奥数第7讲.竞赛123班教师版 - 染色与操作问题

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五年级奥数第十三讲染色中的抽屉原理例1:平面上有ABCDE点。。。

染色问题

这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法。染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案。这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色方法。

【例1】六年级一班全班有35名同学，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每个座位的前后

左右四个位置都叫作它的邻座。如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗？为什么？

【分析】划一个5?7的方格表，其中每一个方格表示一个座位。将方格

黑白相间地染上颜色，这样黑色座位与白色座位都成了邻座。因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格。但实际上图中有17个黑格，18个白格，黑格与白格的个数不相等，故不能办到。

【例2】右图是学校素质教育成果展览会的展室，每两个相邻的展室之间都有门相通。有一个

人打算从A室开始依次而入，不重复地看过各室展览之后，仍回

A到A室，问他的目的能否达到，为什么？

【分析】采用染色法。如右下图，共有9个展览室，对这9个展览室，黑

白相间地进行染色，从白室A出发走过第1扇门必至黑室，再由黑室走过第2扇门至白室，由于不重复地走遍每一间展览室，因A此将走过黑白相间的8个展览室，再回到白室A，共走过9扇门。由于走过奇数次门至黑室，走过偶数次门至白室。现在，走过9扇门，必至黑室，所以无法回到原来的白室A。

[巩固] 有一次车展共6?6?36个展室，如右图，每个展室与相邻

的展室都有门相通，入口和出口如图所示。参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?

[分析] 如右下图，对每个展室黑白相间染色，那么每次只能从黑格到白格或从白格到黑格。由

于入口处和出口处都是白格，而路线黑白相间，首尾都是白格，于是应该白格比黑格多1个，而实际上白格、黑格都是18个，故不可能做到不重复走遍每个展室。

【例3】右图是半张中国象棋盘，棋盘上放有一只马。众所周知，马是走“日”字的。请问：

这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？

【分析】马走“日”字，在中国象棋盘上走有什么规律呢？

为方便研究规律，如下图所示，先在棋盘各交点处相

马间标上○和●，图中共有22个○和23个●。因为马走“日”字，每步只能从○跳到●，或由●跳到○，所以马从某点跳到同色的点（指○或●），要跳偶数步；跳到不同色的点，要跳奇数步。现在马在○点，要跳回这一点，应跳偶数步，可是棋盘上共有23?22?45个点，所以不可能做到不重复地走遍所有的点后回到出发点。

讨论：如果马的出发点不是在○点上而是在●点上，那么这只马能不能不重复地走遍这半张棋盘上的每个点，最后回到出发点上呢？按照上面的分析，显然也是不可能的。但是如果放弃“回到出发点”的要求，那么情况就不一样了。从某点出发，跳遍半张棋盘上除起点以外的其它44个点，要跳44步，44是偶数，所以起点和终点应是同色的点（指○或●）。因为44步跳过的点○与点●各22个，所以起点必是●，终点也是●。也就是说，当不要求回到出发点时，只要从●出发，就可以不重复地走遍半张棋盘上的所有点。

【例4】右图是由14个大小相同的方格组成的图形。试问能不能剪裁成7个由相邻两方格组成

的长方形？

【分析】将这14个小方格黑白相间染色（见右下图），有8个黑格，6个白格。相邻两个方格必

然是一黑一白，如果能剪裁成7个小长方形，那么14个格应当是黑、白各7个，与实际情况不符，所以不能剪裁成7个由相邻两个方格组成的长方形。

【例5】 11个

和5个能否盖住8?8的大正方形？

【分析】如右图，对8?8的正方形黑白相间染色后，发现

必然盖住2白2黑，5个则盖住10白10黑。

则盖

住了3白1黑或3黑1白，从奇偶性考虑，都是奇数。而这种形状共11个，奇数个奇数相加仍为奇数，故这种形状盖住的黑格和白格都是奇数，加上另一种形状的10白10黑，两种形状共盖住奇数个白格奇数个黑格。但实际染色后共32个白格32个黑格，故不可能按题目要求盖住。注意：本题中每个

盖3白1黑或3黑1白，11个这种形状盖住的不一定是33白11黑

或33黑11白，因为可能一部分盖3白1黑，另一部分盖3黑1白。这是一个容易犯错的地方。