Heisenberg群上具VMO系数的退化椭圆方程的Morrey正则性

应

用数

学

M AT H EM ATI CA A PPLI CA TA

2 O 1 4。 2 7 ( 4 ): 8 1 8— 8 2 6

He i s e n b e r g群上具 VMO系数的退化正则性椭圆方程的 Mo r r e y魏娜(中南财经政法大学统计与数学学院，湖北武汉 4 3 0 0 7 3 )

摘要：本文研究 He i s e n b e r g群上具有 VMO (零平均振荡)系数的非散度型退化椭圆方程.通过证明适当的 S o b o 1 e v— P o i n c a r∈型不等式，建立方程的 L正则性；然后利用初等方法，得到退化椭圆方程解的 Mo r r e y正则性. 关键词： He i s e n b e r g群； L正则性； Mo r r e y正则性； VMo系数

中图分类号： O1 7 5 . 2 4文献标识码： A

A MS ( 2 0 0 0 )主题分类： 3 5 R 0 5; 3 5 J 1 5

文章编号： 1 0 0 1 - 9 8 4 7 ( 2 0 1 4 ) 0 4— 0 8 1 8 - 0 9

1 .引言解的正则性理论是近代偏微分方程领域极具挑战性并倍受关注的热点问题之一. 1 9 5 2 年， C a l d e r 6 n - Z y g mu n d奇异积分理论[ 1 建立起来，奠定了解的正则性研究基础.接着，欧氏空间中散度型和非散度型椭圆方程解的 L正则性和一种更加细致的正则性： Mo r r e y正则性都

得到了较为广泛的研究. 2 0 0 3年， L i e b e r ma n在文 E 2]中讨论了具有 VMO系数非散度型椭圆方程和抛物方程，通过改进 L估计得到了解的内 Mo r r e y估计和边界 Mo r r e y估计. 2 O 1 0年， 文E 3]中用奇异积分理论研究了具 VMO系数的散度型退化椭圆方程弱解的 Mo r r e y正则性.后来， NI U及其合作者用奇异积分理论研究了与 H6 r ma n d e r向量场相关的具不连续系数的非散度型退化抛物次椭圆及退化椭圆方程解的 Mo r r e y正则性 L 4 ] . He i s e n b e r g群 (记为 H” )作为最简单的非交换群，有着广泛的理论和应用背景，如量子力学，多复变几何理论，几何控制问题， C R几何等，所以对 He i s e n b e r g群上相关正则性问题的研究

具有非常重要的意义 .设 X , i一 1,…, 2 n是 H“上的左不变基向量场.本文目的是研究 He i s e n b e r g群上具有 VMO系数的非散度型退化椭圆方程Lu— a q X X=厂 ( 1 . 1 )

解的 Mo r r e y正则性 .本文主要思想是基于文[ 2]的方法，并结合奇异积分理论，建立方程的 L 正则性；然后用比较简洁的初等方法得到退化椭圆方程的局部 Mo r r e y正则性.文中“表示矩

阵值函数的元素，使得存在正常数和以满足：对所有∈ H”, 1 l≤ n ,≤A l I,其中对重复指标都遵照一般的求和约定 .

*

收稿日期： 2 0 1 3— 1 2 - 1 5

,

基金项目：数学天元青年基金 ( 1 1 3 2 6 1 5 3 ),中央高校基本科研业务费专项资金 ( 3 1 5 4 1 3 1 1 2 0 9 ) 作者简介：魏娜，女，汉族，河南人，讲师，研究方向：偏微分方程 .

第4期

魏娜： He i s e n b e r g群上具 VMO系数的退化椭圆方程的 Mo r r e y正则性

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本文主要结果为：

定理 1 . 1设为 H”的有界域且 n cn .令∈ L o。 n VMO,其 VMO模为 7 .设∈

w (力)满足 ( 1 . 1 )且假定厂∈ L脚( n),∈ ( O, Q) .则 X U∈ L p, ( t 2 )且存在一个常数 C—C( r, Q,, A,,, n )使得

l l X。 l ( l ≤ c(1 l厂I I ( n]+ l l X I 伪) I,其中X “一 ( X X _ l I…,: , VMO空间和 I I I l I l l 的定义见第 2节. l

( 1 . 2 )

本文组织如下：第 2节介绍了 He i s e n b e r g群的基本知识及 VMO, B MO和 Mo r r e y空间

的概念，并在 He i s e n b e r g群中建立了 S o b o l e v— P o i n c a r 6型不等式的变形，其中引理 2 . 3减弱了文[ 2]中相应的条件，并在证明过程中用到了 Ga r o f a l o等人建立的 Ha r d y型不等式 .本节还给出了 U, H n 以及 X。 U之间的关系.第 3节用第 2节建立的不等式以及奇异积分理论，证

明了退化椭圆方程解的 L正则性 .第 4节利用第 3节中的结果，通过初等方法得到解的 Mo r r e y正则性 .

