广东省广州市高山文化培训学校高考数学二模试卷理(含解析)

广东省广州市高山文化培训学校2015届高考数学二模试卷（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合M=x={x|﹣3＜x＜1}，N={x|x≤3}，则集合{x|x≤﹣3或x≥1}=( )

A．M∩N B．M∪N C．?M（M∩N）D．?M（M∪N）

2．圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点的充要条件是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

3．复数（﹣2﹣i）+的虚部是( )

A ．i

B ．

C ．﹣i

D ．﹣

4．设P为曲线C：y=x2﹣x+3上的点，且曲线C在点P处切线斜率的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为( )

A．B．C．D．

5．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )

A ．

B ．

C ．

D ．

6．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则等于( ) A ．B ．C ．D ．

7．已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )

A ．B．3 C ．D ．

8．设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时f（x ）是单调函数，则满足

的所有x之和为( )

A．﹣3 B．3 C．﹣8 D．8

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．其中13～15题是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题得分．注意：答案不完整不给分）

- 1 -

9．设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，4；P（ξ=k）=αk（k=1，2，3，4），则α=__________．

10．函数f（x）=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为__________．

11．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+b（a，b∈R）图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数a的取值范围是__________．

12．已知f（x）=sin（ω＞0），f （）=f （），且f（x）在区间

上有最小值，无最大值，则ω=__________．

（坐标系与参数方程选做题）

13．点P（x，y）是椭圆2x2+3y2=12上的一个动点，则x+2y的最大值为__________．

（不等式选讲选做题）

14．在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，其外接圆的半径R=1，则（4a2+9b2+c2）（++）的最小值为__________．

（几何证明选讲选做题）

15．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于P，连结AD，BD．已知AD=BD=4，PC=6，那么CD的长为__________．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．已知向量，

（1）若．且．求θ；

（2）求函数的单调增区间和函数图象的对称轴方程．

- 2 -

17．某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：

周销售量 2 3 4

频数20 50 30

（1）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；

（2）已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元），若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求ξ的分布列和数学期望．

18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，侧面PA⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．

（Ⅰ）求证：AD⊥PB；

（Ⅱ）求证：DM∥平面PCB；

（Ⅲ）求二面角A﹣BC﹣P的正切值．

19．已知椭圆+y2=1的左焦点为F，O为坐标原点．

（1）求过点O、F，并且与直线l：x=﹣2相切的圆的方程；

（2）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．

20．在数列{a n}，{b n}中，a1=2，b1=4，且a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列（n∈N*）．（Ⅰ）求a2，a3，a4和b2，b3，b4，由此猜测{a n}，{b n}的通项公式；

（Ⅱ）证明你的结论；

（Ⅲ）证明：++…+＜．

21．已知函数f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．（1）求n，m的关系式并求f（x）的单调减区间；

（2）证明：对任意实数0＜x1＜x2＜1，关于x 的方程：

在（x1，x2）恒有实数解

（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f（x）是在闭区间上连续不断的函数，且在区间（a，b）内导数都存在，则在（a，b）内至少存在一点x0，使得

- 3 -

- 4 - ．如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉

格朗日中值定理条件．试用拉格朗日中值定理证明：

当0＜a ＜b 时，（可不用证明函数的连续性和可导性）．

广东省广州市高山文化培训学校2015届高考数学二模试卷（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合M=x={x|﹣3＜x ＜1}，N={x|x≤3}，则集合{x|x≤﹣3或x≥1}=( )

A ．M∩N

B ．M∪N

C ．?M （M∩N）

D ．?M （M∪N）

考点：交、并、补集的混合运算．

专题：集合．

分析：根据题意和交、并、补集的运算，分别求出M∩N、M∪N、?M （M∩N）、?M （M∪N），即可得答案．

解答： 解：因为集合M={x|﹣3＜x ＜1}，N={x|x≤3}，

所以M∩N={x|﹣3＜x ＜1}，

M∪N={x|x≤3}，

则?M （M∩N）={x|x≤﹣3或x≥1}，

?M （M∪N）={x|x ＞3}，

故选：C ．

点评：本题考查交、并、补集的混合运算，属于基础题．

2．圆x 2+y 2=1与直线y=kx+2没有公共点的充要条件是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

考点：直线与圆相交的性质．

分析：当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆没有公共点，这是充要条件．

解答： 解：依题圆x 2+y 2=1与直线y=kx+2

没有公共点

故选C ．

点评：本小题主要考查直线和圆的位置关系；也可以用联立方程组，△＜0来解；是基础题．

3．复数（﹣2﹣i ）+的虚部是( )

A ．i

B ．

C ．﹣i

D ．﹣

考点：复数代数形式的乘除运算．

专题：数系的扩充和复数．

分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

解答：解：（﹣2﹣i）+=+

==．

∴复数（﹣2﹣i）+的虚部是．

故选：B．

点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．

4．设P为曲线C：y=x2﹣x+3上的点，且曲线C在点P处切线斜率的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为( )

A．B．C．D．

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．

专题：计算题；导数的概念及应用．

分析：由题意求导y′=2x﹣1，从而可得0≤2x﹣1≤1；从而解得．

解答：解：由题意，y′=2x﹣1；

则由曲线C在点P处切线斜率的取值范围为知，

0≤2x﹣1≤1；

故≤x≤1；

故点P横坐标的取值范围为．

故选D．

点评：本题考查了导数的求法及其几何意义的应用，属于基础题．

5．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )

