一元函数连续性的判别方法探讨

一元函数连续性的判别方法探讨

摘要

连续与一致连续的概念和关系出发，主要对一元函数在不同类型区间上函数一致连续的判定方法进行了讨论，总结和应用，并且将部分判定一元函数一致连续的方法推广到了多元函数，使大家对函数一致连续的内涵有更全面的理解和认识。 函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要概念,在分析问题中起着十分重要的作用.它不仅是闭区间上连续函数黎曼可积的理论基础,而且与随后的含参量积分,函数项级数等概念都有着密切的联系.因此,判定函数的一致连续性是数学分析的一项重要内容.本文对函数的一致连续性的概念进行了深入分析,对判定函数一致连续性的充分条件,充要条件作了简要概括,并给出了闭区间和开区间上函数一致连续性的判别方法.包括无穷区间上函数一致连续性的判定,并分别给出了这些定理的证明.同时,本文也总结了一致连续性的几个性质及它的应用.

关键词 连续函数 ；极限 ；有界函数 ； 一致连续 ；非一致连续

1. 引言

我们知道，函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要内容。函数f(x)在某区间内连续，是指函数f(x)在该区间内每一点都连续，它反映函数f(x)在该区间上一点附近的局部性质，但函数的一致连续性则反映的是函数f(x)在给定区间上的整体性质，它有助于研究函数f(x)的变化趋势及性质。因此，本文对函数一致连续性的概念、判定条件进行了深入的分析和总结，目的是帮助大家掌握运用不同的方法证明函数一致连续，使大家对函数一致连续性的内涵有更全面的理解和认识。弄清函数一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续性的方法无疑是学好函数一致连续性理论的关键.数学分析教材中只给出了一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的Cator定理,内容篇幅少,但实际运用时,这些远远不够.本文将给出函数在区间上一致连续性的几个充分条件,充要条件及性质与运用.这几种方法为教科书所忽视,但比较实用且应用面广泛,有必要加以详细讨论.

现有的数学分析教材中，一般只给出函数一致连续的概念和判定函数在闭区间上一

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致连续的G.康托定理，内容篇幅少，为了对函数一致连续性的理论有正确的理解和全面的掌握，作为教材内容的适当扩展和补充，本文做了以下几点讨论：

2. 函数连续与一致连续的关系 2.1 函数连续与一致连续的区别

2.1.1 函数连续的局部性

定义1 函数f(x)在某??x0?内有定义，则函数f(x)在点x0连续是指，???0，

???0，使得当x?x0??时，有

f(x)?f(x0)??。 （2-1）

那么，函数f(x)在点x0处连续，是否意味着 f(x)在x0的邻域内连续呢？或者说其图象在此邻域上连绵不断呢？回答是否定的。如函数y?xD(x)只在x?0连续；函数

y?(x?1)(x?2)D(x)仅在x?1，x?2两点连续；又如函数

2?xsin，x?0，? （2-2） y?f(x)??x??0，x?0，容易证明这个函数在任意点是连续的，但是我们却不能一笔画出函数在x?0的任意小邻域内的图形。上述例子表明“连续”仅仅是一个局部概念，不能仅从字面去理解 f(x)在x0连续。当且仅当 f(x)在x0的邻域?(x0,?)内每一点都连续，才能说f(x)在x0的邻域内连续。函数在点x0处连续的定义不能完全反映“连续”二字的本意，这确实是个遗憾，但是，如果在连续点x0的函数值f(x0)?0，那么上述例外情形就不会发生了，有如下命题

命题 设f(x)在x0连续，且f(x0)?0，则一定存在x0的某个邻域，使 f(x)在此邻域内连续。

证明: 因f(x)在点x0连续，即???0,???0,使得?x??(x0;?)，都有 f(x)?f(x0)?现对?x???(x0;?)，由（2-3）显然有

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?2。 （2-3）

?f(x?)?f(x0)?， （2-4）

2又f(x0)?0，当?充分小时，由局部保号性有

（2-5） f(x?)f(x0)?0，

即f(x?)?0，从而有

f(x)?f(x?)?f(x)?f(x0)?f(x?)?f(x0)??。 （2-6）

可见f(x)在x?连续，由x?的任意性，知f(x)在x0的?邻域内连续。

因此，函数的连续性是一种按点而言的连续性，它仅仅反映了函数在区间上一点附近的局部性质。

2.1.2 函数一致连续的整体性

连续函数以它具有一系列良好的性质而成为数学分析研究的主要对象，然而在连续函数中，又以一致连续的函数最为重要。因此，判定一个函数在其定义域内是否一致连续，是数学分析的一个重要内容之一。