2 .预备知识首先给出 He i s e n b e r g群的一些基本概念 . He i s e n b e r g群 H是在 R 州上赋予下列群法则而成的 L i e群：对任意一 ( z, )===( z 1,…, S C 2 , ), 7 7一(, )===( 1,…, 2『 i ' )∈ R讲有。7 7一( z+ Y, t+S+2[ z,] ),

其中[ z, ]::E n: ( z斗 一x i y斗 ) .对一( z , z z,…, z , . 2 7井 ,…, z , )

x 一矗+ 2 ,一 一 2 z, 1 1—4 (∈ R, …,其中[ x , x]一一 I x斗 , X ]==: T, i—l,…,,[ x,, X ]一 0且H n U一 ( X1“,…, X“, X l U,…, X2 甜 )

为 He i s e n b e r g群上的水平梯度算子 .H是一个齐次群，它具有伸缩族 (, )一 ( r x, r。 ), r >0 . 的雅克比行列式为 r ,因此 Q一 2 n+2是 H的齐次维数且它起的作用类似于拓扑维数在欧氏空间中的作用. H”上的齐次范数为 d( )一 I I 距离定义为 ( , r/ ):一 I I 一( I z l+t。 )“ ,两点之间的拟。 l l, ,∈ H”, 一一 ' 7 . B( , r )={∈ H”, ( , r/ )<r )表示

中心在∈ H“,半径 r> 0的齐次球，且 l B( , r )I—l B( 0, r )I—r。I B( 0, 1 )1 .

令 n为 H”中的有界开集，且 P∈ ( 1,。。 ) .注意到 H”上的 Ha a r测度等价于 L e b e s g u e测度.我们用 W ( )表示满足 X “∈ L p ( )的函数“∈ L p ( )的全体组成的空间；用 W ( n) 表示满足 X, X X, M∈ L p ( n)的函数∈ L一 ( n)的全体组成的空间 .这样的空间可以自然的赋予如下范数：

I J I lⅣ , ( n】一l j I I L一 ( n )+: l l x I I 一 (,

f

“ f』 W e ' P ( O )一l i l j +∑ f』“ f L p ( 0 )+∑ f f x f』 L p ( O ),i=l i, j= 1

其中 I l厂I l

:=:f I l厂l 曲1‘ .我们称 w’ ( n )和 w ( n )分别为 C o 7 ( )关于范数n )的闭包 .

I _ U l 1 w ,一 和 l l I I间：

H”中的拟距离允许定义 B MO(有界平均振荡)函数空间和 VMO(零平均振荡)函数空

定义2 . 1对任意局部可积函数 f,如果 s u p l B ( )I I I厂 ( )一^ c I曲三

8 2 0

应用

数

学

l I,I 1 .<。。,则称，∈ B MO,其中 c。是厂在 B ( )上的平均.

进一步，对任意厂∈B MO和 r>0,令叩。 ( r )三 p≤ s u p I B ( ) J 1 l 1厂 ( )一^ c 1曲， r,}∈ n B (称，在 VMO空间中，如果 ( r )一 0 ( r—O ),且称叩 ( r )为厂的 V MO模 .对力(二二 H”,可以定义空间 B MO (力)和 VMO(￥ 2 ),只需将 B 替换为 B。n n.

定义 2 . 2 设 n为 H中开子集， 0<< Q, 1< p<。。,函数厂∈ L f o ( n)属于 Mo r r e y

空间 L ( n ),是指对任意的∈Q,}∈ s f u l 1 p 1 0 _ I p。 JL ( n) .其中的范数定义为

f 1 j

I厂 ( ) I d r/<c×。 .

如果对的任意真开子集 n 均有 -厂∈ L p, ( n ),则称厂属于局部 L ( )空间，记作 _厂∈

I I厂l l n )一i n f{ I c: J I B l l d ≤c r _ , ∈n, r>0 1 . (, r J nn J下面给出一些 S o b o l e v型不等式，这在后面的证明中将起到特别重要的作用.这些不等式也是对欧氏空间中一般的 S o b o l e v— P o i n c a r 6不等式的推广.

为简化，用 B( R)表示 B( O, R) .我们固定一个 L i p s c h i t z函数： B( 1 )一 H”,且令 E一

( B( 1 ) ),使得西： B( 1 )一 E为具有 L i p s c h i t z逆的可

逆函数.用 J( )表示 J a c o b i矩阵

J (中 ) ( )一 l丢 ÷∈ E) .令p : _。一

I,∈= ( z, 一 ( z ,…, z , z, ,…, , ) .~.