A ．

B ．

C ．

D ．

考点：古典概型及其概率计算公式．

专题：概率与统计．

分析：4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n==6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m==4，由此能求出

取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率．

解答：解：4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，

基本事件总数n==6，

- 5 -

取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m==4，

∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为=．

故选：C．

点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件的概率计算公式的合理运用．

6．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则等于( )

A ．

B ．

C ．

D ．

考点：向量加减混合运算及其几何意义．

分析：本小题主要考查平面向量的基本定理，把一个向量用平面上的两个不共线的向量来表示，这两个不共线的向量作为一组基底参与向量的运算，注意题目给的等式的应用

解答：解：∵依题

∴

故选A

点评：本题是向量之间的运算，运算过程简单，但应用广泛，向量具有代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．

7．已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )

A ．B．3 C ．D ．

考点：抛物线的简单性质．

专题：计算题．

分析：先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即可．

解答：解：依题设P在抛物线准线的投影为P'，抛物线的焦点为F ，则，

依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|，

则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和

．

故选A．

点评：本小题主要考查抛物线的定义解题．

- 6 -

8．设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时f（x ）是单调函数，则满足

的所有x之和为( )

A．﹣3 B．3 C．﹣8 D．8

考点：偶函数．

专题：压轴题．

分析：f（x）为偶函数?f（﹣x）=f（x），x＞0时f（x）是单调函数?f（x）不是周期函数．所以若f（a）=f（b）则a=b或a=﹣b

解答：解：∵f（x）为偶函数，且当x＞0时f（x）是单调函数

∴若时，必有或，

整理得x2+3x﹣3=0或x2+5x+3=0，

所以x1+x2=﹣3或x3+x4=﹣5．

∴满足的所有x之和为﹣3+（﹣5）=﹣8，

故选C．

点评：本题属于函数性质的综合应用，解决此类题型要注意：

（1）变换自变量与函数值的关系：①奇偶性：f（﹣x）=f（x）

②增函数x1＜x2?f（x1）＜f（x2）；减函数x1＜x2?f（x1）＞f（x2）．

（2）培养数形结合的思想方法．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．其中13～15题是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题得分．注意：答案不完整不给分）

9．设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，4；P（ξ=k）=αk（k=1，2，3，4），则α=．

考点：离散型随机变量的期望与方差．

专题：概率与统计．

分析：由已知得α（1+2+3+4）=1，由此能求出α的值．

解答：解：∵离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，4，

P（ξ=k）=αk（k=1，2，3，4），

∴α（1+2+3+4）=1，

解得α=．

故答案为：

点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题．

10．函数f（x）=的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为．

考点：二项式系数的性质；分段函数的应用．

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专题：函数的性质及应用．

分析：分别在上、上求得函数f（x）与x轴所围成的封闭图形的面积，再把这两个值相加，即得所求．

解答：解：在上，函数f（x）=x+1与x 轴所围成的封闭图形的面积为×1×1=，

在上，函数f（x）=cosx与x 轴所围成的封闭图形的面积为cosxdx=sinx=1，

∴函数f（x）=的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为+1=，

故答案为：．

点评：本题主要考查分段函数的应用，定积分的意义，求定积分，属于基础题．

11．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+b（a，b∈R）图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数a 的取值范围是．

考点：导数的几何意义；导数的运算；直线的斜率．

专题：计算题；转化思想；综合法．

分析：函数f（x）=﹣x3+ax2+b（a，b∈R）图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，可得出函数的导数的最大值小于1．

解答：解：由题意f′（x）=﹣3x2+2ax，

当x=时，f′（x ）取到最大值，是．

∴，解得．

故答案为：．

点评：本题考查导数的几何意义，解题的关键是理解导数的几何意义，能根据其几何意义将题设中的条件任意一点处的切线的斜率都小于1转化为导数的最大值小于1．正确的转化基于对概念的正确理解与领会，学习时要注意领会揣摸概念的含义．

12．已知f（x）=sin（ω＞0），f （）=f （），且f（x）在区间

上有最小值，无最大值，则ω=．

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

专题：计算题；作图题；压轴题．

分析：根据f （）=f （），且f（x ）在区间上有最小值，无最大值，确定

最小值时的x值，然后确定ω的表达式，进而推出ω的值．

解答：解：如图所示，

- 8 -

∵f（x）=sin，

且f （）=f （），

又f（x ）在区间内只有最小值、无最大值，

∴f（x ）在处取得最小值．

∴ω+=2kπ﹣（k∈Z）．

∴ω=8k ﹣（k∈Z）．

∵ω＞0，

∴当k=1时，ω=8﹣=；

当k=2时，ω=16﹣=，此时在区间内已存在最大值．

故ω=．

故答案为：

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查逻辑思维能力，分析判断能力，是基础题．

（坐标系与参数方程选做题）

13．点P（x，y）是椭圆2x2+3y2=12上的一个动点，则x+2y 的最大值为．

考点：椭圆的简单性质．

专题：计算题．

分析：先把椭圆2x2+3y2=12化为标准方程，得

，由此得到这个椭圆的参数方程为：

（θ为参数），再由三角函数知识求x+2y的最大值．

解答：解：把椭圆2x2+3y2=12化为标准方程，

得，

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