蚌埠市2016年二轮复习 等比数列的运算和性质

蚌埠市2016年二轮复习等比数列的运算和性质

【高考再现】

热点一、等比数列基本量的计算

1．（2012年高考（浙江理））设公比为q(q>0)的等比数列{a n}的前n项和为{S n}.若S2?3a2?2,S4?3a4?2,则q =______________.

22．（2012年高考（辽宁理））已知等比数列?an?为递增数列,且a5?a10,2(an?an?2)?5an?1,

则数列的通项公式an?______________.

3．（2012年高考（北京文））已知{an}为等比数列.下面结论中正确的是 （ ） A．a1?a3?2a2 C．若a1?a3,则a1?a2 【答案】B

【解析】当a1?0,q?0时,可知a1?0,a3?0,a2?0,所以A选项错误;当q??1时,C选项错误;当q?0时,a3?a2?a3q?a1q?a4?a2,与D选项矛盾.因此根据均值定理可知B选项正确.

4．（2012年高考（重庆文））首项为1,公比为2的等比数列的前4项和S4?______ 【答案】:15

22B．a12?a3 ?2a2D．若a3?a1,则a4?a2

1?24?15 【解析】:S4?1?25．（2012年高考（辽宁文））已知等比数列{an}为递增数列.若a1>0,且2(a n+a n+2)=5a

n+1 ,则数列{an}的公比q = _____________________.

6．（2012年高考（课标文））等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比

q=_______

7．（2012年高考（江西文））等比数列?an?的前n项和为Sn,公比不为1。若a1?1,且对任意的n?N*都有an?2?an?1?2an?0,则S5?_________________。

【答案】11

1?(?2)5?11. 【解析】由已知可得公比q??2,a1?1,可得S5?1?(?2)【方法总结】

关于等差(比)数列的基本运算，其实质就是解方程或方程组，需要认真计算，灵活处理已知条件．容易出现的问题主要有两个方面：一是计算出现失误，特别是利用因式分解求解方程的根时，不注意对根的符号进行判断；二是不能灵活运用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量．

热点二、等比数列性质的应用

1．（2012年高考（新课标理））已知?an为等比数列,a4?a7?2,a5a6??8,则

?a1?a10?（ ）

A．7

【答案】D

B．5

C．??

D．??

【解析】a4?a7?2,a5a6?a4a7??8?a4?4,a7??2或a4??2,a7?4

a4?4,a7??2?a1??8,a10?1?a1?a10??7 a4??2,a7?4?a10??8,a1?1?a1?a10??7

2．（2012年高考（湖北理））定义在(??,0)?(0,??)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列{an}, {f(an)}仍是等比数列,则称f(x)为“保等比数列函数”. 现有定义在(??,0)?(0,??)上的如下函数:①f(x)?x2; ②f(x)?2x; ③f(x)?|x|; ④f(x)?ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为

A．① ②

B．③ ④

C．① ③

（ ） D．② ④

3．（2012年高考（安徽理））公比为32等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11?16,则（ ） A．4

【答案】B

B．5

C．?

D．?

2【解析】 a3a11?16?a7?16?a7?4?a16?a7?q9?32?log2a16?5

5．（2012年高考（广东文））(数列)若等比数列?an?满足a2a4?2a1a3a5?_________.

1,则2

【方法总结】

等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握它们，同时也有利于类比思想的推广．对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式an?f(n)的下标n的大小关系，可简化题目的运算．

【考点剖析】

三．规律总结

基础梳理

1．等比数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示．

2．等比数列的通项公式

n－1

设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·q. 3．等比中项

2

若G＝a·b(ab≠0)，那么G叫做a与b的等比中项． 4．等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m，(n，m∈N＋)．

(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.

?1???

(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，??，{a2n}，{an·bn}，

?an???

??an??

??仍是等比数列． ?bn???

(4)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数

n列，其公比为q.