且令一 l l J(西)c I。。 )+J I J( )【 i。。 对 R> 0,定义 E( R)一{一 ( z, ): x R ∈ E,一( Q一乡 )

已经知道，下面的 S o b o l e v不等式对 -厂∈ C ( H” )成立，即，对具有紧支集的函数，只要 l ≤< Q,户 ( Q一户 ) p一 ,贝 0 l】厂 ( )l c I ≤C l J厂I I ( ) .

近年来，退化椭圆背景下的 P o i n c a r 4不等式得到了广泛的研究 .当 p> 1时，在[ 6— 7]中给出了满足 H6 r ma n d e r条件的向量场上的 P o i n c a r 6不等式，在文[ 8]中给出了 p≥ 1情形的类似不等式.作为特殊情形，在 He i s e n b e r g群上有

l l厂 ( )一^【 l ( B )≤C ( p, Q)J I其中 B c H”为任意度量球，^为厂在 B上的积分平均 .

厂l ( l ),

( 2 . 1 )

引理 2 . 1设Q为H 中的区域， 为具有紧支集n的非负连续函数且l

一1 .假定厂∈

L ( n ),其中II d ,贝 0

=1且s u p l厂 I≥1 .如果∈L ( Q ), p∈[ 1,∞)且 ,一l

, t—

J。 I一 , d ≤2￣ s u p l厂 I J“一 U l d手 证由拟三角不等式可得，对任意的∈ R,

( J . l - U f J d )“ ≤{ (』 f 7 ./ - U 1 l d )“ + ( '『 『“ 一 , l d ) } .又由 H6 1 d e r不等式和，满足的条件可得

J r I I r 『“ 一“, l d 一一 f ,『 一I J r] (“ 一“ ) d I≤s u P I厂 I J。 I 一 U l l d 。

结合两个不等式并用 s u p I厂l≥ l,对U取下确界即证.通过这个引理，可以得到下面 S o b o l e v— P o i n c a r 6不等式的变形 .

第 4期

魏娜： He i s e n b e r g群上具 VMO系数的退化椭圆方程的 Mo r r e y正则性

8 2 1

引理 2 . 2 设 ∈ E 1, Q ), R> o,假定 ∈ w h ( E ( R ) ) .且假定 j ): 0,则存在常数C— C ( Q, P, )使得

I I I I L p ( E ( R ) )≤≤C l H l l l L p ( E ( R ) ) .

( 2 . 2 )

证 在B ( 1 )上定义 为 ( ) (腼( ) ) 令 )一 ( B ( 1 ) ) j B e 1 ) v ( r/ ) d r/ 由 ( 2 1 )式可得

l 一 B l ( 1 )I I L p ( B ( 1 ) )≤ C( p, Q)【 H l n l I L p ( B ( 1 ) ) .

( 2 . 3 )

注意到对f ( r/ )一 R。} B ( 1 )¨ E ( R )}} J ( ( ) ) I,有。一 J ) ( v ) f ( v ) d r,在引理2 中取前面的 f且令三 ( B( 1 ) )~,又因为 I厂 I≤ C( q￣ o, Q),则有 I I I ( I B ( 1”≤ C I 一 I I l 由变量变换公式可得

I l I l L p ( E ( R ) )≤C RQ/ p l l l l L p ( B ( 1 ) ), l l V H n I】 L p ( B ( 1 ) )≤ C R一‘ I I H I I L p ( F ( R ) ) .所得不等式与 ( 2 . 3 )结合即证 . 引理 2 . 3设 1≤ P< Q, R> 0,且假设“∈ W ( E( R) ) .假设存在常数和 r∈ ( O, 1 ) 以及 a E( R)上的点岛使得 1 B(, r尺)n E( R)1≥。,在 B(岛， )n a E( R)上一 0 .则

存在常数 C— C ( Q, p, ,, r )使得 ( 2 . 2 )成立 .

证定义 F—E ( R) n B (, r R)和 F一} ( ),记R 一d i a m F .由文[ 9]中的( 1 . 6 )式可得：

J’, ( P d ≤ J’ d ≤』 l

.

