北京模拟题四边形汇总

19．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=DC，联结AC，过点D作DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，若AE=AC． ⑴求∠EAC的度数

⑵若AD=2，求AB的长．

DA解：⑴

F⑵ BG

CE19．

解：⑴ 联结EC.∵AD=DC

DE⊥AC于点F∴点F是AC中点

∴DE垂直平分AC∴EC=EA----------------1分 又∵AE=AC∴AE = EC =AC ∴△AEC是等边三角形

∴∠EAC=60°---------------------2分

⑵ ∵DE⊥AC于点F∴∠AFE=90°∵∠EAC=60° ∴∠AEF=30°∵AD∥BC∴∠BAD=∠ABC=90°

∵AD=2∴AE=23------------------------------------------4分 ∵∠ABC=90°∴CB⊥AE又∵△AEC是等边三角形

1∴AB=AE=3---------------------------------------------5分

2ADFBCE

19．如图，在平行四边形ABCD中，AD = 4，∠B=105o，E是BC边的中点，∠BAE=30o，将△ABE沿AE翻折，点B落在点F处，连接FC，求四边形ABCF的周长．

D AF19．解：作BG⊥AE，垂足为点G，

∴∠BGA＝∠BGE＝90o.

在平行四边形ABCD中，AD = 4， ∵E是BC边的中点， CBE∴BE?EC?1BC?1AD?2.……………………………………………………1分

22∵∠BAE=30o，∠ABC=105o， ∴∠BEG=45o.

由已知得△ABE≌△AFE.

∴AB=AF，BE＝FE，∠BEF=90o.

[来源:Z+xx+k.Com]在Rt△BGE中，

BG＝GE=2.……… ………………………………………………………………2分 DA在Rt△ABG中，

F∴AB=AF=22.………………………………………………………………………3分

G在Rt△ECF中，

BCE∴四边形ABCF的周长4?62.……………………………………………………5分

FC?EF2?EC2?22. ………………………………………………… ……4分

24. 问题1：如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD，点M，N分别在AD，

CD上，若∠MBN=

1∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接2写出你的猜想，不用证明；

问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M，N分别在DA，CD的延长线上，若∠MBN=

1∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，2AM，CN又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明.

24. （本小题满分7分）

解：（1）猜想的结论：MN=AM+CN ． ……………1分

（2）猜想的结论：MN=CN-AM． ……………3分

证明: 在 NC截取 CF= AM，连接BF．

∵ ∠ABC+∠ADC=180°，

∴ ∠DAB+∠C=180°．

又∵ ∠DAB+∠MAB=180°， ∴ ∠MAB=∠C．

∵ AB=BC AM=CF， ∴ △AMB≌△CFB

∴ ∠ABM=∠CBF ， BM=BF． ∴ ∠ABM +∠ABF =∠CBF+∠ABF． 即 ∠MBF =∠ABC． ∵ ∠MBN=1∠ABC， 2∴∠MBN=1∠MBF． 2即∠MBN=∠NBF． 又∵ BN=BN BM=BF， ∴ △MBN≌△FBN． ∴ MN=NF． ∵ NF=CN-CF， ∴ MN=CN-AM ． ……………… …7分 22.（本小题7分）

在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F. （1）如图1，求证：ME=MF；

（2）如图2，点G是线段BC上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等腰直角三角形，

∠EGF=90°，求AB的长；

（3）如图3，点G是线段BC延长线上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等边三角形，求AB的长.

25. 在□ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得

∠EGB=∠EAB，连接AG.

（1）如图1，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG =AG+BG； （2）如图2，当EF与AB相交时，若∠EAB= α（0o﹤α﹤90o），请你直接写出线段EG、

AG、BG之间的数量关系（用含α的式子表示）；

（3）如图3，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间

的数量关系，并证明你的结论.

EAD EADEADG

GG FFF CBCCBB图2 图1 图3

25. 解：（1）证明：如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H.

