2009考研数学真题

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数学一试题答案解析

一、选择题： （1）A

【解析】f(x)?x?sinax,g(x)?x2ln(1?bx)为等价无穷小，则

f(x)x?sinaxx?sinax1?acosaxa2sinaxlim?lim2?lim2洛lim洛lim2x?0g(x)x?0xln(1?bx)x?0x?(?bx)x?0x?0?3bx?6bxa2sinaxa3?lim???1 ?a3??6b 故排除B,C。 x?06b6b??axa另外lim所以本题选A。

1?acosax存在，蕴含了1?acosax?0?x?0?故a?1.排D。 2x?0?3bx y 1 （2）A

【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。 D4 y的D2,D4两区域关于x轴对称，而f(x,?y)??ycosx??f(x,y)，即被积函数是关于D2 x -1 1 D3 奇函数，所以I2?I4?0;

-1 D1 D1,D3两区域关于y轴对称，而f(?x,y)?ycos(?x)?ycosx?f(x,y)，即被积函数是

ycosxdxdy?0； 关于x的偶函数，所以I1?2?(x,y)y?x,0?x?1?I3?2???(x,y)y??x,0?x?1???ycosxdxdy?0.所以正确答案为A.

（3）D

【解析】此题为定积分的应用知识考核，由y?f(x)的图形可见，其图像与x轴及y轴、

x?x0所围的图形的代数面积为所求函数F(x)，从而可得出几个方面的特征：

①x??0,1?时，F(x)?0，且单调递减。 ②x??1,2?时，F(x)单调递增。 ③x??2,3?时，F(x)为常函数。

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中国教育在线（www.kaoyan.cn） 中国最权威考研门户 ④x???1,0?时，F(x)?0为线性函数，单调递增。 ⑤由于F(x)为连续函数

结合这些特点，可见正确选项为D。

（4）C 【解析】 方法一：

举反例 A取an?bn?(?1)n1 n

1 n1 D取an?bn?

n B取an?bn?故答案为（C） 方法二：

因为liman?0,则由定义可知?N1,使得n?N1时，有an?1

n??又因为

?bn?1?n收敛，可得limbn?0,则由定义可知?N2,使得n?N2时，有bn?1

n??从而，当n?N1?N2时，有ab?bn，则由正项级数的比较判别法可知（5）A

22nn?abn?1?22nn收敛。

【解析】因为??1,?2,?,?n????1,?2,?,?n?A，则A称为基?1,?2,?,?n到?1,?2,?,?n的过渡矩阵。

则由基?1,?2,?3到?1??2,?2??3,?3??1的过渡矩阵M满足

121311??,?,?3?M ??1??2,?2??3,?3??1???2?1?23??101?1???1????1,?2,?3??220?

3???2??033?所以此题选?A?。 （6）B

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中国教育在线（www.kaoyan.cn） 中国最权威考研门户 【解析】根据CC??CE，若C?CC,C??1?1?1?C C分块矩阵??0?BA?0的行列式?B0?A?0?0?B?1A2?2?（?1）AB?2?3?6，即分块矩阵可逆 0??0?1B???6??1?0??A?A1??B?B? ?0???0??BA?0??0?B?A??0?6??1?0??A??0?6??1A???2故答案为B。 （7）?C?

1??B3??0????3A?0???2B??? 0?【解析】因为F?x??0.3??x??0.7???x?1??， 2??所以F??x??0.3???x??0.7?x?1?????， 2?2???所以EX??????xF??x?dx??????x?1??x?0.3???x??0.35?????dx

2?????0.3?而

????x???x?dx?0.35????????x?1?x????dx

?2??????x???x?dx?0，?????x?1?x?1?x???dx?u2?2u?1????u?du?2 ????2?2?所以EX?0?0.35?2?0.7。

（8）B 【解析】

FZ(z)?P(XY?z)?P(XY?zY?0)P(Y?0)?P(XY?zY?1)P(Y?1)1?[P(XY?zY?0)?P(XY?zY?1)]21?[P(X?0?zY?0)?P(X?zY?1)]2中国教育在线考研频道 www.kaoyan.cn

中国教育在线（www.kaoyan.cn） 中国最权威考研门户 ?X,Y独立

1?FZ(z)?[P(X?0?z)?P(X?z)]

21（1）若z?0，则FZ(z)??(z)

21（2）当z?0，则FZ(z)?(1??(z))

2?z?0为间断点，故选（B）

???f2??xyf22?? 二、填空题：（9）xf12【解析】

?z?f1??f2??y， ?x?2z???f2??yx?f22???xf12???f2??xyf22?? ?xf12?x?y（10）y??xex?x?2

【解析】由常系数线性齐次微分方程y???ay??by?0的通解为y??C1?C2x?e可知

xy1?ex，y2?xex为其线性无关解。代入齐次方程，有 ???ay1??by1?(1?a?b)ex?0?1?a?b?0y1???ay2??by2?[2?a?(a?1?b)x]e?0?2?a?0y2从而可见a??2,b?1。 微分方程为y''?2y'?y?x

*设特解y?Ax?B代入，y'?A,A?1

x

?2A?Ax?B?x?2?B?0,B?2*

? 特解 y?x?2

? y?(c1?c2x)e?x?2

把 y(0)?2 ， y'(0)?0代入，得c1?0,c2??1

x? 所求y??xex?x?2

（11）

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中国教育在线（www.kaoyan.cn） 中国最权威考研门户 【解析】由题意可知，x?x,y?x2,0?x?2，则

ds?所以

?x????y??22dx?1?4x2dx，

12221?4xd1?4x??

8?0?Lxds??20x1?4x2dx?12??83（12）

?1?4x230?2?13 64? 15【解析】 方法一：

???zdxdydz??22?0d??d???2sin??2cos2?d?

00?1??d??cos?d??cos????4d?

20002??1cos3??14?2????d??? ?03515方法二：由轮换对称性可知

2z???dxdydz??22xdxdydz?y??????dxdydz ??2?111?2224所以，???zdxdydz?????x?y?z?dxdydz??d??d??rsin?dr

003?30?22??3（13）2 【解析】??T??02?1?4?sin?d??rdr????sin?d??

03501514??2

???T?????T???2??, ???T的非零特征值为2.

(14) ?1

【解析】?X?kS为np2的无偏估计 ?E(X?kX)?np

?222?np?knp(1?p)?np2

?1?k(1?p)?p?k(1?p)?p?1?k??1

三、解答题：

2（15）fx?(x,y)?2x(2?y)?0

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