( 2 . 4 )

易知 R < R c( ),结合( 2 . 4 )和 H6 1 d e r不等式 ( 1/+ 1/ q: 1 ),则有

I I == l F i -, f F u d I≤ I F i -, ( j ' I“

I d ) ≤ I F I一 I F I / I’『, I乱 I d l一

==:

J’ 』 I C ( p, ,￣ o ) R r -口 J -, f n f d ,“I I F ) .又由 H6 1 d e r不等式得

所以 I“ I≤ C( p,, ) R I I

I l于是

一I l ,一

≤I C ( Q, P, , ) R— Q I I

I I c n畦

C ( Q, P,,。 )f l H n『 l￡ ),

I I“ F I I L p (￡ ( R ) )≤ C ( Q, P,, o )l I H— U_ I L ( F]≤ C ( Q, P,口， o )I H I”“I I L p ( E ( R ) ) .( 2 . 5)

注意到 ,一 ( E ( R ) )一 j - E ( R )￣ A ( ) f E ( R ) I I F i - 1出，其中表示 F的特征函数 -则由引理2 . 1,取厂一 I E( R)I I F 及— I I E(尺)I q可得

l一 l F l】 L ( E ( R ) )≤ C( p, Q, )I I 一“ E ( R ) l l L户 ( E ( R ) ) . 将引理 2 . 2应用到 7 3一 一眦 )得【 I“一删 )【 I L p ( ) )≤C l I I l ( ) ) .于是

i f 一 F f f L p ( F ( R ) )≤ C『 H 1 n f I L p ( E ( R ) ) .

8 2 2

应

用

数

学

结合 Mi n k o ws k i不等式及 ( 2 . 5 )可得

l I I l L p’ ( E ( R ) )≤ f l U F l I L p ( E ( R ) )+ l l“—— F l l L p ( E ( R ) )≤ C( Q, P, )l J H n I I L p ( E ( R ) )+C I H I “I l L p ( E ( R ) )≤ C( Q, P, , , r )l l H n『 l p( ) ) .即证 .

下面假定和 H n“具有零平均值，我们用 X。 U的模来估计和r

“的模.r

定理 2 . 1设 P∈[ 1, Q ), R>0且假定“∈w ( E ( R ) ) .如果I一0,则存在 C— C ( Q,, )使得

J E( R)

曲一0, l V 比J

t )

R一『 l“l l L ( E ( R ) )+ I I H一 l I L p ( E ( R ) )≤C I l X l l L p (￡ ( R ) ) . 如果 1≤ P< Q/ Z,则有 I I I f L口 ( F ( ≤C J l x U l I ( E (㈣. 证由 “满足的零平均值条件及引理 2 . 2的结论可得『 H l一“I i L声 ( E ( R ) )≤ C I l X“I l L p ( E ( R ) ) .

( 2 . 6 ) ( 2 . 7 )

由文[ 9]中的不等式 ( 1 . 6 )可得 ( 2 . 6 )中 I I“l一 I 的估计，即：R _ 1 I I H I l L p ( E ( R ) )≤C l l M l I p ( F ( R ) ),此时( 2 . 6 )显然成立 .如果 1≤ p< Q/ 2,则 1≤ p < Q且

I I“ I l L 告( F ( R"≤c l l

“l ( l E ( ≤c I J

I I E (,

而 Q p ( Q— P ) 一 Q ( Q一 2 p ) _。,即得 ( 2 . 7 ) .

定理 2 . 2 设 P∈[ 1, Q ), R> 0且假定“∈ W t ( E( R) ) .假定存在常数和 r∈ ( 0, 1 )以及o E( R)上的一点岛使得 J B(岛， )n E( R)I≥。,在 B(, r R)n a E( R)上有 U==: 0和 M一 0 .则存在常数 C— C( Q, P, , )使得( 2 . 6 )成立.如果 P< Q/ Z,则( 2 . 7 )成立，其中C— C( Q, P, , ) .

证

同定理 2 . 1的证明，但在证明过程中用引理 2 . 3取代引理 2 . 2 .

3 .L空间中的正则性为了得到 Mo r r e y估计，首先要证明一个特殊形式的 L一估计. 定理 3 . 1 假定∈ L n V MO且 L的形式见 ( 1 . 1 ) .设 R> 0, P∈ ( 1,。。 ),且，∈

L ( B( R ) ) .设∈ w5’ P ( B( R) )n W P ( B( R) )是方程 L v— f在 B(尺)中的一个解 .如果 y是的 VM0模且 R≤ 1,则

I l X。 l ( I日 ( R )】≤C ( Q, y, A, p )I I厂 p ( B ( R ) ) . 证估计式 ( 3 . 1 )的证明可从文[ 1 0]中定理 2

得到.

( 3 . 1 )

如果定义 ( )一 a ( ), 0 ( )一 ( )/ R。, ( )一厂( ),则很容易看出 ),是的

VMO模， ∈ W n w。’ ( B( 1 ) ),且石 x X 一f .于是 I I X I j (”≤ C (, A, Q, 户 )『 l厂I』 c 按照和厂写出上式即得 ( 3 . 1 ) .我们要用到 F o l l a n d的一个结果[ 1 .

