福建省泉州晋江市2020年初中学业质量检查(二)数学试题

2020年初中学业质量检查(二)

数学试题

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的在答题卡的相应位置内作答

1.20201-等于（ ）

A.1

B.-1

C.2020

D.-2020

2.为确保师生安全返校复学，2020年5月11日，某地对返校复学的23万名初三、高三师生进行兔费核酸检测，将23万用科学记数法表示为（ ）

A.32.310?

B.42.310?

C.52.310?

D.32310?

3.下面右图是由五个完全相同的正方体堆成的几何体，则这一几何体的左视图是（ ）

A. B. C. D.

4.一个不透明的袋中装有白球4个，红球若干个，它们除颜色外没有任何区别，现把袋中的球充分搅匀后随机地取出一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中红球的个数可能是（ ）

A.不多于3个

B.3个

C.4个

D.5个或5个以上

5.将一副直角三角尺按如图所示的位置放置，使含30°角的三角尺的一条直角边和含45°角的三角尺的一条直角边放在同一条直线上，则α的度数是（ ）

A.45°

B.60°

C.75°

D.85°

6.每一个内角都等于中心角的正多边形为（ ）

A.正八边形

B.正六边形

C.正六边形

D.等边三角形

7.点A B C 、、在数轴上的位置如图所示，O 为原点，AB =

OA OC =.若点B 所表示的数为a ，则

点C 所表示的数为（ ）

A.a +

B.a

C.a -

D.a -

8.要判断命题“一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形”是假命题，下列图形可作为反例的是（ ）

A. B. C. D.

9.在Rt ABC 中，90A ?∠=，5cm AB =，12cm CA =若P 是ABC 内心，

则P 到斜边BC 的距离为（ ） A.2cm B.4cm C.60cm 13 D.132

cm

10.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAB 的直角顶点A 在函数(0)y x x =-

<的图象上，点B 在函数(0)k y x x

=>的图象上，,OA OB 与y 轴的夹角相等，则k 的值为（ ）

A.1 D.

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在答题卡的相应位置 11.2cos 30?=

12.分解因式：322m m -=

13.点G 是ABC 的重心，AG 的延长线交BC 于点D ，AG =AD =

14.若某校足球队队员的年龄分布如下表：

则该校足球队队员的年龄的中位数是 岁.

15.如图，在Rt ABC 中，90BAC ?∠=，,D E 分别是,AB BC 的中点，F 在CA 的延长线上，FDA B ∠=∠，6AC =，8AB =，则四边形AEDF 的周长为

16.已知()13,A y -

，()21

,B y 两点均在抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠上点()3,C m y 是该抛物线的顶点，若123y y y >>，则m 的取值范围为

三、解答题：本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。在答题卡的相应位置内作答

17.计算：10

12020|3|2-??-+- ???

18.解不等式组：37123

x --<

，并把解集在数轴上表示出来

. 19.先化简，再求值：224214422

a a a a a a -+÷--+-+，其中2a = 20.已知：如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，点E F >分别在边,CD DA 上，且CE AF =，求证：BED BFD ∠=∠.

21.如图，ABC 是等腰三角形，AB AC =，点,D E 分别在,BA BC 的延长线上.

(1)在CAD ∠的内部求作点P ，使得//CP AB ，AP AB =；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(2)连接PB ，若5AC =，BC =PB 的长.

22.新冠肺炎疫情期间，为了减少外出聚集，“线上购物”受追捧.某电商平台在A 地区随机抽取了100位居民进行调研，获得了他们每个人近七天“线上购物”消费总金额(单位：元)，整理得到如图所示频率统计表.

(1)求m 的值，并求从“线上购物”消费总金额不低于500元的被调研居民的概率；0100x ≤<

(2)若A 地区有100万居民，该平台为了促进消费，拟对消费总金额不超过平均水平一半的居民投放每人10元的电子补贴.假设每组中的数据用该组区间的2中点值代替，试根据上述频率统计表，估计该平台在A 地区拟投放的电子补贴总金额.

23.我市开展科技创新比赛，某校代表队设计一款遥控车沿直线轨道AD 做匀速运动的模型，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，沿直线轨道AD 向D 处行驶，A 、B 两地相距30米，B D 、两地相距120米，点B C 、均在线段AD 上，且点C 与B D 、两地距离相等.若乙车的速度为20米/分，甲车的速度是乙车的速度的1.5倍，两车出发t 分钟后，甲、乙两车与B 处的距离分别记为12,d d .

