湖北省武汉市武昌区2011届高三元月调研测试数学文

湖北省武汉市武昌区 2011届高三年级元月调研测试

数学（文）试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。 1．函数y?

?x?3x?4x2的定义域为 （ ）

A．[—4，1] B．[?4,1) C．(?4,0)?(0,1)D．[?4,0)?(0,1]

2．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2,a3成等比数列，若a1?1，则S4=（ ）

A．7

B．8

C．15

1xD．16

23．已知集合A?{y|y?log2x,x?1},B?{y|y?(),x?0},则AIB等于

A．{y|0?y?1} B．{y|y?0}

?4（ ）

C．? D．R

4．将函数y?sin2x的图象向右平移

析式是

A．y?cos2x C．y?1?sin(2x? ?4)

个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解

B．y?2cosx D．y?2sinx

D．150°

（ ）

22

（ ）

5．设非零向量a,b满足|a|?|b|?|a?b|,则a与a-b的夹角为

A．30°

B．60°

C．120°

?2x?y?4?6．设x,y满足?x?y??1,则x?y

?x?2y?2? （ ）

A．有最小值2，最大值3 C．有最大值3，无最小值 B．有最小值2，无最大值 D．既无最小值，也无最大值

7．已知?,?表示两个不同的平面，m为平面?内的一条直线，则“m??”是“???”

的 A．充分不必要条件 C．充在条件

3

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

（ ）

8．(x?x)的展开式中有理项共有

12（ ）

A．1项 B．2项 C．3项 D．4项

9．直线y?k(x?2)交抛物线y2?8x 于A、B两点的横坐标为3，则弦AB的长为（ ）

A．6

B．10

22C．215 D．16

10．如图，已知点P是圆C:x?(y?22)?1上的一个动点，点Q是直线l:x?y?0uuur上的一个动点，O为坐标原点，则向量OP在向量上的投影的最大值是

（ ）

A．3 B．2?22

C．32 D．1

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡中对应题号后的

横线上，一题两空的题，其答案按先后次序填写。

11．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润

y万远与营运年数x（x?N）的关系为y?x?12x?25，则每辆客车营运 年可使营运年利润最大，最大值为 万元。

12．已知样本2，3，4，x，y的平均数是2，方差是3，则xy= .

13．在半径为3的球面上有A、B、C三点，?ABC?90?,BA?BC，球心O到平面ABC

3222的距离是，则B、C两点的球面距离是 。

14．有5个座位连成一排，现在2人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 种。 15．已知定义域为（0，+?）的函数f(x)满足：（1）对任意x?(0,??)，恒有f(3x)?3f(x)成立；（2）当x?(1,3]时，f(x)?3?x.给出如下结论：

①对任意m?Z,有f(3)=0； ②函数f(x)的值域为[0,??)； ③存在n?Z,使得f(3?1)?9.

nm其中所有正确结论的序号是 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分）

?ABC中，?A、?B、?C所对的边长分别为a,b,c，且a?c?a?bc.

222 （Ⅰ）求?A的大小；

（Ⅱ）求y?2cosB?sin?2B??2????的最大值。 6? 17．（本小题满分12分） 袋中装有形状大小完全相同的2个白球和3个黑球。

（Ⅰ）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；

（Ⅱ）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求至少摸出1个白球的概率。 18．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P—ABCD的底面的正方形，侧棱PA?底面ABCD，PA?2AB，点

M在侧棱PC上，且CM=2MP。

（Ⅰ）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值； （Ⅱ）求二面角A—PC—D的余弦值。

19．（本题满分12分）

已知点P(x,y)与点A(?2,0),B(2,0)连线的斜率之积为1，点C的坐标为（1，0）。

（Ⅰ）求点P的轨迹方程；

uuruuur （Ⅱ）过点Q（2，0）的直线与点P的轨迹交于E、F两点，求证CE?CF为常数。

20．（本小题满分13分）

已知各项均为正实数的数列{an}的前n项和为Sn，4Sn?an?2an?3对于一切

n?N成立。

*2 （Ⅰ）求a1；

（Ⅱ）求数列{an}的通项公式； （Ⅲ）设bn?

2an?1,Tn为数列{anbn}的前n项和，求证Tn?5.

21．（本小题满分14分）

设函数f(x)?2x3?3(a?3)x2?18ax?8a,x?R.

（Ⅰ）当a??1时，求函数f(x)的极值；

（Ⅱ）若函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，求实数a的取值范围； （Ⅲ）当方程f(x)?0有三个不等的正实数解时，求实数a的取值范围。

参考答案

一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C

A D A B 二、填空题

11．5,2 12．?52 13．? 14．12 三、解答题： 16．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）?b2?c2?a2?bc，

b2 ?cosA??c2?a22bc?12．????4分

∴A?60?．??????6分

7 8 A C 15．①②

9 10 B A

（Ⅱ）y??1?cos2B??sin2Bcos321?6?cos2Bsin?6 ??????8分

?sin2B????cos2B?1?sin?2B???1． ??????10分 26???2 当2B??6?,即B=

?6时，y取得最大值2．???????12分

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）记“摸出一球，放回后再摸出一个球，两球颜色不同”为事件