∴∠GAB=∠HAE. ………………………………………………………………1分 ∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，

EAD ∴∠ABG=∠AEH.

H ∵又AB=AE，

GP ∴△ABG≌△AEH. ………………2分 F∴BG=EH，AG=AH.

CB∵∠GAH=∠EAB=60°， ∴△AGH是等边三角形. ∴AG=HG.

∴EG =AG+BG. …………………………………………………………………3分

(2) EG?2AGsin?2?BG.…………………………………………………………5分

（3）EG?2AG?BG.……………………………………………………………6分

如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H.

∴∠GAB=∠HAE.

∵∠EGB=∠EAB=90°，

∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH =180°.

∴∠ABG=∠AEH.

∵又AB=AE，

∴△ABG≌△AEH. ………………7分 ∴BG=EH，AG=AH.

∵∠GAH=∠EAB=90°， ∴△AGH是等腰直角三角形.

HAEGDFBC∴2AG=HG.

∴EG?2AG?BG.…………………………………………………………8分

25． 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，直线MN经过点O，设锐角∠DOC=∠?，将△DOC以直线MN为对称轴翻折得到△D’OC’，直线A D’、B C’相交于点P．

（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜想A D’、B C’的数量关系以及∠APB与∠α的大小关系；

（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，（1）中的结论还成立吗？

（3）当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3，∠APB与∠α有怎样的等量关系？请证明．

C'ABM25．解：

PO图1D'NDCBC'APOM图2D'NDCC'PAD'NDOBM图3C

C'ABMPO图1D'NDCBC'APOM图2D'NDCC'E AD'NDOPBM图3C

（1） A D’=B C’，∠APB=∠α． …………………… 2分 （2） A D’=B C’ 仍然成立，∠APB=∠α不一定成立． …………………… 3分 （3）∠APB=180°-∠α． …………………… 4分 证明：如图3，设OC’，PD’交于点E．

∵ 将△DOC以直线MN为对称轴翻折得到△D’OC’，

∴ △DOC≌△D’OC’，

∴ OD=OD’， OC=OC’，∠DOC=∠D’OC’． ∵ 四边形ABCD是等腰梯形，

∴ AC=BD，AB=CD, ∠ABC= ∠DCB． ∵ BC=CB，

∴ △ABC≌△DCB． ∴ ∠DBC=∠ACB． ∴ OB=OC，OA=OD． ∵ ∠AOB= ∠COD=∠C’O D’， ∴ ∠BOC’ = ∠D’O A． ∵ OD’=OA，OC’=OB， ∴ △D’OC’≌△AOB， ∴ ∠OD’C’= ∠OAB ．

∵ OD’=OA，OC’=OB，∠BOC’ = ∠D’O A， ∴ ∠OD’A = ∠OAD’=∠OBC’=∠OC’ B． ∵ ∠C’EP= ∠D’EO，

∴ ∠C’PE= ∠C’OD’=∠COD=∠α． ∵∠C’PE+∠APB=180°，

∴∠APB=180°-∠α． …………………… 8分

25．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°, ∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、

DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．

（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数 量关系： ；

（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由．如果成立请证明；

（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长． （可利用（2）得到的结论）

25．解：（1）如图①AH=AB………………………..1分 （2）数量关系成立.如图②，延长CB至E，使BE=DN ∵ABCD是正方形

∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°

∴Rt△AEB≌Rt△AND………………………………3分 ∴AE=AN，∠EAB=∠NAD

BMHCNAD∴∠EAM=∠NAM=45° ∵AM=AM

∴△AEM≌△ANM………………………………….4分 ∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，

∴AB=AH…………………………………………….. .5分 （3）如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH， 得到△ABM和△AND

图①

ADN∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90° 分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE．

HMCBE由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD.

