2012年10月全国自考线性代数(02198)试题及参考答案

全国2012年10月自学考试线性代数试题

课程代码：02198

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，A表示方阵A的行列

式，r(A)表示矩阵A的秩。 1．设行列式a1b1，a1?c1a?c1a=12b2a2?c??1，则行列式1b12a2b2?c= B 2A．-1 B．0

C．1

D．2

?1232．设矩阵A????456??，则A*中位于第2行第3列的元素是 C

??709??A．-14

B．-6 C．6

D．14

3．设A是n阶矩阵，O是n阶零矩阵，且A2?E?O，则必有 A A．A?A?1 B．A??E C．A?E

D．A?1

4．已知4×3矩阵A的列向量组线性无关，则r(AT)= C A．1 B．2 C．3 D．4

5．设向量组?TT1?(2,0,0),?2?(0,0,-1)，则下列向量中可以由?1,?2线性表示的是 A．(-1，-1，-1)T B．(0，-1，-1)T C．(-1，-1，0)T

D．(-1，0，-1)T

6．齐次线性方程组??x1?x3?x4?0?x2?x3?2x4?0的基础解系所含解向量的个数为 B

A.1

B.2 C.3

D.4

7．设?1,?2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解向量，则下列向量中为方程组解的是 A．?1??2 B．?1??2 C．1?1??2

D．1?1221?2?2 ?8．若矩阵A与对角矩阵D???1???1?相似，则A2

= A ????1??

D D A.E B.A C.-E D.2E

9．设3阶矩阵A的一个特征值为-3，则-A2必有一个特征值为 A A.-9 B.-3 C.3 D.9

22210．二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3的规范形为 C 22A．z1 ?z222B．z1 ?z22 C．z1 222D．z1 ?z2?z3非选择题部分

注意事项：

用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

12311.行列式111的值为___0___.

321?011???12.设矩阵A??001?，则A2=__

?000???____．

?x1?2x2?3x3?1?13.若线性方程组??2x2?x3??2无解，则数?=___—1___．

?(??1)x???3?14.设矩阵A???43??01?2

,则PAP=___，P=????21??10?___.

T15.向量组?1?（k,-2,2）,?2?(4,8,?8)T线性相关，则数k=___—1___.

16.已知A为3阶矩阵，?1,?2为齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则A?___0___. 17.若A为3阶矩阵，且A?1-1，则(3A)=___1/3___． 918．设B是3阶矩阵，O是3阶零矩阵，r(B)=1,则分块矩阵??EO??的秩为___4___．

?BB??211??1?????19．已知矩阵A??121?，向量???k?是A的属于特征值1的特征向量，则数k=____—2__.

?322??1?????20.二次型f(x1,x2)?6x1x2的正惯性指数为___ 1___. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

a?b21．计算行列式D?abaaa?bb的值． ba?b

?100??112?????22．设矩阵A??210?,B??022?，求满足方程AX=BT的矩阵X．

??222??046?????

?1???1??2??1?????????214?2????????23.设向量组?1?，求该向量组的秩和一个极大线性无关组. ,??,??,???3?2?0?3?6?4??1?????????4?43???????1?

?x1?x2?x3?x4?1?24．求解非齐次线性方程组?2x1?x2?x3?x4?4.(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.

?4x?3x?x?x?6234?1

?200???25．求矩阵A??020?的全部特征值和特征向量．

?002???

22226．确定a，b的值，使二次型f(x1,x2,x3)?ax1?2x2?2x3?2bx1x3的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积

-12

四、证明题（本题6分）

（A）?（A）． 27．设矩阵A可逆，证明：A*可逆，且

*?1?1*

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