2006+经济数学基础(0701-1007)

一、单项选择题(每题3分，本题共15分) 1.

函数y =

B ）。B ．[2,2)(2,)-+∞ 2.若()cos

4f x π

=，则()()

lim

x f x x f x x

→∞+?-=?（A ）A ．0

3.下列函数中，（D ）是2

sin x x 的函数原函数。D ．21cos 2

x -

4.设A 是m n ?矩阵，B 是s t ?矩阵，且T

AC B 有意义，则C 是（D ）矩阵。D ．s n ?

5.用消元法解方程组123233

24102x x x x x x +-=??+=??-=?，得到解为（C ）。C ．12311

22

x x x =-??

=??=-?

6.下列各函数对中，（ D

）中的两个函数相等．D ．x x x f 2

2

cos sin )(+=，

1)(=x g

7.已知()1sin x

f x x

=

-，当（A ）时，()f x 为无穷小量。A ．0x → 8.211dx x +∞=?（C ）C ．1

2

9.设A 是可逆矩阵，且A AB I +=，则A

-=1

（C ）.C . I B +

10.设线性方程组b AX =的增广矩阵为132140112601126022412????

--????--??--??

，则

程组的一般解中自由未知量的个数为（B ）．B ．2

11.下列函数中为偶函数的是（A ）。A ．x x y sin =

12.曲线x y sin =在点（π，0）处的切线斜率是（ D ）D ．-1

13.下列无穷积分中收敛的是（B ）．B ．

?

∞

+1

2d 1

x x

14.设????

?

?????=600321540A ，则r(A)=( D )。D ．3 15.若线性方程组的增广矩阵为??

?

???--=06211λA ，则当λ=（B ）时线性方程

组无解。B ．-3

16.下列各函数对中的两个函数相等是（C ）．C ．3

ln y x =，()3ln g x x =

17.下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（C ）．C ．3x

18.设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（D ） D . T

T T )(A B AB = 19.设线性方程组b AX =有唯一解，则相应的齐次方程组O AX =（A ）．A ．只有零解

20.设1

()f x x

=，则(())f f x =(C ）．C ．x 21.已知()1sin x

f x x

=

-，当（A ）时，()f x 为无穷小量。A ．0x → 22.若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则下列等式成立的是

(B )B ．

)()(d )(a F x F x x f x

a

-=?

23.以下结论或等式正确的是（C ）C . 对角矩阵式对称矩阵 线性方程组12121

x x x x +=??

+=?解的情况是（D ）．D ．无解

24.下列函数在指导区间(,)-∞+∞上单调增加的是 (B ）．B ．x

e

25.

曲线y =

(0,1)处的切线斜率为（A ）。A ．12-

26.下列定积分计算正确的是 (D )． D ．

sin 0xdx π

π-

=?

27.设,A B 均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（C ）C . 111()AB B A ---= 二、填空题(每题3分，共15分)

1.已知生产某种产品的成本函数为C(q)＝80+2q ，则当产量q=50单位时，该产品的平均成本为(3.6)。

2.函数23

()32

x f x x x -=-+的间断点是(121,2x x == )。

3.

1

1

(cos 1)x x dx -+=?

(2)。

4.矩阵111201134-??

??-????-??

的秩为=(2)。 5.若线性方程组???=+=-0

02121x x x x λ有非零解，则=λ(-1)

6.若函数1()1f x x =

+，则()()f x h f x h +-=(1

(1)(1)

x x h -+++)

7.已知??

?

??=≠--=1

11

1

)(2x a x x x x f ，若f x ()在),(∞+-∞内连续，则=a (2).

8.若()f x '存在且连续，则()df x '

??=??

?

(()f x ')．

9.设矩阵1243A -??=????

，I 为单位矩阵，()T

I A -=(0422-????-??)．

10.已知齐次线性方程组AX=O 中A 为3×5矩阵，且该方程组有非0解，则

()r a ≤(3)．

11.若函数62)1(2+-=-x x x f ，则=)(x f (2

X )． 12.函数3)2(-=x y 的驻点是(2=X ).

13.微分方程3

x y ='的通解是(C X +4

2

)． 14.设????