设AH=x，则MC=x?2, NC=x?3 图② 在Rt⊿MCN中，由勾股定理，得

AMN2?MC2?NC2 ∴5?(x?2)?(x?3)………………………6分 解得x1?6,x2??1.（不符合题意，舍去） ∴AH=6.……………………………………………7分

25． 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，直线MN经过点O，设锐角∠DOC=∠?，将△DOC以直线MN为对称轴翻折得到△D’OC’，直线A D’、B C’相交于点P．

（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜想A D’、B C’的数量关系以及∠APB与∠α

222DBHMCN的大小关系；

（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，（1）中的结论还成立吗？

（3）当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3，∠APB与∠α有怎样的等量关系？请证明．

C'ABMPO图1D'NDCBC'APOM图2?D'NDCC'PAD'NDOBM图3C

24．已知：正方形ABCD中，?MAN?45，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．

（1）如图1，当?MAN绕点A旋转到BM?DN时，有BM?DN?MN．当?MAN

绕点A旋转到BM?DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；

（2）当?MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等

量关系？请写出你的猜想，并证明． 24．（本题满分7分）

解：（1）答：（1）中的结论仍然成立，即 BM?DN?MN．

证明：如图2，在MB的延长线上截取BE=DN，连结AE ．

易证 △ABE≌△ADN （SAS）． ∴ AE=AN；∠EAB=∠NAD．

小

??BAD?90?,?NAM?45?,???BAM??NAD?45.???EAB??BAM?45.

∴?EAM??NAM．又AM为公共边， ∴△AEM≌△ANM． ?ME?MN．

?MN?ME?BE?BM?DN?BM

即 DN?BM?MN． ------------------------------------------------------4分（2）猜想：线段BM，DN和MN之间的等量关系为：DN?BM?MN ．

[来源:Z,xx,k.Com]

证明：如图3，在DN延长线上截取DE=MB，连结A E ．

易证 △ABM≌△ADE（SAS）． ∴ AM=AE；∠MAB=∠EAD． 易证 △AMN≌△AEN（SAS）．

?MN?EN ．∵DN?DE?EN，

∴DN?BM?MN． ---------------------------------------------------7分

24．探究：

（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ； （2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=

1∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若2成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；

（3）在（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，

如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明..

24．探究：

（1）通过观察可知，EF= BE＋DF.………………………1分

（2）结论EF= BE＋DF仍然成立（如图2）.…………2分

证明:将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到?ABF'， ∴△ADF≌?ABF'，

∴∠1=∠2， AF'=AF，BF'=DF. ∠ABF'=∠D 又∵∠EAF=

1∠BAD，即∠4=∠2+∠3. 2∴∠4=∠1+∠3.

又∵∠ABC＋∠D＝180°， ∴∠ABF'＋∠AB E=180°，即：F'、B 、E共线. 在△AEF与△AEF1中， AF=AF'， ∠4=∠1+∠3， AE=AE

∴△AEF≌△AEF'中，………………………………………3分 ∴EF=EF'，又EF'=BE＋BF',

即：EF= BE＋DF. …………………………………………4分

（图2） （3）发生变化. EF、BE、DF之间的关系是EF= BE－DF. ……………………5分 证明：将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，点F落在BC上点F'处， 得到△ABF'，如图3所示. ∴△ADF≌△ABF'，

∴∠B AF'=∠DAF ， AF'=AF，BF'=DF. 又∵∠EAF=

1∠BAD，且∠B AF'=∠DAF 2 ∴∠F'AE=∠FA E.

在△F'AE与△FA E中 AF=AF'，

∠F'AE=∠FA E, AE=AE,

∴△F'AE≌△FA E.…………………………………6分 ∴EF=EF'，

又∵BE= BF'＋EF'， ∴EF'=BE－BF'.

[来源学科网Z,X,X,K][来源学#科#网Z#X#X#K]（图3） 即EF= BE－DF.…………………………………………7分

24． 在□ABCD中，∠A =∠DBC, 过点D作DE=DF, 且∠EDF=∠ABD , 连接EF、 EC,

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/roxa.html