定义2 设函数f(x)在区间I上有定义，若对???0，????(?)?0，?x?,x???I，只要x??x????，就有

（2-7） f(x?)?f(x??)??，

则称函数f(x)在区间I上一致连续。

定义中的“一致” 指的是什么呢？只要与函数f(x)在区间I上连续的定义进行比较，不难发现，连续定义中的?，不仅仅依赖于?，还依赖于点x0在区间I中的位置，即???(?;x0)；而f(x)在I上一致连续是指，存在这样的?，它只与?有关而与x0在区间I中的位置无关，即???(?)。也就是说，如果函数 f(x)在区间I上连续，则对任意给定的正数?，对于I上的每一点x0，都能分别找到相应的正数?，使得对I上的任意一点x，只要x?x0??，就有f(x)?f(x0)??，其中???(?;x0)。对于同一个?而言，当x0在I上变动时，?的大小一般也随着改变，即?依赖于x0。如图1，在曲线比较平坦的部分所需的?远比在曲线比较陡峭的部分所需的?大得多。

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如果?的大小只与给定的?有关，而与点x0在I上的位置无关，那么这时f(x)就在I上一致连续。可见“一致”指的就是存在适合于I上所有点x的公共?，即???(?)。 直观地说，f(x)在I上一致连续意味着：不论两点x?与x??在I中处于什么位置，只要它们的距离小于?，就可以使f(x?)?f(x??)??。

这里可能会产生这样的疑问：既然对I中每一个点x0都能找出相应的???;x0?，那么取这些???;x0?的最小者或者是下确界作为正数????，不就能使其与点x0无关了吗？事实上，这不一定能办得到。因为区间I中有无穷多个点，从而一般地也对应着无穷多个正数???;x0?，这无穷多个正数却未必有最小的正数或取下确界为零。

所以，f(x)在区间I上一致连续，反映出f(x)在I上各点“连续”程度是否步调“一致”这样一个整体性质。

2.2 函数连续性与一致连续性的联系

函数f(x)在区间I上连续与一致连续是两个不同的概念，但它们之间也有联系。有如下结论

（1） 函数f(x)在区间I上一致连续，则f(x)在I上连续。

这个命题的证明是显然的，我们只须将其中的一个点（x?或x??）固定即可，但这个命题的逆命题却不一定成立。

1在(0,1)内不一致连续（尽管它在(0,1)内每一点都连续）。 x1?证明: 取 ?0?1，对???0（?充分小且不妨设??），取x???,x???，

22例1 证明函数y?则虽然有 x??x???但

所以函数y??2??， （2-8）

111 ???1。 （2-9）

x?x???1在(0,1)内不一致连续。 x那么应具备什么条件，在I上连续的函数f(x)才在I上才一致连续呢？ （2） 在闭区间?a,b?上连续的函数f(x)在?a,b?上一致连续。

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这是著名的G.康托定理。闭区间上连续函数的这一性质对研究函数的一致连续性十分重要，由它我们可以推出许多重要的结论。

注1 对函数的一致连续性概念的掌握，应注意以下三个方面： （1）函数在区间的连续性与一致连续性的区别和联系。

（2）函数一致连续的实质，是区间上任意两个彼此充分靠近的点的函数值的差的绝对值可以任意小，即对?x?,x???I，当x??x????时，就有

f(x?)?f(x??)??。 （2-10）

（3）函数一致连续的否定叙述：设函数f(x)在区间I上有定义，若??0?0，使

???0，总?x?,x???I，虽然有

（2-11） x??x????，

但是 f(x?)?f(x??)??0， （2-12） 则称函数f(x)在区间I上非一致连续。

总的来说，我们可以在一点处讨论函数的连续性，却不能在一点处讨论函数的一致连续性。函数的连续性反映的是函数的局部性质，而函数的一致连续性则反映的是在整个区间上的整体性质。

3. 一元函数一致连续性的判定及应用 3.1 一元函数在有限区间上的一致连续性

由于用函数一致连续的定义判定函数f(x)是否一致连续，往往比较困难。于是，产生了一些以G.康托定理为基础的较简单的判别法。

定理1（Contor定理） 若函数f(x)在?a,b?上连续，则f(x)在?a,b?上一致连续[4]。 这个定理的证明方法很多，在华东师大版数学分析上册中，运用了有限覆盖定理和致密性定理来分别证明，本文选用闭区间套定理来证明。

分析：由函数一致连续的实质知，要证f(x)在?a,b?上一致连续，即是要证对???0，可以分区间?a,b?成有限多个小区间，使得f(x)在每一小区间上任意两点的函数值之差都小于?。

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