中考数学押轴题专项复习题8

阅读理解型的押轴题解析汇编一

阅读理解型

1．（2018浙江宁波，25，10分）阅读下面的情境对话，然后解答问题：

钱为宏

（1） 根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等

边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？ （2） 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB?c,AC?b,BC?a且b?a，

若Rt△ABC是奇异三角形，求a:b:c；

（3） 如图，AB是O的直径，C是O上一点（不与点A、B重合），

D是半圆ADB的中点，C、D在直径AB的两侧，若在O内存在点E，使得AE=AD，CB=CE．

①求证：△ACE是奇异三角形；

②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．

CAOB钱为宏 ED

【解题思路】（1）等边三角形的符合奇异三角形的定义，设边长为a，则可得a2?a2?2a2；（2）根据勾股定理a2?b2?c2和c?b?a，可得

2b2?a2?c2，求出a、b、c的关系；（3）①要证△ACE是奇异三角形，

即证明AC2?CE2?2AE2，只需说明CE2?BC2，AB2?2AE2；②结合第（2）问和①来分情况讨论即可． 【答案】（1）真命题

（2）在Rt△ABC中，a2?b2?c2， ∵c?b?a?0，

∴2c2?a2?b2,2a2?b2?c2，

∴若Rt△ABC为奇异三角形，一定有2b2?a2?c2， ∴2b2?a2?(a2?b2)， ∴b2?2a2得b?2a． ∵c2?b2?a2?3a2， ∴c?3a， ∴a:b:c?1:2:3．

（3）①∵AB是O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．

在Rt△ABC中，AC2?BC2?AB2，在Rt△ADB中，AD2?BD2?AB2，

∵点D是半圆ADB的中点，∴AD?BD，∴AD=BD，∴

22AB?AD?B2D?2AD．又∵CB=CE，AE=AD，∴AC2?CE2?2AE2，

∴△ACE是奇异三角形．

②由①可得△ACE是奇异三角形，∴AC2?CE2?2AE2．

当△ACE是直角三角形时，由（2）可得AC:AE:CE?1:2:3或

AC:AE:CE?3:2:1．

（Ⅰ）当AC:AE:CE?1:2:3时，AC:CE?1:3，即AC:CB?1:3． ∵∠ACB=90°，∴∠ABC=30°，∴∠AOC=2∠ABC=60°． （Ⅱ）AC:AE:CE?3:2:1时，AC:CE?3:1，即AC:CB?3:1 ∵∠ACB=90°，∴∠ABC=60°，∴∠AOC=2∠ABC=120°，∴∠AOC的度数为60°或120°．

【点评】这是一道阅读理解题，要求学生读懂定义，能用定义解决简单的实际问题，然后能更进一步地结合已经学过的知识进行拓展，是一道不易的压轴题，所设计的问题层层递进，入口较宽，不同层次的学生都能解答．难度较大．

2． （2018四川内江，加5，12分）阅读理解：

同学们，我们曾经研究过n×n正方形网格，得到网格中正方形总个数的表达式为12+22+32+……+n2，但n=100时如何计算正方形总个数呢？下面我们就一起来探索并解决这个问题．首先通过

(n?1),探究我们知道0×1+1×2+2×3+……..+(n-1)×n=n（n?1）13我们可以这样做：

（1）观察并猜想：

12+22=（1+0）×1+（1+1）×2=1+0×1+2+1×2=（1+2）+(0×1+1×2)

12+22+32=（1+0）×1+（1+1）×2+(1+2)×3=1+0×1+2+1×2+3+2×3=（1+2+3）+(0×1+1×2+2×3)

12+22+32+42=（1+0）×1+（1+1）×2+(1+2)×3+____________

=1+0×1+2+1×2+3+2×3+____________ 钱为宏 =（）+___________________________ ………………….

（2）归纳结论

12+22+32+……+n2=（1+0）×1+（1+1）×2+(1+2)×3+……….+[1+(n-1)] n

=1+0×1+2+1×2+3+2×3+……+n+(n-1) n =( )+[_____________________]

=_______________________+_______________________ =×_______________________ （3）实践应用

通过以上探究过程，我们可以算出当n=100时，正方形网格中正方形总个数是________.