(1)用含t 的代数式分别表示12,d d ；

(2)若甲，乙两车的距离少于5米时信号就会产生互相干扰，为了减少干扰，试求甲乙两遥控车信号不会产生互相干扰的时间t 的取值范围.

24.如图，四边形ABCD 内接于O ，2BAC DAC ∠=∠，AB AC =，点F 在BD 的延长线上，且DF DC =，连接AF CF 、.

(1)求证：AC BD ⊥；

(2)求证：FC 是O 的切线.

25.在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，抛物线2115:L y x bx a a

=+-的顶点D 在第四象限，且经过(1,)A m n +，(1,)(0,0)B m n m n ->>两点直线AB 与y 轴交于点C ，与抛物线的1L 对称轴交于点E ，8AC BC ?=，点E 的纵坐标为1.

(1)求抛物线1L 所对应的函数表达式；

(2)若将直线AB 绕着点E 旋转，直线AB 与抛物线1L 有一个交点Q 在第三象限，另一个交点记为P ，抛物线2L 与抛物线1L 关于点P 成中心对称，抛物线2L 的顶点记为1D .

①若点Q 的横坐标为-1，抛物线1L 与抛物线2L 所对应的两个函数y 的值都随着x 的增大而增大，求相应的x 的取值范围；

②若直线PQ 与抛物线2L 的另一个交点记为Q ，连接1PD ，11Q D ，试间：在旋转的过程中，1PD Q ∠的度数会不会发生变化?请说明理由.

参考答案

一、1-10 BBDABCCDAD

二、11. 34；12. 2(1)(1)m m m +-；13. 14.14；15.16；16.11m -<<或m 1>

三、

17. 4+； 18.. 41333x < 19. . 12

a a +

+，13- 20. 解∵.四边形ABCD 是菱形，

,AB BC A C ∴=∠=∠

在ABF 和CBE ?中，

AF CE A C AB CB =??∠=∠??=?

. ( S.A.S )ABF CBE ∴???，

BEC BFA ∴∠=∠

180BEC BED BFA BFD ?∠+∠=∠+∠=，

BED BFD ∴∠=∠

21.解

(1)如图1，点P 为所求作的点；

(2)由(1)的作图可知，过点B C P ，，三点的圆为

A ，

设A与射线BD相交于点F，如图2所示，连接PA PF

，，则BF为A的直径，

90

BPF?

∴∠=.

//

PC AB

PBF BPC

∴∠=∠

,

PF BC PF BC

∴===

BF为A的直径，

210

BF AC

∴==.

在Rt BPF

?中，由勾股定理可得，

BP===

22.解：(1)由0.110.240.20.10.040.011

m

++++++=，得0.3

m=，

从“线上购物”消费总金额不低于500元的概率为0.040.010.05

+=

(2)根据题意，消费总金额平均水平：

500.111500.242500.33500.24500.15500.046500.01260

?+?+?+?+?+?+?=(元)，估计不超过平均水平一半的概率为

260

100

2

0.240.110.182

100

??

-

?

???+=

所以估计投放电子补贴总金额为1000.18210182

??=万元...

23.解：(1) 1.52030,30301,120260,60203,60302

?=÷=÷=÷=÷=，

∴甲从A处到B处需1分钟，从B处到C处需2分钟；乙从B处到C处需3分钟.

∴当3

t=分钟时，甲在C处追上了乙.

又∵()

30120305120206

++=+=

，，

∴甲从A处到D处共需5分钟，乙从B处到D处共需6分钟，

∴

1

3030(01)

3030(15)

120(56)

t t

d t t

t

-≤≤

?

?

=-<≤

?

?<≤

?

