数学建模：投资问题

投资的收益与风险问题

摘要

对市场上的多种风险资产和一种无风险资产（存银行）进行组合投资策略的设计需要考虑两个目标：总体收益尽可能大和总体风险尽可能小，而这两个目标在一定意义上是对立的。

本文我们建立了投资收益与风险的双目标优化模型，并通过“最大化策略”，即控制风险使收益最大，将原模型简化为单目标的线性规划模型一；在保证一定收益水平下，以风险最小为目标，将原模型简化为了极小极大规划模型二；以及引入收益——风险偏好系数，将两目标加权，化原模型为单目标非线性模型模型三。然后分别使用Matlab的内部函数linprog，fminmax，fmincon对不同的风险水平，收益水平，以及偏好系数求解三个模型。 关键词：组合投资，两目标优化模型，风险偏好

2.问题重述与分析

3.市场上有种资产（如股票、债券、?）()供投资者选择，某公司有数额为的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买的平均收益率为，并预测出购买的风险损失率为。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的中最大的一个风险来度量。

购买要付交易费，费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是, 且既无交易费又无风险。（） 1、已知

时的相关数据如下：

资产 收益率(%) 28 21 23 25 风险率(%) 2.5 1.5 5.5 2.6 1 2 4.5 6.5 103 198 52 40 交易费(%) 阀值(元) 试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。

，有选择地购买若干种资产或存银行生息，

2、试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算。

资产 收益率(%) 9.6 18.5 49.4 23.9 8.1 14 40.7 31.2 33.6 36.8 11.8 9 35 9.4 15 风险率(%) 42 54 60 42 1.2 39 68 33.4 53.3 40 31 5.5 46 5.3 23 2.1 3.2 6.0 1.5 7.6 3.4 5.6 3.1 2.7 2.9 5.1 5.7 2.7 4.5 7.6 181 407 428 549 270 397 178 220 475 248 195 320 267 328 131 交易费(%) 阀值(元)

本题需要我们设计一种投资组合方案，使收益尽可能大，而风险尽可能小。并给出对应的盈亏数据，以及一般情况的讨论。

这是一个优化问题，要决策的是每种资产的投资额，要达到目标包括两方面的要求:净收益最大和总风险最低，即本题是一个双优化的问题，一般情况下，这两个目标是矛盾的，因为净收益越大则风险也会随着增加，反之也是一样的，所以，我们很难或者不可能提出同时满足这两个目标的决策方案，我们只能做到的是：在收益一定的情况下，使得风险最小的决策，或者在风险一定的情况下，

使得净收益最大，或者在收益和风险按确定好的偏好比例的情况下设计出最好的决策方案，这样的话，我们得到的不再是一个方案，而是一个方案的组合，简称组合方案。 设购买Si （i=0,1…….n;S0表示存入银行，）的金额为xi;所支付的交易费为ci(xi)，则：

?0?ci(xi)??piui?px?iixi?00?xi?uixi?uii?1, 2, ?, n,c0(x0)?0

对Si 投资的净收益为:Ri(xi)?rixi?ci(xi) （i＝0，1，?，n）

对Si投资的风险为:Qi(xi)?qixi （i＝0，1，?，n），q0=0 对Si投资所需资金（即购买金额xi与所需的手续费ci(xi) 之和）是

fi(xi)?xi?ci(xi) （i＝0，1，?，n）

投资方案用x=（x0，x1，?，xn）表示，那么， 净收益总额为：

R(x)??Ri(xi)

i?0n 总风险为：

Q(x)=minQi(xi)

0?i?n 所需资金为：

F(x)??fi(xi)

i?0n 所以，总收益最大，总风险最小的双目标优化模型表示为：

??Q(x)???min??F(x)?M,x?0? ??R(x)?x????但是像这样的双目标模型用一般的方法很难求解出来的，所以经过分析把次模型转化为三种较简单