定理 3 . 2 (齐次基本解的存在性)设 L为 H”上二次齐次左不变微分算子，使得 L和 L都是亚椭圆的，则存在唯一基本解 r使得： 1 ) r∈ 3 )对任意的分布 r,有L ( r * r)一 ( L r ) *I 1:== r . ( H”\{ 0 ) ); 2 ) P是一个 2一 Q次齐次函数；

对任意岛∈H”,将( 1 . 1 )的系数“ ( )固定在岛点，得到凝固算子L。一∑2 n: n ( )

X X,,由文 E l o 2中的定理 8, L。满足定理 3 . 2的假设，所以它有极点在原点的基本解，且这

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魏娜： He i s e n b e r g群上具 VMO系数的退化椭圆方程的 Mo r r e y i t !￣ U性

8 2 3

个基本解是 2一 Q次齐次的，用I 1 (岛； )表示之.同时，对i, J一 1,…, 2,令

(岛； 7/ )一 X X[ r (岛； )] (刁 ) . 下面的命题概括了 r (岛； ), ( ; )的性质[ ] .命题 3 . 1对每个∈ H”,有( a ) r (岛； )E C。。 ( H”\ f 0 ) );

( b ) (岛； )是 2一 Q次齐次的；

( c )对每个试验函数 z和每个{E H, (∈ )一 ( L o z *r ( ; ) ) ( )一 ) L o z G 1 ) d￣;而且，对每个 i,一 1, 2, , 2 n,存在常数 d ( )使得

r(;

。

x x z ( )一P . V . 1 r (;矿 。 ) L 0 z 】 7 ) d 十口 ( ) L o ( );( d )I 1 (岛； )∈ C o。 ( H\{ 0 ) );.

( 3 . 2 )

( e ) r (岛； )是一 Q次齐次的；

( )对每个R>r>o, J r<< l

< R P (岛； r/ ) d r/一 J 1 I日 l I:= l P, i (岛； ’ ) d一 o 上面的性质对任意固定的都成立 .对( 3 . 2 ),把L。写成L。一 L+ ( L。一L ),令一，则有下面的表示公式：

定理 3 . 3设 E C ( H” ),则对 i, J一 1, 2,…, 2规和∈E H“,, , 2 n

)

;

{[ a h k㈣一 j 7 )] X h X, z( 3 . 3 )

十L z ( 7 1 )} d 4 - a ( ) ( ) .

引入下面记号： K 2 ( )一P . V .} ( ;矿 。 ) (: 7 ) d .对算子 K和函数 a E L ( H ),定义交换子 C[ K,口] ( )= K( a z )一日 K( ) .则 ( 3 . 3 )变为

x f x z—K。 ( )一∑ C[ K , d从 I x^ x^ z+a i j L z, i,一1, 2,…, 2 n .定理 3 . 4[ 如果函数 a E V MO n L ( H )且令 a的 VMO模为 ),,则对每个￡>0,存 _ I C[ - K¨Ⅱ] ( z )l l ( B ( ≤ C ￡『 l z I B I ( R )] .定理 3 . 5 假定∈ L n VMO且 L的形式见 ( 1 . 1 ) .设 1≤< q<。。且假定 W E W。 ( B( R) )在 B( R)上满足一0 .则 W∈ W扎 ( B( R/ 2 ) ),而且，如果 R≤ l且 y是的 ( 3 . 4 )在p。一p o (￡, y )>0,使得对任意 R∈ ( O, p o )和每个满足 s p r t z B( R)的∈ L ( B ( R) ),有

VMO模，则存在常数 C— C ( r,, A,, q, Q)使得l J x叫f I L q ( B ( R/ Z ) )≤C RQ/ q - - O/￣ f J W I J L p ( B (川. 证首先证明正则性结果.对i, J, h, k==: 1, 2,…, 2,令

s (“ )一P . V . J} B ( ) ( ;矿’ 。 )[口触 ( )一Ⅱ舭 ( ’ )] ( 7。 ) d 7’ .取定定理3 . 4中的P 0足够小，使得∑ I I SⅢI<1 .取定任意球B ( R ),其半径小于p

o .取∈C ( B( R) ),在 B( R/ 2 )cc B ( R)上卢= l且令一 .则 E w ( B( R) ) . 由假设知在 B( R)上=== 0,结合 S o b o l e v引理有 L v— L( l f w)一 +2 a x x』∈

L ( B( R) ),其中< P< q .

