2014年数学建模暑期练习题

2014年数学建模暑期练习题

1． 食品厂用三种原料生产两种糖果，糖果的成分要求和销售价见表1。

表1 糖果有关数据 原料A 原料B 原料C 价格（元/kg） 高级奶糖 ≥50% ≥25% ≤10% 24 水果糖 ≤40% ≤40% ≥15% 15

各种原料的可供量和成本见表2。

表2 各种原料数据 原料 可供量（公斤） 成本（员/公斤） A 500 20 B 750 12 C 625 8

该厂根据订单至少需要生产600公斤高级奶糖，800公斤水果糖，为求最大利润，试建立线性规划模型并求解。

2．某商业公司计划开办5家新商店。为了尽早建成营业，商业公司决定由5家建筑公司分别承建。已知建筑公司Ai（i?1,2,3,4,5）对新商店Bj（j?1,2,3,4,5）的建造费用的报价（万元）为cij（i,j?1,2,3,4,5），见表3。商业公司应当对5家建筑公司怎样分配建造任务，才能使总的建造费用最少？

表3 各建筑公司的建筑费用数据 B1 B2 B3 B4 A1 4 8 7 15 A2 7 9 17 14 A3 6 9 12 8 A4 6 7 14 6 A5 6 9 12 10 B5 12 10 7 10 6

3．上海医科大学病理生理教研室曾做过小鼠肉瘤的增长实验，并得到了如表4所示的数据。

表4 小鼠肉瘤的实验数据 时 0 6 9 11 13 15 17 19 间 21 23 25 27 体0.004 0.031 0.061 0.074 0.103 0.152 0.210 0.339 积 0.520 0.813 1.269 1.558 （1）若t时刻肿瘤的体积v(t)满足指数模型

?dv??rv

?dt

??v(0)?v0

请拟合参数r。

（2）若t时刻肿瘤的体积v(t)满足Logistic模型

?dv2???v??v ?dt??v(0)?v0请拟合参数?,?。

4．已知数据见表5。试求y对x1,x2,x3的线性回归方程并检验回归效果，能否剔除一个变量？

表5 回归分析数据 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x1 0.4 0.4 3.1 0.6 4.7 1.7 9.4 10.1 11.6 x2 53 23 19 34 24 65 44 31 29 x3 158 163 37 157 59 123 46 117 173 y 序号 10 11 12 13 14 15 16 17 18 64 60 71 61 54 77 81 93 93 x1 12.6 10.9 23.1 23.1 21.6 23.1 1.9 26.8 29.9 x2 58 37 46 50 44 56 36 58 51 x3 112 111 114 134 73 168 143 202 124 y 51 76 96 77 93 95 54 168 99 5．炼钢厂出钢时所用的盛钢水的钢包，由于钢水对耐火材料的侵蚀作用，随着使用次数的增加，容积不断增大，实测得到15组数据如表6。 表6 出钢数据 使用次数2 3 4 5 6 7 8 9 x 增大容积6.7 8.2 9.58 9.5 9.7 10 9.96 9.99 y 使用次数x 增大容积y 试分别按以下两种形式建立y对x的回归方程，画出散点图和回归曲线，并根据适当的指标判断哪一种好。

10 11 12 10.6 13 10.8 14 10.6 15 10.9 16 10.76 10.49 10.59 （1）

1b?a?； yxbx（2）y?ce.

6．已知数据见表7。

表7 已知数据表 x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 y 3.6 7.5 10.7 12.7 13.1 12.5 11.3 10.7 11.8 15.4 22.2 3.6 试求形式为y?a0?a1x2?a2x3?a3sinx的回归方程并检验回归效果。

7．一枚导弹，以初始速度v0，水平夹角?离开原点(0,0)。如果导弹在(xe,ye)点着陆，且在飞行中受到一拉力，其大小和速度的平方成比例，那么控制导弹飞行轨迹的四个一阶方程为