【思路分析】通过提供材料求12+22+32+……+n2值的方法是首先将其转化为（1+0）×1+（1+1）×2+(1+2)×3+……….+[1+(n-1)] n，再分

16

解结合为（1+2+3+4+…….+n）+[0×1+1×2+2×3+3×4+……+(n-1)n]，最后根据已有知识及提供公式0×1+1×2+2×3+……..+(n-1)×

(n?1)合并为×n(n?1)(2n?1)． n=n（n?1）1316【答案】解：（1）观察并猜想：（1+3）×4 （0×1+1×2+2×3+3×4）

（2）归纳结论（1+2+3+4+…….+n）+[0×1+1×2+2×3+3×4+……+(n-1)n]、

111(n?1)、×n(n?1)(2n?1) (1+n)n+n（n?1）236（3）338350.

【点评】规律性探究问题通常指根据给出的材料，观察其中的规律，再运用这种规律解决问题的一类题型. 观察的三种主要途径：（1）、式与数的特征观察；（2）、式与数的分解过程观察；（3）、转化合并推广到一般情况．

3．（2018浙江舟山、嘉兴，24，12分）已知直线y?kx?3（k＜0）分

别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．

（1）当k??1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，

它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．

① 直接写出t＝1秒时C、Q两点的坐标；

② 若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值． （2）当k??3时，设以C为顶点的抛物线y?(x?m)2?n与直线AB

4的另一交点为D（如图2）， ① 求CD的长；

② 设△COD的OC边上的高为h，当t为何值时，h的值最

大？

【解题思路】第（1）题中将k=-1带入直线的解析式，求得其解析式后，利用OQ=OP或AQ=2CP两种情况得到关于时间t的一元一次方程解得即可；第（2）题中利用用t表示出点C的坐标，得到以C为顶点的二次函数的解析式，求得t后利用Rt△PCO∽Rt△OAB求得h取最大值的t的值即可。

【答案】解：（1）①C（1,2），Q（2,0） ②由题意得：P（t,0）,C(t,-t+3),Q(3-t,0), 分两种情况讨论：

情形一：当△AQC∽△AOB时，∠AQC=∠AOB=90°, ∴CP⊥OA，

∴点P与点Q重合，OQ=OP， 即3-t=t, ∴t=1.5

情形二，当△ACQ∽△AOB时，∠=∠AOB=90°, ∵OA=OB=3，，

∴△AOB是等腰直角三角形， ∴△ACQ也是等腰直角三角形， ∵CP⊥OA， ∴AQ=2CP, 即t=2(-t+3), ∴t=2,

∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒。

(2)①由题意得，C(t,-t+3),

∴以点C为顶点的抛物线解析式是y=(x-t)2-t+3, 由(x-t)2-t+3=-x+3 解得：x1=t,x2=t- 过点D作DE⊥CP于点E， 则∠DEC=∠AOB=90°，DE∥OA， ∴∠EDC=∠OAB， ∴△DEC∽△AOB， ∴

DECD? AOBA3434343434∵AO=4，AB=5，DE=t- (t-)= ,

3?5DE?BA415∴CD=??

AO4163434∴CD边上的高=3×4÷5=

12 5

∴S△COD=?115129?= 21658∴S△COD为定值。

要使OC边上的高h的值最大，只需OC最短， 因为当OC⊥AB时OC最短，此时OC的长为∵∠AOB=90°，

∴∠COP=90°-∠BOC-∠OBA， 又∵CP⊥AB， ∴Rt△PCO∽Rt△OAB, ∴

OPOC? BOBA12，∠BCO=90°， 512?3OC?BO536OP== ?BA525即t=

36 2536秒时，h的值最大。 25∴当t=

【点评】本题考查了二次函数综合知识，二次函数综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以二次函数综合题的形式出现．解决二次函数综合题的过程就是转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想的应用过程．难度较大

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