8 2 4

应用数

学

2 0 1 4

由( 3 . 3 ),

X i x

_ P . V

)[ (

) X h X k V (( 3 . 5 )

+P . V . J I B ( R ) n( ; 。 ) ( ) d ' 7+a ( ) ( ) .由文[ 1 0]中定理 1 2知，【 I a ( )I l ≤c .

l l 令 一 ( ) f’ J … 一 ( P . . J ) ( ;。￥ ) L v ( r I ) d 7 l+ a (乎 ) L ( ) ) - l '… m,显然有/ /

^∈ L一 ( B(尺) ) .取 r∈[户， P]且∈[ L ( B( R) )]‘ .定义 T O:[ L ( B( R) )]阳\,¨

卜 _ '

r L r ( B(尺) )]‘ z n 。如下

、,

广c暑

算子 T是[ L r ( B( R) )]‘ z『 1 )。中的压缩映射 V r∈[ p, p],则 T在所有的[ L r ( B( R ) )]姑 空间 l, l

中有唯一定点，其中 r∈[ p, P] . ∑ 设0为[ L p ( B( R) )]‘。 [ L P ( B( R) )]‘ 中的定点.由( 3 . 5 )知( x X, ) _ l I… 也是 S=§

[ L p ( B(尺) )]‘。 n 中的定点 .根据不动点的唯一性有 Xt x 一∈L ( B( R) ), V i,一 1,…,,

2 .如果 P一 q,则有 7 3∈ WZ, q ( B( R ) ) .于是得到 7 . 3 A∈ W2, q ( B( R/ 2 ) ) .如果 P< q,则通过、,

+有限次迭代可得到同样的结果 . 下面证明估计式 ( 3 . 4 ) .为简便记号，用. l】,l I r表示厂的 L ( B( R) )模.l,

广 )对一 0,…, Q— l,令q (忌 )一 Q( Q-忌一 (因此 q ( O )一1, q ( Q- 1 )一 Q),且令为非负

紧支 C z ( B( R) )函

数满足：在 B( R/ 2 )上， R I孙 三 1

I+R。l X I≤ C ( Q) .下面定义

{训 )一且令 Wk=

J ( R]训曲， ( )一南

J。 (彤 d ,( 3 . 6 ) ( 3 . 7 )

仞( )一叫( )一{ H n ) 一{训),

.我们主要证明：对 k一 1,…, Q一 1,

l l X。训^l _ )≤C R l l X。【 I 1 .这个不等式可由

l l L w

D≤ c R l l x。叫l】。,

和定理 3 . 1得到. 下面通过归纳法证明 ( 3 . 7 ) .当是一 1时，直接计算可得n f Xf X, .因为

一a o wX￣ Xj g+2 a, j X￣ X/ W+,则有

一0,显然 a i i Xi X 一0,所以有 L w1一a q X Xj g+2 a￣ j X X .由定理

2 . 1,取其中的 E( R)一 B( R),又( q ( 1 ) ) 一( Q— I ) Q -一 1一

I I I l )+ 1 l

I l )≤c ( Q )l I x 叫I I .

( 3 . 8 )

因为 X。 一 X ,于是得到一 1情形的( 3 . 7 ) .

如果 k> 1,注意到 L w一 k[ a X X』一 (正一 1 ) a X]训卜 2+2 k a X X,训 1 .由定理 2 . 2 ( k一 2时用定理 2 . 1 )可得 R I 1叫H I l ( D≤ C 1 l X。叫卜 z l I _ z】和R I I C l l X。叫 (} _ 1 ) .结合 ( 3 . 6 )可得 Wk - 1 I ( 1 D≤

l I L wt ^ )≤c R I l叫卜2 D+ c R l I≤C I 1 X叫一 2 l l q ( 2 )+C l l X

Wk一 1l I I q ( k - - 1 )

)

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魏娜： He i s e n b e r g群上具 VMO系数的退化椭圆方程的 Mo r r e y正则性

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≤C R ∞f l X。叫l I 1+C R。‘卜”『 l X l J 1 ≤C R 『 l x 『 l。 .即( 3 . 7 )对任意的 k成立 .

如果 q≤ Q,从( 3 . 6 )以及 q ( Q一 1 )==: Q可得 i I . ) ( 叫。 _。 l I Q≤ C R卜 Q c I x 叫l I .由#

的定义以及 H6 1 d e r不等式可得

l l X叫l l B ( R/ z ) )≤R

f I x。训l ( l B ( R/ 2】 )

≤C R r R卜 Q 1 I X 叫l 1 L 1 (删)】≤C R Q/ q - - Q/ P l】 x。训l ( j B ( R ) ),即得 ( 3 . 4 ) .