的单目标模型。

3.假设与模型

假设该公司在这一时期内是一次性投资；除交易费和投资费用外再无其他的费用开支；在这一时期市场发展基本上是稳定的；外界因素对投资的资产无较大影响；无其他的人为干预；社会政策无较大变化；公司的经济发展对投资无较大影响资产投资是在市场中进行的，市场是复杂多变的，是无法用数量或函数进行准确描述的，因此以上的假设是必要的，一般说来物价变化具有一定的周期性，社会政策也并非天天改变，公司自身的发展在稳定的情况下才会用额外的资金进行较大的风险的投资， 市场与社会的系统发展在一个时期内是良性的、稳定的，以上假设也是合理的。

3.1模型a

假设投资的风险水平是k,即要求总风险Q（x）限制在k内，Q（x）?k，则模型可转化为：

max R?x?

s.t Q?x??k,F(x)?M,x?0

3.2模型b

假设投资的收益水平是h，即净收益总额R(x)不少于h：R(x)≥h，则模型可转化为：

minQ(x)

s.t R(x)?h,F(x)?M,x?0

3.3模型c

假设投资者对风险和收益的相对偏好参数为ρ（≥0），则模型可转化为：

min?Q(x)?(1??)R(x)

s.t.F(x)?M,x?0

3.4 模型求解及分析

由于交易费 ci(xi)是分段函数，使得上述模型中的目标函数或约束条件相对比较复杂，是一个非线性

规划问题，难于求解. 但注意到总投资额M相当大，一旦投资资产Si，其投资额xi一般都会超过ui，于是交易费ci(xi)可简化为线性函数

ci(xi)?pixi

从而，资金约束简化为

F(x)??fi(xi)??(1?pi)xi?M

i?0i?0nn净收益总额简化为

R(x)??Ri(xi)??[rixi?ci(xi)]??(ri?pi)xi

i?0i?0i?0nnn在实际进行计算时，可设 M=1，此时

yi =（1?pi）xi（i＝0，1，?，n）

可视作投资Si的比例.

以下的模型求解都是在上述两个简化条件下进行讨论的.

1）模型 a 的求解

模型 a 的约束条件 Q(x)≤k 即

Q(x)?maxQi(xi)?max(qixi)≤k，

0?i?n0?i?n所以此约束条件可转化为

qixi?k （i＝0，1，?，n）.

这时模型 a 可化简为如下的线性规划问题：

nmax?(ri?pi)xii?0s.t. qixi?k, i=1, 2, ?, n

?(1?p)xii?0ni?1, x?0具体到n=4 的情形，按投资的收益和风险问题中题中给定的数据，模型为：

max0.05x0?0.27x1?0.19x2?0.185x3?0.185x4 s.t 0.025x1?k,0.015x2?k,0.055x3?k,0.026x4?k

x0?1.01x1?1.02x2?1.045x3?1.065x4?1,xi?0（i＝0，1，?，4）

利用matlab7.1 求解模型a 输出结果是

{0.177638, {x0 -> 0.158192, x1 -> 0.2, x2 -> 0.333333, x3 -> 0.0909091,x4 -> 0.192308}}

这说明投资方案为（0.158192，0.2，0.333333，0.0909091，0.192308）时，可以获得总体风险不超过 0.005 的最大收益是 0.177638M. 当 k 取不同的值（0~0.025），风险与收益的关系见图1. 输出结果列表如下：

表1 模型1的计算结果

风险水平k 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 0.011 0.012 0.013 最大收益 0.05 0.0755 0.1011 0.1266 0.1521 0.1776 0.2019 0.2066 0.2112 0.2155 0.219 0.2223 0.2256 0.2288 1 0.8316 0.6633 0.4949 0.3266 0.1582 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2 0.24 0.28 0.32 0.36 0.4 0.44 0.48 0.52 0 0.0667 0.1333 0.2 0.2667 0.3333 0.4 0.4667 0.5333 0.6 0.5843 0.5447 0.5051 0.4655 0 0.0182 0.0364 0.0545 0.0727 0.0909 0.1091 0.1273 0.1271 0.0233 0 0 0 0 0 0.0385 0.0769 0.1154 0.1538 0.1923 0.2212 0.1016 0 0 0 0 0 0

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