摸出一球是白球的概率为摸出一球得黑球的概率为∴P?A?=

2253A．

．???????2分 ． ????????4分

125.????????5分 2512.???????6分 答：两球颜色不同的概率是255555×＋

33×＝

2（Ⅱ）摸出的两球均为黑球的概率为

P?35?24?310．???????9分

310?710

所以至少摸出1个白球的概率为1?答：至少摸出1个白球的概率

710．????????11分

．?????????12分

18．（本小题满分12分）

解：设PA?2AB?2．

（Ⅰ）过M作MN?AC于N，则MN//PA． ?PA?面ABCD，?MN?面ABCD．

则?MAN为直线AM与平面ABCD所成的角．??????2分 ?CM?2MP，CN?2NA． 易知AC?2，?AN?23P ．

A MNAN?2．

M F E

又

MNPA?23,?MN?223．

D

N 在Rt?AMN中，求得tan?MAN?B C 所以，直线AM与平面ABCD所成的角正切值为2．??????????6分 （Ⅱ）过A作AE?PD于E．

?PA?面ABCD，CD?面ABCD，?PA?CD． ?CD?AD,?CD?面PAD． ?AE?面PAD，?CD?AE．

?AE?面PCD．

过A作AF?PC于F，连结EF．

则?AFE为二面角A?PC?D的平面角．??????8分 易求得AE?23,AF?1．

在Rt?AEF中，求得sin?AFE?AEAF?63．

?cos?AFE?33

所以，所求二面角的余弦值为

33．??????????12分

19．（本题满分12分）

解：（Ⅰ）直线PA和PB的斜率分别为yx?2与x?y2?x??2?，????2分

依题意，有yx?2?yx?2?1，

即y?x?2，???????????????????????????4分 所求点P的轨迹方程为x?y?2x??2．??????????5分 （Ⅱ）设E?x1,y1?,F?x2,y2?，设过点Q?2,0?的直线为y?k?x?2?，???6分

2222??

22将它代入x?y?2，得?k?1?x?4kx?4k?2?0．???????7分

2222

2?4k?x1?x2?2?k?1由韦达定理，得????????????????????8分 2?xx?4k?2122?k?1?

?????????CE?CF??x1?1,y1???x2?1,y2???x1?1???x2?1??y1y2 ???????9分

?x1x2??x1?x2??1?y1y2?x1x2??x1?x2??1?k??1?k22?x1?2???x2?2?

?xx12??1?2k2??x21?x2??1?4k

2

??1?k2?4k?2k?122??1?2k?4k22k?1?1?4k??1． ?????????10分

2

当直线斜率不存在时，可得E,F坐标为2,2,2,?2，

????????此时CE?CF?1,????? ????????????????12分 2?1,?2??1．

???故CE?CF为常数?1． ????????????????12分

20．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）当n?1时，4S1?4a1?a12?2a1?3，得a12?4a1?3?0， a1?3或a1??1，由条件an?0，所以a1?3． ??????2分

（Ⅱ）当n?2时，4Sn?an?2an?3，4Sn?1?an?1?2an?1?3 则4Sn?4Sn?1?an?2an?3?an?1?2an?1?3，

所以4an?an?2an?an?1?2an?1，an?2an?an?1?2an?1?0

22222222?an?an?1??an?an?1?2??0， ??????4分

由条件an?an?1?0，所以an?an?1?2， ??????5分 故正数列?an?是首项为3，公差为2的等差数列， 所以an?2n?1． ??????6分 （Ⅲ）由（Ⅰ）bn?325222an?1?22n?1?1?2，

nanbn?2n?12n，??????8分

?Tn???7213???2n?12n?1?2n?12n． ①??????9分

将上式两边同乘以

12Tn?322?523?272，得

???2n?1222nn4?2n?12n?1． ② ?????10分

①—②，得

?12Tn?32即Tn?5??22n?5n?22?223????2n?12n?1?52?2n?52n?1．

?n?N,??Tn?5?22n?5n．????12分

?0.

22n?52n?5．??????13分

21．（本小题满分14分）

解：f??x??6x2?6?a?3?x?18a?6?x?3??x?a?． （Ⅰ）当a??1时，f??x??6?x?3??x?1?．??????1分 令f??x??0,得x??1或x?3．

所以f?x?在???,?1?或?3,???上单调递增,在??1,3?上单调递减． 当x??1时，f?x?极大?f??1??18．

当x?3时，f?x?极小?f?3??-46．??????4分

2?x（Ⅱ）依题意：f??x??6????a?3?x?3a??0在x??1,2?恒成立．???5分

因x??1,2?，?3?x??0，故a?3x?x3?x2?x在x??1,2?恒成立，

所以a?xmin?1．???????????8分 （Ⅲ）显然，x?3,x?a是极值点．

依题意,当方程f?x??0有三个不等的正实数解时，有：

?a?0, ?????faf3?0,?即??a?0,??19a?27???a??a?1??a?8??0,2719?????????????12分

?1?a?或a?8为所求．??????????????14分

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