如果 q> Q,对上面的过程做较小改动，用 S o b o l e v不等式和 H6 1 d e r不等式可得

j

I I

2 l I≤ c l I

2 I l ( 2 )和j

l l

口 I 1 ≤c I} 戳 1『 l g ( 1 ) .因此满足_

l l L wQ l I≤ C R l l WQ一 2 +C尺 I I H" w Q

1

≤C R R f l x 训口 _ 2 l l口 (。 _ 2 )+C R R l I X≤C RQ。l l X I I l—

1 l I g (口 - 1 )

C R 。 l j X。

,

其中用到 ( 3 . 6 )和 H6 1 d e r不等式.

4 . Mo r r e y空间中的正则性现在证明算子 L u— a q X X “在 Mo r r e y空间中的局部正则性，即定理 1 . 1 .

证设∈ B( R/ 2 ), I D∈ ( 0, R—l岛I )且 B( R) c n.取q>p/ ( 1一/ Q )且设∈ W n W3 ( B(岛， p ) )为 L v— f的解，见定理 3 . 1 .令叫一 U一 7 3 .由定理 3 . 5有

l l X u I I I L q ( B (￣ o" P/ z ) )≤C; D因此，如果 0< r< 1/ 2,则有

l l X 训『 ( l B ( ) .l{ X I{ L q ( B ( l甲 ) ) l l X。伽l l L q ( B (￥ o ) )

I I X。叫I I ( B ( ,甲 ) )≤C ( r p ) ≤C ( r p )

≤l l X因此

l I X 叫I I L p ( B ( , P ) ),) ) ,

其中用到 H6 1 d e r不等式和 ( 3 . 4 ) .另外，由( 3 . 1 )可得

L p (日 (岛 )≤ l I X。 l ( j B 岛 ≤ C【 l厂I『 (口 ( )≤ I I厂I J

l l x l I L p ( B‘岛 ' r P ) )≤ C( r Q/结合文[ 1 3 -],

引理 8 . 2 2可得一

I I X。甜【 l L p ( B (

+ l l,I I L帅(” ) .

‘ 口

I l x “ I (】 ( , r ) )≤c (专 ) ( I】 x。“ l ( B ( , R/ z ) )+I I厂 l ( J B ( R ) ) R ) .于是有

I l x。 I l

B ( R, 2 ) )≤C (I l x M c ( I B ( R ) )+ l l厂I l p B ( R ) ) ) .

则由上面的估计式及覆盖讨论立即可得 ( 1 . 2 ) .

参考文献：[ 1 3 C a l d e r 6 n A P, Z y g mu n d A. O n t h e e x i s t e n c e o f c e r t a i n s i n g u l a r i n t e g r a l s[ J] . Ac t a . Ma t h ., 1 9 5 2, 8 8: 8 5一l 39 .

8 2 6

应

用

数

学

2 O 1 4

e b e r ma n G M. A mo s t l y e l e me n t a r y p r o o f o f Mo r r e y s p a c e e s t i ma t e s f o r e l l i p t i c a n d p a r a b o l i c e q u a t i o n s [ 2] Li

wi t h VMO c o e f f i c i e n t s[ J] . J . F u n c t . An a 1 ., 2 0 0 3, 2 0 1: 4 5 7— 4 7 9 .[ 3] 魏娜 .钮鹏程. He i s e n b e r g群上奇异积分的 Mo r r e y估计及其应用[ J] .数学学报， 2 0 1 0, 5 3 ( 6 ):l 1 4 9—1 1 62 .

Suf a n g, NI U Pe n gc h e ng .M or r e y e s t i ma t e s f or p a r a b ol i c n on di ve r ge nc e op e r a t o r s o f H6 r ma n de r [ 4] T AN G

t y p e[ J] . R e n d . S e m. Ma t . Un i v . P a d o v a, 2 0 1 0, 1 2 3: 9 1 - 1 2 9 .[ 5] WEI N a, NI U Pe n gc he ng, T A NG Su f a ng, e t c .Es t i ma t e s i n ge n e r a l i z e d Mo r r e y s p a c e s

f o r n on di v e r g e n c e

d e g e n e r a t e e l l i p t i c o p e r a t o r s w i t h d i s c o n t i n u o u s c o e f f i c i e n t s[ J] . R e v . R. Ac a d . C i e n c . E x a c t a s F i s . N a t .,S e r . A Ma t ., 2 0 l 2, 1 0 6 ( 1 ):1 - 3 3 . Gu o z h e n . W[ 6] LU e i g h t e d P o i n c a r 6 a n d S o b o l e v i n e q u a l i t i e s f o r v e c t o r f i e l d s s a t i s f y i n g H6 r ma n d e r ' s c o n d i—

