前六章练习题

1. 设X是取值为自然数的非负离散随机变量，证明：

E[X]??P(X?n)??P(X?n).

n?1n?0??2. 设X是非负随机变量，分布函数为F(x)?P(X?x). 证明：

?

E[X]??(1?F(x))dx.

03．设随机变量X,Y独立，且方差有限. 证明：

(1).Var(XY)?Var(X)Var(Y)?(E[X])2Var(Y)?(E[Y])2Var(X).

(2).Var(XY)?Var(X)Var(Y).1 的c4．设X服从参数为?的Poisson分布，其中参数?本身是一个随机变量，服从均值为指数分布.求X的分布.

5.设个体的随机寿命分布函数的F(x),试求使用时间为x的个体的平均寿命.

6.设二项分布X参数为(n,p),当参数n很大， 而p很小时，若满足np??，试证明X可以近似看成参数为?的Poisson分布.

7.设随机变量X服从参数为?的指数分布，进一步的，?是一个随机变量，服从参数为

(?,?)的Gamma分布，证明随机变量X服从参数为(?,?)的Pareto分布。

8.设X、Y相互独立，且（1）分别具有参数为(m, p)及(n, p)的二项分布；（2）分别服从参数为

(p1,b),(p2,b)的?分布。求X+Y的分布。

|Y?y)。

9.设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数分别如下，试求E(X

（1）

（2）

?1?y?xy,x?0,y?0?ep(x,y)??y??0,其他??2e??x,0?y?xp(x,y)???0,其他??x?10.参数为(?,?)的Weibull分布其分布函数F(x)?1?e,求它的k阶原点矩。

11．事件A的发生形成强度为?的Poisson过程{N(t),t?0}. 如果每次事件发生时以概率p被记录下来，以M(t) 表示到t时刻被记录下来的事件总数，证明{M(t),t?0}是强度为?p的Poisson过程. 12．一对同学顺次等候体检.设每人体检所需要的事件服从均值为2min的指数分布并且与其

他人所需事件相互独立，则1h平均有多少人接受过体检，这1h内最多有40名同学接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）？ 13.对于Poisson过程{N(t),t?0}，计算

E[N(t)|N(s?t)],E[N(t)|N(s?t)],E[N(s?t)|N(t)].

14. 一理发师t=0时开门营业,设顾客按强度为?的泊松过程到达.若每个顾客理发需要a 分钟, a是正常数.求第二个顾客到达后不需等待就马上理发的概率及到达后等待时间S 的平均值.

15.设某电报局接收的电报数N(t)组成Poisson过程，平均每小时接到3次电报，求： （1）一上午（8点到12点）没有接到电报的概率； （2）下午第一个电报的到达时间的分布。

N(t)16.设复合Poisson过程X(t)??Y，其中N(t)是参数为?的Poisson过程，Y是独立

iii?1同分布非负随机变量，其二阶矩有限。计算E[X(t)],Var[X(t)]。

17.对于更新过程{N(t),t?0},设P(Xi?1)?1/3,P(Xi?2)?2/3, 计算

P(N(1?)k)P,N(?(2k)P)?N, k2??tf(t)??te,t?0，试证明其更新函数是 18.设某更新过程的更新密度是

11M(t)??t?(1?e?2?t)

2419.有三个黑球和三个白球，把这六个球任意等分给甲、乙两个袋中，并把甲袋中的白球数

定义为该过程的状态，则有四种状态：0,1,2,3。现每次从甲、乙袋中各取一球，然后互相交换，即把从甲袋中取出的球放入乙袋，而把从乙袋中取出的球放入甲袋，经过n次交换过程的状态记为Xn。试问过程是否是马氏链？如果是，试计算其一步转移概率矩阵。 20.设马氏链的转移概率矩阵分别表示如下：

?0.6?0??0.1P???0?0??0.4?00000.4?0.6000.40??0.10.10.10.50.1??0.20.20.40.20?0.2000.80??00000.6??

00.40??0.60?12??00.4???00.6013?P??00.20.600.2?,P??14??00.60???0.40?14?00.20?00.8??1200??13130?141414??141414?

（1）试对S进行分类，并说明各状态的类型； （2）求平稳分布，其平稳分布是否唯一？为什么？ （3）求P(X(n?2)?1|X(n)?0)，P{X(n?2)?2|X(n)?0}。

21.写出CK方程，并证明。

22.设马氏链的一步转移概率矩阵为P?(pij)，fij的概率，证明:

(n)表示从i出发经过n步首次到达状态j

p(n)ij??fij(k)p(jjn?k).

k?1n

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/rpdw.html