三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质

三角形“四心”向量形式的充要条件应用

知识点总结 1．O是?ABC的重心?OA?OB?OC?0;

若O是?ABC的重心，则

PG?1(PA?PB?PC)?G为?ABC的重心.

32．O是?ABC的垂心?OA?OB?OB?OC?OC?OA;

S?BOC?S?AOC?S?AOB?1S?ABC3故OA?OB?OC?0;

tanB：tanC 若O是?ABC(非直角三角形)的垂心，则S?BOC：S?AOC：S?AOB?tanA：故tanAOA?tanBOB?tanCOC?0

3．O是?ABC的外心?|OA|?|OB|?|OC|(或OA?OB?OC)

222：sin?AOC：sin?AOB?sin2A:sin2B:sin2C 若O是?ABC的外心则S?BOC：S?AOC：S?AOB?sin?BOC故sin2AOA?sin2BOB?sin2COC?0 4．O是内心?ABC的充要条件是

OA?(AB|AB|?ACAC)?OB?(BA|BA|?BC|BC|)?OC?(CA|CA|?CB|CB|)?0

引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记AB,BC,CA的单位向量为e1,e2,e3，则刚才O是

?ABC内心的充要条件可以写成 OA?(e1?e3)?OB?(e1?e2)?OC?(e2?e3)?0 ，O是?ABC内心的充要条件也可以是aOA?bOB?cOC?0 。若O是?ABC的内心，则

S?BOC：S?AOC：S?AOB?a：b：c

故 aOA?bOB?cOC?0或sinAOA?sinBOB?sinCOC?0;

A |AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P是?ABC的内心;

向量?(AB?AC)(??0)所在直线过?ABC的内心(是?BAC的角平

|AB||AC|分线所在直线)；

范 例 (一)将平面向量与三角形内心结合考查

B e1e2C P 例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足

OP?OA??(ABAB?ACAC)，???0,???则P点的轨迹一定通过?ABC的（ ）

（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心

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解析：因为

ABAB是向量AB的单位向量设AB与AC方向上的单位向量分别为e1和e2， 又

OP?OA?AP，则原式可化为AP??(e1?e2)，由菱形的基本性质知AP平分?BAC，那么在?ABC中，AP平分?BAC，则知选B.

(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”

例2． H是△ABC所在平面内任一点，HA?HB?HB?HC?HC?HA?点H是△ABC的垂心. 由HA?HB?HB?HC?HB?(HC?HA)?0?HB?AC?0?HB?AC,

同理HC?AB，HA?BC.故H是△ABC的垂心. （反之亦然（证略））

例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点，若PA?PB?PB?PC?PC?PA，则P是△ABC的（D ）

A．外心

B．内心

C．重心

D．垂心

解析:由PA?PB?PB?PC得PA?PB?PB?PC?0.即PB?(PA?PC)?0,即PB?CA?0 则PB?CA,同理PA?BC,PC?AB 所以P为?ABC的垂心. 故选D. (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”

例4． G是△ABC所在平面内一点，GA?GB?GC=0?点G是△ABC的重心.

证明 作图如右，图中GB?GC?GE

连结BE和CE，则CE=GB，BE=GC?BGCE为平行四边形?D是BC的中点，AD为BC边上的中线.

将GB?GC?GE代入GA?GB?GC=0，

得GA?EG=0?GA??GE??2GD，故G是△ABC的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心?PG?(PA?PB?PC). 证明 PG?PA?AG?PB?BG?PC?CG?3PG?(AG?BG?CG)?(PA?PB?PC) ∵G是△ABC的重心 ∴GA?GB?GC=0?AG?BG?CG=0，即3PG?PA?PB?PC 由此可得PG?(PA?PB?PC).（反之亦然（证略））

例6 若O 为?ABC内一点，OA?OB?OC?0 ，则O 是?ABC 的（ ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心

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1313解析：由OA?OB?OC?0得OB?OC??OA，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则

1OB?OC?OD，由平行四边形性质知OE?OD，OA?2OE，同理可证其它两边上的这个性

2质，所以是重心，选D。

(四) 将平面向量与三角形外心结合考查

例7若O 为?ABC内一点，OA?OB?OC，则O 是?ABC 的（ ）

A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心

解析：由向量模的定义知O到?ABC的三顶点距离相等。故O 是?ABC 的外心 ，选B。 (五)将平面向量与三角形四心结合考查

例8．已知向量OP1，OP2，OP3满足条件OP1+OP2+OP3=0，|OP1|=|OP2|=|OP3|=1， 求证 △P1P2P3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B组第6题） 证明 由已知OP1+OP2=-OP3，两边平方得OP1·OP2=?， 同理 OP2·OP3=OP3·OP1=?，

∴|P1P2|=|P2P3|=|P3P1|=3，从而△P1P2P3是正三角形.

