三角形五心:重心 垂心 内心 外心 旁心
更新时间:2024-03-03 04:35:01 阅读量: 综合文库 文档下载
- 三角形的五心推荐度:
- 相关推荐
三角形只有五种心
一、重心:
三中线的交点,三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍;重心分中线比为1:2;
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
证明一
三角形ABC,E、F是AB,AC的中点。EC、FB交于G。 过E作EH平行BF。 AE=BE推出AH=HF=1/2AF AF=CF
推出HF=1/2CF 推出EG=1/2CG
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
证明二
证明方法:
在△ABC内,三边为a,b,c,点O是该三角形的重心,AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知,OA1=1/3AA1,OB1=1/3BB1,OC1=1/3CC1过O,A分别作a边上高h1,h可知Oh1=1/3Ah 则,S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC);同理可证S(△AOC)=1/3S(△ABC),S(△AOB)=1/3S(△ABC) 所以,S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB)
3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形)
证明方法:
设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为(x,y) 则该点到三顶点距离平方和为:
(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2
=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2
=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2
显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3(重心坐标)时 上式取得最小值
x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 最终得出结论。
4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均, 即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);
空间直角坐标系——横坐标:(X1+X2+X3)/3 纵坐标:(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标:(z1+z2+z3)/3
5、三角形内到三边距离之积最大的点。
6、在△ABC中,若MA向量+MB向量+MC向量=0(向量) ,则M点为△ABC的重心,反之也成立。
7、设△ABC重心为G点,所在平面有一点O,则向量OG=1/3(向量OA+向量OB+向量OC)
二、垂心:
三角形三条高的交点;
设⊿ABC的三条高为AD、BE、CF,其中D、E、F为垂足,垂心为H,角A、B、C的对边分别为a、b、c,p=(a+b+c)/2.
1、锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外.
2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心;
3、 垂心H关于三边的对称点,均在△ABC的外接圆上。
4、 △ABC中,有六组四点共圆,有三组(每组四个)相似的直角三角形,且AH·HD=BH·HE=CH·HF。
5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
6、 △ABC,△ABH,△BCH,△ACH的外接圆是等圆。
7、 在非直角三角形中,过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q,则 AB/AP·tanB+
三角形的垂心与外心的位置关系
AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。
8、 三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的2倍。 9、 设O,H分别为△ABC的外心和垂心,则∠BAO=∠HAC,∠ABH=∠OBC,∠BCO=∠HCA。
10、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
11、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心;锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中,以垂足三角形的周长最短。 12、
西姆松(Simson)定理(西姆松线)
从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
13、 设锐角⊿ABC内有一点T,那么T是垂心的充分必要条件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。
三、内心:
三内角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称; 到三边距离相等 。
设△ABC的内切圆为☉I(r),I为圆心,角A、B、C的对边分别为a、b、c,p=(a+b+c)/2.
1、三角形的内心到三边的距离相等,都等于内切圆半径r. 2、∠BIC=90°+A/2.
3、如图 在RT△ABC中,∠A=90°△内切圆切BC于D则S△ABC=BD*CD
4、点O是平面ABC上任意一点,点I是△ABC内心的充要条件是: 向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c).
5、△ABC中,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),那么△ABC内心I的坐标是:
(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c),ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c)).
6、(欧拉定理)⊿ABC中,R和r分别为外接圆为和内切圆的半径,O和I分别为其外心和内心,则OI^2=R^2-2Rr.
7、点O是平面ABC上任意一点,点O是△ABC内心的充要条件是: a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0.
8、 双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。
9、△ABC中,内切圆分别与AB,BC,CA相切于P,Q,R,则AP=AR=(b+c-a)/2,BP =BQ =(a
+c-b)/2,CR =CQ =(b+a-c)/2,r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2。 10、(内角平分线定理)
△ABC中,0为内心,∠A 、∠B、 ∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R, 则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.
