

ｋ－１

使Ａ零化，此与ｍＡ（λＬ０＋Ｌ１λ＋……Ｌｋ－１λ）的次数为ｋ的假设

矛盾。

ｍＡ（λ）│φ（λ）

故：ｍＡ（λ）也没有重根，所以Ａ与对角阵相似，设

（＊）

!λ１"Ａ～Ｄ＝"

""#

λ２

…

$

%%%%λｎ&

例７，设Ａ２＝Ａ，则Ａ与对角阵相似，且对角阵的对角元都是０或１。

２

证：由Ａ２＝Ａ，Ａ２－Ａ＝０，故φ（λ）＝λ－λ＝λ（λ－１）使Ａ零化。由

于φ（λ）没有重根且φ（λ）的根是０、１，故

则λλλ）的１、２……λｎ都是Ａ的特征根，λ１、２……λｎ都是ｍＡ（λ根，但由（,）知λλ（λ）的根。１、２……λｎ又都是φ

下面举例说明与对角矩阵相似的特殊矩阵。

例６，设Ａｋ＝Ｅ（ｋ≥１），则Ａ与对角阵相似，且对角阵的对角元都是ｋ次单位根。

ｋ

证：由Ａｋ＝Ｅ，得Ａｋ－Ｅ＝０，取φ（λ）＝λ－１，取φ（λ）使Ａ零ｋ

化。由于φ（λ）＝λ－１无重根，且φ（λ）的根都是ｋ次单位根，故

!λ１

"Ａ～Ｄ＝"

""#

其中λｉ＝０，ｉ＝１，２……ｎ．

λ２

…

$

%%%%λｎ&

!λ１

"Ａ～Ｄ＝"

""#

λ２

…

$

%%%%λｎ&

ｋ

其中λｉ＝１，ｉ＝１，２……ｎ

参考文献：

［１］屠伯埙等．高等代数［Ｍ］．上海：上海科技出版社，１９８７．［２］王湘浩等．高等代数［Ｍ］．北京：高教出版社，１９８５．

ＦＵＲＴＥＲＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮＯＮＭＩＮＩＭＡＬＰＯＬＹＮＯＭＩＡＬＯＦＭＡＴＲＩＫ

ＨＥＪｉａ－ｌａｉ

（ＣｈａｏｈｕＶｏｃａｔｉｏｎａｌａｎｄＴｅｃｈｎｉｃａｌＣｏｌｌｅｇｅ，ＣｈａｏｈｕＡｎｈｕｉ２３８０００）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓａｒｔｉｃｌｅｄｅａｌｓｗｉｔｈｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｍｉｎｉｍａｌｐｏｌｙｎｏｍｉａｌａｎｄｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｍｉｎｉｍａｌｐｏｌｙｏｍｉａｌｔｏｓｏｌｖｉｎｇｒｅｌｅｖａｎｔｐｒｏｂｌｅｍｓ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍａｔｒｉｘ；ｍｉｎｉｍａｌｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ；ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｍｉｎｉｍａｌｐｃｌｙｎｏｍｉａｌ

责任编辑：澍斌

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