，

2

20(06)

d t t

=≤≤

(2)当01

t≤≤时，由题意可得，

12

5

d d

+≥，

3030205

t t

∴-+≥，解得 2.5

t≤，此时，符合条件的t的取值范围为01

t≤≤；

当13

t

<≤时，由题意可得，

21

5

d d

-≥，

20(3030)5t t ∴--≥，解得 2.5t ≤，此时，符合条件的t 的取值范围为1 2.5t ≤≤；

当35t <≤时，由题意可得，125d d -≥，

3030205t t ∴--≥，解得 3.5t ≥，此时，符合条件的t 的取值范围为3.55t ≤≤：

当56t <≤时，由题意可得，21205d -≥，

. 120205t ∴-≥，解得 5.75t ≤，此时，符合条件的t 的取值范围为5 5.75t <≤：

综上所述，甲，乙两遥控车信号不会产生互相干扰的时间t 的取值范围为0 2.5t ≤≤或3.5 5.75t ≤≤

24.证明：(1)在ABC 中，180BAC ABC ACB ?∠+∠+∠=，

180()BAC ABC ACB ?∴∠=-∠+∠

2BAC CAD ∠=∠，

2180()CAD ABC ACB ?∴∠=-∠+∠

AB AC =，

AB AC ∴=

.ACB ABC ADB ∴∠=∠=∠.

21802CAD ADB ?∴∠=-∠

90CAD ADB ?∴∠=-∠

90CAD ADB ?∴∠+∠=

90AED ?∴∠=

即AC BD ⊥

(2)连结,,OA OB OC

,OB OC AB AC ==，

,O A ∴均在线段BC 的垂直平分上，即OA 垂直平分BC ， 1

2CAO BAC ∴∠=∠

又DF DC =，

DF DC =，

BDC FCD CFD ∴∠=∠+∠，

2BDC CFD ∴∠=∠

BC BC =

,BDC BAC

CFD CAD ∴∠=∠∴∠=

∠

2BAC CAD ∠=∠

OA OC =

CAO OCA ∴∠=∠

CFD OCA ∴∠=∠

由（1）知AC BF ⊥

90CFD FCE ?∴∠+∠=

90OCA FCE ?∴∠+∠=

即OC FC ⊥

又∵点C 在O 上，

∴FC 是O 的切线.

25解：(1)∵抛物线21

2

y x bx a a =+-过(1,),

(1,)(0)A m n B m n n +->两点， ∴由抛物线对称性知：抛物线对称轴为直线1x =， 11

2b a

∴-=?

2

b a ∴=-

2212516(1)y x x x a a a a a

∴=--=-- 61,D a ??∴- ??

? 又∵顶点D 在第四象限，

60a ∴-<，解得：10,0a a

>> 0,0m n >>，

∴抛物线的开口向上，其图象如图所示，

1,|1|,8AC m BC m AC BC =+=-?=，

(1)(1)8m m ∴+-=±，解得：3m =±

0m >，

3m ∴=，

由题意可知，点E 在线段AB 上，而点E 的纵坐标为1， (4,1),(2,1)A B ∴-，

把(4,1)A 代入216(1)y x a a =--得，2161(41)a a =--解得：113

a = ∴抛物线1L 所对应的函数表达式为2125333y x x =

-- (2)①把1x =-代入2125333y x x =--得，23

y =- 21,3Q ??∴-- ??

? (1,1)E ，

∴直线PQ 的解析式为5166

y x =+ 由25166125

333y x y x x ?=+????=--??可得，21255133366x x x --=+，

解得：12111,2

x x =-= ∴点P 的横坐标为112

由中心对称的性质可得，点1D 的横坐标为10，即抛物线2L 的对称轴为直线10x =， 结合图象可得，x 的范围为110x ≤≤；

②在旋转的过程中，1PD Q ∠的度数不会发生变化，理由如下：

连接,PD QD ，由中心对称的性质可得，11PD Q PDQ ∠=∠.

过,P Q 分别作直线1x =的垂线，垂足分别为,F G ，如图所示，

设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的解析式为y kx b '

=+，则 ∵直线PQ 过(1,1)E ，

1k b '∴=+，可得，1b k '=-，

∴直线PQ 的解析式为(1)y kx k =+- 由2(1)125333y kx k y x x =+-???=--??得，2125(1)333x x kx k --=+- 整理得，2

(32)(38)0x k x k -++-= 121232,38x x k x x k ∴+=+?=-

21111125(2)1333tan 13x x x DF DPF PF x -----∠===-，2222213tan 1251(2)333

x QDG x x x -∠==-----， ()()()121212111tan (38)(32)11tan 999

x x x x x x DPF k k QDG ---?++-∠--++-∴====∠ tan tan DPF QDG ∴∠=∠

DPF QDG ∴∠=∠

又90DPF PDF ?∠+∠=

90QDG PDF ?∴∠+∠=

90

PDQ?∴∠=

1190

PD Q?

∴∠=，即在旋转的过程中，PDQ

∠的度数不会发生变化..

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