四、外心:
三中垂线的交点,是三角形的外接圆的圆心的简称;到三顶点距离相等
设⊿ABC的外接圆为☉G(R),G是圆心,角A、B、C的对边分别为a、b、c,p=(a+b+c)/2.
性质1:(1)锐角三角形的外心在三角形内;
(2)直角三角形的外心在斜边上,与斜边中点重合;
(3)钝角三角形的外心在三角形外. 性质2:∠BGC=2∠A,(或∠BGC=2(180°-∠A). 性质3:∠GAC+∠B=90°
证明:如图所示延长AG与圆交与P ∵A、C、B、P四点共圆 ∴∠P=∠B ∵∠P+∠GAC=90° ∴∠GAC+∠B=90°
性质4:点G是平面ABC上一点,点P是平面ABC上任意一点,那么点G是⊿ABC外心的充要条件是:
(1)向量PG=(tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC).
或(2)向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC.
性质5:三角形三条边的垂直平分线的交于一点,该点即为三角形外接圆的圆心.外心到三顶点的距离相等。
性质6:点G是平面ABC上一点,那么点G是⊿ABC外心的充要条件 (向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=0.
五、旁心:(不用看,以后了解了解就好,现在一定不会考)
一条内角平分线与其它二外角平分线的交点.(共有三个.)是三角形的旁切圆的圆心的简称.
当且仅当三角形是正三角形的时候,四心合一心,称做正三角形的中心. 。
正在阅读:
三角形五心:重心 垂心 内心 外心 旁心03-03
天坛生物第一季度季报04-09
自考:薪酬管理2011复习资料03-15
江阴公交线路一览表(2011-1)08-18
这个冬天不冷作文优秀8篇03-26
多彩的云作文500字07-11
微机原理及应用实验指导书05-07
水泥土换填03-30
集成电路代换08-17
柿子作文400字07-06
- 多层物业服务方案
- (审判实务)习惯法与少数民族地区民间纠纷解决问题(孙 潋)
- 人教版新课标六年级下册语文全册教案
- 词语打卡
- photoshop实习报告
- 钢结构设计原理综合测试2
- 2014年期末练习题
- 高中数学中的逆向思维解题方法探讨
- 名师原创 全国通用2014-2015学年高二寒假作业 政治(一)Word版
- 北航《建筑结构检测鉴定与加固》在线作业三
- XX县卫生监督所工程建设项目可行性研究报告
- 小学四年级观察作文经典评语
- 浅谈110KV变电站电气一次设计-程泉焱(1)
- 安全员考试题库
- 国家电网公司变电运维管理规定(试行)
- 义务教育课程标准稿征求意见提纲
- 教学秘书面试技巧
- 钢结构工程施工组织设计
- 水利工程概论论文
- 09届九年级数学第四次模拟试卷
- 外心
- 三角形
- 重心
- 内心
- 就业问答(个人浅见)
- 单片机简易频率计课程设计
- 初中音乐课中教学反思在新课改中蕴意
- 设备基础施工方案
- 歌曲写作 试卷(B)
- 依法必须招标的基建工程、特许经营项目招标方式和招标范围的核准
- 江苏省农产品质量安全工作考核奖励办法(试行)
- 题库
- 2015-2016学年度第二学期春季家长会发言稿
- 2014重庆下半年公务员考试行测备考:片段阅读能力培养9
- 攀枝花钒钛产业发展简介
- 医疗器械国际业务常用英语及其缩写
- 公关礼仪教案首页
- 司法所开展工作法律法规依据
- 目前中国心脏骤停的抢救成功率极低
- 回归常态的课堂,返璞归真的数学
- (完整版)非效率投资行为及其治理机制毕业设计
- 虹吸雨水斗图集
- 大工《应用统计》课程考试模拟试卷B答案
- 2017-2018学年浙江省嘉兴一中高一上学期期中考试英语 卷