5．等比数列的前n项和公式

等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn， 当q＝1时，Sn＝na1；

a1?1－qn?a1－anq当q≠1时，Sn＝＝. 1－q1－q

两个防范

(1)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.

(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．

三种方法

【基础练习】

1. (人教A版教材习题改编)在等比数列{an}中，如果公比q＜1，那么等比数列{an}是( )．

A．递增数列 B．递减数列

C．常数列 D．无法确定数列的增减性

1

2. （经典习题）已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于( )．

4

11A．－ B．－2 C．2 D. 22

3．（经典习题）在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于( )． A．4 B．8 C．16 D．32

4．（经典习题）设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝( )． A．－11 B．－8 C．5 D．11

5.（经典习题）在等比数列{an}中，a2012?8a2009，则公比q的值为( ) A．2 B．3 C．4

D．8

S5S2

6. (教材习题改编)等比数列{an}中，a4?4，则a2a6等于( ) A．4 B．8

C．16 D．32

【名校模拟】 一．基础扎实

1．(长春市实验中学2012届高三模拟考试（文）)等比数列{an}中，

a1?a2?3,a2?a3?6，则a7等于（ ）

A．64 B．81 C．128 D.243 2．（成都市2012届高中毕业班第二次诊断性检测理）已知是等比数列，，则该数列前6项之积为（ ）

A. 8 B. 12 C. 32 D. 64

3．(成都市2012届高中毕业班第二次诊断性检测文)巳知等比数列中，a3=3,a5=9,则a1的值是（ ）

A．1 B.

C.-1 D.

5．(浙江省2012届浙南、浙北部分学校高三第二学期3月联考试题理)已知等比数列{an}的各项都为正数，且当n?3时，a4?a2n?4?102n，则数列2lga1，2lga2， 2lga3，2lga4，?，

2lgan，?的前n项和Sn等于 ．

6．(江西省2012届十所重点中学第二次联考文)已知数列{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝_______

7．（山东省泰安市2012届高三第一次模拟考试文）等比数列?an?中，已知

a1?a2?1,a3?a4?1，则a7?a8的值为 . 2二．能力拔高

2．(湖北省八校2012届高三第一次联考理)设{an}是等比数列，则“a1?a2?a3”是“数列{an}是递减数列”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

三．提升自我

1．(2012年云南省第一次统一检测理)在等比数列?an?中，a6与a7的等差中项等于

48，a4a5a6a7a8a9a10?1286. 如果设?an?的前n项和为Sn，那么Sn?

A.5n?4

B.4n?3

C.3n?2

D.2n?1

2．(湖北八校2012高三第二次联考文) 已知{an}是等比数列，a2?4，a5?32， 则a1a2?a2a3???anan?1?（ ） A．8(2n?1) B．(4n?1) C．

8316n2(2?1) D．(4n?1) 333．(浙江省温州中学2012届高三10月月考理）等比数列{an}的公比为q，其前n项的积为Tn，并且满足条件a1?1，a99a100?1?0，

a99?1?0。给出下列结论：①

a100?10?q?1；②a99?a101?1?0，③T100的值是Tn中最大的；④使Tn?1成立的最大自然数

n等于198. 其中正确的结论是 .

5. (北京市西城区2012届高三4月第一次模拟考试试题理)设等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，前n项和为Sn．若对?n?N*，有S2n?3Sn，则q的取值范围是（ ）

A.(0,1] B.(0,2) C.[1,2) D.(0,2) 【原创预测】

1．已知函数f(x)?log2x,正项等比数列｛bn｝的公比为2，若f(b12b14?b20)?4.则2f(b11)?f(b12)???f(b20)=

3．设{an}是公比为q的等比数列，令bn?an?1(n?1,2,?),若数列{bn}的连续四项在集合{-53，-23，19，37，82}中，则q等于（ ）

A．?或?

344 3B．?或?322 3C．?3 2D．?4 3

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