?dvx22??cv?vdxy?dx?22?dvyg?cdvyvx?vy???dxvx? ??dy?vy?dxvx??dt1?dx?vx?其中y是导弹的垂直高度，x是飞行的水平距离，t是时间，vx和vy分别是速度v的水平和垂直分量，cd是拉力系数，g是重力加速度。这些方程仅当v0足够大且vx大于零时才有效。初始条件为

vxt?0?v0cos?，vyt?0?v0sin?，yt?0?0

（1）当v0?600f/s，cd?0.002，??45?时，画出导弹到达ye?0前的飞行轨迹。

（2）求导弹的最大上升高度及出现这一高度时的飞行距离。

（3）求ye?0时的值及到达这一点时所需的时间。

8．1989年度西山矿务局五个生产矿井实际资料如表8所示，请对西山矿务局五个生产矿井1989年的企业经济效益进行综合评价。

表8 1989年度西山矿务局五个生产矿井技术经济指标实现值 指 标 白家庄杜尔坪矿 西铭矿 官地矿 西曲矿 矿 原煤成本 99.89 103.69 97.42 101.11 97.21 原煤利润 96.91 124.78 66.44 143.96 88.36 原煤产量 102.63 101.85 104.39 100.94 100.64 原煤销售量 98.47 103.16 109.17 104.39 91.90 商品煤灰分 87.51 90.27 93.77 94.33 85.21 全员效率 108.35 106.39 142.35 121.91 158.61 流动资金周转天71.67 137.16 97.65 171.31 204.52 数 资源回收率 103.25 100 100 99.13 100.22 百万吨死亡率 171.2 51.35 15.90 53.72 20.78 9．友谊农场有3万亩农田，欲种植玉米、大豆和小麦三种农作物。各种作物每亩需施化肥分别为0.12吨、0.20吨、0.15吨。预计秋后玉米每亩可收获500千克，售价为0.24元/千克，大豆每亩可收获200千克，售价为1.20元/千克，小麦每亩可收获350千克，售价为0.70元/千克。农场年初规划时考虑如下几个方面。

（1）年终收益不低于350万元； （2）总产量不低于1.25万吨； （3）小麦产量以0.5万吨为宜； （4）大豆产量不少于0.2万吨； （5）玉米产量不超过0.6万吨；

（6）农场现能提供5000吨化肥；若不够，可在市场高价购买，但希望高价采购量愈少愈好。

试就该农场生产计划建立数学模型。 10．设有9个节点Ai(i?1,?,9)，他们的坐标分别为(xi,yi)，具体数据见表9。任意两个节点之间的电缆长度为

dij?|xi?xj|?|yi?yj|

问怎样连接电缆，使每个节点都连通，且所用的总电缆长度为最短？

表9 点的坐标数据表 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 xi yi 0 15 5 20 16 24 20 20 33 25 23 11 35 7 25 0 10 3 11．最廉价飞机线路的选择

北京的一科技公司由于业务的需要，其总经理每周要往返于总公司与各个子公司之间，其出行所乘坐的交通工具是飞机，各个城市间的飞机线路，及票价如下表

城市 北京 天津 南京 青岛 上海 广州 深圳 西安 武汉 天津 南京 青岛 上海 广州 深圳 西安 武汉 杭州 50 INF 40 25 10 12 14 INF 15 0 15 20 INF 25 20 INF 17 16 15 0 10 20 INF INF 26 28 INF 20 10 0 10 25 32 22 18 21 INF 20 10 0 55 16 INF 21 24 25 INF 25 55 0 17 24 INF 25 20 INF 32 16 17 0 16 27 18 INF 26 22 INF 24 16 0 18 19 28 18 21 INF 27 18 0 20 INF 17 16 INF 21 24 25 18 19 20 0 杭州 15 (注：数字代表价格，INF表示城市之间没有线路。) 问怎样才能算出一张任意城市间的最廉价路线表。 12.选址问题

已知某地区的交通网络如图8-37所示，其中点代表居民小区，边代表公路，边上的数字为小区间公路距离（单位：千米），各个小区的人数如表10所示，问区中心医院应建在哪个小区，可使离医院最远的小区居民人均就诊时所走的路程最近？

v5 60v3 3020 v4

202518

301515v2v6v 1v7

表10 各个小区的人数 小区 1 2 3 4 5 6 7 人数 5359 8960 9600 7890 6731 7694 8136 13. 高速公路修建费用问题 A城和B城之间准备建一条高速公路，B城位于A城正南90公里和正东120公里交汇处，它们之间有东西走向连绵起伏的山脉。公路造价与地形特点有关，如图给出了整个地区的大致地貌情况，

北京 0 50 INF 40 25 10 12 14

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/rp32.html