??????--=03152321a A ，当a =(1)时，A 是对称矩阵． 15.齐次线性方程组)(0n m A AX ?=是只有零解的充分必要条件是(r(A)=n )

16.设22()2

x x

f x -+=，则函数的图形关于(坐标原点)对称．

17.曲线sin y x =在点(,0)π处的切线斜率是(-1)．

18.3

1

21d 1

x x x -=+?(0)． 19.两个矩阵B A ,既可相加又可相乘的充分必要条件是(A,B 为同阶矩阵). 20.若线性方程组AX b =有解的充分必要条件是(r(A)=r(A))。

21.设1010()2

x x

f x -+=，则函数的图形关于(y 轴)对称．

22.曲线2

3(1)y x =-的驻点是(1x =)．

23.若

()()f x dx F x C =+?，则()x x e f e dx --=?(()x F e C --+)．

24.设矩阵1243A -??=????

，I 为单位矩阵，则()T

I A -=(0422-????-??).

25.齐次线性方程组0AX =的系数矩阵为112301020000A -??

??=-??????

，

则方程组的一

般解为(134

3424

2,(,)2x x x x x x x =--??=?是自由未知量)。

26.函数的定义域是22, 50()1, 02

x x f x x x +-≤

27.求极限sin lim

x x x

x

→∞+=(1)．

28.若()f x '存在且连续，则[()]df x '=?

(()f x ')．

29.设A,B 均为n 阶矩阵，则等式2

2

2

()2A B A AB B -=-+成立的充分必要条件是(AB BA =)

30.设齐次线性方程组1m n n A X O ??=，且()r A r n =<，则其一般解中的自由未知量的个数等于(n r -)。

三、微积分计算题(每小题10分，共20分) 11.设1ln(1)

1x y x

+-=

-，求(0)y '。

12．

ln 22

e (1e )d x x x +?

=ln 220

(1e )d(1e )x x ++?

=

ln 2301

(1e )3x +=193

13.设2

cos 2sin x

y x =-，求y ' 解：

14.

e

1

ln d x x x ?

解：

15.已知2

sin 2x y x

=，求y ' 解：由导数运算法则和复合函数求导

22222222

(2sin )(2)sin 2(sin )2ln 2sin 2cos ()2ln 2sin 22cos x x x x x x x y x x x x x x x x x ''''==+'=+=+ 16.x x x d cos 22

0?π

解：由定积分的分布积分法得：

2

2

20002cos 2sin |sin 22

x xdx x x xd x ππ

ππ=-=-??

17.设5sin cos y x x =+，求y '．

解:由导数运算法则和复合函数求导法则得

18.计算ln x

dx x ?.

解：由不定积分的换元积分法得

11

．设2x y e -=，求dy ．12

．计算积分20sin x dx

. 11．设3tan 2x y x -=+，求dy ． 12．计算积分20cos 2x xdx π?

. 四、线性代数计算题（每小题15分，共30分） 1.设矩阵A =113115121-????-????--??，求逆矩阵1()I A -+。

2.设齐次线性方程组?????=+-=+-=+-0

8303520

233213213

21x x x x x x x x x λ问λ取何值时方程组有非零解，并求一般解. A =??????????---→??????????---61011023183352231λλ??????????---→500110101λ 所以当λ = 5时，方程组有非零解. 且一般解为 ???==3231x x x x （其中3x 是自由未知量） 3.设矩阵 A =1536-????-??，B =11????-??，计算(A-I )-1B ． 解：

4.求下列线性方程组的一般解：

124123412342

2432355

x x x x x x x x x x x -+=??-++=??-++=?

解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形

故力一程组的一般解为

: 5.设矩阵??????????--------=843722310A ，I 是3阶单位矩阵，求1)(--A I 。 解：由矩阵减法运算得 100013113010227237001348349I A --????????????-=----=????????????---?????? 利用初等变换得： 113100113100237010011210349001010301113100100132011210010301001111001111??????????→-????????-????-??????????→-??→-????????----???? 即1132()301111I A --????-=-????-?? 6.求当λ取何值时，线性方程组?????=+-+=+-+=++-λ

43214321432111472421

2x x x x x x x x x x x x 有解？并求一般

解.

解：将线性方程组的增广矩阵化为阶梯形

211111214

2121420537317

41105372121420

537300005λλλ--????????-??→---????????---????

-??????→---????-??

当5λ=时，方程组有解，且方程组的一般解为

134234416555

337555x x x x x x ?=--???

