高等数学B2期末考试题

2011~2012学年第二学期《高等数学BII》试卷

2012年6月28日 一 得 分 一、单项选择题（共6道小题，每小题3分，满分18分）

二 三 四 总 分 ?xy22,x?y?0,?221. 设函数f(x,y)??x?y关于f(x,y)有以下命题：

?0,x2?y2?0.?①fx?(0,0)?0,fy?(0,0)?0. ②f(x,y)在点(0,0)处极限不存在. ③f(x,y)在点(0,0)处不连续. ④f(x,y)在点(0,0)处可微.

以上命题中结论正确的个数是（ ）

(A) 1个. (B) 2个. (C) 3个. (D) 4个. 2. 二次积分

?10dx?xxsinydy? ） y(A) 1?sin1. (B) sin1?1. (C) 1?sin1. (D) sin1. 3. 设曲面?是柱面x2?y2?4在0?z?1之间的部分，则

2x??dS?（ ） ? (A) ?. (B) 2?. (C) 4?. (D) 8?.

4．设二元函数U(x,y)的全微分dU?xy2dx?x2ydy，则U(x,y)的一个表达式为（ ）

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（A）

1211．x2?y2. x?y2． （B）x2y2． （C）x2y2. （D）

222?5. 如果幂级数?an(x?1)n在x??1处收敛，则该级数在x?2处（ ）

n?0 (A) 条件收敛. (B) 绝对收敛.

(C) 发 散. (D) 敛散性不定.

6. 方程y???y??2y?ex(cosx?7sinx)特解的形式是（ ），其中a,b为 常数.

(A) ex(acosx?bsinx). (B) xex(acosx?bsinx). (C) aexcosx. (D) bexsinx.

得 分

二、填空题（共6道小题，每小题3分，满分18分）.

1. 设函数z?x?xy，则dzy(2,1)? .

2. 函数z?x2?xy?y2在点(1,1)处沿方向l= 的方向导数最大.

?x?cost?3. 设曲线L的方程为?(0?t?)，则?xyds? .

L2?y?2sint4. 设级数

?an?1?ln1n(a?0)，当 时级数收敛.

5. 设函数f(x)是以2?为周期的周期函数，且在区间[??,?]上的表达式为

?2,???x?0,f(x)??则f(x)的傅里叶级数在x?0处收敛于 .

x,0?x??,?6. 将函数展开成(x?3)的幂级数的形式为 .

1x

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得 分 三、按要求解答下列各题（共6道小题，每小题7分，满分42分）.

1．设f为C

(2)?z?z?2z类函数，且z?f(x?y)，求,,.

?x?y?x?y22．求曲面x?e2y?z在点(1,1,2)处的切平面与法线方程.

3．求函数f?x??x4?y4?x2?2xy?y2的极值.

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4. 计算

5. 计算

围成.

??Dx?y2d?，其中D??(x,y)0?x?1,0?y?1?.

2222222?z?x?yz?1?x?y(x?y?z)dV，其中由锥面和球面????

6. 求微分方程y??y?1?x2满足初始条件y(0)?4的解.

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四、按要求解答下列各题（共3道小题，满分22分）.

1. （满分8分）

得 分 计算

?L(y3?xe2y)dx?(x2e2y?x3)dy，其中曲线L是x2?y2?4x的上半圆

周，顺时针方向.

2.（满分8分） 计算曲面积分的下侧.

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322y??dzdx?(y?z)dxdy，其中曲面?为z?x?y(0?z?1)?2. （满分6分） 设幂级数

nax?n在(??,??)内收敛，和函数为y(x)，且满足 n?0?y???2xy??4y?0,y(0)?0,y?(0)?1，

（1）证明an?2?

2（2）求y(x)表达式. an,n?1,2,?；

n?1（共 6 页 第 6 页 ）

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