t i o n a n d a p p l i c a t i o n s[ J] . R e v i s t a Ma t e ma t i c a I b e r o a me r i c a n a, 1 9 9 2, 8 ( 3 ): 3 6 7— 4 4 0 .[ 7] L U G u o z h e n . Th e s h a r p P o i n c a r 4 i n e q u a l i t y f o r f r e e v e c t o r f i e l d s:a n e n d p o i n t r e s u l t[ J] . R e v i s t a Ma t .I b e r o a me r i c a n a, 1 9 9 4, 1 0 ( 3 ):4 5 3 - 4 6 6 . a n c h i B, LU Gu o z h e n, Wh e e d e n R L. Re p r e s e n t a t i o n f o r mu l a s a n d we i g h t e d P o i n c a r 6 i n e q u a l i t i e s f o r [ 8] Fr

H6 r ma n d e r v e c t o r i f e l d s[ J] . An n I n s t F o u r i e r: G r e n o b l e, 1 9 9 5, 4 5:5 7 7— 6 0 4 .

[ 9]

Da n i e l l i D, Ga r o f a l o N, P h u c N C .I n e q u a l i t i e s o f Ha r d y - S o b o l e v t y p e i n Ca r n o七一 Ca r a t h∈ o d o r y s p a c e s

[ G]// Ma z ' y a V S o b o l e v

S p a c e s i n Ma t h e ma t i c s I . I n t e r n a t i o n a l Ma t h e ma t i c a l S e r i e s, V o 1 . 8 . Ne w Y o r k:Spr i ng e r, 2 009 .

a ma n t i M[ 1 O] Br

, Br a n d o l i n i L.L e s t i ma t e s f o r u n i f o r ml y h y p o e l l i p t i c o p e r a t o r s wi t h d i s c o n t i n u o u s c o e f f i -

c i e n t s o n h o mo g e n o u s g r o u p s[ J] . R e n d . S e m. Ma t . Un i v . P o 1 . T o r i n o ., 2 0 0 0, 5 8 ( 4 ): 3 8 9— 4 3 3 .

[ 1 1] F o l l a n d G B . S u b e l l i p t i c e s t i ma t e s a n d f u n c t i o n s p a c e s o n n i l p o t e n t L i e g r o u p s[ J] . A r k . Ma t ., 1 9 7 5, 1 3:1 61 - 2 07.

a ma n t i M, B r a n d o l i n i L.L e s t i ma t e s f o r n o n v a r i a t i o n a 1 h y p o e l l i p t i c o p e r a t o r s wi t h VM O c o e f f i c i e n t s [ 1 2] Br

[ J] . T r a n s . A ma r . Ma t h . S o c ., 2 0 0 0, 3 5 2 ( 2 ): 7 8 1 - 8 2 2 . [ 1 3] Gi l b a r g D, Tr u d i n g e r N S . E l l i p t i c P a r t i a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s o f S e c o n d Or d e r[ M] . N e w Y o r k . He i—d e l b e r g: S p r i n g e r - Ve r l a g, 1 9 7 7 .

M o r r e y Re g u l a r i t y f o r De g e n e r a t e El l i p t i c Eq u a t i o ns

wi t h VM O Co e f f i c i e nt s i n t h e He i s e nb e r g G

r o u p

W El Na

( S c h o o l o f S t a t i s t i c s a n d Ma t h e ma t i c s, Z h o n g n a n Un i v e r s i t y o f Ec o n o mi c s a n d La w, Wu h a n4 3 0 0 7 3, C h i n a )

Ab s t r a c t: Th i s p a p e r i s d e v o t e d t o t h e n o n— d i v e r g e n c e d e g e n e r a t e e l l i p t i c e q u a t i o n wi t h

VM O ( Va n i s h i n g Me a n Os c i l l a t i o n )c o e f f i c i e n t s i n t h e He i s e n b e r g g r o u p . By p r o v i n g s o mes u i t a b l e So bo l e v— Po i nc a r 6 t y p e i ne qu a l i t i e s, we e s t a b l i s h t he L r e g ul a r i t y f o r t he e uq a t i o n.

Fur t he r mo r e, Mo r r e y r e gu l a r i t y f o r t h e d e g e ne r a t e e l l i p t i c e q ua t i o n i s d e r i v e d by a n e l e me nt a— r y me t h od .

Ke y wo r d s: He i s e n b e r g g r o u p; L r e g u l a r i t y; Mo r r e y r e g u l a r i t y; VM O c o e f f i c i e n t

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