?=+-??

其中34,x x 为自由未知量。

7.已知AX=B ，其中1233575810A ????=??????，101B ??

??=????-??

，求X 。 解：利用初等行变换得

由矩阵乘法和转置运算得

8.当λ取何值时，线性方程组

???

??+=++-=++-=+-2

5323

4224321

432142

1λx x x x x x x x x x x 有解，在有解的情况下求方程组的一般解． 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形

1101

21214323152110120113101132---+??????????→----???????

??

?λλ

→---??????????→------???????

??

?1101

20113100003101210113100003λλ

由此可知当λ≠3时，方程组无解。当λ=3时，方程组有解。 此时原方程组化为

得方程组的一般解为

13．设矩阵

12

35

A

??

=??

??

，

12

23

B

??

=??

??

，求解矩阵方程XA B

=。

14．当讨论当,a b为何值时，线性方程组

13

123

123

2

20

2

x x

x x x

x x ax b

+=

?

?

+-=

?

?+-=

?

无解，有唯一解，

有无穷多解。

13．设矩阵

112

104

211

A

-??

??

=??

??

--

??

，计算1

()

I A-

+。

14．求线性方程组

124

1234

1234

2

243

2355

x x x

x x x x

x x x x

-+=

?

?

-++=

?

?-++=

?

的一般解。

五、应用题（本题20分）

1.已知某产品的边际成本C'(x)=2（元/件），固定成本为0，边际收益

R'(x)=12-0.02x，求：⑴产量为多少时利润最大？⑵在最大利润产量的基础上再生产

50件，利润将会发生什么变化？

解：⑴因为边际利润)

(

)

(

)

(x

C

x

R

x

L'

-

'

=

'=12-0.02x–2 = 10-0.02x

令)

(x

L'= 0，得x = 500 x= 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值.所以，

当产量为500件时，利润最大.

⑵当产量由500件增加至550件时，利润改变量为

550

500

2

550

500

)

01

.0

10

(

d)

02

.0

10

(x

x

x

x

L-

=

-

=

??=500 -525=-25 （元）

即利润将减少25元.

2.某产品的边际成本为()43

c q q

'=-（万元/百台），固定成本为18万元，求：

（1）平均成本最低时的产量；（2）最低平均成本。

解：因为总成本函数为()(43)d C q q q =-?

=223q q c -+

当q = 0时，C (0) = 18，得 c =18即C (q )=22318q q -+ 又平均成本函数为 ()18

()23C q C q q q q

'=

=-+ 令 2

18

()20C q q '=-

=， 解得q = 3 (百台)该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当q = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为93

18

332)3(=+-?=A (万元/百台)

3.设生产某产品的总成本函数为 x x C +=5)((万元)，其中x 为产量，单位：百

吨．销售x 百吨时的边际收入为x x R 211)(-='（万元/百吨），求： (1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？

解：(1)因为边际成本为 1)(='x C ，边际利润)()()(x C x R x L '-'=' = 10 – 2x 令0)(='x L ，得x = 5由该题实际意义可知，x = 5为利润函数L (x )的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为5百吨时利润最大。

(2)当产量由5百吨增加至6百吨时，利润改变量为

66

25

5

(102)d (10)L x x x x ?=-=-?=-1（万元）即利润将减少1万元。

4.某厂生产某种产品q 千件时的总成本函数为C(q)=1+2q 十q 2(万元)，单位销售价格为p=8-2q(万元/千件)，试求:(1)产量为多少时可使利润达到最大?(2)最大利润是

多少?

解:(1)由已知得R=qp=q(8-2q)=8q-2q 2 利润函数L=R-C=8q-2q 2-(1+2q+q2)=6q-1-3q 2

从而有L =66q '-令L =0'，解出唯一驻点q=1，可以验证q=1是利润函数的最

大值点，所以当产量为1千件时可使利润达到最大

(2)最大利润为L(1)=6-1-3=2(万元)

15.生产某产品的边际成本为()8C q q '= (万元/百台)，边际收入为

()1002R q q '=- ( 万元/百台) ，其中q 为产量，问产量为多少时，利润最大？从

利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化?

15．某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为2

()2040.01C q q q =++(元)，单位销售价格为140.01p q =-(元/件) ，试求:：(1)产量为多少时可使利润达到最大? (2) 最大利润是多少？

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