幂函数概念和性质

更新时间:2023-05-22 22:06:01 阅读量: 实用文档 文档下载

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§2.3幂函数 幂函数

学习目标1、通过实例,了解幂函数的概念. 2、通过具体实例研究幂函数的图 象和性质. 3、掌握幂函数的简单应用.

问题引入

我们先看几个具体问题:

(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需 要支付p=w元,这里p是w的函数; y = x 2 (2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 S = a , 2 这里S是a的函数; y=x 3 (3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积 V = a , 3 y=x 这里V是a函数; (4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的 1 1 边长 a= 2 , 这里a是 S的函数; y = x 2 s (5)如果人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度 1 1 y=x v = km/ s, 这里v是t的函数.

t

若将它们的自变量全部用x来表示 函数值用 若将它们的自变量全部用 来表示,函数值用 来表 来表示 函数值用y来表 α 则它们的函数关系式将是: 示,则它们的函数关系式将是 则它们的函数关系式将是 y=

x

定义α是 数 常 .一 地函 y = x 叫 幂 数其 x 自 量 般 , 数 做 函 , 中是 变 ,α

几点说明: 几点说明1 = x 中 前 的 数 1并 后 没 常 项 、y x 面 系 为, 且 面 有 数 . 2 定 域 固 ,与 的 有 . 、 义 不 定 α 值 关α α

幂函数与指数函数的对比 函数的对比名称 式子 指数函数 y=a x 函数: 函数 幂函数: y= x a 幂函数 a底数 指数

x指数 底数

y幂值 幂值

判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点 判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点 看看未知数x是指数还是底数 指数还是底数 还是指数函数 指数函数

幂函数

例1: 判断下列函数是否为幂函数. 判断下列函数是否为幂函数. 1 (1) y=x4 2

1 (2)y = 2 x(3) y= -x2

(4)y = x

(5) y=2x2 (6) y=x3+2

P77练习 P77练习2

这个是幂函数2

这个是幂函数

1.在 数 = x , y = 2x, y = x + x, y =1 , 函 y 中 哪 个 幂 数 几 是 函2. 知 函 y = f (x)的 象 点2, 2), 已 幂 数 图 过 ( 试 出 个 数 解 式 求 这 函 的 析 .解 设 求 函 为 =x , : 所 幂 数 y 所 α =log 2 =log 2 以2 2 1 2

α

因 函 过 (2, 2),所 2 = 2 , 为 数 点 以 1 = 2

α

图象

故 求 幂 数 y=x . 所 的 函 为

1 2

几个幂函数的性质: 几个幂函数的性质:定义域y=x

值域 R

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数

单调性

公共点

R R R

增函数 (0,0),(1,1)(0,0),(1,1)

y=xy=x

2 3

y ≥0R

y=x

增函数 (0,0),(1,1)(0,0),(1,1) (1,1)

1 2

x≥0 x≠0

y ≥ 0 非奇非偶 增函数 y ≠0奇函数

y = x 1

一般幂函数的性质: 一般幂函数的性质:★幂函数的定义域、奇偶性,单调性, 因函数式中α的不同而各异. ★所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数 图象都通过点(1,1). ★如果α>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1) α>1 并在(0,+∞)上为增函数.0<α<1

★如果α<0,则幂函数的图象过点(1,1

),并在 α<0 (0,+∞)上为减函数.

合作探究: 合作探究: 幂函数在第一象限的图象 如何分布?

观察(一)3

y=x

3

y=x

2

2

1

0 0 1 2 3

观察(二)3

2

y=xy=x

1 2

1 3

1

0 0 1 2 3

观察(三)3

2

1

0 0 1 2

y = x 2 y=x 3

1

结论:幂函数图象在第一象限的分布情况:

α >10 <α <1

α <0

利用单调性判断下列各值的大小。 例2. 利用单调性判断下列各值的大小。 (1)5.20.8 与 5.30.8 ) (2)0.20.3-2与 0.30.3 ) -2

(3)

2.5

5

与 2.7+∞

5

解:(1)y= x0.8在(0,+∞)内是增函数, 内是增函数 ∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,+∞)内是增函数 内是增函数 ∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3 ∴ (3)y=x-2/5在(0,+∞)内是减函数 内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5 ∴

练习2 练习1) )

1.3 2

0.5<

1.5

0.5

5.1 < 5.09 2 2) )3) 1.79 > 1.81 ) 4) )1 4

1 4

(2 + a )

2 2 3≤

2

2 3

检测提升1、判断下列函数是否为幂函数 、 若是判断其定义域与奇偶性. 若是判断其定义域与奇偶性 (1) y=x41 (2 y = 2 ) x1 2

(4)y = x

(5) y=2x2 (6) y=x3+2

(3) y= -x2

正确答案: 正确答案:(1)(2)(4)

2、 、) 如果函数 f (x) =(m m 1 x2 m2 2m 3

是幂函数, 是幂函数,且在

区间( , ) 内是减函数, 区间 ( 0, +∞) 内是减函数 , 求满足条件的实 的集合。 数m的集合。 的集合

m= 2舍 m= 1 去

1)函数f(x)的图象与x、y轴不相交 函数f(x)的图象与 的图象与x 或与坐标轴无公共点)。 (或与坐标轴无公共点)。 2)函数f(x)的图象不经过原点。 函数f(x)的图象不经过原点 的图象不经过原点。

例 .证 幂 数 (x) = x在0,+∞ 上 增 数 3 明 函 f [ ] 是 函 .证 : 任 x , x ∈[0,+∞ 且x x ,则 明 取 1 2 ], 1 2f (x) f (x ) = 1 2

x1 1 1

x2 =2 2

(

=

x x x+ x

x x )( x + x ) x+ x1 2 1 2 1 2

方法技巧: 方法技巧:分子有理化

因 x x , x , x ∈[0,+∞ 所 x x 0, 为1 2 1 2 ], 以 1 2

x + x 0,1 2

所 f (x) f (x2),即 函 f (x) = x在0,+∞ 上 增 数 以 1 幂 数 [ ] 的 函 .

小结 一. 定 义 二. 图 象 三. 性 质 四. 应 用

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/rnh4.html

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