2017 - 2018学年高中数学第二章几个重要的不等式2.3.1数学归纳法训练北师大版选修4 - 5

。 。 2.3.1 数学归纳法

一、选择题 1.设f(n)＝A.C.

1111＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于( ) n＋1n＋2n＋32nB.D.1

2n＋211－ 2n＋12n＋2

1

2n＋1

11

＋ 2n＋12n＋2

1111＋＋＋…＋ n＋1n＋2n＋32n1

1

1

1

解析 f(n)＝

1

f(n＋1)＝＋＋…＋＋＋ n＋2n＋32n2n＋12n＋2

11111

∴f(n＋1)－f(n)＝＋－＝－，选D.

2n＋12n＋2n＋12n＋12n＋2答案 D

2.用数学归纳法证明：“1＋a＋a＋…＋a得的项为( ) A.1 C.1＋a＋a 解析 当n＝1时，an＋1

2

2

n＋1

1－a＝(a≠1)”在验证n＝1时，左端计算所

1－an＋2

B.1＋a D.1＋a＋a＋a

＝a，

2

2

3

∴左边应为1＋a＋a，故选C. 答案 C

3.用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)…·(n＋n)＝2×1×3…(2n－1)时，从“k到k＋1”左边需增乘的代数式是( ) A.2k＋1 C.2(2k＋1)

kn2

2k＋1B. k＋12k＋2D. k＋1

解析 n＝k时，(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2×1×3×…×(2n－1).

n＝k＋1时，(k＋2)…(k＋k)·(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1).

（2k＋1）（2k＋2）

∴增乘的代数式是＝2(2k＋1)，选C.

k＋1答案 C 二、填空题

1

4.数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是________.

解析 a1＝1，a2＝a1＋3＝4，a3＝4＋5＝9，a4＝9＋7＝16，猜想an＝n. 答案 an＝n

5.记凸k边形对角线的条数为f(k)(k≥4)，那么由k到k＋1时，对角线条数增加了________条.

11

解析 ∵f(k)＝k(k－3)，f(k＋1)＝(k＋1)(k－2)，f(k＋1)－f(k)＝k－1.

22答案 k－1

1

6.在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an.通过求a2，a3，a4猜想an的表达式是________.

311解析 ＋a2＝2(2×2－1)a2，a2＝，

315111＋＋a3＝3(2×3－1)a3，a3＝， 315351111＋＋＋a4＝4(2×4－1)a4，a4＝， 31535631猜想an＝. 2

（2n）－11

答案 an＝ 2

（2n）－1三、解答题

7.求证：(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2·1·3·5·…·(2n－1) (n∈N＋). 证明 (1)当n＝1时，等式左边＝2，等式右边＝2×1＝2， ∴等式成立.

(2)假设n＝k(k∈N＋ )时，等式成立.

即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2·1·3·5·…·(2k－1)成立. 那么当n＝k＋1时，

(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2) ＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1) ＝2

k＋1

kn2

2

·1·3·5·…·(2k－1)[2(k＋1)－1].

即n＝k＋1时等式成立.

由(1)、(2)可知对任意n∈N＋，等式都成立. 8.求证：

1115＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋). n＋1n＋23n6

11115

证明 (1)当n＝2时，左边＝＋＋＋>，不等式成立.

34566

2

(2)假设n＝k (k≥2，k∈N＋)时命题成立，即

1115＋＋…＋>，则当n＝k＋1时，k＋1k＋23k6

111111

＋＋…＋＋＋＋ （k＋1）＋1（k＋1）＋23k3k＋13k＋23（k＋1）＝

111?111?1

＋＋－＋＋…＋＋??

k＋1k＋23k?3k＋13k＋23k＋3k＋1?

111?5?1

＋＋－>＋??

6?3k＋13k＋23k＋3k＋1?11?55?

－>＋?3×?＝，

6?3k＋3k＋1?6所以当n＝k＋1时不等式也成立.

由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋均成立.

3bn＋4

9.在数列{bn}中，b1＝2，bn＋1＝(n∈N＋).求b2，b3，试判定bn与2的大小，并加以证

2bn＋3明.

3bn＋43×2＋41058

解 由b1＝2，bn＋1＝，得b2＝＝，b3＝.

2bn＋32×2＋3741经比较有b1＞2，b2＞2，b3＞2. 猜想bn＞2(n∈N＋). 下面利用数学归纳法证明.

(1)当n＝1时，因b1＝2，所以2＜b1.

(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，结论成立，即2＜bk. ∴bk－2＞0.

当n＝k＋1时，bk＋1－2＝

3bk＋4

－2 2bk＋3

（3－22）bk＋（4－32）（3－22）（bk－2）＝＝＞0.

2bk＋32bk＋3∴bk＋1＞2，也就是说，当n＝k＋1时，结论也成立. 根据(1)、(2)，知bn＞2(n∈N＋).

1?2?11

10.用数学归纳法证明：当n∈N＋时，(1＋2＋3＋…＋n)?1＋＋＋…＋?≥n.

n??23证明 (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1＝1，左边≥右边，不等式成立. (2)假设n＝k (k≥1，k∈N＋)时不等式成立， 1?2?11

即(1＋2＋3＋…＋k)?1＋＋＋…＋?≥k，

k??23则当n＝k＋1时，左边＝[(1＋2＋…＋k)＋(k＋1)]·

2

3

??1＋1＋1＋…＋1?＋1?＝(1＋2＋3＋…＋k)?1＋1＋1＋…＋1?＋(1＋2＋3＋…＋

????????23k?k＋1?

?23k?k)

1k＋1＋(k＋1)???1＋12＋13

＋…＋1k???＋1≥k2

＋k（k＋1）2·1k＋1＋

(k＋1)??11

1?1＋2＋3

＋…＋k???＋1

＝k2

＋k2＋1＋(k＋1)??111?1＋2＋3＋…＋k???，

∵当k≥2时，1＋1112＋3＋…＋k≥1＋13

2＝2

，

∴左边≥k2

＋k32＋1＋(k＋1)×2

＝k2＋2k＋1＋32

2

≥(k＋1).

这就是说，当n＝k＋1时，不等式成立. 由(1)(2)知，当n∈N＋时，不等式成立.

4

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/rom2.html