反之，若点O是正三角形△P1P2P3的中心，则显然有OP1+OP2+OP3=0且|OP1|=|OP2|=|OP3|. 即O是△ABC所在平面内一点，

OP1+OP2+OP3=0且|OP1|=|OP2|=|OP3|?点O是正△P1P2P3的中心.

1212例9．在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。

【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：

xx?x2y2xyxD（1,0)、E(1,)、F(2,2) 由题设可设Q（1,y3)、H(x2,y4),

222222x?x2y2xxyy G(1,)?AH?(x2,y4)，QF?(2?1,2?y3) C(x2,y2) 33222BC?(x2?x1,y2)

AH?BC?AH?BC?x2(x2?x1)?y2y4?0 ?y4??x2(x2?x1)y2A D F G Q x B(x1,0) H E QF?ACx2x1y?)?y2(2?y3)?0 222x(x?x1)y2?y3?22?2y22?QF?AC?x2(

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?QH?(x2?x12x?x13x2(x2?x1)y2,y4?y3)?（2,??) 222y22?QG?( ?(x2?x1x1y22x?x1y2x2(x2?x1)y2?,?y3)?（2,??)323632y222x2?x13x2(x2?x1)y212x?x13x2(x2?x1)y2,??)?(2,??) 66y26322y221 =QH3即QH=3QG，故Q、G、H三点共线，且QG：GH=1：2

例10．若O、H分别是△ABC的外心和垂心.求证

OH?OA?OB?OC.

证明 若△ABC的垂心为H，外心为O，如图. 连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.

∴AD?AB，CD?BC.又垂心为H，AH?BC，CH?AB， ∴AH∥CD，CH∥AD，

∴四边形AHCD为平行四边形，

∴AH?DC?DO?OC，故OH?OA?AH?OA?OB?OC.

著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系： （1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；

（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。

“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.

例11． 设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心. 求证 OG?OH 证明 按重心定理 G是△ABC的重心?OG?(OA?OB?OC) 按垂心定理 OH?OA?OB?OC 由此可得 OG?OH. 补充练习 1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足

131313111OP= (OA+OB+2OC),则点P一定为三角形ABC的 （ B ）

322A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点（非重心） C.重心 D.AB边的中点 1. B取AB边的中点M，则OA?OB?2OM，由OP3=

3OP?3OM?2MC，∴MP?2MC，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B.

11 (OA32+

1OB+2OC)可得2- 4 -

2．在同一个平面上有?ABC及一点Ｏ满足关系式： OA＋BC＝OB＋CA＝OC＋

22222AB2，则Ｏ为?ABC的 （ D ）

Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心

2．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：PA?PB?PC?0，则P为?ABC的 （ C ）

Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心

3．已知O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：

OP?OA??(AB?AC)，则P的轨迹一定通过△ABC的 （ C ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心

4．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：

PA?PC?PA?PB?PB?PC?0，则P点为三角形的 （ D ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心

5．已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：a?PA?b?PB?c?PC?0，则P点为三角形的 （ B ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心

6．在三角形ABC中，动点P满足：CA?CB?2AB?CP，则P点轨迹一定通过△ABC的： （ B ）

Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心

→→→→1ABACABAC→→→

7.已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0且 · =2 , 则△ABC为( )

→→→→|AB||AC||AB||AC|A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 解析：非零向量与满足(

22ABAC)·=0，即角A的平分线垂直于BC，∴ AB=AC，又?|AB||AC|cosA??ABAC1

=2 ，∠A=，所以△ABC为等边三角形，选D． ?3|AB||AC|8.?ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OH?m(OA?OB?OC)，则实数m = 1 9.点O是?ABC所在平面内的一点，满足OA?OB?OB?OC?OC?OA，则点O是?ABC的（B ）

（A）三个内角的角平分线的交点

（C）三条中线的交点

（B）三条边的垂直平分线的交点 （D）三条高的交点

10. 如图1，已知点G是?ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且AM?xAB，

11AN?yAC，则??3。

xy

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